精品解析：安徽省安庆市太湖县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷和答案

太湖县2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题卷 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将学校、姓名、班级、考号填写在答题卡上． 2．选择题答题时，请用2B铅笔把答题卡上对应的选项涂黑，修改时用橡皮擦擦干净；非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．必须在题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效． 4．保持答卷整洁、完整． 一、选择题（本题共10小题，共40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 3. 从七边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（ ） A. 4条 B. 5条 C. 6条 D. 7条 4. 若，则化简结果是（ ） A. B. 7 C. D. 5. 如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B. C. D. 1 6. 某校新建科技馆准备用正多边形地砖铺设地面，下列组合中能铺满地面的是（　　） A. 正方形和正六边形 B. 正三角形和正六边形 C. 正五边形和正八边形 D. 正方形和正十边形 7. 学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表： 报名项目个数 0 1 2 3 人数 5 14 a b 其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ） A. 中位数，众数 B. 平均数，方差 C. 平均数，众数 D. 众数，方差 8. 已知是方程的一个根，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 9. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若，，则GH的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论： ①BE＝CD； ②∠DGF＝135°； ③∠ABG＋∠ADG＝180°； ④若，则． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本题共4小题，共20分） 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则_______． 12. 当 x＝+ 1 时，式子 x2﹣2x+2 的值为______. 13. 如图，已知∠A=90°，AC=AB=4，CD=2，BD=6．则∠ACD=________度． 14. 如图，已知矩形中，，，点M，N分别在边，上，沿着折叠矩形，使点B，C分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合）． （1）若为线段的中点，则____________； （2）折痕的长度的取值范围为_____________． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 已知：如图，在中，点E，F分别在和上，．求证：四边形是平行四边形． 18. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． （1）写出第4个等式：______． （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． （3）请用（2）中发现的规律计算：． 19. 如图，网格中小正方形边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）请判断三角形是否是直角三角形，并说明理由； （2）点到边的距离； （3）借助网格，利用无刻度直尺画出边上的中线． 20. 关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0 （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根． （2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由． 21. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船成功发射，航天员叶光富、李聪、李广苏乘神舟赴太空．某校对全体学生进行了“航空知识”了解情况的调查，并随机抽取了这次调查中部分同学的成绩，将调查成绩按下表进行整理（成绩用x分表示）· 调查成绩 级别 合格 中等 良好 优秀 并绘制了如下不完整的统计图： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）参加此次调查的学生人数为______人，并补全频数分布直方图； （2）根据上面的频数分布直方图，我们可以用各组的组中值（数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数．例如：的组中值为）代表该组数据的平均值，据此估算所抽取学生的平均成绩； （3）若该校有1800名学生，请估计调查成绩在良好以上（）学生约有多少名？ 22. 嘉海学校八年级开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 嘉海学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 班级人员 王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为元/千克时，每天可销售千克． 每千克每涨价元，每天少销售5千克． 解决问题 问题1 某天超市正好销售千克青菜，则获利多少元？ 问题2 若超市想一天销售青菜获利元，则青菜的售价为多少元/千克？ 23. 问题解决：如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． （3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 太湖县2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题卷 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将学校、姓名、班级、考号填写在答题卡上． 2．选择题答题时，请用2B铅笔把答题卡上对应的选项涂黑，修改时用橡皮擦擦干净；非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．必须在题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效． 4．保持答卷整洁、完整． 一、选择题（本题共10小题，共40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义， 根据最简二次根式的定义：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一分析选项即可． 【详解】解：A ：被开方数含分母，可化简为，不是最简二次根式， B：16是完全平方数，，可化简为整数，不是最简二次根式， C：0.4化为分数为，被开方数含分母，可化简为，不是最简二次根式， D：被开方数3不含分母，且3是质数，无法再分解为平方数的乘积，因此是最简二次根式， 故选：D． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A． 只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，符合定义，故该选项符合题意； B． 含有2个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意； C．整理为，只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程，不符合定义，故该选项不符合题意； D.属于分式方程，不符合定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 从七边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（ ） A. 4条 B. 5条 C. 6条 D. 7条 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形的对角线条数问题，根据n边形的一个顶点出发的对角线最多条求解即可． 【详解】解：从七边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为条， 故选：A． 4. 若，则化简的结果是（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简等知识点，根据题意得到，，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∴ ， 故选：B． 5. 如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．根据左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，可得，再根据勾股定理得出和的长即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1， ∴， ∴， ∴按此手势解锁一次的路径长为：． 故选：B． 6. 某校新建的科技馆准备用正多边形地砖铺设地面，下列组合中能铺满地面的是（　　） A. 正方形和正六边形 B. 正三角形和正六边形 C. 正五边形和正八边形 D. 正方形和正十边形 【答案】B 【解析】 【分析】正多边形的组合能否铺满地面，看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°进行判定即可． 【详解】解：A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满； B、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，显然能构成360°的周角，故能铺满； C、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满． D、正方形和正十边形内角分别为90°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平面几何图形镶嵌，解题的关键是明确围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 7. 学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表： 报名项目个数 0 1 2 3 人数 5 14 a b 其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ） A. 中位数，众数 B. 平均数，方差 C. 平均数，众数 D. 众数，方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、中位数和众数、方差的定义进行判断即可； 【详解】解：由题意可知报名2个项目和3个项目的一共有30-5-14=11(人)， 14>11， ∴无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，都少于报名1个项目的人数， 故众数为1不变, 共有30名学生则中位数为第15，16个数据的平均数， 由于5+14=19>16， 故中位数为， 则无论报名2个项目和3个项目的学生各有多少人中位数不变， 综上所述不会发生改变的是众数和中位数， 故选：A 【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8. 已知是方程的一个根，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意，得：，方程的另一个根为， ∴， ∴ ； 故选B． 9. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若，，则GH的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH =AF，求出AF的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接AF，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB= BC= 2， ∵ G， H分别为AE，EF的中点， ∴GH是△AEF的中位线， ∴GH =AF， ∴当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB = 90°， ∵∠B= 45°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴GH =， 即GH的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 10. 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论： ①BE＝CD； ②∠DGF＝135°； ③∠ABG＋∠ADG＝180°； ④若，则． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】只需要证明∠AEB＝45°＝∠BAE，即可判断①；先证明△CEF为等腰直角三角形，再由点G为EF的中点，得到CG⊥EF，∠CGF＝90°，∠FCG＝45°，由三角形外角的性质得到∠FCG＝∠CGD＋∠CDG＝45°，则∠CGD＜45°，即可判断②；证明，∠EBG＝∠CDG，再由∠ABG＝∠ABC＋∠EBG，∠ADG＝∠ADC−∠CDG，即可判断③；过点G作GM⊥DF于点M，如图所示，设AB＝2a（a＞0），则AD＝3a．证明△ADF为等腰直角三角形，得到DF＝AD＝3a．根据△CGF为等腰直角三角形，得到，则，然后求出，即可判断④． 【详解】解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD， ∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠AEB＝90°−∠BAE＝45°＝∠BAE， ∴BE＝AB＝CD，①正确； ②∵AB∥CD， ∴∠CFE＝∠BAE＝45°， ∵∠CEF＝∠AEB＝45°， ∴△CEF为等腰直角三角形， ∵点G为EF的中点， ∴CG⊥EF，∠CGF＝90°，∠FCG＝45°， ∵∠FCG＝∠CGD＋∠CDG＝45°， ∴∠CGD＜45°， ∴∠DGF＝∠CGD＋∠CGF＜45°＋90°＝135°，②不正确； ③∵△CEF为等腰直角三角形，点G为EF的中点， ∴CG＝EG． ∵∠BEG＝180°−∠CEF＝135°，∠DCG＝180°−∠FCG＝135°， ∴∠BEG＝∠DCG， 在△BEG和△DCG中， ， ∴（SAS）， ∴∠EBG＝∠CDG， ∵∠ABG＝∠ABC＋∠EBG，∠ADG＝∠ADC−∠CDG， ∴∠ABG＋∠ADG＝∠ABC＋∠ADC＝180°，③正确； ④过点G作GM⊥DF于点M，如图所示． ∵， ∴设AB＝2a（a＞0），则AD＝3a． ∵∠DAF＝45°，∠ADF＝90°， ∴△ADF等腰直角三角形， ∴DF＝AD＝3a． ∵△CGF为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ． ∴，④正确． 综上可知：正确的结论有①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形面积，角平分线的定义等等，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定条件是解题的关键． 二、填空题（本题共4小题，共20分） 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，理解“化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式”是解决问题的关键． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：2． 12. 当 x＝+ 1 时，式子 x2﹣2x+2 的值为______. 【答案】4. 【解析】 【分析】根据完全平方公式以及二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】当x=时，∴x﹣1，∴原式=x2﹣2x+1+1=（x﹣1）2+1=3+1=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 13. 如图，已知∠A=90°，AC=AB=4，CD=2，BD=6．则∠ACD=________度． 【答案】45 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，求得BC2= 32，∠ACB=45°，在△BCD中，根据勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形，即可求得∠DCB=90°，根据∠ACD=∠DCB-∠ACB即可求得∠ACD的度数. 【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°， ∵AB=AC=4， ∴BC2=AB2+AC2=32，∠ACB=45°， 在△BCD中，CD=2，BD=6． ∵BC2+CD2=32+4=36=BD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠DCB=90°， ∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=90°-45°=45°. 故答案为45. 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键. 14. 如图，已知矩形中，，，点M，N分别在边，上，沿着折叠矩形，使点B，C分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合）． （1）若为线段的中点，则____________； （2）折痕的长度的取值范围为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）设，则，运用勾股定理计算即可． （2）根据垂线段最短，可得当时，取得最小值，当与点A重合时，取得最大值，运用折叠性质，勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵矩形中，，，沿着折叠矩形，为线段的中点， ∴； 设，则， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． （2）根据垂线段最短，可得当时，取得最小值， ∵矩形中，，，， ∴四边形是矩形， ∴； 当与点A重合时，取得最大值， ∵矩形中，，，沿着折叠矩形， ∴； 设，则， ∴， ∴， 解得． ∵矩形中，沿着折叠矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； 过点N作于点E， 则四边形是矩形， ∴； ∴， ∴， 故折痕的长度的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算法则，将二次根式化为最简二次根式，利用零指数幂、绝对值的求法计算，最后进行加减运算即可得出． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算的理解与运用能力．二次根式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号时先算括号里面的．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．任何不等于0的数的零次幂都等于1．灵活运用二次根式的混合运算法则先将各个二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算是解本题的关键． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．根据因式分解法即可求出答案． 【详解】解：， ， 或， ． 17. 已知：如图，在中，点E，F分别在和上，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见详解． 【解析】 【分析】先根据平行四边形得出，再由一组对边平行且相等判断四边形DEBF是平行四边形即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E在AB上，点F在CD上， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定定理进行求解． 18. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． （1）写出第4个等式：______． （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． （3）请用（2）中发现的规律计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意可得，第4个等式； （2）由题意知，第n个等式为； （3）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，第4个等式， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知，第n个等式为； 【小问3详解】 解： ， ∴． 19. 如图，网格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）请判断三角形是否是直角三角形，并说明理由； （2）点到边的距离； （3）借助网格，利用无刻度直尺画出边上的中线． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3）图形见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的面积，中线的定义，掌握勾股定理的逆定理以及面积法是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出各个边长，然后再根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据三角形的面积可求得结果； （3）根据矩形对角线互相平分找到的中点，即可找到中线； 【小问1详解】 解：不是直角三角形，理由： 由题可得， ， ， ∵， ∴三角形不是直角三角形； 【小问2详解】 解：设点到边的距离为h， 由（1）可得， ∵的面积为：， ∴， 解得：， ∴点到边的距离为； 【小问3详解】 解：根据的特点找到矩形，连接， 则与交于一点， 即为的中点，连接，如图所示： ， 则为边上的中线． 20. 关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0 （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根． （2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2． 【解析】 【分析】（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 【详解】（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1, x=-1有一个解； ②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程， △=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0 方程有两不等根 综合①②得不论k为何值，方程总有实根 （2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂= ∴S=++ x1+x2 = = = = =2k-2=2， 解得k=2， ∴当k=2时，S的值为2 ∴S的值能为2，此时k的值为2． 考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系． 21. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船成功发射，航天员叶光富、李聪、李广苏乘神舟赴太空．某校对全体学生进行了“航空知识”了解情况的调查，并随机抽取了这次调查中部分同学的成绩，将调查成绩按下表进行整理（成绩用x分表示）· 调查成绩 级别 合格 中等 良好 优秀 并绘制了如下不完整的统计图： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）参加此次调查的学生人数为______人，并补全频数分布直方图； （2）根据上面的频数分布直方图，我们可以用各组的组中值（数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数．例如：的组中值为）代表该组数据的平均值，据此估算所抽取学生的平均成绩； （3）若该校有1800名学生，请估计调查成绩在良好以上（）的学生约有多少名？ 【答案】（1）60；补全频数分布直方图见解析 （2）87.5分 （3）1530名 【解析】 【分析】（1）根据优秀人数和所占的百分比即可求出此次调查的学生的人数，用总人数减去其它组的人数求出中等的人数，即可补全频数分布直方图； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）用总人数乘以测试成绩在良好以上的学生人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：参加此次调查的学生的人数为(人)， 中等的人数为(人)， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：(分)， 答：估计所抽取的学生的平均成绩为87.5分； 【小问3详解】 解：(名)， 答：估计测试成绩在良好以上的学生约有1530名． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，加权平均数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 22. 嘉海学校八年级开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 嘉海学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 班级人员 王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为元/千克时，每天可销售千克． 每千克每涨价元，每天少销售5千克． 解决问题 问题1 某天超市正好销售千克的青菜，则获利多少元？ 问题2 若超市想一天销售青菜获利元，则青菜的售价为多少元/千克？ 【答案】某天超市正好销售千克青菜，则获利元；若超市想一天销售青菜获利元，则青菜的售价为3元/千克或4元/千克 【解析】 【分析】问题1：设售价为元/千克，，计算得即可得；问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利元，，计算得，，即可得． 【详解】解：问题1：设售价为元/千克， 则获利：（元）， 答：某天超市正好销售千克的青菜，则获利元； 问题2：设青菜的售价为y元/千克，超市会一天销售青菜获利元， ，， 答：若超市想一天销售青菜获利元，则青菜售价为3元/千克或4元/千克． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 23. 问题解决：如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． （3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）是等腰三角形，理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明可得，进而得，即可求解； （）延长到点，使，连接，作，可证，得到，，进而得是等边三角形，得到，即得，再利用勾股定理求出，进而即可求出的长； 本题考查了矩形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 【小问2详解】 解：是等腰三角形． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问3详解】 解：延长到点，使，连接，作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$