精品解析：安徽省安庆市太湖县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

太湖县2023-2024学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 （总分：150分，时间：120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的方程的根，则的值为（ ） A. B. 15 C. D. 16 3. 某篮球队10名队员的年龄如表所示： 年龄/岁 18 19 20 21 人数 2 4 3 1 则这10名队员年龄众数和中位数分别是（ ） A. 19岁、19岁 B. 19岁、19.5岁 C. 20岁、19岁 D. 20岁、19.5岁 4. 如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ） A B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 下列各组线段能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 3 D. 8. 下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是（ ） A. 正三角形和正方形 B. 正三角形和正六边形 C. 正方形和正六边形 D. 正方形和正八边形 9. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( ) A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 10. 如图，在正方形中，，点，分别在、上，，，相交于点，若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若某多边形从一个顶点所作的对角线为4条，则这个多边形共有________条对角线． 12. 已知，化简____________________． 13. 小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是____________岁． 14. 如图，在正方形中，连接对角线，在线段上，连接交于点，，，，则__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 用配方法解方程，2x2+5x﹣12＝0． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在▱ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°．求∠ABC度数． 18. 如图，已知某学校A与笔直的公路BD相距3 000米，且与该公路上的一个车站D距5 000米，现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是多少米？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，中，对角线、交于点，上截取． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，求证：． 20. 将两个大小相同的正方形如图①摆放，重叠部分形成一个小正方形，按照此规律摆下去，得到下面一组图形： （1）请填写下表： 图形编号 ① ② ③ … 大正方形/个 2 ________ ________ … 小正方形/个 1 ________ ________ … （2）第100个图形中，有________个正方形；若第n个图形中小正方形的个数是大正方形的2倍，则________； （3）是否存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方？如果存在，求出图形的编号；如果不存在，请说明理由． 六、（本题满分12分） 21. 某校开展了以“养成读书好习惯”为主题请书活动．学校对部分学生四月份读书量进行了随机抽样调查，读书是为2本书的占，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示，根据以上信息，解答下列问题： （1）一共抽取了______名学生； （2）补全条形统计图； （3）样本的众数是______本； （4）已知该校有1200名学生，请你估计该校学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数． 七、（本题满分12分） 22. 读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）设，满足等式，求的值； （2）若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数． 八、（本题满分14分） 23. （1）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材的部分内容：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点．求证，四边形是菱形； 分析：要证四边形是菱形，由已知条件可知，所以只需证明四边形是平行四边形，又知垂直平分，所以只需证明．请结合图，补全证明过程； （2）【应用】如图，将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边于点，若，，则折痕的长为_______． （3）【拓展】如图，将沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交的边于点，若，，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 太湖县2023-2024学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 （总分：150分，时间：120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，最简二次根式需满足：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：A，，因此不是最简二次根式，不合题意； B，是最简二次根式，符合题意； C，，因此不是最简二次根式，不合题意； D，，因此不是最简二次根式，不合题意； 故选B． 2. 若是关于的方程的根，则的值为（ ） A. B. 15 C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，从而得到，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3. 某篮球队10名队员的年龄如表所示： 年龄/岁 18 19 20 21 人数 2 4 3 1 则这10名队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A. 19岁、19岁 B. 19岁、19.5岁 C. 20岁、19岁 D. 20岁、19.5岁 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数与众数的定义求解即可． 【详解】解：19出现4次，次数最多，故众数为19， 数据按照从小到大或从大到小排列后，第5和第6个数据都是19，故中位数为， 故选：A． 【点睛】本题考查了中位数与众数的定义，掌握中位数与众数的定义是解题的关键．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在最中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数． 4. 如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．利用直角三角形的勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵ 在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1， ∴任意两个格点间的距离为，，， 1，2，，，． ∴任意两个格点间的距离不可能是， 故选：A． 5. 关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是（　　） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程有实数根得出△≥0且m-5≠0，求出不等式的解集即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根， ∴△=22-4（m-5）×2≥0且m-5≠0， 解得：m≤5.5且m≠5， m的最大整数解为4， 故选C． 【点睛】本题考查了根判别式和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 6. 下列各组线段能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A中，不能构成直角三角形，故不符合要求； B中，不能构成直角三角形，故不符合要求； C中，不能构成直角三角形，故不符合要求； D中，能构成直角三角形，故符合要求； 故选：D． 7. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， ， 故选：A． 8. 下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是（ ） A. 正三角形和正方形 B. 正三角形和正六边形 C. 正方形和正六边形 D. 正方形和正八边形 【答案】C 【解析】 【分析】正多边形的组合能否构成平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°，若能，则说明能镶嵌；反之，则说明不能. 【详解】A.正三角形，正方形的一个内角分别是60°，90°，由于60°×3+90°×2=360°，所以能镶嵌； B.正三角形和正六边形的一个内角分别是60°，120°，由于60°×2+120°×2=360°，所以能镶嵌； C. 正方形和正六边形的一个内角分别是90°，120°，由于90°+120°×2=210°，所以不能镶嵌 D.正方形和正八边形的一个内角分别是90°，135°，由于90°+135°×2=360°，所以能镶嵌； 故选C 【点睛】本题考查平面镶嵌，熟练掌握多边形的内角值是解题关键. 9. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( ) A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：设这个微信群共有x人， 依题意有x（x-1）=90， 解得：x=-9（舍去）或x=10， ∴这个微信群共有10人． 故选B 10. 如图，在正方形中，，点，分别在、上，，，相交于点，若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG＋CG的长，进而得出其周长． 【详解】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为×9＝6， ∴空白部分的面积为9−6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°， 可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF＋∠BCG＝90°， ∴∠CBG＋∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab＝， 又∵a2＋b2＝32， ∴a2＋2ab＋b2＝9＋6＝15， 即（a＋b）2＝15， ∴a＋b＝，即BG＋CG＝， ∴△BCG的周长＝​＋3， 故选D. 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、完全平方公式的变形求值、以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若某多边形从一个顶点所作的对角线为4条，则这个多边形共有________条对角线． 【答案】14 【解析】 【分析】根据对角线的概念，知一个多边形从一个顶点出发有（n−3）条对角线，求出n的值，再根据多边形对角线的总数为n（n−3），即可解答． 【详解】解：∵从某个多边形的一个顶点出发一共画出4条对角线， ∴n−3＝4， ∴n＝7， 那么这个多边形对角线的总条数为：×7×（7−3）＝14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决本题的关键是熟记对角线条数的公式． 12. 已知，化简____________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质得，然后利用x的范围去绝对值后合并即可 【详解】， 原式 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键． 13. 小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是____________岁． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 14. 如图，在正方形中，连接对角线，在线段上，连接交于点，，，，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先添加辅助线，根据对顶角相等以及三角形的外角的性质，可以得到的边长，再根据正方形对边平行，可得到为等腰三角形，设出正方形的边长，根据勾股定理可以求出边长，再判定两个三角形全等，即可得到结果． 【详解】解：延长，交于一点，如图所示： ， 由图可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为正方形， ∴， ∴， 即， ∴， 设正方形边长为， 则，， ， ∵为直角三角形， ∴，即， 解得：， 在中， ， ∴（ASA）， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、三角形外角性质、等腰三角形的性质，添加辅助线是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，先化简二次根式和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解； ． 16. 用配方法解方程，2x2+5x﹣12＝0． 【答案】x1＝，x2＝﹣4 【解析】 【分析】移项，方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：2x2+5x﹣12＝0， 移项，得2x2+5x＝12， x2+x＝6， 配方，得x2+x+＝6+，即（x+）2＝， 开方，得x+＝±， 解得：x1＝，x2＝﹣4． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在▱ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°．求∠ABC的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质得出BE＝ED，得出 ，求出，则可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， ∵OE⊥BD， ∴BE=ED， ∴， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 18. 如图，已知某学校A与笔直的公路BD相距3 000米，且与该公路上的一个车站D距5 000米，现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是多少米？ 【答案】3 125米 【解析】 【详解】试题分析：由勾股定理先求出BD的长度，然后设超市C与车站D的距离是x米，分别表示出AC、BC、的长度，对Rt△ABC由勾股定理列方程求解. 试题解析： 在Rt△ABD中，BD＝＝4000米， 设超市C与车站D的距离是x米，则AC＝CD＝x米，BC＝(4000－x)米， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2， 即x2＝30002＋(4000－x)2，解得x＝3125， 因此该超市与车站D的距离是3125米． 点睛：本题关键在于设未知数，列方程求解. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，中，对角线、交于点，在上截取． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形即可； （2）根据平行四边形的性质证明，再证明，得出，进一步证明是的垂直平分线即可得出结论． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形，且对角线交于点O， ∴， ∵， ∴.四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是的垂直平分线， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定与性质，熟练运用相关知识是解答本题的关键． 20. 将两个大小相同的正方形如图①摆放，重叠部分形成一个小正方形，按照此规律摆下去，得到下面一组图形： （1）请填写下表： 图形编号 ① ② ③ … 大正方形/个 2 ________ ________ … 小正方形/个 1 ________ ________ … （2）第100个图形中，有________个正方形；若第n个图形中小正方形的个数是大正方形的2倍，则________； （3）是否存在一个图形，这个图形中小正方形个数是大正方形个数的平方？如果存在，求出图形的编号；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）3，4，4，7 （2）399；4 （3）不存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，解一元二次方程，能根据所给图形用含n的代数式表示出第n个图形中小正方形和大正方形的个数是解题的关键． （1）依次求出图形中小正方形和大正方形的个数即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）假设存在，且编号为m，则可建立方程，看方程是否有解即可得到结论。 【小问1详解】 解：由所给图形可知，第①个图形中小正方形的个数为：，大正方形的个数为：2； 第②个图形中小正方形的个数为：，大正方形的个数为：3； 第③个图形中小正方形的个数为：，大正方形的个数为：4； …， 故答案为：3，4，4，7． 【小问2详解】 解：由（1）发现可知，第k个图形中小正方形的个数为个，大正方形的个数为个． ∴当时，共有个正方形； ∵第n个图形中小正方形的个数是大正方形的2倍， ∴， 解得， 故答案为：399；4； 【小问3详解】 解：不存在，理由如下： 假设存在，设这个图形的编号为m， 由题意得，， 整理得：， ∵， ∴此时方程无解， ∴不存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方． 六、（本题满分12分） 21. 某校开展了以“养成读书好习惯”为主题的请书活动．学校对部分学生四月份读书量进行了随机抽样调查，读书是为2本书的占，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示，根据以上信息，解答下列问题： （1）一共抽取了______名学生； （2）补全条形统计图； （3）样本的众数是______本； （4）已知该校有1200名学生，请你估计该校学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数． 【答案】（1）60 （2）见详解 （3）3 （4）120名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、用样本估计总体、众数，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据读书两本的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数； （2）然后即可得到本次所抽取学生四月份“读书量”的众数，再计算出读书4本所占的百分比，即可将统计图补充完整； （3）根据条形统计图中的数据，可以计算出样本的众数； （4）根据统计图中的数据，可以计算出该校学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生有：（名， 故答案为：60； 【小问2详解】 补全条形统计图如图： 【小问3详解】 样本的众数是3本， 故答案3； 【小问4详解】 （名， 答：估计该校学生中，四月份“读书量”为5本的学生有120名． 七、（本题满分12分） 22. 读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）设，满足等式，求的值； （2）若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数． 【答案】（1）； （2），，，． 【解析】 【分析】（）由已知等式设，得出，结合可得答案； （）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握知识点的应用及换元思想． 【小问1详解】 设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 【小问2详解】 设最小正整数为，则， 即：， 设，则，解得：，， ∵为正整数， ∴，解得，（舍去）， ∴这四个连续正整数为，，，． 八、（本题满分14分） 23. （1）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材的部分内容：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点．求证，四边形是菱形； 分析：要证四边形是菱形，由已知条件可知，所以只需证明四边形是平行四边形，又知垂直平分，所以只需证明．请结合图，补全证明过程； （2）【应用】如图，将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边于点，若，，则折痕的长为_______． （3）【拓展】如图，将沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交的边于点，若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（）由四边形是矩形，得，则，根据垂直平分线的性质得，，从而证明，由性质证明四边形是平行四边形即可； （）过点作于，由勾股定理，求出，则，证明四边形是矩形，则，，，最后由勾股定理即可求解； （）过点作，交的延长线于，过点作于，由四边形是平行四边形，，得，求出，最后由勾股定理和面积公式即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴平行四边形是菱形， （）如图，过点作于， ∵将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作，交的延长线于，过点作于， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿翻折，使点的对称点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$