第2章 常用逻辑用语（举一反三讲义·基础篇）高一数学苏教版必修第一册

第2章 常用逻辑用语（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版（2019）】 题型1 命题的概念 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 2．（2025高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是（　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一上·上海·课后作业）下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 题型2 判断命题的真假 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的个数有（    ） ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 3．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定 1．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·安徽·期中）使成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则“”是的 条件． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？ (1)若，则； (2)若，则； (3)若一个四边形为平行四边形，则这个四边形为菱形． 题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索 1．（24-25高一上·云南昆明·期中）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）写出“，不等式成立”的一个充分不必要条件 . 4．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 5．（2025高一·全国·专题练习）若集合，，试写出： (1)的一个既充分也必要条件； (2)的一个必要条件但不是充分条件. 题型5 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1．（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题 、，使得；命题 ，，则下列关于，真假叙述正确的是（    ） A．，均为真 B．，均为假 C．真，假 D．假，真 3．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）下列命题：①，；②，；③，；④，；其中所有真命题的序号是 . 4．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 5．（2025高三·全国·专题练习）用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性． (1)当时，； (2)自然数不都是正整数； (3)至少存在一个实数，使得. 题型6 命题的否定 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·安徽池州·期中）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）“存在，使得”的否定形式为 . 4．（24-25高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定： (1)有些四边形有外接圆； (2)末位数字为9的整数能被3整除； (3)，． 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是； (3)，使得. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 常用逻辑用语（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版（2019）】 题型1 命题的概念 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【解题思路】由命题的定义判断各个选项即可. 【解答过程】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题． 故选:D． 2．（2025高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是（　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据命题的概念逐一判断. 【解答过程】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 【答案】② 【解题思路】根据命题的定义判断即可. 【解答过程】对于①：若，，则，能判断真假，是命题，且为真命题； 对于②：，不能判断真假，故不是命题； 对于③：，能判断真假，是命题，且为真命题. 故答案为：②. 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 【答案】答案见解析 【解题思路】根据命题是可以判断真假的陈述句，进行判断，再寻找关系. 【解答过程】（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题． （3）是在（1）的基础上，用短语“所有”对变量x进行限定，从而变为可以判断真假的命题；（4）是在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而变为可判断真假的命题． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 【答案】(1)是命题，理由见解析 (2)不是命题，理由见解析 (3)不是命题，理由见解析 (4)是命题，理由见解析 (5)是命题，理由见解析 (6)是命题，理由见解析 【解题思路】（1）利用命题的定义判断即可. （2）利用命题的定义判断即可. （3）利用命题的定义判断即可. （4）利用命题的定义判断即可. （5）利用命题的定义判断即可. （6）利用命题的定义判断即可. 【解答过程】（1）“是有理数”是陈述句，并且能够判断它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“若，则”是陈述句， 并且．它是真的，所以它是命题． （5）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． （6）“若与是无理数，则是无理数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． 题型2 判断命题的真假 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的个数有（    ） ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】根据等式的性质分别判断各个小题即可. 【解答过程】对于①：可得,①正确； 对于②：可得,②正确； 对于③：则或,③错误； 对于④：可得,④正确. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【解题思路】根据全等三角形的定义即可判断命题，对A,B,C,D进行判断即可. 【解答过程】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解题思路】通过取反例即可判断. 【解答过程】取，满足， 显然不成立，所以命题为假命题. 故答案为：假. 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【答案】(1)不是命题； (2)是命题，真命题； (3)不是命题； (4)是命题；真命题； (5)是命题，假命题； (6)不是命题. 【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假. 【解答过程】（1）是祈使句，不是命题． （2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题． （3）是疑问句，不是命题． （4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. （5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数． （6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【答案】(1)答案见解析，真命题． (2)答案见解析，真命题． (3)答案见解析，假命题． 【解题思路】（1）（2）（3）按给定条件改写命题，再判断真假. 【解答过程】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． （2）若，则，是真命题． （3）已知、为正整数，若，则且，是假命题． 题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定 1．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得. 【解答过程】因是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高一上·安徽·期中）使成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【解答过程】设，则使成立的一个充分不必要条件是集合的真子集． 对照选项知只有B符合题意. 故选：B． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则“”是的 条件． 【答案】充分 【解题思路】根据集合间的关系以及元素与集合的关系，可得结论. 【解答过程】由，又可得且， ∴或， 即可得“”是“”的充分条件． 故答案为：充分. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件； (2)p是q的必要非充分条件； (3)p是q的充要条件． 【解题思路】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. 【解答过程】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？ (1)若，则； (2)若，则； (3)若一个四边形为平行四边形，则这个四边形为菱形． 【答案】(1)充分非必要条件； (2)充分非必要条件； (3)必要非充分条件. 【解题思路】（1）（2）（3）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【解答过程】（1），而不能保证，如， 因此是的充分非必要条件. （2），而当时，或，即不能推出， 所以是的充分非必要条件. （3）一个四边形为平行四边形，则这个平行四边形的邻边可以不等，它不是菱形； 若一个四边形是菱形，则它一定是平行四边形， 所以一个四边形为平行四边形是这个四边形为菱形必要非充分条件. 题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索 1．（24-25高一上·云南昆明·期中）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知：是选项中对应集合的真子集，逐项分析判断即可. 【解答过程】由题意可知：是选项中对应集合的真子集， 结合选项可知是的真子集，故选项A符合. 故选：A. 2．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，当时，，故A不符题意； 对于B，当时，，故B不符题意； 对于C，当时，，故C不符题意； 对于D，因为，所以， 若，则， 所以“”的一个充分不必要条件可以是，故D符合题意. 故选：D. 3．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）写出“，不等式成立”的一个充分不必要条件 . 【答案】（答案不唯一） 【解题思路】寻找出充要条件，然后根据充分不必要条件的定义得出结论． 【解答过程】，不等式恒成立的充要条件是，即， 充分不必要条件可以写，…． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【答案】证明见解析 【解题思路】由充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证． 5．（2025高一·全国·专题练习）若集合，，试写出： (1)的一个既充分也必要条件； (2)的一个必要条件但不是充分条件. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据集合，求出参数的取值范围， （2）由（1）即可求出的一个必要条件但不是充分条件. 【解答过程】（1）（1）因为集合，， 若，则， 故的一个既充分也必要条件是. （2）由（1）知的充要条件是， 所以的一个必要条件但不是充分条件可以是.（答案不唯一）. 题型5 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1．（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【答案】A 【解题思路】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题. 【解答过程】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题 、，使得；命题 ，，则下列关于，真假叙述正确的是（    ） A．，均为真 B．，均为假 C．真，假 D．假，真 【答案】B 【解题思路】由，则为偶数可判断；时可判断. 【解答过程】若，则为偶数，则， 所以不存在，使，故为假命题， 若，则，所以，使，故为假命题， 所以，均为假命题. 故选：B. 3．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）下列命题：①，；②，；③，；④，；其中所有真命题的序号是 . 【答案】①④ 【解题思路】对于①，由平方的非负性判断，对于②，举例判断，对于③，举例判断，对于④，通过计算判断. 【解答过程】对于①，因为，，所以，所以①正确； 对于②，当时，，所以②错误； 对于③，，使成立，所以③正确； 对于④，由，得，所以④错误. 故答案为：①④. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题； (2)存在量词命题，真命题； (3)全称量词命题，假命题； (4)存在量词命题，假命题. 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据命题的描述判断全称、存在量词命题，进而确定其真假. 【解答过程】（1）全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题． （2）存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题． （3）全称量词命题，存在 ，但，该命题是假命题． （4）存在量词命题，由于，则，因此使得 的实数x不存在，该命题是假命题． 5．（2025高三·全国·专题练习）用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性． (1)当时，； (2)自然数不都是正整数； (3)至少存在一个实数，使得. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】（1）（2）（3）应用数学语言、描述已知命题，进而判断其真假. 【解答过程】（1）命题表示为“，”． 因为 ，所以该命题为真命题． （2）命题表示为“，”． 因为，，所以该命题为真命题． （3）命题表示为“，”． 因为，所以该命题为真命题． 题型6 命题的否定 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【解答过程】命题为全称量词命题，则命题的否定为，， 故选：A． 2．（24-25高一上·安徽池州·期中）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据存在性量词命题的否定直接得出结果. 【解答过程】由题意知，原命题的否定为： . 故选：C. 3．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）“存在，使得”的否定形式为 . 【答案】对任意 【解题思路】利用特称命题的否定是全称命题写出结果. 【解答过程】命题“存在，使得”是特称命题， 命题的否定为：对任意. 故答案为：对任意. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定： (1)有些四边形有外接圆； (2)末位数字为9的整数能被3整除； (3)，． 【答案】(1)所有的四边形都没有外接圆． (2)存在一个末位数字为9的整数不能被3整除． (3)，． 【解题思路】（1）由命题的否定的定义即可求解； （2）由命题的否定的定义即可求解； （3）由命题的否定的定义即可求解. 【解答过程】（1）由命题的否定的定义可知，“有些四边形有外接圆”的否定是“所有的四边形都没有外接圆”． （2）由命题的否定的定义可知，“末位数字为9的整数能被3整除”的否定是“存在一个末位数字为9的整数不能被3整除”. （3）由命题的否定的定义可知，“，”的否定是“，”. 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是； (3)，使得. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】根据特称命题求出否定，再判断真假即可. 【解答过程】（1）命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题， 如5是奇数， 但5不能被3整除． （2）命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是. （3）题中命题的否定为“，有”．这个命题为假命题， 如时，不满足. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$