第二章 有理数及其运算（单元测试·提升卷）数学鲁教版五四制2024六年级上册

2025-2026学年六年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数及其运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（共10题，每题2分，共20分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A D D A C B D A B 二、填空题（共8题，每题2分，共16分） 11．1或5 12．2或或0 13．11 14． 15．①④ 16． 17．8 18． 三、解答题（共8题，共64分） 19．（本题6分）（1）解： ； （3分） （2）解： ． （3分） 20．（本题6分）（1）解：（万人）， 即10月4日的游客人数为2.8万人， 故答案为：2.8； （2分） （2）根据题意可得10月1日～7日每天的游客数量如下： 10月1日：（万人）； 10月2日：（万人）； 10月3日：（万人）； 10月4日：2.8万人； 10月5日：（万人）； 10月6日：（万人）； 10月7日：（万人）； 则七天内游客人数最多的是10月3日，游客人数为3.2万人， 故答案为：3；3.2； （2分） （3） （万元）， 即该景区“十一”期间所有游客在此风景区的总消费是765万元． （2分） 21．（本题8分）（1）解：， 故答案为：； （2分） （2）解：； ， 故答案为：，； （3分） （3）解：由（2）可得， ． （3分） 22．（本题8分）（1）解：根据乘法法则，同号相乘为正，并且两个负数相乘时，绝对值越大乘积越大， ∴比较和，这两个数的绝对值相对较大， ∴选择和，它们的乘积为， 故答案为：； （2分） （2）解：根据除法法则，异号相除为负，要使商最小，就要让被除数的绝对值尽可能大，除数的绝对值尽可能小， ∴在这些数中，是较大的绝对值，\是较小的绝对值， ∴根据除法运算，， ∴2张卡片上数字相除的商最小，最小值是， 故答案为：； （2分） （3）解：根据同号得正，异号为负可得，三个数相乘，负数的个数为奇数， ∴按此规律满足3张卡片乘积结果为的等式有， ， ， ， ． （4分） 23．（本题8分）（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴M在数轴上所表示的数为，N在数轴上所表示的数为，M、N两点间的距离为， 故答案为：；2；9； （3分） （2）解：①根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． （1分） ②根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点M的左侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件． 点的右侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 综上，【M，N】美好点H所表示的数是或11； 故答案为：或11； （1分） （3）解：根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况， 第一种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第二种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，M为【N，P】的美好点，点在，之间，如图， 当时，， 因此秒； 综上所述，秒或秒或秒． （3分） 24．（本题8分）（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （3分） （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． （5分） 25．（本题10分）（1）第6等式：； 故答案为：，11； （2分） （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律： ． （1分） （3）原式= = ． （4分） （4） ．永远不可能倒完． （3分） 26．（本题10分）（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （3分） （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则， 因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． （7分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年六年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数及其运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（共10题，每题2分，共20分） 1．（本题2分）下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与2 B．与 C．与 D．与 2．（本题2分）如图是一个长方体礼品盒的平面展开图，礼品盒中相对两个面上的数互为倒数，则的值为（    ） A． B． C． D．0 3．（本题2分）随着“一带一路”走深走实，中国已成为140多个国家和地区的主要贸易伙伴．近十年国内生产总值年均增长，达到121万亿元，是全球经济发展的最大动力源．数据“121万亿元”用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（本题2分）已知有理数在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题2分）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），是逢2进1的计数制，它们两者之间可以互相换算，如将，，换算成十进制数应为： ，（规定当时，），按此方式，则（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 6．（本题2分）如图，点在数轴上所对应的数为．点在点右边距点6个单位长度，点以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，同时点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，，两点间距离等于（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 7．（本题2分）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成个、个和个连续奇数的和，即；；；；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是（   ） A． B． C． D． 8．（本题2分）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 9．（本题2分）下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式的值为2021； ⑤，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（本题2分）如图，数轴上顺次有A、B、D、E、P、C六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，下列说法：①若，则D是原点；②若，则原点在B、D之间；③若，则；④若原点在D、E之间，则，其中正确的结论有（    ）    A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 二、填空题（共8题，每题2分，共16分） 11．（本题2分）A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是 ， 12．（本题2分）已知有理数、满足，则 ． 13．（本题2分）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将换算成十进制数应为：，可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ． 14．（本题2分）按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 15．（本题2分）有下列说法： ①若单项式与是同类项，则； ②已知a，b，c是不为0的有理数且，，则的值为0； ③已知有理数a，b满足，且，则的值为； ④如果定义，当，，时，的值为． 其中正确的说法是 （请填写序号）． 16．（本题2分）设一种运算程序是（a为常数），如果，，已知，那么 ． 17．（本题2分）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 18．（本题2分）已知为任意有理数，则的最小值为 ． 三、解答题（共8题，共64分） 19．（本题6分，每小题3分）计算： (1)； (2)． 20．（本题6分，每小题2分）“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人负数表示比前一天少的人数），若9月30日的游客人数为1万人，人均消费为50元． 日期（10月） 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 (1)10月4日的游客人数为 万人； (2)七天内游客人数最多的是10月 日，游客人数为 万人； (3)求该景区“十一”期间所有游客在此风景区的总消费是多少万元？ 21．（本题8分）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 初步探究 （1）直接写出结果：_________；（1分） 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：．（2分） （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： _________；_________；（2分） （3） 计算：．（3分） 22．（本题8分）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________；（2分） (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________；（2分） (3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况．（4分） 23．（本题8分）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： (1)M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______；（3分） (2)①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______；（1分） ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______；（1分） (3) 现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值）（3分） 24．（本题8分） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值．（3分） (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值．（5分） 25．（本题10分）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数；（2分） （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________（1分） 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： （4分） 【问题解决】 （4） 容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由；（3分） 26．（本题10分）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______．（3分） (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？（7分） 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年六年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数及其运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（共10题，每题2分，共20分） 1．下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与2 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数的乘方，求个相同因数积的运算，叫做乘方，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0，由此即可判断，关键是掌握有理数的乘方法则． 【规范解答】解：A、，故A不符合题意； B、，，故B符合题意； C、，，故C不符合题意； D、，，故D不符合题意， 故选：B． 2．如图是一个长方体礼品盒的平面展开图，礼品盒中相对两个面上的数互为倒数，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字、倒数等知识点，掌握长方体的表面展开图找相对面的方法成为解题的关键． 根据同层隔一面、“Z”字两端是对面求出m、n、p的值，然后求和即可解答． 【规范解答】解：由题意可得：， ∴． 故选A． 3．随着“一带一路”走深走实，中国已成为140多个国家和地区的主要贸易伙伴．近十年国内生产总值年均增长，达到121万亿元，是全球经济发展的最大动力源．数据“121万亿元”用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将“121万亿元”写成其中，n为整数的形式即可． 【规范解答】解：121万亿元． 故选D． 4．已知有理数在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了利用数轴比较数的大小，有理数绝对值的性质，乘法和减法计算，解题的关键是掌握相关法则并应用． 【规范解答】解：由数轴可知：， ∴， 故选：D． 5．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），是逢2进1的计数制，它们两者之间可以互相换算，如将，，换算成十进制数应为： ，（规定当时，），按此方式，则（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】A 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算．首先理解二进制的含义，再结合有理数的混合运算的顺序和计算法则计算即可求解． 【规范解答】解：， 故选：A． 6．如图，点在数轴上所对应的数为．点在点右边距点6个单位长度，点以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，同时点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，，两点间距离等于（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【思路引导】本题考查数轴上动点及两点间距离，有理数的混合运算；根据动点表示出数字，结合距离公式求解即可得到答案． 【规范解答】解：∵A在数轴上所对应的数为，点B在点A右边距A点6个单位长度， ∴点B所对应的数为：， ∴点B所对应的数是； ∵点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点A运动到， ∴， ∵点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动， ∴点B运动到：， ∴A，B两点间距离为：． 故选：C． 7．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成个、个和个连续奇数的和，即；；；；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了数字类规律变化问题，由题意可得分裂中的第一个数是，据此解答即可求解，由题意找到数字的变化规律是解题的关键． 【规范解答】解：分裂中的第一个数是， 分裂中的第一个数是， 分裂中的第一个数是， ， ∴分裂中的第一个数是， ∴分裂中的第一个数是， ∴“分裂”出的奇数中，最大的奇数为， 故选：． 8．我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，把求的最小值转化为求的最小值问题是解题的关键；先求出值最小，的最小值，两个最小值的条件是一致的，再求出答案即可． 【规范解答】解：， 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离， 的最小值为， 的最小值是0，且取最小值时x的值为，且当时，最小值是3， 的最小值为， 的最小值是， 故选：． 9．下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式的值为2021； ⑤，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题考查有绝对值的化简，数轴上两点间的距离，解答本题的关键是对于错误的结论，要说明理由或者举出反例. 【规范解答】若，则， 故①错误， 不合题意； 若， 则或或或， 当时， 则有是是正数， 当时， 则有是正数， 当时， 则有是正数， 当时， 则有是是正数， 由上可得， 是正数， 故②正确，符合题意； 三点在数轴上对应的数分别是、、，若相邻两点的距离相等，则或或，故③错误，不合题意； 若代数式的值与无关，则，故④错误，不合题意； ， ∴中一定是一负两正，，， 不妨设 ，故⑤错误，不合题意； 故选： A． 10．如图，数轴上顺次有A、B、D、E、P、C六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，下列说法：①若，则D是原点；②若，则原点在B、D之间；③若，则；④若原点在D、E之间，则，其中正确的结论有（    ）    A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【思路引导】设相邻两点之间的距离为x，则，，①原式变形可得，①正确；②由数轴知，，，若，则原点在B、A之间；故②错误；③若，则，③正确；④若原点在D、E之间，则，可得，，可判断.即取值不一定小于0，故④错误； 【规范解答】解：设相邻两点之间的距离为x，则，， ①若，则， ∴，即点D是原点，①正确； ②若，由数轴知，， ∴，， 若，则原点在B、A之间；故②错误； ③若，则，， ∴，故③正确； ④若原点在D、E之间，则， ， ∴. ∴ ∴.可知取值不一定小于0， ∴不一定成立，故④错误； 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查数轴比较实数大小，数轴表示数，绝对值的化简，不等式的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题（共8题，每题2分，共16分） 11．A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是 ， 【答案】1或5 【思路引导】本题考查了数轴，利用数轴知识解答． 【规范解答】解：∵点A表示数3，且点A、B的距离为4， ∴， ∴点B表示数为7或， ∵C为线段 的中点 ∴ ， ， ∴点C在数轴上表示的数是1或5． 故答案为：1或5． 12．已知有理数、满足，则 ． 【答案】2或或0 【思路引导】本题主要考查了有理数的绝对值和有理数的加法运算，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是解题关键． 分a、b同号与a、b异号两种情况，根据绝对值的意义和有理数的加法法则解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴，， 若a、b同号， 当，时，； 当，时，； 若a、b异号， 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为2，，0． 故答案为2或或0． 13．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将换算成十进制数应为：，可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ． 【答案】11 【思路引导】本题考查二进制数与十进制数换算方法，将变形为，根据有理数的运算法则计算可得答案． 【规范解答】解：， 故答案为：11． 14．按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求得，的值，然后列得算式并计算即可．理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【规范解答】解：， ，， 解得：，， ， ， 故答案为：． 15．有下列说法： ①若单项式与是同类项，则； ②已知a，b，c是不为0的有理数且，，则的值为0； ③已知有理数a，b满足，且，则的值为； ④如果定义，当，，时，的值为． 其中正确的说法是 （请填写序号）． 【答案】①④ 【思路引导】本题考查了同类项概念，有理数的混合运算及绝对值的化简等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据同类项的定义，可判断①；分当b，c同为正，当b，c同为负，两种情况讨论，即可判断②；根据绝对值的意义分当时，，当时，，当时，，三种情况讨论，即可判断③；得出a为负，为正，即可判断④． 【规范解答】解：①若单项式与是同类项， 有，， 解得， 则， 故说法①正确； ②已知a，b，c是不为0的有理数且，， 因为， 所以b，c同号， 因为， 所以a为正， 当b，c同为正，， 当b，c同为负，， 则的值为0或； 故说法②错误； ③已知有理数a，b满足，且， 当时，， 整理得； 当时，， 整理得； 当时，， 整理得； 则的值为或或； 故说法③错误； ④如果定义，当，，时， 因为， 所以a，b异号， 因为，， 所以a为负，为正，即， 所以的值为． 故说法④正确； 综上所述，说法正确的有①④， 故答案为：①④． 16．设一种运算程序是（a为常数），如果，，已知，那么 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了数字的规律变化及有理数的混合运算，熟练掌握运算程序和已知条件的综合应用，有理数的混合运算顺序和法则，是解题的关键． 根据运算程序，，得，，…，，根据，得，，…，． 【规范解答】解：∵，， ∴， ， …， ， ∵， ∴，， …， ， 故答案为：． 17．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 【答案】8 【思路引导】本题考查了有理数乘方的规律型问题．熟练掌握个位数字的变化规律，确定循环组及组数，是解题关键． 观察发现个位数字是以1、7、9、3为一个循环组，再根据即可得的个位数是7，计算即得个位数字． 【规范解答】∵，，，，，，… ∴每4个数为一个循环组， ∵， ∴的个位数是7， ∴， 故的个位数字为：8． 18．已知为任意有理数，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】表示到距离加上倍到的距离再加上倍到的距离，由此可得在，，，的范围内分别求代数式的值，比较即可求解． 【规范解答】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 故答案为： 【考点剖析】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键． 三、解答题（共8题，共64分） 19．（本题6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律的应用． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方和乘法，再算绝对值，最后算加减法即可． 【规范解答】（1）解： ； （3分） （2）解： ． （3分） 20．（本题6分）“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人负数表示比前一天少的人数），若9月30日的游客人数为1万人，人均消费为50元． 日期（10月） 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 (1)10月4日的游客人数为 万人； (2)七天内游客人数最多的是10月 日，游客人数为 万人； (3)求该景区“十一”期间所有游客在此风景区的总消费是多少万元？ 【答案】(1)2.8 (2)3；3.2 (3)765万元 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义分别求得10月1日～7日每天的游客数量后即可求得答案； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【规范解答】（1）解：（万人）， 即10月4日的游客人数为2.8万人， 故答案为：2.8； （2分） （2）根据题意可得10月1日～7日每天的游客数量如下： 10月1日：（万人）； 10月2日：（万人）； 10月3日：（万人）； 10月4日：2.8万人； 10月5日：（万人）； 10月6日：（万人）； 10月7日：（万人）； 则七天内游客人数最多的是10月3日，游客人数为3.2万人， 故答案为：3；3.2； （2分） （3） （万元）， 即该景区“十一”期间所有游客在此风景区的总消费是765万元． （2分） 21．（本题8分）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 初步探究 （1）直接写出结果：_________； 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： _________；_________； （3）计算：． 【答案】（1）（2）；；（3） 【思路引导】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答问题． （1）利用除方的定义解答即可； （2）利用引例即可求解； （3）利用（2）中给定的解法解答即可； 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2分） （2）解：； ， 故答案为：，； （3分） （3）解：由（2）可得， ． （3分） 22．（本题8分）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________； (3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况． 【答案】(1) (2) (3)，，，． 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算， （1）找出与，使其乘积最大即可； （2）找出与，使其商最小即可； （3）利用“24点”游戏规则写出两个符合要求的式子即可． 熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【规范解答】（1）解：根据乘法法则，同号相乘为正，并且两个负数相乘时，绝对值越大乘积越大， ∴比较和，这两个数的绝对值相对较大， ∴选择和，它们的乘积为， 故答案为：； （2分） （2）解：根据除法法则，异号相除为负，要使商最小，就要让被除数的绝对值尽可能大，除数的绝对值尽可能小， ∴在这些数中，是较大的绝对值，\是较小的绝对值， ∴根据除法运算，， ∴2张卡片上数字相除的商最小，最小值是， 故答案为：； （2分） （3）解：根据同号得正，异号为负可得，三个数相乘，负数的个数为奇数， ∴按此规律满足3张卡片乘积结果为的等式有， ， ， ， ． （4分） 23．（本题8分）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： (1)M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______； (2)①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______； ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______； (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值） 【答案】(1)；2；9 (2)G；或11 (3)秒或秒或秒． 【思路引导】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据非负数的性质求得和的值，再利用两点之间的距离求解即可； （2）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化； （3）根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况，分情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴M在数轴上所表示的数为，N在数轴上所表示的数为，M、N两点间的距离为， 故答案为：；2；9； （3分） （2）解：①根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． （1分） ②根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点M的左侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件． 点的右侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 综上，【M，N】美好点H所表示的数是或11； 故答案为：或11； （1分） （3）解：根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况， 第一种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第二种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，M为【N，P】的美好点，点在，之间，如图， 当时，， 因此秒； 综上所述，秒或秒或秒． （3分） 24．（本题8分） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【思路引导】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【规范解答】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （3分） （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． （5分） 25．（本题10分）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________ 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【问题解决】 （4）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由； 【答案】（1），11； （2）； （3）； （4）永远不可能倒完，见解析 【思路引导】本题考查了数字类问题的探索，理解题意掌握对分数的处理方法是解题的关键． （1）观察式子左右两边的数字，即可求解； （2）观察式子左右两边的数字，即可求解； （3）根据（1）中的规律， 依次化简每个式子，然后求解即可． （4根据题意第次后剩余的水量为，根据（1）化简式子即可求解； 【规范解答】（1）第6等式：； 故答案为：，11； （2分） （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律： ． （1分） （3）原式= = ． （4分） （4） ．永远不可能倒完． （3分） 26．（本题10分）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)，，，，， 【思路引导】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【规范解答】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （3分） （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则， 因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． （7分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年六年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数及其运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（共10题，每题2分，共20分） 1．下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与2 B．与 C．与 D．与 2．如图是一个长方体礼品盒的平面展开图，礼品盒中相对两个面上的数互为倒数，则的值为（    ） A． B． C． D．0 3．随着“一带一路”走深走实，中国已成为140多个国家和地区的主要贸易伙伴．近十年国内生产总值年均增长，达到121万亿元，是全球经济发展的最大动力源．数据“121万亿元”用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．已知有理数在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），是逢2进1的计数制，它们两者之间可以互相换算，如将，，换算成十进制数应为： ，（规定当时，），按此方式，则（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 6．如图，点在数轴上所对应的数为．点在点右边距点6个单位长度，点以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，同时点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，，两点间距离等于（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 7．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成个、个和个连续奇数的和，即；；；；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是（   ） A． B． C． D． 8．我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 9．下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式的值为2021； ⑤，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，数轴上顺次有A、B、D、E、P、C六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，下列说法：①若，则D是原点；②若，则原点在B、D之间；③若，则；④若原点在D、E之间，则，其中正确的结论有（    ）    A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 二、填空题（共8题，每题2分，共16分） 11．A，B，C是数轴上的三个点，点A表示数3，且点A、B的距离为4，C为线段的中点，点C在数轴上表示的数是 ， 12．已知有理数、满足，则 ． 13．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将换算成十进制数应为：，可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ． 14．按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 15．有下列说法： ①若单项式与是同类项，则； ②已知a，b，c是不为0的有理数且，，则的值为0； ③已知有理数a，b满足，且，则的值为； ④如果定义，当，，时，的值为． 其中正确的说法是 （请填写序号）． 16．设一种运算程序是（a为常数），如果，，已知，那么 ． 17．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 18．已知为任意有理数，则的最小值为 ． 三、解答题（共8题，共64分） 19．（本题6分，每小题3分）计算： (1)； (2)． 20．（本题6分，每小题2分）“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人负数表示比前一天少的人数），若9月30日的游客人数为1万人，人均消费为50元． 日期（10月） 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 (1)10月4日的游客人数为 万人； (2)七天内游客人数最多的是10月 日，游客人数为 万人； (3)求该景区“十一”期间所有游客在此风景区的总消费是多少万元？ 21．（本题8分）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 初步探究 （1）直接写出结果：_________；（2分） 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： _________；_________；（3分） （3） 计算：．（3分） 22．（本题8分）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________；（2分） (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________；（2分） (3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况．（4分） 23．（本题8分）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： (1)M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______；（3分） (2)①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______；（1分） ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______；（1分） (3) 现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值）（3分） 24．（本题8分） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值．（3分） (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值．（5分） 25．（本题10分）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数；（2分） （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律_________（分） 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： （4分） 【问题解决】 （4） 容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由；（3分） 26．（本题10分）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______．（3分） (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？（7分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$