精品解析：2025年河北省唐山市古冶区中考数学三模试卷

2025年河北省唐山市古冶区中考数学三模试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果温度上升记作，那么温度下降记作（　　） A. B. C. D. 2. 关于代数式的值，下列说法一定正确的是（ ） A. 比小 B. 比2小 C. 比2大 D. 随着的增大而增大 3. 如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ） A. 点A与点D B. 点A与点C C. 点B与点C D. 点B与点D 4. 如图，点是直线外一点，点在直线上移动，连接，下列说法正确的是（    ） A. 线段的长度存在最小值 B. 线段的长度存在最大值 C. 的度数存在最大值 D. 的度数存在最大值 5. 如图，是一个正方体粉笔盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点重合的顶点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个同号的实数根 C. 两根之和为2 D. 两根之积为1 7. 下列事件中，属于随机事件的是（    ） A. 若是实数，则 B. 任取两个无理数，其差是无理数 C. 已知，则 D. 若、互为倒数，则 8. 如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形． 下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①错误，②正确 C. ①②都错误 D. ①正确，②错误 9. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） A. 外角和减少 B. 外角和增加 C. 周长变大 D. 周长变小 11. 远古时期，人们通过在绳子上打结来的记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　） A. 336 B. 510 C. 1326 D. 3603 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以某点为位似中心，作出与的位似比为k的位似，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 已知，，则____． 14. 如图汽车的图标是轴对称图形，其对称轴有______条． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则_____． 16. 把图中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、、、和一张长方形纸片，并将它们按图的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为，阴影部分的周长为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，A、、是数轴上从左到右的三个点，分别对应着数、、，且． （1）如果原点是线段的中点，请先直接写出点A、、分别对应的数，再求代数式的值； （2）如果且，请写出原点在哪条线段上，再求的取值范围． 18. 已知、是多项式，是单项式，，，且是单项式． （1）求单项式； （2）嘉嘉给的是，请你通过计算推断嘉嘉给出的能否使成为完全平方式． 19. 现有一组数据：，，，，，小明准备再添加两个数，组成一组新的数据． （1）若添加的数是，，则这组数据的平均数______；（填“变大”“不变”或“变小”） （2）若添加的数是，，记，当满足什么条件时，这组数据的平均数变大，并说明理由； （3）在一个不透明的口袋中，有个小球（除标有数字不同外，其余均相同），分别标有数字，，，，如图，搅匀后从中摸出一个小球，记下数字，再从剩下的小球中随机摸出第二个小球，记下数字．将两次得到的数字添加到原组数据中，求这组数据平均数变大的概率． 20. 某条东西方向道路双向共有三条车道，为改善其早晚高峰期拥堵情况，某数学小组对该路段某段时间的交通流量进行了统计和分析，得到下列表格，发现交通流量，与时间满足一次函数的关系，已知． 时间 时 时 时 时 时 自西向东交通流量（辆分钟） 自东向西交通流量（辆分钟） （1）①求与的函数关系式（不必写的取值范围）； ②当时，求的值； （2）该小组建议设置可变车道（能随时根据交通流量更改指示方向的车道）来改善拥堵情况，如图，经查阅资料：单位时间内双向交通总流量为，车流量大的方向交通流量为，当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况，根据以上信息，该路段从时至时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 21. 如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形，开口部分与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使恰在弧的中点M处，发现，将玻璃棒竖立起来（）时，测得． （1）求的度数，并求的长； （2）求弧的长； （3）若向鱼缸内加水，使水面的宽度为，求鱼缸内水的深度． 22. 背景：如图1是文具店正在销售的某种文件夹，图2为该文件夹装入纸张前后的纵截面示意图，已知纸张与龙骨截线垂直，且垂直于底板，，夹纸板截线与扣板截线的夹角始终保持． 测量：如图2（甲），未装入纸张时，点B落在上，此时．如图2（乙），装满纸张时，点A落在上，此时． 计算：借助以上信息，解决下列问题：（计算结果保留根号） （1）求夹纸板截线与扣板截线的长； （2）如图2（丙），装入30张纸后测得，若每张纸厚度相等，求每张纸的厚度； （3）直接写出未装入纸张时A，H两点之间的距离． 23. 某数学兴趣小组利用几何画板来研究二次函数的图象和性质，已知二次函数解析式（a，b为常数，且），学生们通过输入不同的参数a，b的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线的图象． （1）直接写出此二次函数与y轴的交点坐标________； （2）嘉嘉编制了如下问题：当，时，图象记作抛物线．请回答以下问题． ①求的最大值； ②嘉嘉又添画了满足条件时的一条抛物线，且新抛物线与x轴只有一个交点，该图象记作抛物线．把两条抛物线形成的封闭图形记为图象G（不包含边界），直线将图象G上的整点（横、纵坐标均为整数的点）分成上下两部分，分别将整点个数记为，，请求出的值； （3）淇淇说，当时，图象记作拋物线，请在（2）的条件下，使得与的图象在平面直角坐标系中相交于唯一一点，请直接写出此时参数a的值． 24. 综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，． 独立思考：（1）试猜想与的数量关系：________； 实践探究：（2）嘉嘉将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为，连接并延长交于点G，请判断与的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）在的边上有一个动点M，点M沿方向从A点开始运动，到D点停止．随着点M的运动，琪琪沿折叠，折叠后点A的对应点为，当与平行四边形的边垂直时，问题：若此的面积为5，边长，，请直接写出与重叠部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省唐山市古冶区中考数学三模试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果温度上升记作，那么温度下降记作（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正数和负数，正数和负数是一级具有相反意义的量，据此即可求得答案 【详解】解：温度上升记作，那么温度下降记作， 故选：D 2. 关于代数式的值，下列说法一定正确的是（ ） A. 比小 B. 比2小 C. 比2大 D. 随着的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据代数式的特点，结合不等式与函数知识逐一判断即可求出答案． 【详解】解：由＞ 可得＞，故不符合题意； 当时，＞，故不符合题意； 当时，＜，故不符合题意； 设，由＞则 随的增大而增大，故符合题意； 故选： 【点睛】本题主要考查代数式的值,不等式的基本性质，一次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 3. 如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ） A. 点A与点D B. 点A与点C C. 点B与点C D. 点B与点D 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数，数轴，掌握相反数的意义是解题的关键． 【详解】解：2与互为相反数， 故选：A． 4. 如图，点是直线外一点，点在直线上移动，连接，下列说法正确的是（    ） A. 线段的长度存在最小值 B. 线段的长度存在最大值 C. 的度数存在最大值 D. 的度数存在最大值 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查线段的长度、垂线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作于点，再结合垂线段的性质，角的含义，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点， ， 线段的长度的最小值为线段的长度，但线段的长度不存在最大值， 故A符合题意，B不符合题意； 点在直线上移动， 的度数不存在最大值，的度数不存在最大值， 故C不符合题意，D不符合题意， 故选：A． 5. 如图，是一个正方体粉笔盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点重合的顶点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的展开图，解题的关键是数形结合．结合图形即可求解． 【详解】解：观察发现，折叠成正方体后，与顶点重合的顶点是点． 故选：D． 6. 关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个同号的实数根 C. 两根之和为2 D. 两根之积为1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【详解】解：解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项A错误， 设、是一元二次方程的两个实数根， ∴，，故选项C正确，选项D错误， ∴两根的符号不能确定，故选项B错误， 故选：C． 7. 下列事件中，属于随机事件的是（    ） A. 若是实数，则 B. 任取两个无理数，其差是无理数 C. 已知，则 D. 若、互为倒数，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，实数的性质，根据实数的性质，无理数的含义逐一判断各选项属于必然事件、不可能事件还是随机事件即可． 【详解】解：选项A：实数的绝对值必定非负，故恒成立，属于必然事件． 选项B：任取两个无理数，其差可能是无理数（如与的差为），也可能是有理数（如与的差为）．结果具有不确定性，属于随机事件． 选项C：根据平方根的定义，存在的前提是，故必然成立，属于必然事件． 选项D：若、互为倒数，则，而显然矛盾，属于不可能事件． 综上，只有选项B是随机事件． 故选：B 8. 如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形． 下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①错误，②正确 C. ①②都错误 D. ①正确，②错误 【答案】B 【解析】 【分析】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC，再证明四边形ABCD是菱形，再进行判断即可． 【详解】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC， ∵， ∴∠ADB=∠CBD， ∵∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， ∵AB=BC， ∴AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形． ∴①错误，②正确 故选：B. 【点睛】本题考查了作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质． 9. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 10. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） A. 外角和减少 B. 外角和增加 C. 周长变大 D. 周长变小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系，多边形的外角和，熟练掌握此知识点是解题的关键．根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出答案． 【详解】解：将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∵五边形的外角和为：，六边形的外角和为：， 将五边形沿虚线裁去一个角，外角和不变， ∵， ∴周长变小． 故选：D． 11. 远古时期，人们通过在绳子上打结来的记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　） A. 336 B. 510 C. 1326 D. 3603 【答案】B 【解析】 【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数． 【详解】解：孩子自出生后的天数是1×73+3×72+2×7+6=510. 故选B. 【点睛】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以某点为位似中心，作出与的位似比为k的位似，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比． 【详解】解：如图所示：位似中心F的坐标为：(2，2)， k的值为： 故选：B. 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 已知，，则____． 【答案】-3 【解析】 【分析】现将8化成，在利用零指数，得出m，n的值计算即可 【详解】解： ∵， ∴ ∴m=3 ∵ ∴n=0 ∴n-m=0-3=-3 故答案为：-3 【点睛】本题考查乘方的含义，零指数．灵活应用概念是关键． 14. 如图汽车的图标是轴对称图形，其对称轴有______条． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，求轴对称图形的对称轴，一个图形沿着一条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的定义，判断即可． 【详解】解：如图汽车的图标是轴对称图形，其对称轴有条． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，分别过点B、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E，设与y轴交于G，则，由矩形的性质得到，根据点的坐标得到，则，；证明，得到，则，证明，得到；再证明，得到，则，则可得到，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图所示，分别过点B、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E， 设与y轴交于G，则， ∵四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故答案为：． 16. 把图中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、、、和一张长方形纸片，并将它们按图的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为，阴影部分的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据各线段的数量关系列出代数式，并正确进行计算是解题关键． 根据题意可表示出正方形A、的边长，再根据图中长方形的周长为，可求出的值；根据图的周长比阴影部分的周长多个A的边长，可求出阴影部分的周长． 【详解】解：由图可得，正方形的边长为， 正方形的边长为， ， ， 如图，阴影部分的周长比图的周长少个的边长， 阴影部分的周长： ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，A、、是数轴上从左到右的三个点，分别对应着数、、，且． （1）如果原点是线段的中点，请先直接写出点A、、分别对应的数，再求代数式的值； （2）如果且，请写出原点在哪条线段上，再求的取值范围． 【答案】（1），，， （2）原点在线段上，的取值范围是 【解析】 【分析】考查数轴基本概念、中点性质、代数式求值和不等式求解． （1）根据，可求出的值，利用是线段的中点，就可求得、、，即可得出答案； （2）由，，结合可求得，结合，且，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ，， 是线段的中点， ，，， 代入： ， 代数式的值为， 【小问2详解】 解：由，， 得，， 代入： ， 解得：， ， ， ， 知原点在线段上， 故原点在线段上，的取值范围是． 18. 已知、是多项式，是单项式，，，且是单项式． （1）求单项式； （2）嘉嘉给的是，请你通过计算推断嘉嘉给出的能否使成为完全平方式． 【答案】（1） （2）嘉嘉给出的能使成为完全平方式 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）计算后根据其结果为单项式即可求得答案； （2）结合中所求计算，判断结果是否为完全平方式即可． 【小问1详解】 解：，， ， 、是多项式，是单项式，是单项式， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 嘉嘉给出的能使成为完全平方式． 19. 现有一组数据：，，，，，小明准备再添加两个数，组成一组新的数据． （1）若添加的数是，，则这组数据的平均数______；（填“变大”“不变”或“变小”） （2）若添加的数是，，记，当满足什么条件时，这组数据的平均数变大，并说明理由； （3）在一个不透明的口袋中，有个小球（除标有数字不同外，其余均相同），分别标有数字，，，，如图，搅匀后从中摸出一个小球，记下数字，再从剩下的小球中随机摸出第二个小球，记下数字．将两次得到的数字添加到原组数据中，求这组数据平均数变大的概率． 【答案】（1）变小 （2） 解：当时，这组数据的平均数变大， 理由：因为原数据的平均数为， 所以当时，这组数据的平均数变大， 即当时，这组数据的平均数变大； （3） 【解析】 【分析】本题考查算术平均数，列表法或画树状图法求概率，掌握算术平均数的计算方法，列表法和树状图法求简单随机事件的概率是正确解答的关键． （1）求出一组数据：，，，，的平均数，再求出，的平均数，比较这两个平均数的大小 即可； （2）根据、两个数的平均数的大小进行判断即可； （3）用树状图求出从数字，，，中随机取出个数所有可能出现的结果，得出个数的和大于的概率即可． 【小问1详解】 解：一组数据：，，，，的平均数为， 而，的平均数为， 添加的数是，，则这组数据的平均数变小； 故答案为：变小； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：从数字，，，中随机取出个数所有可能出现的结果如下： 共有种等可能出现的结果，其中两个数的和大于的有种， 所以将两次得到的数字添加到原组数据中，这组数据平均数变大的概率为． 20. 某条东西方向道路双向共有三条车道，为改善其早晚高峰期拥堵情况，某数学小组对该路段某段时间的交通流量进行了统计和分析，得到下列表格，发现交通流量，与时间满足一次函数的关系，已知． 时间 时 时 时 时 时 自西向东交通流量（辆分钟） 自东向西交通流量（辆分钟） （1）①求与的函数关系式（不必写的取值范围）； ②当时，求的值； （2）该小组建议设置可变车道（能随时根据交通流量更改指示方向的车道）来改善拥堵情况，如图，经查阅资料：单位时间内双向交通总流量为，车流量大的方向交通流量为，当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况，根据以上信息，该路段从时至时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】（1）①；② （2）时到时，可变车道的方向设置为自东向西；时到时，可变车道自西向东， 理由如下： 由题意，． 又当时，即， ； 当时，即， ． 时到时，可变车道的方向设置为自东向西；时到时，可变车道自西向东． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，设与的函数关系式为，结合，及，，进而计算可以得解； 依据题意，当时，即，进而计算可以得解； （2）依据题意，，又当时，即；当时，即，分别求出的值后即可判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，设与的函数关系式为， 将，及，代入，得 ， ． 与的函数关系式为． 由题意，当时，即， ． 【小问2详解】 略 21. 如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形，开口部分与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使恰在弧的中点M处，发现，将玻璃棒竖立起来（）时，测得． （1）求的度数，并求的长； （2）求弧的长； （3）若向鱼缸内加水，使水面的宽度为，求鱼缸内水的深度． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设圆心为，连接．根据垂径定理及其推论，特殊角的三角函数，求的度数，的长即可． （2）根据求得，得到优弧所对的圆心角为，利用弧长公式求弧的长即可． （3）分圆心在水面上方和下方两种情形分类讨论即可． 【小问1详解】 解：如图，设圆心为，连接． 点在弧的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 即； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， 优弧所对的圆心角为． ， ，． 在中， ， ， 弧的长为． 【小问3详解】 解：①当圆心在水面上方，水面宽为时， 则，． 连接， 此时交于点，如图所示， 鱼缸内水的深度即为的长度． 设，由（2）得，即圆的半径为25， ，则， 在中， 根据勾股定理得，， ， 解得（舍去）， ，即鱼缸内水的深度为； ②当圆心在水面下方，水面宽为时， 则， ． 连接， 此时交于点，如图所示， 鱼缸内水的深度即为的长度． 设， 在中， 根据勾股定理得，， ， 解得（舍去）， ， ， 即鱼缸内水的深度为； 故鱼缸内水深为或． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角函数的应用，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理，弧长公式是解题的关键． 22. 背景：如图1是文具店正在销售的某种文件夹，图2为该文件夹装入纸张前后的纵截面示意图，已知纸张与龙骨截线垂直，且垂直于底板，，夹纸板截线与扣板截线的夹角始终保持． 测量：如图2（甲），未装入纸张时，点B落在上，此时．如图2（乙），装满纸张时，点A落在上，此时． 计算：借助以上信息，解决下列问题：（计算结果保留根号） （1）求夹纸板截线与扣板截线的长； （2）如图2（丙），装入30张纸后测得，若每张纸厚度相等，求每张纸的厚度； （3）直接写出未装入纸张时A，H两点之间的距离． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，二次根式的混合运算，勾股定理，准确识图，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据未装入纸张时，点B落在上，此时求出，根据装满纸张时，点A落在上，此时求出； （2）设纸张的长边缘垂直于点Q，由，，得到，在中，求，即可求出纸张厚度，再求每张纸的厚度即可； （3）过作交直线于，在上取一点使，连接，，由题意可得，，，，未装入纸张时，则， ，，设，则，，，再在中利用勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：设纸张的长边缘垂直于点Q， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴每张纸的厚度为； 【小问3详解】 解：过作交直线于，在上取一点使，连接，， 由题意可得，，，，未装入纸张时， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，，， ∴在中，，则，解得，即（负值舍去）， 在中，，则， ∴（负值舍去） ∴未装入纸张时A，H两点之间的距离为． 23. 某数学兴趣小组利用几何画板来研究二次函数的图象和性质，已知二次函数解析式（a，b为常数，且），学生们通过输入不同的参数a，b的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线的图象． （1）直接写出此二次函数与y轴的交点坐标________； （2）嘉嘉编制了如下问题：当，时，图象记作抛物线．请回答以下问题． ①求的最大值； ②嘉嘉又添画了满足条件时的一条抛物线，且新抛物线与x轴只有一个交点，该图象记作抛物线．把两条抛物线形成的封闭图形记为图象G（不包含边界），直线将图象G上的整点（横、纵坐标均为整数的点）分成上下两部分，分别将整点个数记为，，请求出的值； （3）淇淇说，当时，图象记作拋物线，请在（2）的条件下，使得与的图象在平面直角坐标系中相交于唯一一点，请直接写出此时参数a的值． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）令，求出值，即可得出结果； （2）①求出函数解析式，求最值即可；②根据抛物线与轴只有一个交点，得到，求出值，进而求出新的函数解析式，画出图象，进行确定出整点的个数，作比即可； （3）根据两条抛物线均过点，得到交点只能是，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∴此二次函数与y轴的交点坐标为； 【小问2详解】 解：①当，时，则：， ∴当时，函数值最大为； ②∵， ∴， ∵新抛物线与x轴只有一个交点， ∴， ∴， ∵两条抛物线与直线能形成的封闭图形，且有整点， ∴， ∴， ∴的顶点坐标为， 联立，解得：或， ∴两条抛物线的交点为， 由①可知：的顶点坐标为， ∴图象中的整点有，共11个， 其中在直线上， ∴直线上方的整点有共5个， 直线下方的整点有共4个， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 由①知：与轴的交点均为， ∴与只有1个交点时，交点为，分两种情况： ①，即两条抛物线的开口方向和开口大小均相同，此时满足题意，如图： ②当时，令，整理得：， 解得：或， ∵只有一个交点为， ∴只能有一个值为0， ∴， ∴； 综上：或． 24. 综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，． 独立思考：（1）试猜想与的数量关系：________； 实践探究：（2）嘉嘉将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为，连接并延长交于点G，请判断与的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）在的边上有一个动点M，点M沿方向从A点开始运动，到D点停止．随着点M的运动，琪琪沿折叠，折叠后点A的对应点为，当与平行四边形的边垂直时，问题：若此的面积为5，边长，，请直接写出与重叠部分的面积． 【答案】（1）； （2），理由如下： 如图，连接， 由折叠可得 ，， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）作交于，则，得到， 由F为的中点可得，得到，再根据垂直平分线的性质得到； （2）连接，先由折叠证明，得到，则是平行四边形，得到，根据，推出； （3）根据和两种情况分别画出图形，根据的面积为5，作高得到平行四边形的高，即可得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）作交于，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）∵，边长，， ∴，，，， 当时，如图，交于，交于，过作于，过作于，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与重叠部分的面积； 当时，如图，交于，则， ∵的面积为5， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与重叠部分的面积； 综上所述，与重叠部分的面积为或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $