微专题04 全等三角形中常见的几何模型（倍长中线模型）-初中数学几何模型常考经典模型（北师大版）

微专题04 全等三角形中常见的几何模型 倍长中线模型 全等三角形是初中阶段最重要的几何知识，贯穿于整个初中几何；而全等三角形中的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将全等三角形的相关问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决全等三角形的题型；体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“倍长中线”模型． 模型来源 “倍长中线模型”是初中平面几何中一个重要的辅助线技巧和解题模型，专门用来解决涉及三角形中线或中点的问题，是数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用全等三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 倍长中线模型 一、例题讲模型 例题．在中，，中线，则边的取值范围（    ） A． B． C． D． 分析：延长AD至E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围． 解：如图，延长AD至E，使DE=AD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=CE， ∵AD=7， ∴AE=7+7=14， ∵14+5=19，14-5=9， ∴9＜CE＜19， 即9＜AB＜19． 故选：C． 口诀：“看见中点想中线，中线不够就倍长；倍长之后再连接，全等平行助解题。” 二、提炼模型 1．在中，，中线，则边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，延长至，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴． 故选：B． 2．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：2，则∠BCD＝ ． 【答案】30° 【解析】解：延长CD到E，使DE＝CD，连接BE，过E点作EF⊥BC，垂足为F， ∵D是AB的中点， ∴AD＝BD， 又∵∠ADC＝∠BDE，DE＝DC， ∴△ADC≌△BDE（SAS）， ∴AC＝BE， ∵CD：AC：BC＝1：2：2， 设CD＝m，则AC＝2m＝BE＝CE， ∴FC＝FB＝BC＝m， 在Rt△CEF中，cos∠FCE＝＝＝， ∴∠FCE＝30°，即∠BCD＝30°， 故答案为：30°． 3．如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD． 【答案】见解析 【解析】证明：延长AD到E，使FD＝AD，连接BF 在△ADC和△FDB中， ∴（SAS） ∴BF＝AC，∠F＝∠CAD． ∵BE＝AC， ∴BF＝BE ∴∠BED＝∠F， ∴∠BED＝∠CAD． 4．已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式． (1)求a，b的值； (2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围． 【答案】(1)， (2)2<CD<8 【解析】（1）解：∵ ， 根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b ∴，解得：； （2）解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH， ∵CD是AB边上的中线， ∴BD=AD， 在△CDB和△HDA中， ∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA， ∴△CDB≌△HDA（SAS）， ∴BC=AH=a=6， 在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH， ∴10-6<2CD<10+6， ∴2<CD<8． 模型运用 1．如图，已知，点是的中点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示 ∵点是的中点， ∴DE=CE， ∵ ∴∠1=∠M 在△ADE和△MCE中 ∴△ADE≌△MCE ∴AD=MC，AE=ME ∵ ∴MC＋BC=AB ∴BM=AB 在△BAE和△BME中 ∴△BAE≌△BME ∴∠BEA=∠BEM ∵∠BEA＋∠BEM=180° ∴∠BEA=∠BEM=90° ∴ 2．（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； 【答案】（1）；（2）4 【解析】解：（1）延长交的延长线于点F， ∵， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， （2）如图2，延长，交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴ 3．（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：； （2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：； （3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP， ∵AD是△ABC的中线， ∴D为BC的中点，BD=CD， 在△ABD与△PCD中， ∴△ABD≌△PCD(SAS)， ∴AB=CP， 在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP， ∴； （2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC， ∵H为DE中点，D、E为BC三等分点， ∴DH=EH，BD=DE=CE， ∴DH=CH， 在△ABH和△QCH中， ∴△ABH≌△QCH(SAS)， 同理可得：△ADH≌△QEH， ∴AB=CQ，AD=EQ， 此时，延长AE，交CQ于K点， ∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK， ∴AC+CQ＞AK+QK， 又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE， ∴AK+QK＞AE+QE， ∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE， ∵AB=CQ，AD=EQ， ∴； （3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE， ∵M为DE中点， ∴DM=EM， ∵BD=CE， ∴BM=CM， 在△ABM和△NCM中， ∴△ABM≌△NCM(SAS)， 同理可证△ADM≌△NEM， ∴AB=NC，AD=NE， 此时，延长AE，交CN于T点， ∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT， ∴AC+CN＞AT+NT， 又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE， ∴AT+NT＞AE+NE， ∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE， ∵AB=NC，AD=NE， ∴． 4．阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）如图1延长到点，使得，再连接， ∵AD为中线， ∴BD=CD， 在△ADC和△    EDB中， ∵CD=BD， ∠ADC=∠EDB， AD=ED， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴AC=EB=6， ， ∵， ∴， ∴， （2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG， 由D为BC中点，BD=CD， 在△FDC和△GDB中， ∵CD=BD， ∠FDC=∠GDB， FD=GD， ∴△FCD≌△GBD（SAS）， ∴FC=GB， ∵，DF=DG， ∴EF=EG， 在△BEG中EG<EB+BG，即， （3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG， 由是边上的中点， ∴BD=CD， 在△ADC和△GDB中， ∵CD=BD， ∠ADC=∠GDB， AD=GD， ∴△ACD≌△GBD（SAS）， ∴AC=GB，∠DAC=∠G， ∵BE=AC， ∴BE=BG， ∴∠BED=∠G=∠CAD． 5．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，请根据小琪的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________． A．SSS    B．SAS    C．AAS （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是_____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】 （3）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，．试说明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【解析】解：（1）延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴，且（对顶角相等）， 在中， ， ∴， 故选：； （2）由（1）可得， ∴，，则， 在中，， ∴， 故答案为：； （3）如图所示，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE． 在△ABD与△ECD中 ∴△ABD≅△ECD（SAS） ∴AB＝　 　． 又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5， ∴　 　＜AE＜　 　． 又∵AE＝2AD． ∴　 　＜AD＜　 　． 【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 　 　．（直接写答案） 【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP． 【答案】观察发现：EC，2，12，1，6；探索应用：17；应用拓展：见解析 【解析】观察发现 解：如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE， 在△ABD与△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=EC， 在△AEC中，EC-AC＜AE＜EC+AC，而AB=EC=7，AC=5， ∴2＜AE＜12． 又∵AE=2AD， ∴1＜AD＜6， 故答案为：EC，2，12，1，6； 探索应用 解：如图2，延长AE，CD交于H， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， ∵CD∥AB， ∴∠ABE=∠ECH，∠H=∠BAE， ∴△ABE≌△HCE（AAS）， ∴AB=CH=25， ∴DH=CH-CD=17， ∵∠DFE=∠BAE， ∴∠H=∠DFE， ∴DF=DH=17， 故答案为：17； 应用拓展 证明：如图2，延长AP到点F，使PF=AP，连接DF，EF，AD， 在△BPA与△EPF中， ， ∴△BPA≌△EPF（SAS）， ∴AB=FE，∠PBA=∠PEF， ∵AC=BC， ∴AC=FE， 在四边形BADE中，∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°， ∵∠BAC=60°，∠CDE=120°， ∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°． ∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°， ∴∠ACD=∠DEB+∠EBA， ∴∠ACD=∠FED， 在△ACD与△FED中， ， ∴△ACD≌△FED（SAS）， ∴AD=FD， ∵AP=FP， ∴AP⊥DP． 7．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【解析】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题04 全等三角形中常见的几何模型 倍长中线模型 全等三角形是初中阶段最重要的几何知识，贯穿于整个初中几何；而全等三角形中的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将全等三角形的相关问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决全等三角形的题型；体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“倍长中线”模型． 模型来源 “倍长中线模型”是初中平面几何中一个重要的辅助线技巧和解题模型，专门用来解决涉及三角形中线或中点的问题，是数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用全等三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 倍长中线模型 一、例题讲模型 例题．在中，，中线，则边的取值范围（    ） A． B． C． D． 分析：延长AD至E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围． 解：如图，延长AD至E，使DE=AD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=CE， ∵AD=7， ∴AE=7+7=14， ∵14+5=19，14-5=9， ∴9＜CE＜19， 即9＜AB＜19． 故选：C． 口诀：“看见中点想中线，中线不够就倍长；倍长之后再连接，全等平行助解题。” 二、提炼模型 1．在中，，中线，则边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：2，则∠BCD＝ ． 3．如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD． 4．已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式． (1)求a，b的值； (2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围． 模型运用 1．如图，已知，点是的中点，且，求证：． 2．（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； 3．（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：； （2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：； （3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：． 4．阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：． 5．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，请根据小琪的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________． A．SSS    B．SAS    C．AAS （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是_____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】 （3） 如图2，是的中线，交于点E，交于点F，．试说明：． 6．【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE． 在△ABD与△ECD中 ∴△ABD≅△ECD（SAS） ∴AB＝　 　． 又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5， ∴　 　＜AE＜　 　． 又∵AE＝2AD． ∴　 　＜AD＜　 　． 【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 　 　．（直接写答案） 【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP． 7．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$