第01讲 认识三角形 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（浙教版2024）

第01讲 认识三角形 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1 三角形的有关概念 2 三角形的分类 3 三角形的内角和 4 三角形的三边关系 （重点） 5 三角形的角平分线、中线与高线 （重点） 题型巩固 一、三角形的识别与有关概念 二、三角形的个数问题 三、与平行线有关的三角形内角和问题 四、与角平分线有关的三角形内角和问题 五、三角形折叠中的角度问题 六、三角形内角和定理的应用 七、三角形的分类 八、构成三角形的条件 九、确定第三边的取值范围 十、三角形三边关系的应用 十一、三角形角平分线的定义 十二、根据三角形中线求长度 十三、重心的概念 十四、与三角形的高有关的计算问题 分层强化 一、单选题（6题） 二、填空题（5题） 三、解答题（5题） 知识梳理 知识点1 三角形的有关概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的基本要素： （1）边、组成三角形的线段.（2）顶点、三角形中相邻两边的公共端点.（3）内角、在三角形的内部，由相邻两边组成的角. 3.三角形的表示方法：“三角形”用符号“ △ ”表示，顶点是 A ，B ， C的三角形，记做“ △ABC”，读做“三角形 ABC ”. 知识点2 三角形的分类 三角形可以按内角的大小进行分类： 知识点3 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180∘. 注意 在任意一个三角形中，最多有一个钝角或直角，最多有三个锐角，最少有两个锐角. 知识点4 三角形的三边关系 重点 三角形的三边关系 1、 图形 2、文字语言、三角形任何两边的和大于第三边. 3、数学语言、a+b>c ， a+c>b ， c+b>a . 4、理论依据、两点之间线段最短. 知识点5 三角形的角平分线、中线与高线 重点 1.三角形的角平分线 （1）定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图 符号语言：∵线段AD是△ABC的一条角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC或 ∠BAC=2∠BAD=2∠CAD . 注意 三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线. （2）作法：①用量角器；②尺规作图（后面会学习）. （3）三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点（称为内心）. 2.三角形的中线 （1）定义：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线. 如图 符号语言：∵线段 AD 是△ABC的BC边上的中线， ∴BD=DC=BC或 BC=2BD=2DC . （2） 作法：①通过度量找中点；②尺规作图（后面会学习）. （3）三角形的中线的位置：三角形的三条中线都在三角形的内部，并且三条中线交于三角形内一点（称为重心）. 题型巩固 题型一、三角形的识别与有关概念 1．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（    ）对． A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】根据有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，首先确定三角形的边，然后确定三角形即可． 【详解】解：以AB为公共边的三角形有：△ABD和△ABC； 以AC为公共边的三角形有：△ACE和△ACB； 以AD为公共边的三角形有：△ADE和△ABD； 以AE为公共边的三角形有：△AED和△AEC； 以BC为公共边的三角形有：△BCO和△BCA和△BCD和△BCE，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对； 以BD为公共边的三角形有：△BDC，△BDE，BDA任何两个都是3对共边三角形； 以BE为公共边的三角形有：△BEO，△BED，△BEC任何两个都是3对共边三角形． 以OB为公共边的三角形有：△OBE和△OBC； 以CD为公共边的三角形有：△CDO和△CDB和△CDE任何两个都是3对共边三角形． 以CE为公共边的三角形有：△CED，△CEA，△CEB任何两个都是3对共边三角形； 以CO为公共边的三角形有：△COD和△COB； 以DE为公共边的三角形有：△AED和△OED和△BED和三角CED，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对； 以OD为公共边的三角形有：△ODC和△ODE； 以OE为公共边的三角形有：△OBE和△ODE． 共32对． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了共边三角形的定义，正确理解定义是解题的关键． 2．如图，已知△ABC，现将边BA延长至点D，使AD=AB，延长AC至点E，使CE=2AC．延长CB至点F，使BF=3BC，分别连结DE，DF，EF，得到△DEF，若△DEF的面积为36，则阴影部分的面积和为 【答案】34 【知识点】三角形的识别与有关概念 【详解】∵AD=AB，∴BD=2AB. 又∵BF=3BC, ∴S△DBF=6S△ABC. 同理可得：S△EAD=3S△ABC， S△FCE=8S△ABC. ∵S△EAD+S△DBF+ S△FCE+S△ABC=36， ∴3S△ABC+6S△ABC+8S△ABC=36 ， ∴S△ABC=2， ∴S阴影=36-2=34. 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点． (1)的三个顶点是什么?三条边是什么? (2)是哪些三角形的边? 【答案】(1)的三个顶点是点，，，三条边是，， (2)是，，，的边 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】（1）根据三角形的边和顶点解答即可； （2）根据三角形的边解答即可． 【详解】（1）解：的三个顶点是点，，，三条边是，，； （2）解：是，，，的边． 【点睛】本题考查三角形，解题的关键是掌握三角形的角和边的概念． 题型二、三角形的个数问题 4．如图，图中以为边的三角形的个数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】三角形的个数问题 【分析】利用三角形定义解答即可． 【详解】解：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC，共2个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 5．如图所示的三角形共有 个． 【答案】3 【知识点】三角形的个数问题 【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出个数解答即可． 【详解】解：三角形的个数有，，，共3个， 故答案为：3． 【点睛】此题考查三角形，关键是根据三角形的概念数出个数解答． 6．如图,在△ABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问: (1)图中有多少个三角形?并把它们表示出来. (2)△BDF的三个顶点是什么?三条边是什么? (3)以AB为边的三角形有哪些? (4)以F为顶点的三角形有哪些? 【答案】答案见解析 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【详解】试题分析：利用三角形的定义以及三角形有关的角和边概念分别得出即可． 试题解析： （1）8个：△ABC，△ABF，△ABE，△ABD，△BDF，△AEF，△ACD，△BCE； （2）三个顶点：B，D，F；三条边：BD，BF，DF； （3）△ABC，△ABF，△ABD，△ABE； （4）△ABF，△BDF，△AEF． 点睛：此题主要考查了三角形有关定义，正确把握相关定义是解题关键． 题型三、与平行线有关的三角形内角和问题 7．（2024·浙江台州·二模）将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是(    ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角和三角形内角和定理，由平行线的性质可得，根据邻补角求得，由三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选：C． 8．如图，直线，平分，，则的度数是 . 【答案】59°. 【分析】由补角的定义求出∠CAD的度数，根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵直线AC∥BD，∠1=62°， ∴ ， ∵AB平分∠CAD， ∴ 故答案为59° 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 题型四、与角平分线有关的三角形内角和问题 9．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，D，E是内的两点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形内角和与角平分线，设，则，即，判定点E为三条角平分线的交点，且和，则． 【详解】解：设， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴点E为三条角平分线的交点， ∴． 故选：B． 10．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，于点，平分交于点．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线，三角形内角和定理，利用垂直的定义得到，再根据三角形内角和计算出，接着利用角平分线的定义得到，然后计算即可． 【详解】解：， ， ， 平分， ∴， ． 故答案为：． 11．如图，在四边形中，，的平分线交的延长线于点E，，垂是为点F，交于点G． (1)求证： 平分． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）利用平行线的性质和三角形内角和定理，推出即可得证； （2）利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理．熟练掌握两直线平行，同旁内角互补以及三角形的内角和为是解题的关键． 12．（24-25八年级上·浙江台州·期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 ； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，则 ． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”，理由见解析；②或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查新定义“准互余三角形”，角平分线定义，角的倍分． （1）根据是“准互余三角形”，得出，从中求出即可； （2）分两种情况，当时，先求出，可得；当时，可求，据此求解即可． 【详解】（1）解：是“准互余三角形”， ，， ， ， 故答案为：； （2）①解：是“准互余三角形”，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②点E是边上一点，是“准互余三角形”， ∴当时， ∴， ∴； ∴当时， ∴， ∴． 故答案为：或． 题型五、三角形内角和定理的应用 13．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是掌握“三角形的内角和是”．根据三角形的内角和是，求的度数，并作出选择即可． 【详解】解：在中，，， 又， 故选：D． 14．（24-25八年级上·浙江金华·期中）当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】分角是α或是β或既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论． 【详解】解：依题意，①角是α，则“希望角”度数为； ②角是β，则， ∴ ∴“希望角”度数为； ③角既不是α也不是β， 则， ∴ 解得， ∴“希望角”度数为； 综上所述，“希望角”度数为或或 故答案为：或或 题型六、三角形的分类 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形露出的部分为钝角，即可求解． 【详解】解：依题意，三角形露出的部分为钝角， ∴我们可以判定此三角形的类型为钝角三角形 故选：A． 16．在三角形的三个内角中，锐角最多有 个，至少有 个． 【答案】 3 2 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，根据三角形内角和为180°进行判断即可 【详解】当三角形是锐角三角形时，此时三个角均是锐角，所以在三角形三个内角中，锐角最多有3个；当三角形是钝角三角形或直角三角形中，2个角是锐角，所以在三角形中锐角至少有2个 【点睛】此题的关键是利用三角形内角和定理逐一对三角形按角分类进行分析 17．（22-23八年级上·全国·课后作业）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【答案】锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有： 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类进行求解即可． 【详解】解：由题意得：锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键． 题型七、构成三角形的条件 18．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．4.5，7，12 B．4，5，9 C．3，6，10 D．2，4，5 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系定理的应用，根据三角形两边之和大于第三边逐个判断即可． 【详解】解：A．，不符合三角形三边关系，不能组成三角形； B．，不符合三角形三边关系，不能组成三角形； C．，不符合三角形三边关系，不能组成三角形； D．，符合三角形三边关系，能组成三角形； 故选D． 19．现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【答案】7 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ； ； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 20．（22-23八年级上·全国·课后作业）四根木棒的长度分别为．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．一共有多少种取法？把它们都列出来． 【答案】一共有3种取法：取这三根木棒，取这三根木棒，取这三根木棒 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：当取时， ∵， ∴这三根木棒可以组成三角形； 当取时， ∵， ∴这三根木棒可以组成三角形； 当取时， ∵， ∴这三根木棒不可以组成三角形； 当取时， ∵， ∴这三根木棒可以组成三角形； 综上所述，一共有3种取法：取这三根木棒，取这三根木棒，取这三根木棒． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 题型八、确定第三边的取值范围 21．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查三角形三边关系，掌握两边之和大于三边，两边之差小于第三边，属于基础题．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【详解】解：设第三边为x，则， ∴ 所以第三边长可能是4． 故选：D． 22．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知三角形的三边均为正整数，其中两边为2，4，则第三边可以是 ．（请写出一个符合条件的值） 【答案】3（答案不唯一） 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三条边的关系求出第三边的取值范围即可求解． 【详解】解：∵三角形的两边分别为 2，4 ， ∴第三边大于，且小于， ∵三角形的三边均为正整数， ∴第三边为3、4、5均可以（任意一个都可以） 故答案为：3（答案不唯一） 23．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形．记这些三角形的三边分别为，，，并且这些三角形三边的长度为大于且小于的整数个单位长度，用记号（，，）（）表示一个满足条件的三角形，如（，，）表示边长分别为，，个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形． 【答案】见解析． 【知识点】确定第三边的取值范围 【详解】试题分析：先对a、b两条边进行取值，再根据a、b的长度结合三角形三条边之间的关系对c进行取值，列举出所有的可能性即可. 试题解析：当a=1，b=1时，c=1； 当a=1，b=2时，c=2； 当a=1，b=3时，c=3； 当a=2，b=2时，c=2或3； 当a=2，b=3时，c=3， 当a=3，b=3时，c=3. 所以满足条件的三角形为：（1,1,1），（1,2,2），（1,3,3），（2,2,2），（2,2,3），（2,3,3），（3,3,3）. 点睛：此题主要利用三角形三条边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 题型九、三角形三边关系的应用 24．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）已知线段，下列长度的两条线段能与组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是掌握三角形三边关系． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故B选项不符合题意； C、，能组成三角形，故C选项符合题意； D、，不能组成三角形，故D选项不符合题意； 故选：C． 25．（22-23八年级上·浙江台州·期中）的两边长为2、3，第三边长为奇数，三角形的周长是 ． 【答案】8 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】先根据三边关系定理确定等三边的取值范围，再根据奇偶数的意义确定等三边长，则可确定其周长． 【详解】解：设第三边长为a，则，即，当a是奇数时，则， ∴三角形的周长是， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形成立的条件是解题关键． 26．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）已知的三边长为9，4，x． (1)求x的取值范围； (2)当的周长为奇数时，求x． 【答案】(1)的取值范团是 (2)为6，8，10，12 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解此题的关键． （1）根据三角形的三边关系定理得出，再求出的取值范围即可； （2）根据周长为奇数得出为偶数，根据的范围求出即可． 【详解】（1）解：∵三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边， ∴，即， ∴的取值范围是； （2）解：∵的周长为奇数， ∴为偶数， ∵， ∴为6，8，10，12． 题型十、三角形角平分线的定义 27．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，两根竹竿和斜靠在墙上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形外角的性质，熟练掌握角形外角的性质是解题的关键． 根据三角形外角等于不相邻两内角和，求解即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴ ∴ 故选：A． 28．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，D是延长线上一点．若，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．根据三角形的外角性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型十一、根据三角形中线求长度 29．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在锐角中，为边上的中线，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形的中线的概念，熟练掌握三角形的中线的概念是解题的关键．根据三角形的中线的概念进行解答即可． 【详解】解：在锐角中，为边上的中线， ， 故选：B 30．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】22 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键； 根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可. 【详解】解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：22. 31．如图，AD为△ABC的中线，AB = 12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC的边AC的长(ACAB)． 【答案】8cm 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】由三角形中线的定义得到BD=CD，根据△ABD和△ADC的周长差是4cm即可求得结论． 【详解】解：∵AD为△ABC的中线， ∴BD = CD， ∵△ABD和△ADC的周长差是4cm， ∴AB + AD + BD – (AC + AD + CD) = AB + AD + BD – AC – AD – BD = AB – AC = 4cm， ∵AB = 12cm， ∴AC = AB – 4cm = 8cm． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的定义，根据三角形中线的定义得到BD=CD是解决问题的关键． 题型十二、根据三角形中线求面积 32．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在数学活动课上，小沐同学画了两个三角形，它们面积之间的关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，熟练掌握利用三角形的中线解决面积计算问题的方法是解题的关键：三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形，因此分得的两个三角形面积相等，利用这一特点可以求解有关的面积问题． 由于，因此可将边与边重合，即点与点重合，点与点重合，则，即点、、在同一条直线上，再结合，可得为的边上的中线，由与等底同高即可得出答案． 【详解】解：， 将边与边重合，即：点与点重合，点与点重合，如图所示： 则， 即：点、、在同一条直线上， ， ， 即：为的边上的中线， 与等底同高， 两个三角形面积相等， 即：， 故选：． 33．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的面积及三角形的角中线的性质，根据三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系即可解决问题，熟知三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题知， ∵是边的中线， ， ， 又∵， ， ， 故答案为：． 题型十三、画三角形的高 34．（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 35．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H， 的高线是 ； 【答案】/ 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查三角形的高线，根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据定义判断即可． 【详解】解：∵于点H， ∴的高线是； 故答案为：， 36．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，画出中边上的高； 【答案】见解析 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查三角形的高线，根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据三角形的高定义作图即可． 【详解】解：如图所示，即为中边上的高 题型十四、与三角形的高有关的计算问题 37．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，，则（　　） A．10 B．9 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据三角形的高相同时，面积比＝底边的比，由，得出，得出，然后同理得出，，从而算出得数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的面积,根据三角形的高相同时，面积比＝底边的比，得出所求的三角形的面积与已知三角形的面积的关系是解题的关键． 38．如图，在中，，，点在边上，作于、于，若，的面积为，则的长为 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】此题考查三角形的面积，解题关键在于作辅助线和利用面积公式计算．连接，根据列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，，，的面积为， ， 即， 解得：， 故答案为：． 39．如图，在△ABC中，BE⊥AC，BC＝5cm，AC＝8cm，BE＝3cm． （1）求△ABC的面积； （2）画出△ABC中BC边上的高AD，并求出AD的长． 【答案】（1）；（2）作图见解析，cm 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）结合题意，根据三角形面积计算公式分析，即可得到答案； （2）过点A作交BC于点D，结合三角形面积公式计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵BE⊥AC， AC＝8cm，BE＝3cm ∴ （2）如图，过点A作交BC于点D ∵ ∴cm． 【点睛】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形高的性质，从而完成求解． 分层强化 一、单选题 1．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据∠A和∠B的度数可得与互余，从而得出为直角三角形． 【详解】解： ， 即与互余， 则为直角三角形， 故选C． 【点睛】此题考查的是直角三角形的判定，掌握有两个内角互余的三角形是直角三角形是解决此题的关键． 2．一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系进行解答即可． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为4，7，x， ∴，即，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 3．如图，在中，于点于点，则的边上的高是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题关键．根据三角形的高的定义解答即可得． 【详解】解：∵在中，于点， ∴的边上的高是， 故选：C． 4．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理，求出最大角的度数，即可一一判定． 【详解】解：A.，， ， 故此三角形是直角三角形，故该选项不符合题意； B.， ， ，解得， 故此三角形是直角三角形，故该选项不符合题意； C.， ， ， 故此三角形是直角三角形，故该选项不符合题意； D.， 最大角， 故此三角形不是直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形的内角和判定是否是直角三角形，求出最大角的度数是解决本题的关键． 5．如图是某椅子的侧面图，与地面平行，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角度，涉及平行线的性质、三角形内角和定理等知识，由，利用两直线平行内错角相等得到，在中，根据三角形内角和为求解即可得到答案，熟记平行线性质及三角形内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ，， ， 在中，，，则， 故选：A． 6．如图，在中，，，，则（　　） A．10 B．9 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据三角形的高相同时，面积比＝底边的比，由，得出，得出，然后同理得出，，从而算出得数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的面积,根据三角形的高相同时，面积比＝底边的比，得出所求的三角形的面积与已知三角形的面积的关系是解题的关键． 二、填空题 7．连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的 ．三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做 ． 【答案】 中线， 三角形的重心 【解析】略 8．将如图所示的一块直角三角板放置在△ABC上，使三角板的两条直角边DE、EF分别经过点B、C，若∠A=70°，则∠ABE+∠ACE= ． 【答案】20°． 【分析】根据三角形的内角和得到∠E=, 由三角形的内角和定理得到∠EBC+∠ECB=, 根据三角形的内角和得到∠ABE+∠EBC+∠ECB+∠ACE+∠A=, 即可得到结论. 【详解】解: 在△EBC中, ∠EBC+∠ECB+∠E=, 而∠E=,∠EBC+∠ECB=; 在Rt△ABC中, ∠ABC+∠ACB+∠A=, 即∠ABE+∠EBC+∠ECB+∠ACE+∠A= 而∠EBC+∠ECB=, ∠ABE+∠ACE=-∠A=; 故答案：. 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理. 9．已知，，，则 ． 【答案】 【分析】由得，由，设，，，利用可求得x，即可求得． 【详解】， ； ， 设，，； ， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，方程思想，由比的关键引入未知数是解题的关键． 10．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B＝ 度． 【答案】40． 【分析】利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得． 【详解】∵△ABC沿着DE翻折， ∴∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°， ∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°， 而∠1+∠2＝80°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°， ∴80°+2（180°﹣∠B）＝360°， ∴∠B＝40°． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化． 11．如图，直线，点、分别在上，．过线段上的点作交于点，则的大小为 度． 【答案】57 【分析】直接利用平行线的性质得出的度数，再结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为57 【点睛】考核知识点：三角形内角和定理.利用平行线性质是关键. 三、解答题 12．三角形的三边长为4，9，x，求x的取值范围． 【答案】x的取值范围是大于5小于13． 【分析】根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边即可得到答案． 【详解】∵三角形的三边为4，9，x， ∴4＋9＞x＞9−4， 即：5＜x＜13． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理． 13．如图，在中，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）根据垂直的定义以及三角形内角和的性质，即可求解； （2）根据三角形内角和的性质，求得的度数，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了三角形内角和的性质以及垂直的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质． 14．如图，，是四边形的对角线，且，相交于点O．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在和中，利用三角形三边关系即可求证结论． （2）由（1）得，，在和中，利用三角形三边关系可得，利用等量关系即可求证结论． 【详解】（1）证明：∵在和中，，， ∴，即． （2）由（1）得，， 同理可得，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 15．如图，A点在B点的北偏东40°方向，C点在B点的北偏东75°方向，A点在C点的北偏西50°方向.求从A点观测B，C两点的视角∠BAC的度数. 【答案】90° 【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，利用平行线的性质即可求解． 【详解】∵∠DBA=40°，∠DBC=75°， ∴∠ABC=∠DBC−∠DBA=75°−40°=35°， ∵DB∥EC， ∴∠DBC+∠ECB=180°， ∴∠ECB=180°−∠DBC=180°−75°=105°， ∴∠ACB=∠ECB−∠ACE=105°−50°=55°， ∴∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=180°−55°−35°=90°. 【点睛】本题考查了方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合平行线的性质求解. 16．如图，在中，． (1)指出图中边、上的高； (2)作出边上的高； (3)在（2）的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来； (4)若，，，求边上的高的长． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)个，见解析 (4) 【分析】（1）由三角形的高的定义即可直接得出答案； （2）按照要求作出边上的高即可； （3）由直角三角形的定义即可直接得出答案； （4）由三角形的面积公式可得，进而可得，于是得解． 【详解】（1）解：边上的高是，边上的高是； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：在（2）的条件下，图中有个直角三角形，分别是、、， 答：在（2）的条件下，图中有个直角三角形，分别是、、； （4）解：， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的高的定义，画三角形的高，三角形的分类，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 认识三角形 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1 三角形的有关概念 2 三角形的分类 3 三角形的内角和 4 三角形的三边关系 （重点） 5 三角形的角平分线、中线与高线 （重点） 题型巩固 一、三角形的识别与有关概念 二、三角形的个数问题 三、与平行线有关的三角形内角和问题 四、与角平分线有关的三角形内角和问题 五、三角形折叠中的角度问题 六、三角形内角和定理的应用 七、三角形的分类 八、构成三角形的条件 九、确定第三边的取值范围 十、三角形三边关系的应用 十一、三角形角平分线的定义 十二、根据三角形中线求长度 十三、重心的概念 十四、与三角形的高有关的计算问题 分层强化 一、单选题（6题） 二、填空题（5题） 三、解答题（5题） 知识梳理 知识点1 三角形的有关概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的基本要素： （1）边、组成三角形的线段.（2）顶点、三角形中相邻两边的公共端点.（3）内角、在三角形的内部，由相邻两边组成的角. 3.三角形的表示方法：“三角形”用符号“ △ ”表示，顶点是 A ，B ， C的三角形，记做“ △ABC”，读做“三角形 ABC ”. 知识点2 三角形的分类 三角形可以按内角的大小进行分类： 知识点3 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180∘. 注意 在任意一个三角形中，最多有一个钝角或直角，最多有三个锐角，最少有两个锐角. 知识点4 三角形的三边关系 重点 三角形的三边关系 1、 图形 2、文字语言、三角形任何两边的和大于第三边. 3、数学语言、a+b>c ， a+c>b ， c+b>a . 4、理论依据、两点之间线段最短. 知识点5 三角形的角平分线、中线与高线 重点 1.三角形的角平分线 （1）定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图 符号语言：∵线段AD是△ABC的一条角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC或 ∠BAC=2∠BAD=2∠CAD . 注意 三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线. （2）作法：①用量角器；②尺规作图（后面会学习）. （3）三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点（称为内心）. 2.三角形的中线 （1）定义：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线. 如图 符号语言：∵线段 AD 是△ABC的BC边上的中线， ∴BD=DC=BC或 BC=2BD=2DC . （2） 作法：①通过度量找中点；②尺规作图（后面会学习）. （3）三角形的中线的位置：三角形的三条中线都在三角形的内部，并且三条中线交于三角形内一点（称为重心）. 题型巩固 题型一、三角形的识别与有关概念 1．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（    ）对． A．8 B．16 C．24 D．32 2．如图，已知△ABC，现将边BA延长至点D，使AD=AB，延长AC至点E，使CE=2AC．延长CB至点F，使BF=3BC，分别连结DE，DF，EF，得到△DEF，若△DEF的面积为36，则阴影部分的面积和为 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点． (1)的三个顶点是什么?三条边是什么? (2)是哪些三角形的边? 题型二、三角形的个数问题 4．如图，图中以为边的三角形的个数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图所示的三角形共有 个． 6．如图,在△ABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问: (1)图中有多少个三角形?并把它们表示出来. (2)△BDF的三个顶点是什么?三条边是什么? (3)以AB为边的三角形有哪些? (4)以F为顶点的三角形有哪些? 题型三、与平行线有关的三角形内角和问题 7．（2024·浙江台州·二模）将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是(    ) A．1 B． C． D． 8．如图，直线，平分，，则的度数是 . 题型四、与角平分线有关的三角形内角和问题 9．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，D，E是内的两点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，于点，平分交于点．若，则的度数为 ． 11．如图，在四边形中，，的平分线交的延长线于点E，，垂是为点F，交于点G． (1)求证： 平分． (2)若，，求的度数． 12．（24-25八年级上·浙江台州·期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 ； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，则 ． 题型五、三角形内角和定理的应用 13．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·浙江金华·期中）当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为 ． 题型六、三角形的分类 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 16．在三角形的三个内角中，锐角最多有 个，至少有 个． 17．（22-23八年级上·全国·课后作业）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 题型七、构成三角形的条件 18．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．4.5，7，12 B．4，5，9 C．3，6，10 D．2，4，5 19．现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 20．（22-23八年级上·全国·课后作业）四根木棒的长度分别为．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．一共有多少种取法？把它们都列出来． 题型八、确定第三边的取值范围 21．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知三角形的三边均为正整数，其中两边为2，4，则第三边可以是 ．（请写出一个符合条件的值） 23．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形．记这些三角形的三边分别为，，，并且这些三角形三边的长度为大于且小于的整数个单位长度，用记号（，，）（）表示一个满足条件的三角形，如（，，）表示边长分别为，，个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形． 题型九、三角形三边关系的应用 24．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）已知线段，下列长度的两条线段能与组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 25．（22-23八年级上·浙江台州·期中）的两边长为2、3，第三边长为奇数，三角形的周长是 ． 26．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）已知的三边长为9，4，x． (1)求x的取值范围； (2)当的周长为奇数时，求x． 题型十、三角形角平分线的定义 27．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，两根竹竿和斜靠在墙上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，D是延长线上一点．若，则的度数是 ． 题型十一、根据三角形中线求长度 29．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在锐角中，为边上的中线，则（） A． B． C． D． 30．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 31．如图，AD为△ABC的中线，AB = 12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC的边AC的长(ACAB)． 题型十二、根据三角形中线求面积 32．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在数学活动课上，小沐同学画了两个三角形，它们面积之间的关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 33．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 题型十三、画三角形的高 34．（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   35．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H， 的高线是 ； 36．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，画出中边上的高； 题型十四、与三角形的高有关的计算问题 37．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，，则（　　） A．10 B．9 C．7 D．8 38．如图，在中，，，点在边上，作于、于，若，的面积为，则的长为 ． 39．如图，在△ABC中，BE⊥AC，BC＝5cm，AC＝8cm，BE＝3cm． （1）求△ABC的面积； （2）画出△ABC中BC边上的高AD，并求出AD的长． 分层强化 一、单选题 1．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 2．一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 3．如图，在中，于点于点，则的边上的高是（　　）    A． B． C． D． 4．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A．， B． C． D． 5．如图是某椅子的侧面图，与地面平行，，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，则（　　） A．10 B．9 C．7 D．8 二、填空题 7．连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的 ．三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做 ． 8．将如图所示的一块直角三角板放置在△ABC上，使三角板的两条直角边DE、EF分别经过点B、C，若∠A=70°，则∠ABE+∠ACE= ． 9．已知，，，则 ． 10．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B＝ 度． 11．如图，直线，点、分别在上，．过线段上的点作交于点，则的大小为 度． 三、解答题 12．三角形的三边长为4，9，x，求x的取值范围． 13．如图，在中，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 14．如图，，是四边形的对角线，且，相交于点O．求证： (1)； (2)． 15．如图，A点在B点的北偏东40°方向，C点在B点的北偏东75°方向，A点在C点的北偏西50°方向.求从A点观测B，C两点的视角∠BAC的度数. 16．如图，在中，． (1)指出图中边、上的高； (2)作出边上的高； (3)在（2）的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来； (4)若，，，求边上的高的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$