9.3 平行四边形-2025年八升九数学暑假巩固苏科版

苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假巩固 一、有关平行四边形的边的性质 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（　　） A.2 B.1 C.3 D.3.5 2.如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（　　） A.1 B.1.5 C.2 D.3 3.如图，点E是平行四边形ABCD的CD边上一动点，以BE为一条边作平行四边形BEFG，使点A始终在GF边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形BEFG的面积，下列说法正确的是（　　） A.始终不变 B.逐渐减小 C.先减小再增大 D.不能确定 4.如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC的角平分线交AD相交于点E，连接CE．若CE⊥AD，则▱ABCD的面积为 　　． 5.如图，将▱AOBC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，边AO与x轴重合，边BC与y轴正半轴相交于点D．若OA＝6，OB＝5，且OD：BD＝3：4，则点C的坐标为 　　　． 6.平行四边形ABCD周长为36，AE⊥BC，AF⊥CD，且AE＝4，AF＝5求这个平行四边形ABCD的面积． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，CE，延长CE交BA的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）当时，求证：BE平分∠ABC． 二、有关平行四边形的角的性质 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数是（　　） A.130° B.115° C.65° D.50° 2.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A.1：2：3：4 B.1：2：2：1 C.1：2：1：2 D.1：1：2：2 3.如图，将一副直角三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，若∠1＝30°，那么∠2＝（　　） A.60° B.75° C.70° D.35° 4.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝6：3，则∠D的度数是 　　． 5.如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为 　　． 6.如图，在▱BFDE中，A、C分别在DE、BF的延长线上，且AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF． 7.如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F． （1）若AB＝4，AD＝6，求EC的长； （2）若∠F＝62°，求∠BAE和∠D的度数． 三、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，BD＝8，则AB的长可以是（　　） A.6 B.7 C.8 D.10 2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BDA＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD＝（　　） A.4 B.5 C.6 D.8 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10，AB＝3．则△OCD的周长为（　　） A.13 B.8 C.7 D.5 4.如图，▱ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 　　　． 5.已知▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大3，那么AB＝　　　． 6.如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB，CD于点E，F．求证：OE＝OF． 7.在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O．若AB＝6，AC＝8，BD＝14．求△OCD的周长． 四、平行四边形性质的综合应用 1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A.AO＝BO B.∠ABC＝∠ADC C.∠BAC＝∠ADC D.AC＝BD 2.如图，在▱ABCD中，下列结论中不一定成立的是（　　） A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCD C.AC⊥BD D.AB＝CD 3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列等式一定正确的是（　　） A.AD＝CD B.AC＝BD C.AB＝CD D.AD＝AO 4.如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝16，则△BOC的周长为 　　． 5.如图，将▱ABCD平均分成三个小平行四边形，再将三个小平行四边形分别平均分成2份、3份和n份，如果阴影部分面积是▱ABCD面积的，则n的值为 　　． 6.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O，延长EF交AD的延长线于点G． （1）求证：BO＝DO； （2）若BD⊥AD，∠BEG＝90°，∠A＝45°，，求AD的长． 7.如图所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：AE＝CF． 五、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，点F是DE延长线上一点，连接CF．添加下列条件后，不能判断四边形BCFD是平行四边形的是（　　） A.BD∥CF B.DF＝BC C.BD＝CF D.∠B＝∠F 2.四边形ABCD的三个内角∠A、∠B、∠C的度数依次如下，能使四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.87°、103°、87° B.87°、93°、87° C.87°、93°、93° D.87°、103°、104° 3.在四边形ABCD中，AB∥DC，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需添加的条件是（　　） A.∠A+∠C＝180° B.∠B+∠D＝180° C.∠A+∠D＝180° D.∠A+∠B＝180° 4.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠DAC＝∠BCA，当AB 　　CD时，四边形ABCD是平行四边形． 5.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．请你只添加一个条件 　　　　（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形． 6.如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形DEBF为平行四边形，你添加的条件是 　　． （2）添加了条件后，请证明四边形DEBF为平行四边形． 7.求证：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，　　　　　　　　　　　　　　　　； 求证：　　　　　　　　　　　　　　　　　． 六、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.1：2：3：4 B.2：2：3：3 C.2：3：2：3 D.2：3：3：2 2.在四边形ABCD中，AD＝BC，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.AB＝CD B.AB∥CD C.AD∥BC D.∠A+∠B＝180° 3.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A.AB＝AD，CB＝CD B.∠A＝∠B，∠C＝∠D C.AB＝CD，AD＝BC D.AB∥CD，AD＝BC 4.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 5.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 6.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 七、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.OA＝OB，OC＝OD B.OA＝OC，OB＝OD C.OB＝AB，OD＝CD D.OA＝OB，AC＝BD 2.下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　） A.对角线相互垂直 B.对角线互相平分 C.一组对角相等 D.一组对边相等 3.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝CD，AO＝CO C.AB＝CD，AD＝BC D.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，现有三个条件：①AD＝BC；②OB＝OD；③AB＝CD．其中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有__________（只写序号即可）． 5.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形有 　　　　（填序号）． 6.在四边形ABCD中，AD＝4，OA＝OC＝5，BD＝6，∠ADB＝90°，求证四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，线段AC与BD相交于点O，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，且BE＝DF，AF＝CE，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形ABCD为平行四边形． 八、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.如图，一组平行线l1，l2被另外一组平行线l3，l4（与l1，l3不垂直）所截，交点分别为A，B，C，D，此时四边形ABCD为平行四边形，判定的依据是（　　） A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.AB∥CD，AD∥BC B.OA＝OC，OB＝OD C.AB＝CD，AD＝BC D.AB∥CD，AD＝BC 3.如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，若添加条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件不可以是（　　） A.AE∥CF B.BE＝DF C.∠BAE＝∠DCF D.AE＝CF 4.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，请添加一个条件 　　　　　，使四边形AFCE是平行四边形（填一个即可） 5.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　　． 6.如图，△ABC中，D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且DE∥AC，DE＝AF，延长FD到G，使DG＝DF．求证：AG和DE互相平分． 7.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BE平分∠ABD，交AC于点E，DF平分∠CDB，交AC于点F，点G在BE的延长线上，且BE＝EG，连接DG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若BD＝2AB，DF＝4，AC＝6，求四边形DGEF的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABD＝∠CDB，∠BAE＝∠CDF， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴∠ABEABD，∠CDFCDB， ∴∠ABE＝∠CDF， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD， ∴BD＝2OB， ∵BD＝2AB， ∴OB＝AB＝OD＝CD， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴BE⊥AC，DF⊥OC，OE＝AE，CF＝OF， ∴BE∥DF， ∴EG∥DF， ∵△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF， ∵BE＝EG， ∴EG＝DF， ∴四边形DGEF是平行四边形， ∴EF＝DG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝AOAC6＝3， ∴AE＝OEAO， ∴EF＝OE+OF3， ∴四边形DGEF的周长为2（DF+EF）＝2×（3+4）＝14． 九、反证法 1.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（　　） A.两锐角都大于45° B.有一个锐角小于45° C.有一个锐角大于45° D.两锐角都小于45° 2.用反证法证明“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”时，第一步应假设（　　） A.∠B≠90° B.AB≠AC C.∠B＞90° D.∠B≥90° 3.下列说法中，正确的是（　　） A.不等式只有2个解 B.不等式x+5＞3的解集为x＞2 C.用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都大于60° D.有两个角相等的等腰三角形是等边三角形 4.“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设　　　　　　　　　　　　　　． 5.用反证法证明某一命题的结论“a＜3”时，第一步应假设 　　　． 6.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 7.用反证法证明：在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直． 如图，有如下步骤： ①∵∠PAB+∠PBA+∠APB＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②∴假设不成立，原命题成立； ③假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直，不妨设PA⊥直线l于点A，PB⊥直线l于点B； ④∴∠PAB＝90°，∠PBA＝90°． 其中正确的顺序是 　　．（填序号） 苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假巩固（参考答案） 一、有关平行四边形的边的性质 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（　　） A.2 B.1 C.3 D.3.5 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴∠DFC＝∠FCB， 又∵CF平分∠BCD， ∴∠DCF＝∠FCB， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴DF＝DC＝3； 同理可得：AE＝AB＝3， ∴AF＝DE， ∵AD＝4， ∴AF＝4﹣3＝1， ∴EF＝4﹣1﹣1＝2． 故选：A． 2.如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（　　） A.1 B.1.5 C.2 D.3 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝3，AB＝5， ∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝5，CD∥AB， ∴∠DEA＝∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴DE＝AD＝3， ∴EC＝CD﹣DE＝5﹣3＝2， 故选：C． 3.如图，点E是平行四边形ABCD的CD边上一动点，以BE为一条边作平行四边形BEFG，使点A始终在GF边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形BEFG的面积，下列说法正确的是（　　） A.始终不变 B.逐渐减小 C.先减小再增大 D.不能确定 【答案】A 【解析】设点E到AB的距离为m，点A到BE的距离为n， ∵四边形ABCD和四边形BEFG都是平行四边形， ∴S▱ABCD＝AB•m，S▱BEFG＝BE•n， ∵S△ABEAB•mBE•n， ∴S▱ABCD＝2S△ABE，S▱BEFG＝2S△ABE， ∴S▱BEFG＝S▱ABCD， ∴平行四边形BEFG的面积始终不变， 故选：A． 4.如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC的角平分线交AD相交于点E，连接CE．若CE⊥AD，则▱ABCD的面积为 　　． 【答案】32 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝8，CD＝AB＝5， ∴∠AEB＝∠CBE， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠AEB＝CBE， ∴AB＝AE＝5， ∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3， ∵CE⊥AD， ∴∠CED＝90°， ∴CE， ∴▱ABCD的面积＝AD•CE＝8×4＝32， 故答案为：32． 5.如图，将▱AOBC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，边AO与x轴重合，边BC与y轴正半轴相交于点D．若OA＝6，OB＝5，且OD：BD＝3：4，则点C的坐标为 　　　． 【答案】（﹣2，3） 【解析】∵四边形AOBC是平行四边形，边AO与x轴重合，OA＝6， ∴BC∥x轴，BC＝OA＝6， ∴∠ODB＝∠AOD＝90°， ∵OB＝5，OD：BD＝3：4， ∴ODBD， ∵OBBD＝5， ∴BD＝4， ∴CD＝BC﹣BD＝6﹣4＝2，OD4＝3， ∴C（﹣2，3）， 故答案为：（﹣2，3）． 6.平行四边形ABCD周长为36，AE⊥BC，AF⊥CD，且AE＝4，AF＝5求这个平行四边形ABCD的面积． 【答案】解：连接AC， ∵平行四边形ABCD的周长为36， ∴BC+CD＝18， 设BC为x， ∵S平行四边形ABCD＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝（18﹣x）×5， 解得x＝10，即BC＝10， ∴平行四边形ABCD的面积为10×4＝40． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，CE，延长CE交BA的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）当时，求证：BE平分∠ABC． 【答案】证明：（1）∵ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠F＝∠FCD， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）； （2）∵E是AD的中点， ∴， ∵， ∴AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴BE平分∠ABC． 二、有关平行四边形的角的性质 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数是（　　） A.130° B.115° C.65° D.50° 【答案】B 【解析】在平行四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°， 又有∠A﹣∠B＝50°， 把这两个式子相加即可求出∠A＝115°， 故选：B． 2.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A.1：2：3：4 B.1：2：2：1 C.1：2：1：2 D.1：1：2：2 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°， 即∠A和∠C的数相等，∠B和∠D的数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D， 故选：C． 3.如图，将一副直角三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，若∠1＝30°，那么∠2＝（　　） A.60° B.75° C.70° D.35° 【答案】A 【解析】如图，由题意得∠1＝30°，∠EFG＝90°， ∴∠2+∠D+∠DEB＝360°﹣∠EFG＝270°，∠A+∠AEB＝180°﹣∠1＝150°， ∴∠2+∠D+∠DEB+∠A+∠AEB＝420°， ∴∠2＝420°﹣（∠D+∠A）﹣（∠DEB+∠AEB）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠D+∠A＝180°， ∵∠DEB+∠AEB＝180°， ∴∠2＝420°﹣180°﹣180°＝60°， 故选：A． 4.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝6：3，则∠D的度数是 　　． 【答案】60° 【解析】∵平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝6：3， ∴∠A＝2∠B，∠A+∠B＝180°，∠B＝∠D， ∴3∠B＝180°， ∴∠B＝60°， ∴∠D＝60°； 故答案为：60°． 5.如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为 　　． 【答案】118° 【解析】∵在▱ABCD中， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠C+∠ABC＝180°，∠CBE+∠BED＝180°， ∵∠C＝56°， ∴∠ABC＝124°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝62°， 则∠BED＝180°﹣∠CBE＝118°， 故答案为：118°． 6.如图，在▱BFDE中，A、C分别在DE、BF的延长线上，且AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF． 【答案】证明：∵四边形BFDE是平行四边形， ∴∠BED＝∠DFB，BE＝DF， ∴∠AEB＝∠CFD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）． 7.如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F． （1）若AB＝4，AD＝6，求EC的长； （2）若∠F＝62°，求∠BAE和∠D的度数． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD，AD＝BC＝6， ∴∠FAD＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAF， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴BA＝BE， ∵AB＝4， ∴BE＝4， ∴CE＝BC﹣BE＝2， （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，∠B＝∠D， ∴∠BAE＝∠F， ∵∠F＝62°， ∴∠F＝∠BAE＝62°， ∴∠B＝56°， ∴∠D＝56°． 三、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若AC＝6，BD＝8，则AB的长可以是（　　） A.6 B.7 C.8 D.10 【答案】A 【解析】如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OAAC＝3，OBBD＝4， 在△AOD中，由三角形的三边关系得： ∴4﹣3＜AB＜4+3， 即：1＜AD＜7， ∴AD的长度可以是6； 故选：A． 2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BDA＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD＝（　　） A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO，DOBD， ∵AC＝10，BD＝6， ∴AO＝5，DO＝3， ∵∠BDA＝90°， ∴AD4， 故选：A． 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10，AB＝3．则△OCD的周长为（　　） A.13 B.8 C.7 D.5 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝3， C△OCD＝CD+OD+OC＝CD（AC+BD）， ∴C△OCD＝310＝8． 故选：B． 4.如图，▱ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 　　　． 【答案】12 cm 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OE⊥BD， ∴OE是BD的垂直平分线， ∴BE＝DE， ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD24＝12（cm）， 故答案为：12 cm． 5.已知▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大3，那么AB＝　　　． 【答案】9 【解析】如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC， ∵△AOB的周长比△BOC的周长大3， ∴（AO+BO+AB）﹣（BO+OC+BC）＝3， ∴AO+BO+AB﹣BO﹣OC﹣BC＝3， ∴AB﹣BC＝3， ∵▱ABCD的周长是30， ∴2（AB+BC）＝30，即AB+BC＝15， ∴AB＝9， 故答案为：9． 6.如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB，CD于点E，F．求证：OE＝OF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（ASA）， ∴OE＝OF． 7.在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O．若AB＝6，AC＝8，BD＝14．求△OCD的周长． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝8，BD＝14，AB＝6＝CD， ∴，， ∴△OCD的周长为：CD+OC+OD＝6+4+7＝17． 四、平行四边形性质的综合应用 1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A.AO＝BO B.∠ABC＝∠ADC C.∠BAC＝∠ADC D.AC＝BD 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC，∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， ∴选项A、C、D不正确，B正确； 故选：B． 2.如图，在▱ABCD中，下列结论中不一定成立的是（　　） A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCD C.AC⊥BD D.AB＝CD 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC， ∴∠1＝∠2； ∴选项A、B、D不符合题意； 当四边形ABCD是菱形时，AC⊥BD， ∴选项C符合题意； 故选：C． 3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列等式一定正确的是（　　） A.AD＝CD B.AC＝BD C.AB＝CD D.AD＝AO 【答案】C 【解析】A．平行四边形的邻边不一定相等， 故A不符合题意； B．平行四边形对角线不一定相等， 故B不符合题意； C．平行四边形对边相等， 故C符合题意； D．对角线的一半与边不一定相等， 故D不符合题意． 故选：C． 4.如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝16，则△BOC的周长为 　　． 【答案】14 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵AC+BD＝16， ∴， ∴△BOC的周长＝OB+OC+BC＝14， 故答案为：14． 5.如图，将▱ABCD平均分成三个小平行四边形，再将三个小平行四边形分别平均分成2份、3份和n份，如果阴影部分面积是▱ABCD面积的，则n的值为 　　． 【答案】8 【解析】设平行四边形的面积为S， ∵阴影部分面积是▱ABCD面积的， ∴SSSS， ∴n＝8， 经检验，n＝8是方程的解， 故答案为：8． 6.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O，延长EF交AD的延长线于点G． （1）求证：BO＝DO； （2）若BD⊥AD，∠BEG＝90°，∠A＝45°，，求AD的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠OBE＝∠ODF． 在△OBE与△ODF中， ， ∴△OBE≌△ODF（AAS）． ∴BO＝DO； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠GDF＝45°，∠GFD＝∠AEG＝90°， ∴△GFD是等腰直角三角形， ∴FG＝DF，DGFG＝2，∠G＝45°， ∵BD⊥AD， ∴△DGO是等腰直角三角形， ∴DG＝DO＝2， ∴DO＝BO＝2， ∴DB＝4， ∵∠A＝45°，BD⊥AD， ∴∠A＝∠ABD＝45°， ∴AD＝BD＝4． 7.如图所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：AE＝CF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF． 五、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，点F是DE延长线上一点，连接CF．添加下列条件后，不能判断四边形BCFD是平行四边形的是（　　） A.BD∥CF B.DF＝BC C.BD＝CF D.∠B＝∠F 【答案】C 【解析】A、∵BD∥CF，DE∥BC， ∴四边形BCFD为平行四边形；故选项A不符合题意； B、∵DF∥BC，DF＝BC， ∴四边形BCFD为平行四边形；故选项B不符合题意； C、由DF∥BC，BD＝CE，不能判定四边形BCFD为平行四边形；故选项C符合题意； D、∵DE∥BC， ∴∠B+∠BDF＝180°， ∵∠B＝∠F， ∴∠F+∠BDF＝180°， ∴BD∥CF， ∴四边形BCFD为平行四边形；故选项D不符合题意； 故选：C． 2.四边形ABCD的三个内角∠A、∠B、∠C的度数依次如下，能使四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.87°、103°、87° B.87°、93°、87° C.87°、93°、93° D.87°、103°、104° 【答案】B 【解析】当∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°时， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴ABCD是平行四边形， ∴四个选项中只有B选项满足题意， 故选：B． 3.在四边形ABCD中，AB∥DC，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需添加的条件是（　　） A.∠A+∠C＝180° B.∠B+∠D＝180° C.∠A+∠D＝180° D.∠A+∠B＝180° 【答案】D 【解析】选项A，B中的两对角是对角关系，不能推出AD∥BC， 选项C只能推出AB∥DC， 选项D中两角是同旁内角， ∵∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， 又∵AB∥DC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故选：D． 4.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠DAC＝∠BCA，当AB 　　CD时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】∥ 【解析】当AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，理由如下： ∵∠DAC＝∠BCA， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：∥． 5.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．请你只添加一个条件 　　　　（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形． 【答案】AE＝CF 【解析】添加条件为：AE＝CF， 理由：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∵AE＝CF， ∴四边形AECF为平行四边形， 故答案为：AE＝CF． 6.如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形DEBF为平行四边形，你添加的条件是 　　． （2）添加了条件后，请证明四边形DEBF为平行四边形． 【答案】（1）解：由题意得DE∥BF，由平行四边形的判定可添加的条件是DE＝BF（答案不唯一）， 故答案为：DE＝BF（答案不唯一）； （2）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴DE∥BF， ∵DE＝BF， ∴四边形DEBF为平行四边形． 7.求证：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，　　　　　　　　　　　　　　　　； 求证：　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】解：已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C， 求证：四边形ABCD是平行四边形； 证明：∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠C+∠B＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故答案为：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C；四边形ABCD是平行四边形． 六、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.1：2：3：4 B.2：2：3：3 C.2：3：2：3 D.2：3：3：2 【答案】C 【解析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知C正确． 故选：C． 2.在四边形ABCD中，AD＝BC，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.AB＝CD B.AB∥CD C.AD∥BC D.∠A+∠B＝180° 【答案】B 【解析】A、∵AD＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB∥CD，AD＝BC，可能是等腰梯形，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意； C、∵AD＝BC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 3.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A.AB＝AD，CB＝CD B.∠A＝∠B，∠C＝∠D C.AB＝CD，AD＝BC D.AB∥CD，AD＝BC 【答案】C 【解析】A、若AB＝AD，CB＝CD，无法判定，四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误； B、∠A＝∠B，∠C＝∠D，无法判定，四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误； C、AB＝CD，AD＝BC，可判定是平行四边形的条件，故此选项正确； D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故此选项错误． 故选：C． 4.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 【答案】6；4 【解析】因为对边相等的四边形为平行四边形， 所以当BC＝AD＝6 cm，CD＝AB＝4 cm时， 四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：6；4． 5.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 【答案】AB＝CD（答案不唯一） 【解析】添加条件为AB＝CD， ∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 6.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴AB＝CD， 又AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 【答案】解：（1）∵两个直角三角板全等， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）选择图①， AC和BD交于O， ∵∠CBD＝30°，∠CDB＝90°， ∴CDBC12＝6， ∴BD＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ODBD＝3，AC＝2OC， ∴OC3， ∴AC＝2OC＝6． 七、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.OA＝OB，OC＝OD B.OA＝OC，OB＝OD C.OB＝AB，OD＝CD D.OA＝OB，AC＝BD 【答案】B 【解析】A、OA＝OB，OC＝OD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意； B、OA＝OC，OB＝OD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、OB＝AB，OD＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； D、OA＝OB，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2.下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　） A.对角线相互垂直 B.对角线互相平分 C.一组对角相等 D.一组对边相等 【答案】B 【解析】A、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误； D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误． 故选：B． 3.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝CD，AO＝CO C.AB＝CD，AD＝BC D.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 【答案】B 【解析】A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意； C、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，现有三个条件：①AD＝BC；②OB＝OD；③AB＝CD．其中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有__________（只写序号即可）． 【答案】①② 【解析】①∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①符合题意； ②∵AD∥BC， ∴∠OBC＝∠ODA， 又∵OB＝OD，∠BOC＝∠DOA， ∴△OBC≌△ODA（ASA）， ∴OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故②符合题意； ③由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故③不符合题意； 故答案为：①②． 5.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形有 　　　　（填序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】①AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ②AB＝CD，AD＝BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ③AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形； ④OA＝OC，OB＝OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ⑤∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； 故答案为：①②④⑤． 6.在四边形ABCD中，AD＝4，OA＝OC＝5，BD＝6，∠ADB＝90°，求证四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AD＝4，OA＝OC＝5，∠ADB＝90°， ∴DO3， ∵BD＝6， ∴DO＝OB＝3， ∴四边形ABCD为平行四边形． 7.如图，线段AC与BD相交于点O，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，且BE＝DF，AF＝CE，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形ABCD为平行四边形． 【答案】证明：∵AC⊥BE，AC⊥DF， ∴∠BEO＝∠DFO＝90°， 在△BEO与△DFO中， ∴△BEO≌△DFO（AAS）， ∴EO＝FO，BO＝DO， 又∵AF＝CE， ∴AF﹣FO＝CE﹣EO， ∴AO＝CO， 又∵BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形． 八、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.如图，一组平行线l1，l2被另外一组平行线l3，l4（与l1，l3不垂直）所截，交点分别为A，B，C，D，此时四边形ABCD为平行四边形，判定的依据是（　　） A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】∵一组平行线l1，l2被另外一组平行线l3，l4（与l1，l3不垂直）所截， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 故选：A． 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.AB∥CD，AD∥BC B.OA＝OC，OB＝OD C.AB＝CD，AD＝BC D.AB∥CD，AD＝BC 【答案】D 【解析】A、∵AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故本选项能判定这个四边形是平行四边形； B、∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故本选项能判定这个四边形是平行四边形； C、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故本选项能判定这个四边形是平行四边形； D、∵AB∥DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形， 故本选项不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 3.如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，若添加条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件不可以是（　　） A.AE∥CF B.BE＝DF C.∠BAE＝∠DCF D.AE＝CF 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD， 若AE∥CF，则四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意； 若BE＝DF，则CE＝AF，即四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意； 若∠BAE＝∠DCF，则∠EAF＝∠ECF， ∵AD∥BC， ∴∠EAF+∠AEC＝180°，∠ECF+∠AFC＝180°， ∴∠AEC＝∠AFC， ∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意； 若AE＝CF，无法证明四边形AECF是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 4.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，请添加一个条件 　　　　　，使四边形AFCE是平行四边形（填一个即可） 【答案】BF＝DE（答案不唯一） 【解析】添加的条件为BF＝DE； 连接AC交BD于O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BF＝DE， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形； 故答案为：BF＝DE（答案不唯一）． 5.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　　． 【答案】8 【解析】∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDF， ∴∠DFC＝∠CDF， ∴CF＝CD， 同理BE＝AB， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴AB＝BE＝CF＝CD＝5， ∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8， ∴AD＝BC＝8， 故答案为：8． 6.如图，△ABC中，D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且DE∥AC，DE＝AF，延长FD到G，使DG＝DF．求证：AG和DE互相平分． 【答案】证明：连接EG、AD，如图所示： ∵ED∥AF，且ED＝AF， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴AE＝DF， 又DG＝DF， ∴AE＝DG， ∴四边形AEGD是平行四边形， ∴AG和DE互相平分． 7.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BE平分∠ABD，交AC于点E，DF平分∠CDB，交AC于点F，点G在BE的延长线上，且BE＝EG，连接DG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若BD＝2AB，DF＝4，AC＝6，求四边形DGEF的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABD＝∠CDB，∠BAE＝∠CDF， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴∠ABEABD，∠CDFCDB， ∴∠ABE＝∠CDF， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD， ∴BD＝2OB， ∵BD＝2AB， ∴OB＝AB＝OD＝CD， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴BE⊥AC，DF⊥OC，OE＝AE，CF＝OF， ∴BE∥DF， ∴EG∥DF， ∵△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF， ∵BE＝EG， ∴EG＝DF， ∴四边形DGEF是平行四边形， ∴EF＝DG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝AOAC6＝3， ∴AE＝OEAO， ∴EF＝OE+OF3， ∴四边形DGEF的周长为2（DF+EF）＝2×（3+4）＝14． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABD＝∠CDB，∠BAE＝∠CDF， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴∠ABEABD，∠CDFCDB， ∴∠ABE＝∠CDF， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD， ∴BD＝2OB， ∵BD＝2AB， ∴OB＝AB＝OD＝CD， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴BE⊥AC，DF⊥OC，OE＝AE，CF＝OF， ∴BE∥DF， ∴EG∥DF， ∵△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF， ∵BE＝EG， ∴EG＝DF， ∴四边形DGEF是平行四边形， ∴EF＝DG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝AOAC6＝3， ∴AE＝OEAO， ∴EF＝OE+OF3， ∴四边形DGEF的周长为2（DF+EF）＝2×（3+4）＝14． 九、反证法 1.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（　　） A.两锐角都大于45° B.有一个锐角小于45° C.有一个锐角大于45° D.两锐角都小于45° 【答案】A 【解析】反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°， 故选：A． 2.用反证法证明“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”时，第一步应假设（　　） A.∠B≠90° B.AB≠AC C.∠B＞90° D.∠B≥90° 【答案】D 【解析】用反证法证明：“已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”时， 第一步应假设：∠B≥90°， 故选：D． 3.下列说法中，正确的是（　　） A.不等式只有2个解 B.不等式x+5＞3的解集为x＞2 C.用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都大于60° D.有两个角相等的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】A、不等式有无数个解，选项说法错误，故不符合题意； B、不等式x+5＞3的解集为x＞﹣2，选项说法错误，故不符合题意； C、用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设：这个三角形中每一个内角都大于60°，选项说法正确，故符合题意； D、有两个角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，比如等腰直角三角形，故选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 4.“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】对角线不互相平分的四边形是平行四边形 【解析】根据用反证法证明应首先从命题的反面出发，假设在原命题条件下， 结论不成立即：假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形， 故答案为：假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形． 5.用反证法证明某一命题的结论“a＜3”时，第一步应假设 　　　． 【答案】a≥3 【解析】用反证法证明“a＜3”时，应先假设a≥3． 故答案为：a≥3． 6.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 【答案】证明：假设点M与点D重合．延长AM到N，使AM＝MN，连接BN． 在△AMC和△NMB中， ∵AM是BC边上的中线． ∴BM＝CM， ∵∠AMC＝∠NMB，AM＝MN， ∴△AMC≌△NMB（SAS）； ∴∠MAC＝∠MNB，BN＝AC； ∵AM（AD）是∠BAC的平分线， ∴∠BAM＝∠MAC， ∴∠MNB＝∠BAM， 则BN＝AB， 即AC＝AB，与AB＞AC相矛盾． ∴M与点D重合是错误的． ∴点M与点D不重合． 7.用反证法证明：在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直． 如图，有如下步骤： ①∵∠PAB+∠PBA+∠APB＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②∴假设不成立，原命题成立； ③假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直，不妨设PA⊥直线l于点A，PB⊥直线l于点B； ④∴∠PAB＝90°，∠PBA＝90°． 其中正确的顺序是 　　．（填序号） 【答案】③④①② 【解析】假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直，不妨设PA⊥直线l于点A，PB⊥直线l于点B， ∴∠PAB＝90°，∠PBA＝90°， ∵∠PAB+∠PBA+∠APB＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ∴假设不成立，原命题成立， 故答案为：③④①②． 学科网（北京）股份有限公司 $$