9.3 平行四边形 暑假巩固练习 2024--2025学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假巩固 一、有关平行四边形的边的性质 1.已知▱ABCD的周长为28，若AD＝6，AB的长为（　　） A.14 B.10 C.8 D.6 2.如图，▱ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接AE、DE，连接AF交ED于点P，连接BF分别交AE、DE于点G、H，设△BGE的面积为S1，△PDF的面积为S2，四边形CEHF的面积为S3，若S1＝2，S2＝3，S3＝18，则阴影部分四边形AGHP的面积为（　　） A.17 B.19 C.18.5 D.23 3.如图，平行四边形ABCD与平行四边形EFGH全等，且A、B、C、D的对应顶点分别是H、E、F、G，其中E在DC上，F在BC上，C在FG上．若AB＝7，AD＝5，FC＝3，则四边形ECGH的周长为何？（　　） A.21 B.20 C.19 D.18 4.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为　　　　． 5.如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC的角平分线交AD相交于点E，连接CE．若CE⊥AD，则▱ABCD的面积为 　　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，CE，延长CE交BA的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）当时，求证：BE平分∠ABC． 7.已知：如图，在▱ABCD中，点E为边BC的中点，连接DE、DB，过点B作BF⊥DE，交DE的延长线于点F．且∠DBC+∠C＝∠ABD． （1）求∠BDC的度数； （2）若AD＝10，BF＝4，求▱ABCD的面积． 二、平行四边形的对角线互相平分 1.平行四边形的对角线长为x、y，一边长为14，则x、y的值可能是（　　） A.12和16 B.20和22 C.10和16 D.8和36 2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则AB的长不可能是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10，AB＝3．则△OCD的周长为（　　） A.13 B.8 C.7 D.5 4.已知▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大3，那么AB＝　　　． 5.如图，▱ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 　　　． 6.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别是OA、OC的中点．求证：BE＝DF． 7.如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB，CD于点E，F．求证：OE＝OF． 三、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（　　） A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2.下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A.一组对角相等，一组邻角互补 B.一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线 C.一组对边平行，一组对角相等 D.一组对边平行，另一组对边相等 3.下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A.对角线互相平分 B.两组对边分别相等 C.对角线互相垂直 D.一组对边平行，一组对角相等 4.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，请添加一个条件 　　　　　，使四边形AFCE是平行四边形（填一个即可） 5.如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 　　． 6.如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．求证： （1）DE＝BF； （2）四边形AFCE是平行四边形． 7.如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．求线段EF的长． 四、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.如图，若再增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形ABCD为平行四边形，则这条线段为（　　） A.a B.b C.c D.d 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使ABCD为平行四边形，下列添加的条件不能是（　　） A.AD∥BC B.∠B＝∠D C.AB＝CD D.AD＝BC 3.如图，在四边形中作标注（角的标记中弧线数量相同的表示角相等），下列判断正确的是（　　） A.只有图1中的四边形一定是平行四边形 B.只有图2中的四边形一定是平行四边形 C.图1、图2中的四边形都一定是平行四边形 D.图1、图2中的四边形都一定不是平行四边形 4.如图，△ABC、△ACE、△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有__________个． 5.四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，当CD＝　　时，这个四边形是平行四边形． 6.如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 7.图1是某小区倾斜式停车位，图2是车位示意图，工人在绘制时保证AD＝BC，∠A＝60°，∠B＝120°． （1）请判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AD为6米，AB为2.8米，求停车位ABCD的面积． 五、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.OA＝OB，OC＝OD B.OA＝OC，OB＝OD C.OB＝AB，OD＝CD D.OA＝OB，AC＝BD 2.下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　） A.对角线相互垂直 B.对角线互相平分 C.一组对角相等 D.一组对边相等 3.如图，在四边形ABCD中，AC交BD于点O，O为AC中点，下列条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.OB＝OD B.AB＝CD C.AC＝BD D.AD＝BC 4.如图，在四边形ABCD中，AO＝OC，BD＝12厘米，则当OB＝_____厘米时，四边形ABCD是平行四边形． 5.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形有 　　　　（填序号）． 6.如图，线段AC与BD相交于点O，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，且BE＝DF，AF＝CE，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形ABCD为平行四边形． 7.如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE＝BD，连接AE、CE． 求证：四边形ABCE是平行四边形． 六、反证法 1.用反证法证明“若▱ABCD的周长为16，则较长边AB的长不小于4”时，应假设（　　） A.AB＞4 B.AB≥4 C.AB＜4 D.AB≤4 2.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（　　） A.有两个角是直角 B.有两个角是钝角 C.有两个角是锐角 D.一个角是直角 3.用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（　　） A.a＞b B.a＝b C.a≤b D.a≥b 4.“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设　　　　　　　　　　　　　　． 5.用反证法证明命题：“一组对边平行但不相等的四边形不是平行四边形”时，第一步应假设 　　　　　　　　　　　　　　　　． 6.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 7.用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角． 求证：∠ACD＝∠A+∠B. 证明：假设 　　． 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴　　＝180°﹣∠ACB． ∵∠ACD+　　＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣　　， ∴∠ACD＝　　． 与假设相矛盾， ∴假设　　, ∴原命题成立，即∠ACD＝∠A+∠B． 七、平行四边形性质的综合应用 1.如图，在探究平行四边形ABCD的性质时，通过添加辅助线AC，可以推理出的结论是（　　） A.平行四边形邻边相等 B.平行四边形对边相等和对角相等 C.平行四边形对角线互相平分 D.平行四边形是轴对称图形 2.平行四边形不一定具有的性质是（　　） A.对边平行 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线垂直 3.如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC＝10，AB＝6，∠ABC＝140°，则下列结论不一定正确的是（　　） A.CD＝6 B.OC＝5 C.∠ADC＝140° D.∠BAC＝20° 4.如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE沿BC方向平移得到△DCF，S＝12，h＝3，则△ABE的平移距离为 　　． 5.如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝16，则△BOC的周长为 　　． 6.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O，延长EF交AD的延长线于点G． （1）求证：BO＝DO； （2）若BD⊥AD，∠BEG＝90°，∠A＝45°，，求AD的长． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 八、有关平行四边形的角的性质 1.在平行四边形ABCD中，∠A＝110°，则∠C的度数为（　　） A.120° B.110° C.80° D.70° 2.如图，在平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数是（　　） A.130° B.115° C.65° D.50° 3.如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE与CD边相交于点E．若∠A＝44°，则∠BEC的度数为（　　） A.68° B.44° C.56° D.88° 4.在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C＝100°，则∠D＝　　　°． 5.如图，在▱ABCD中，∠D＝45°，∠CAD＝30°，则∠BAC＝　　　　°． 6.如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F． （1）若AB＝4，AD＝6，求EC的长； （2）若∠F＝62°，求∠BAE和∠D的度数． 7.已知：如图，在▱ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF＝AB，连接FD，交BC于点E． （1）求证：△DCE≌△FBE； （2）若EC＝3，求AD的长． 九、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A.AB＝AD，CB＝CD B.∠A＝∠B，∠C＝∠D C.AB＝CD，AD＝BC D.AB∥CD，AD＝BC 2.如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列结论不一定正确的是（　　） A.△ABC≌△DEF B.∠ABE＝90° C.AD∥BE D.四边形BCFE是平行四边形 3.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 4.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 5.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 6.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假巩固（参考答案） 一、有关平行四边形的边的性质 1.已知▱ABCD的周长为28，若AD＝6，AB的长为（　　） A.14 B.10 C.8 D.6 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD＝6， 又∵▱ABCD的周长为28， ∴2（AB+AD）＝28， ∴AB+AD＝14， ∴AB＝14﹣6＝8； 故选：C． 2.如图，▱ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接AE、DE，连接AF交ED于点P，连接BF分别交AE、DE于点G、H，设△BGE的面积为S1，△PDF的面积为S2，四边形CEHF的面积为S3，若S1＝2，S2＝3，S3＝18，则阴影部分四边形AGHP的面积为（　　） A.17 B.19 C.18.5 D.23 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ADE＝S△ADF+S△BCFS▱ABCD， 设S△ADP＝a，S△ABG＝b，S△FHP＝x，S△EGH＝y，S四边形AGHP＝m， 则a+m+y＝a+3+2+y+18， ∴m＝23， 即阴影部分四边形AGHP的面积为23； 故选：D． 3.如图，平行四边形ABCD与平行四边形EFGH全等，且A、B、C、D的对应顶点分别是H、E、F、G，其中E在DC上，F在BC上，C在FG上．若AB＝7，AD＝5，FC＝3，则四边形ECGH的周长为何？（　　） A.21 B.20 C.19 D.18 【答案】A 【解析】∵平行四边形ABCD与平行四边形EFGH全等，且A、B、C、D的对应顶点分别是H、E、F、G， ∴AB＝CD＝HE＝FG＝7，AD＝HG＝EF＝5，∠DCB＝∠GFE， ∴EF＝EC＝5， ∵FC＝3， ∴CG＝FG﹣FC＝4， ∵四边形ECGH的周长＝EC+CG+HG+EH＝5+4+5+7＝21， 故选：A． 4.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为　　　　． 【答案】48 【解析】∵▱ABCD的周长＝2（BC+CD）＝40， ∴BC+CD＝20①， ∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6， ∴S▱ABCD＝4BC＝6CD， 整理得，BCCD②， 联立①②解得，CD＝8， ∴▱ABCD的面积＝AF•CD＝6CD＝6×8＝48． 故答案为：48． 5.如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC的角平分线交AD相交于点E，连接CE．若CE⊥AD，则▱ABCD的面积为 　　． 【答案】32 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝8，CD＝AB＝5， ∴∠AEB＝∠CBE， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠AEB＝CBE， ∴AB＝AE＝5， ∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3， ∵CE⊥AD， ∴∠CED＝90°， ∴CE， ∴▱ABCD的面积＝AD•CE＝8×4＝32， 故答案为：32． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，CE，延长CE交BA的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）当时，求证：BE平分∠ABC． 【答案】证明：（1）∵ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠F＝∠FCD， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）； （2）∵E是AD的中点， ∴， ∵， ∴AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴BE平分∠ABC． 7.已知：如图，在▱ABCD中，点E为边BC的中点，连接DE、DB，过点B作BF⊥DE，交DE的延长线于点F．且∠DBC+∠C＝∠ABD． （1）求∠BDC的度数； （2）若AD＝10，BF＝4，求▱ABCD的面积． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵∠DBC+∠C＝∠ABD， ∴∠DBC+∠C＝∠BDC， ∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°， ∴∠BDC+∠BDC＝180°， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BDC的度数是90°． （2）∵∠BDC＝90°，BC＝AD＝10，点E为边BC的中点， ∴DE＝BE＝CEBC＝5， ∵BF⊥DE，交DE的延长线于点F，且BF＝4， ∴S△CDE＝S△BDEDE•BF5×4＝10， ∴S△CDB＝S△CDE+S△BDE＝10+10＝20， ∵▱ABCD是中心对称图形， ∴△ABD绕▱ABCD的对称中心旋转180°与△CDB完全重合， ∴S△ABD＝S△CDB＝20， ∴S▱ABCD＝S△ABD+S△CDB＝20+20＝40， ∴▱ABCD的面积为40． 二、平行四边形的对角线互相平分 1.平行四边形的对角线长为x、y，一边长为14，则x、y的值可能是（　　） A.12和16 B.20和22 C.10和16 D.8和36 【答案】B 【解析】A、根据三角形的三边关系可知：6+8＝14，不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、10+11＞14，能构成三角形，故此选项正确，符合题意； C、5+8＜14，不能构成三角形，故此选项错误，不符合题意； D、4+14＝18，不能构成三角形，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则AB的长不可能是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵AC＝4，BD＝6， ∴AO＝2，BO＝3， 在△OAB中，3﹣2＜AB＜2+3， ∴1＜AB＜5， ∴AB的值不可能是5，可能是2，3，4， 故A符合题意；B、C、D不符合题意； 故选：A． 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10，AB＝3．则△OCD的周长为（　　） A.13 B.8 C.7 D.5 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝3， C△OCD＝CD+OD+OC＝CD（AC+BD）， ∴C△OCD＝310＝8． 故选：B． 4.已知▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大3，那么AB＝　　　． 【答案】9 【解析】如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC， ∵△AOB的周长比△BOC的周长大3， ∴（AO+BO+AB）﹣（BO+OC+BC）＝3， ∴AO+BO+AB﹣BO﹣OC﹣BC＝3， ∴AB﹣BC＝3， ∵▱ABCD的周长是30， ∴2（AB+BC）＝30，即AB+BC＝15， ∴AB＝9， 故答案为：9． 5.如图，▱ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 　　　． 【答案】12 cm 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OE⊥BD， ∴OE是BD的垂直平分线， ∴BE＝DE， ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD24＝12（cm）， 故答案为：12 cm． 6.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别是OA、OC的中点．求证：BE＝DF． 【答案】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O， ∴OB＝OD，OA＝OC． 又∵E，F分别是OA、OC的中点， ∴OEOA，OFOC， ∴OE＝OF． ∵在△BEO与△DFO中，， ∴△BEO≌△DFO（SAS）， ∴BE＝DF． 7.如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB，CD于点E，F．求证：OE＝OF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（ASA）， ∴OE＝OF． 三、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（　　） A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】∵O是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； 故选：A． 2.下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A.一组对角相等，一组邻角互补 B.一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线 C.一组对边平行，一组对角相等 D.一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【解析】A、∵一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形， ∴选项A不符合题意； B、∵一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形， ∴选项B不符合题意； C、∵一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形， ∴选项C不符合题意； D、∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， ∴选项D符合题意； 故选：D． 3.下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A.对角线互相平分 B.两组对边分别相等 C.对角线互相垂直 D.一组对边平行，一组对角相等 【答案】C 【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故该选项符合题意； D、一组对边平行，一组对角相等，可得另一组对角相等，由两组对角相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选：C． 4.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，请添加一个条件 　　　　　，使四边形AFCE是平行四边形（填一个即可） 【答案】BF＝DE（答案不唯一） 【解析】添加的条件为BF＝DE； 连接AC交BD于O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BF＝DE， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形； 故答案为：BF＝DE（答案不唯一）． 5.如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 　　． 【答案】4 【解析】设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高， ∴S△EAD+S△ECB AD•h1CB•h2AD（h1+h2） S四边形ABCD ＝4． 故答案为：4． 6.如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．求证： （1）DE＝BF； （2）四边形AFCE是平行四边形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB＝90°， ∴△AED≌△CFB（AAS）， ∴DE＝BF． （2）∵△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF， ∵∠AEF＝∠CFE＝90°， ∴AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形． 7.如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．求线段EF的长． 【答案】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵AB⊥BF，AB＝16，BF＝12， ∴AF20， ∵AC＝24， ∴AE＝CF＝AC﹣AF＝4， ∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝24﹣4﹣4＝16． 四、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.如图，若再增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形ABCD为平行四边形，则这条线段为（　　） A.a B.b C.c D.d 【答案】A 【解析】这条线段为a， 理由：∵∠DAC＝∠ACB＝55°， ∴AD∥BC， ∵AD＝a＝5，BC＝5， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故选：A． 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使ABCD为平行四边形，下列添加的条件不能是（　　） A.AD∥BC B.∠B＝∠D C.AB＝CD D.AD＝BC 【答案】D 【解析】A、当AB∥CD，AD∥BC时， 故可证明四边形ABCD为平行四边形； B、∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠C+∠D＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴可证明四边形ABCD为平行四边形； C、当AB∥CD，AB＝DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形； D、当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形； 故选：D． 3.如图，在四边形中作标注（角的标记中弧线数量相同的表示角相等），下列判断正确的是（　　） A.只有图1中的四边形一定是平行四边形 B.只有图2中的四边形一定是平行四边形 C.图1、图2中的四边形都一定是平行四边形 D.图1、图2中的四边形都一定不是平行四边形 【答案】A 【解析】图1中，四边形的两组对角分别相等，判定四边形是平行四边形， 图2中，由内错角相等，两直线平行只能推出四边形的左右一组对边平行，不能判定上下对边平行，因此不能判定四边形是平行四边形． 4.如图，△ABC、△ACE、△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有__________个． 【答案】2 【解析】∵∠B＝60°，∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝60°+60°＝120°， ∴∠B+∠BAE＝180°， ∴AE∥BD， ∵AE＝BC＝CD， ∴四边形AECB，AEDC是平行四边形． 故答案为：2． 5.四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，当CD＝　　时，这个四边形是平行四边形． 【答案】3 【解析】∵当AB＝CD，AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形， ∴当CD＝AB＝3时，这个四边形是平行四边形． 故答案为：3. 6.如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵DF∥BE， ∴∠DFE＝∠BEC， ∴在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE， ∴AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.图1是某小区倾斜式停车位，图2是车位示意图，工人在绘制时保证AD＝BC，∠A＝60°，∠B＝120°． （1）请判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AD为6米，AB为2.8米，求停车位ABCD的面积． 【答案】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下： ∵∠A＝60°，∠D＝120°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， 又∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）如图，过点C作CE⊥AB于点E， 由（1）可知，四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝6米， ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBE＝180°﹣120°＝60°， ∴BEBC6＝3（米）， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE3（米）， ∴S平行四边形ABCD＝AB•CE＝2.8×3（平方米）， 答：停车位ABCD的面积为平方米． 五、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.OA＝OB，OC＝OD B.OA＝OC，OB＝OD C.OB＝AB，OD＝CD D.OA＝OB，AC＝BD 【答案】B 【解析】A、OA＝OB，OC＝OD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意； B、OA＝OC，OB＝OD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、OB＝AB，OD＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； D、OA＝OB，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2.下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　） A.对角线相互垂直 B.对角线互相平分 C.一组对角相等 D.一组对边相等 【答案】B 【解析】A、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误； D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误． 故选：B． 3.如图，在四边形ABCD中，AC交BD于点O，O为AC中点，下列条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.OB＝OD B.AB＝CD C.AC＝BD D.AD＝BC 【答案】A 4.如图，在四边形ABCD中，AO＝OC，BD＝12厘米，则当OB＝_____厘米时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】6 【解析】∵AO＝OC， ∴当OB＝OD时，四边形ABCD是平行四边形， ∵BD＝12厘米， ∴OBBD12＝6（厘米）， 故答案为：6． 5.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形有 　　　　（填序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】①AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ②AB＝CD，AD＝BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ③AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形； ④OA＝OC，OB＝OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ⑤∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； 故答案为：①②④⑤． 6.如图，线段AC与BD相交于点O，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，且BE＝DF，AF＝CE，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形ABCD为平行四边形． 【答案】证明：∵AC⊥BE，AC⊥DF， ∴∠BEO＝∠DFO＝90°， 在△BEO与△DFO中， ∴△BEO≌△DFO（AAS）， ∴EO＝FO，BO＝DO， 又∵AF＝CE， ∴AF﹣FO＝CE﹣EO， ∴AO＝CO， 又∵BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE＝BD，连接AE、CE． 求证：四边形ABCE是平行四边形． 【答案】证明：∵BD是△ABC的AC边上的中线， ∴AD＝CD， ∵DE＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形． 六、反证法 1.用反证法证明“若▱ABCD的周长为16，则较长边AB的长不小于4”时，应假设（　　） A.AB＞4 B.AB≥4 C.AB＜4 D.AB≤4 【答案】C 【解析】用反证法证明“若▱ABCD的周长为16，则较长边AB的长不小于4”时，应假设：AB＜4． 故选：C． 2.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（　　） A.有两个角是直角 B.有两个角是钝角 C.有两个角是锐角 D.一个角是直角 【答案】A 【解析】用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”， 应先假设这个三角形中有两个角是直角． 故选：A． 3.用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（　　） A.a＞b B.a＝b C.a≤b D.a≥b 【答案】D 【解析】根据反证法的步骤，得第一步应假设a＜b不成立，即a≥b． 故选：D． 4.“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】对角线不互相平分的四边形是平行四边形 【解析】根据用反证法证明应首先从命题的反面出发，假设在原命题条件下， 结论不成立即：假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形， 故答案为：假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形． 5.用反证法证明命题：“一组对边平行但不相等的四边形不是平行四边形”时，第一步应假设 　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】一组对边平行但不相等的四边形是平行四边形 【解析】用反证法证明某个命题的结论“一组对边平行但不相等的四边形不是平行四边形”时，第一步应假设一组对边平行但不相等的四边形是平行四边形， 故答案为：一组对边平行但不相等的四边形是平行四边形． 6.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 【答案】证明：假设点M与点D重合．延长AM到N，使AM＝MN，连接BN． 在△AMC和△NMB中， ∵AM是BC边上的中线． ∴BM＝CM， ∵∠AMC＝∠NMB，AM＝MN， ∴△AMC≌△NMB（SAS）； ∴∠MAC＝∠MNB，BN＝AC； ∵AM（AD）是∠BAC的平分线， ∴∠BAM＝∠MAC， ∴∠MNB＝∠BAM， 则BN＝AB， 即AC＝AB，与AB＞AC相矛盾． ∴M与点D重合是错误的． ∴点M与点D不重合． 7.用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角． 求证：∠ACD＝∠A+∠B. 证明：假设 　　． 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴　　＝180°﹣∠ACB． ∵∠ACD+　　＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣　　， ∴∠ACD＝　　． 与假设相矛盾， ∴假设　　, ∴原命题成立，即∠ACD＝∠A+∠B． 【答案】证明：假设∠ACD≠∠A+∠B． 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB． ∵∠ACD+∠ACB＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB， ∴∠ACD＝∠A+∠B， 与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即∠ACD＝∠A+∠B． 故答案为：∠ACD≠∠A+∠B；∠A+∠B；∠ACB；∠ACB；∠A+∠B，不成立． 七、平行四边形性质的综合应用 1.如图，在探究平行四边形ABCD的性质时，通过添加辅助线AC，可以推理出的结论是（　　） A.平行四边形邻边相等 B.平行四边形对边相等和对角相等 C.平行四边形对角线互相平分 D.平行四边形是轴对称图形 【答案】B 【解析】添加辅助线AC， ∵ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAC＝∠ACB，∠DCA＝∠BAC， 又∵AC＝CA， ∴△DAC≌△BCA（ASA）， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠D＝∠B， 故选：B． 2.平行四边形不一定具有的性质是（　　） A.对边平行 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线垂直 【答案】D 【解析】∵平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分， ∴平行四边形不一定具有的性质是D选项． 故选：D． 3.如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC＝10，AB＝6，∠ABC＝140°，则下列结论不一定正确的是（　　） A.CD＝6 B.OC＝5 C.∠ADC＝140° D.∠BAC＝20° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，AC＝10，AB＝6，∠ABC＝140°， ∴CD＝AB＝6，OC＝OAAC＝5，∠ADC＝∠ABC＝140°， 故A不符合题意，B不符合题意，C不符合题意； ∵AD∥BC， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝40°， 假设∠BAC＝20°成立，则∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝20°， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵∠DAC＝∠BCA， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，与已知条件不符， ∴∠BAC＝20°不成立， 故D符合题意， 故选：D． 4.如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE沿BC方向平移得到△DCF，S＝12，h＝3，则△ABE的平移距离为 　　． 【答案】4 【解析】∵S＝ah，S＝12，h＝3， ∴a＝4． ∴△ABE的平移距离为4． 故答案为：4． 5.如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝16，则△BOC的周长为 　　． 【答案】14 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵AC+BD＝16， ∴， ∴△BOC的周长＝OB+OC+BC＝14， 故答案为：14． 6.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O，延长EF交AD的延长线于点G． （1）求证：BO＝DO； （2）若BD⊥AD，∠BEG＝90°，∠A＝45°，，求AD的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠OBE＝∠ODF． 在△OBE与△ODF中， ， ∴△OBE≌△ODF（AAS）． ∴BO＝DO； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠GDF＝45°，∠GFD＝∠AEG＝90°， ∴△GFD是等腰直角三角形， ∴FG＝DF，DGFG＝2，∠G＝45°， ∵BD⊥AD， ∴△DGO是等腰直角三角形， ∴DG＝DO＝2， ∴DO＝BO＝2， ∴DB＝4， ∵∠A＝45°，BD⊥AD， ∴∠A＝∠ABD＝45°， ∴AD＝BD＝4． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BF＝DE， ∴BE＝DF， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵AD＝AE， ∴， ∴∠AEB＝180°﹣∠AED＝180°﹣40°＝140°， ∵△ABE≌△CDF， ∴∠DFC＝∠AEB＝140°． 八、有关平行四边形的角的性质 1.在平行四边形ABCD中，∠A＝110°，则∠C的度数为（　　） A.120° B.110° C.80° D.70° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠A， ∵∠A＝110°， ∴∠C＝110°， 故选：B． 2.如图，在平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数是（　　） A.130° B.115° C.65° D.50° 【答案】B 【解析】在平行四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°， 又有∠A﹣∠B＝50°， 把这两个式子相加即可求出∠A＝115°， 故选：B． 3.如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE与CD边相交于点E．若∠A＝44°，则∠BEC的度数为（　　） A.68° B.44° C.56° D.88° 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝44°， ∴∠ABC＝136°，AB∥CD， ∴∠BEC＝∠ABE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝68°＝∠BEC， 故选：A． 4.在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C＝100°，则∠D＝　　　°． 【答案】130 【解析】如图： ∵∠A+∠C＝100°， ∴∠B+∠D＝260°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D＝130°， 故答案为：130． 5.如图，在▱ABCD中，∠D＝45°，∠CAD＝30°，则∠BAC＝　　　　°． 【答案】105 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D＝45°，AB∥CD， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣45°＝135°， ∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝135°﹣30°＝105°， 故答案为：105． 6.如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F． （1）若AB＝4，AD＝6，求EC的长； （2）若∠F＝62°，求∠BAE和∠D的度数． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD，AD＝BC＝6， ∴∠FAD＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAF， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴BA＝BE， ∵AB＝4， ∴BE＝4， ∴CE＝BC﹣BE＝2， （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，∠B＝∠D， ∴∠BAE＝∠F， ∵∠F＝62°， ∴∠F＝∠BAE＝62°， ∴∠B＝56°， ∴∠D＝56°． 7.已知：如图，在▱ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF＝AB，连接FD，交BC于点E． （1）求证：△DCE≌△FBE； （2）若EC＝3，求AD的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠F＝∠CDE， ∵BF＝AB， ∴BF＝CD， 在△DCE和△FBE中， ， ∴△DCE≌△FBE（AAS）． （2）解：∵△DCE≌△FBE（AAS），EC＝3， ∴BE＝EC＝3， ∴BC＝2BE＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝6． 九、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A.AB＝AD，CB＝CD B.∠A＝∠B，∠C＝∠D C.AB＝CD，AD＝BC D.AB∥CD，AD＝BC 【答案】C 【解析】A、若AB＝AD，CB＝CD，无法判定，四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误； B、∠A＝∠B，∠C＝∠D，无法判定，四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误； C、AB＝CD，AD＝BC，可判定是平行四边形的条件，故此选项正确； D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故此选项错误． 故选：C． 2.如图，△ABC平移到△DEF的位置，则下列结论不一定正确的是（　　） A.△ABC≌△DEF B.∠ABE＝90° C.AD∥BE D.四边形BCFE是平行四边形 【答案】B 【解析】∵△ABC平移到△DEF的位置， ∴△ABC≌△DEF，故A不符合题意； ∠ABE不一定等于90°，故B符合题意； AD∥BE，故C不符合题意； BC＝EF，BE=CF， ∴四边形BCFE是平行四边形，故D不符合题意． 故选：B． 3.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、由同旁内角互补，两直线平行，判定四边形的上下一组对边平行，但不能判定左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意； B、由同旁内角互补，两直线平行，判定四边形左右一组对边平行，不能判定四边形的上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； C、由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，故C符合题意； D、四边形的左右一组对边相等，但上下一组对边不一定相等，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意． 故选：C． 4.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 【答案】6；4 【解析】因为对边相等的四边形为平行四边形， 所以当BC＝AD＝6 cm，CD＝AB＝4 cm时， 四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：6；4． 5.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 【答案】AB＝CD（答案不唯一） 【解析】添加条件为AB＝CD， ∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 6.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 【答案】解：（1）∵两个直角三角板全等， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）选择图①， AC和BD交于O， ∵∠CBD＝30°，∠CDB＝90°， ∴CDBC12＝6， ∴BD＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ODBD＝3，AC＝2OC， ∴OC3， ∴AC＝2OC＝6． 7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴AB＝CD， 又AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$