9.3 平行四边形 暑假巩固 2024—2025学年苏科版数学八年级下册

苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假巩固 一、有关平行四边形的角的性质 1.在▱ABCD中，若∠A：∠B＝3：1，则∠D的度数为（　　）度． A.60 B.45 C.90 D.135 2.图1是一面旗帜，图2是其示意图，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段DA的延长线上，若∠C＝112°，则∠EAB＝（　　） A.38° B.78° C.68° D.112° 3.如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（　　） A.110° B.35° C.70° D.55° 4.在▱ABCD中，若∠A＝∠B+50°，则∠B的度数为 　　度． 5.在▱ABCD中，∠A比∠D大20°，则∠B＝　　　°． 6.如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F． （1）若AB＝4，AD＝6，求EC的长； （2）若∠F＝62°，求∠BAE和∠D的度数． 7.如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF． （1）求证DF∥BE； （2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数． 二、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则AB的长不可能是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 2.平行四边形的对角线长为x、y，一边长为14，则x、y的值可能是（　　） A.12和16 B.20和22 C.10和16 D.8和36 3.如图，平行四边形ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为（　　） A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.8 cm 4.如图，▱ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 　　　． 5.已知▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大3，那么AB＝　　　． 6.在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O．若AB＝6，AC＝8，BD＝14．求△OCD的周长． 7.如图，▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及▱ABCD的面积． 三、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.AB＝CD B.AO＝CO C.AD＝BC D.∠ABC＝∠ADC 2.某班同学在学完平行四边形的判定后，开展了一次课外活动课，课上探索出如下结论，其中正确的是（　　） A.当四边形的一组邻角相等且一组对角互补时，此四边形一定为平行四边形 B.当四边形的一组对角相等且一组对边相等时，此四边形一定为平行四边形 C.当四边形的一组邻角相等且一组对边平行时，此四边形一定为平行四边形 D.当四边形的一组对角相等且一组邻角互补时，此四边形一定为平行四边形 3.四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A.AB＝DC，∠ABC＝∠ADC B.AD∥BC，AB∥DC C.AB＝DC，AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD 4.如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 　　． 5.下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是 　　　　.（填上正确答案的序号） ①一组对边平行，一组对边相等； ②一组对边平行且相等； ③两组对边分别相等； ④两组对边分别平行； ⑤两条对角线相等． 6.在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且BE＝DF，连接AF，CE． （1）如图1，求证：EC＝FA； （2）如图2，连接BD分别交AF，CE于点G，H，连接AH，CG．求证：四边形AGCH是平行四边形． 7.如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．求线段EF的长． 四、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（　　） A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④ 2.关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　） A.①②③④ B.①③④ C.①② D.③④ 3.如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 4.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 5.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 6.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 五、平行四边形性质的综合应用 1.如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC＝10，AB＝6，∠ABC＝140°，则下列结论不一定正确的是（　　） A.CD＝6 B.OC＝5 C.∠ADC＝140° D.∠BAC＝20° 2.如图，在▱ABCD中，下列结论中不一定成立的是（　　） A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCD C.AC⊥BD D.AB＝CD 3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A.∠ABD＝∠CBD B.∠BAD＝2∠ABC C.AB＝BC D.OB＝OD 4.如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝16，则△BOC的周长为 　　． 5.如图，将▱ABCD平均分成三个小平行四边形，再将三个小平行四边形分别平均分成2份、3份和n份，如果阴影部分面积是▱ABCD面积的，则n的值为 　　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 7.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O，延长EF交AD的延长线于点G． （1）求证：BO＝DO； （2）若BD⊥AD，∠BEG＝90°，∠A＝45°，，求AD的长． 六、有关平行四边形的边的性质 1.如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3 cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，若△CDE恰为等边三角形，则AD的长度是（　　）cm． A.6 B. C.8 D.10 2.如图，P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S3＝S2+S4，②若S3＝2S1，则S2＝2S4，③若S1+S3＝5，则ABCD的面积为10；④S1+S2＝S3+S4．其中正确的（　　） A.①③ B.②③ C.①② D.②④ 3.平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为（　　） A.4，8，4，8 B.5，7，5，7 C.5.5，6.5，5.5，6.5 D.13，11，13，11 4.如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝8，BE平分∠ABC交AD于点E，点F是DC的中点，连接EF交BC的延长线于点G，则BG＝　　． 5.如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，BC＝5，AC＝3，则CD的长为 　　． 6.如图，在▱ABCD中，过AC中点O的直线分别交CB，AD的延长线于点E，F． （1）求证：BE＝DF； （2）连结FC，若EF⊥AC，DF＝2，△FDC的周长为16，求▱ABCD的周长． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，CE，延长CE交BA的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）当时，求证：BE平分∠ABC． 七、反证法 1.用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（　　） A.同旁内角互补的两条直线平行 B.同旁内角互补的两条直线不平行 C.同旁内角不互补的两条直线平行 D.同旁内角不互补的两条直线不平行 2.下列说法中，正确的是（　　） A.不等式只有2个解 B.不等式x+5＞3的解集为x＞2 C.用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都大于60° D.有两个角相等的等腰三角形是等边三角形 3.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（　　） A.两锐角都大于45° B.有一个锐角小于45° C.有一个锐角大于45° D.两锐角都小于45° 4.用反证法证明命题“同位角不相等时，两直线不平行”，应假设：　　　　　　　　　　． 5.用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设　　　　　　　　． 6.人教版初中数学教科书七年级下册第18﹣19页告诉我们平行线所具有的3个性质：性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了． 已知：直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF． 证明：假设 　　， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF， ∴PQ∥CD（ 　　）， ∵AB∥CD，且AB也过点G， ∴与（ 　　）矛盾，所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 请完成上面（1）、（2）、（3）空： （1）　　； （2）　　； （3）请选择合理的依据 　　． A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 7.试证明：两直线相交有且只有一个交点． 八、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，AC交BD于点O，O为AC中点，下列条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.OB＝OD B.AB＝CD C.AC＝BD D.AD＝BC 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.OA＝OB，OC＝OD B.OA＝OC，OB＝OD C.OB＝AB，OD＝CD D.OA＝OB，AC＝BD 3.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A.∠1＝∠3，AAS B.∠1＝∠3，ASA C.∠2＝∠3，AAS D.∠2＝∠3，ASA 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，现有三个条件：①AD＝BC；②OB＝OD；③AB＝CD．其中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有__________（只写序号即可）． 5.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形有 　　　　（填序号）． 6.如图，线段AC与BD相交于点O，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，且BE＝DF，AF＝CE，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形ABCD为平行四边形． 7.如图，在四边形ABCD中，AD＝12，OD＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°． （1）求线段OC的长． （2）求证：四边形ABCD为平行四边形． 九、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.四边形ABCD的三个内角∠A、∠B、∠C的度数依次如下，能使四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.87°、103°、87° B.87°、93°、87° C.87°、93°、93° D.87°、103°、104° 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使ABCD为平行四边形，下列添加的条件不能是（　　） A.AD∥BC B.∠B＝∠D C.AB＝CD D.AD＝BC 3.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　） A.∠B+∠C＝180° B.AB＝CD C.∠A＝∠B D.AD＝BC 4.在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC 　　AD，则四边形ABCD为平行四边形． 5.如图，△ABC、△ACE、△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有__________个． 6.如图，E，F是四边形ABCD的边上两点，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 7.数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的高，如果AB+BD＝AC+CD，那么AB＝AC吗？ 悦悦的思考：通过添辅助线“补短”，分别表示出“AB+BD”和“AC+CD”，… （1）根据悦悦的思考，完成上述解答． （2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB+AD＝CD+CB．求证：四边形ABCD是平行四边形． 苏科版八年级下册 9.3 平行四边形 暑假巩固（参考答案） 一、有关平行四边形的角的性质 1.在▱ABCD中，若∠A：∠B＝3：1，则∠D的度数为（　　）度． A.60 B.45 C.90 D.135 【答案】B 【解析】设∠A＝3x，则∠B＝x，∠A+∠B＝4x＝180°， 解得：x＝45°， 即∠D＝∠B＝x＝45°． 故选：B． 2.图1是一面旗帜，图2是其示意图，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段DA的延长线上，若∠C＝112°，则∠EAB＝（　　） A.38° B.78° C.68° D.112° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DA∥CB，DC∥AB， ∴∠C+∠D＝180°，∠D＝∠EAB， ∵∠C＝112°， ∴∠D＝68°， ∴∠EAB＝68°， 故选：C． 3.如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（　　） A.110° B.35° C.70° D.55° 【答案】C 【解析】∵平行四边形ABCD的∠A＝110°， ∴∠BCD＝∠A＝110°， ∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°． 故选：C． 4.在▱ABCD中，若∠A＝∠B+50°，则∠B的度数为 　　度． 【答案】65 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B+50°， ∴∠B＝65°，∠A＝115°， 故答案为：65． 5.在▱ABCD中，∠A比∠D大20°，则∠B＝　　　°． 【答案】80 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠D＝180°，∠B＝∠D， ∵∠A比∠D大20°， ∴∠A＝100°，∠D＝80°， ∴∠B＝∠D＝80°， 故答案为：80． 6.如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F． （1）若AB＝4，AD＝6，求EC的长； （2）若∠F＝62°，求∠BAE和∠D的度数． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD，AD＝BC＝6， ∴∠FAD＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAF， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴BA＝BE， ∵AB＝4， ∴BE＝4， ∴CE＝BC﹣BE＝2， （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，∠B＝∠D， ∴∠BAE＝∠F， ∵∠F＝62°， ∴∠F＝∠BAE＝62°， ∴∠B＝56°， ∴∠D＝56°． 7.如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF． （1）求证DF∥BE； （2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵CF＝AE， ∴DE＝BF，∵DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴DF∥BE． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBF∠ABC＝35°， ∵四边形BEDF是平行四边形， ∴∠EBF＝∠EDF＝35°， ∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝35°. 二、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则AB的长不可能是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵AC＝4，BD＝6， ∴AO＝2，BO＝3， 在△OAB中，3﹣2＜AB＜2+3， ∴1＜AB＜5， ∴AB的值不可能是5，可能是2，3，4， 故A符合题意；B、C、D不符合题意； 故选：A． 2.平行四边形的对角线长为x、y，一边长为14，则x、y的值可能是（　　） A.12和16 B.20和22 C.10和16 D.8和36 【答案】B 【解析】A、根据三角形的三边关系可知：6+8＝14，不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、10+11＞14，能构成三角形，故此选项正确，符合题意； C、5+8＜14，不能构成三角形，故此选项错误，不符合题意； D、4+14＝18，不能构成三角形，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 3.如图，平行四边形ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为（　　） A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.8 cm 【答案】B 【解析】∵▱ABCD的周长为26 cm， ∴AB+AD＝13 cm，OB＝OD， ∵△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm， ∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）＝AD﹣AB＝3 cm， ∴AB＝5 cm，AD＝8 cm． ∴BC＝AD＝8 cm． ∵AC⊥AB，E是BC中点， ∴AEBC＝4 cm； 故选：B． 4.如图，▱ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 　　　． 【答案】12 cm 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OE⊥BD， ∴OE是BD的垂直平分线， ∴BE＝DE， ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD24＝12（cm）， 故答案为：12 cm． 5.已知▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大3，那么AB＝　　　． 【答案】9 【解析】如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC， ∵△AOB的周长比△BOC的周长大3， ∴（AO+BO+AB）﹣（BO+OC+BC）＝3， ∴AO+BO+AB﹣BO﹣OC﹣BC＝3， ∴AB﹣BC＝3， ∵▱ABCD的周长是30， ∴2（AB+BC）＝30，即AB+BC＝15， ∴AB＝9， 故答案为：9． 6.在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O．若AB＝6，AC＝8，BD＝14．求△OCD的周长． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝8，BD＝14，AB＝6＝CD， ∴，， ∴△OCD的周长为：CD+OC+OD＝6+4+7＝17． 7.如图，▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及▱ABCD的面积． 【答案】解：∵▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC， ∴BC＝8，则AC6， ∴AO＝CO＝3， ∴▱ABCD的面积为：AC×BC＝6×8＝48． 三、平行四边形的性质与判定的综合应用 1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.AB＝CD B.AO＝CO C.AD＝BC D.∠ABC＝∠ADC 【答案】C 【解析】A．由题意可得：AB＝CD，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； B．由AB∥CD可以得到∠BAO＝∠DCO， 又∵AO＝CO，∠AOB＝COD， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； C．由题意可得：AB∥CD，AD＝BC，一组对边平行，另一组对边相等，不能得到四边形ABCD是平行四边形，也可能是等腰梯形，符合题意； D．由AB∥CD可以得到∠ABC+∠BCD＝180°， 又∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 2.某班同学在学完平行四边形的判定后，开展了一次课外活动课，课上探索出如下结论，其中正确的是（　　） A.当四边形的一组邻角相等且一组对角互补时，此四边形一定为平行四边形 B.当四边形的一组对角相等且一组对边相等时，此四边形一定为平行四边形 C.当四边形的一组邻角相等且一组对边平行时，此四边形一定为平行四边形 D.当四边形的一组对角相等且一组邻角互补时，此四边形一定为平行四边形 【答案】D 【解析】A、四边形的一组邻角相等且一组对角互补不一定是平行四边形，如等腰梯形，故此选项不符合题意； B、四边形的一组对角相等且一组对边相等不一定为平行四边形，故此选项不符合题意； C、四边形的一组邻角相等且一组对边平行不一定是平行四边形，如直角梯形，故此选项不符合题意； D、四边形的一组对角相等且一组邻角互补，一定是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D． 3.四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A.AB＝DC，∠ABC＝∠ADC B.AD∥BC，AB∥DC C.AB＝DC，AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD 【答案】A 【解析】A、AB＝DC，∠ABC＝∠ADC不一定是平行四边形，故此选项符合题意； B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； 故选：A． 4.如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 　　． 【答案】4 【解析】设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高， ∴S△EAD+S△ECB AD•h1CB•h2AD（h1+h2） S四边形ABCD ＝4． 故答案为：4． 5.下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是 　　　　.（填上正确答案的序号） ①一组对边平行，一组对边相等； ②一组对边平行且相等； ③两组对边分别相等； ④两组对边分别平行； ⑤两条对角线相等． 【答案】②③④ 【解析】①一组对边相等，一组对边相等，不能判断，故此选项不合题意； ②一组对边平行且相等，能判断，故此选项符合题意； ③两组对边分别相等，能判断，故此选项符合题意； ④两组对边分别平行，能判断，故此选项符合题意； ⑤两条对角线相等，不能判断，故此选项不合题意． 故答案为：②③④． 6.在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且BE＝DF，连接AF，CE． （1）如图1，求证：EC＝FA； （2）如图2，连接BD分别交AF，CE于点G，H，连接AH，CG．求证：四边形AGCH是平行四边形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵BE＝DF， ∴AB﹣BE＝CD﹣DF， 即AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴EC＝FA； （2）由（1）可知，四边形AECF是平行四边形， ∴EC∥FA，∠ECF＝∠EAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，∠BCD＝∠BAD，BC∥AD， ∴∠CBH＝∠ADG，∠BCD﹣∠ECF＝∠BAD﹣∠EAF， 即∠BCH＝∠DAG， 在△BCH和△DAG中， ， ∴△BCH≌△DAG（ASA）， ∴CH＝AG， ∴四边形AGCH是平行四边形． 7.如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．求线段EF的长． 【答案】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵AB⊥BF，AB＝16，BF＝12， ∴AF20， ∵AC＝24， ∴AE＝CF＝AC﹣AF＝4， ∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝24﹣4﹣4＝16． 四、利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形“判定平行四边形 1.如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（　　） A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④ 【答案】B 【解析】∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确， ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误， ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误， ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 2.关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　） A.①②③④ B.①③④ C.①② D.③④ 【答案】C 【解析】∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴①能判定； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴②能判定； ∵一组对边平行且另一组对边相等的四边形是梯形，不一定是平行四边形， ∴③不一定能； ∵两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形， ∴④不一定能； 以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有①②； 故选：C． 3.如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】由作图知，BC＝AD，CD＝AB， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故判定四边形ABCD为平行四边形的条件是两组对边分别相等， 故选：B． 4.四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 　　　　，可得四边形ABCD成为平行四边形． 【答案】AB＝CD（答案不唯一） 【解析】添加条件为AB＝CD， ∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 5.在四边形ABCD中，如果AD＝6 cm，AB＝4 cm，那么当BC＝　　cm，CD＝　　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 【答案】6；4 【解析】因为对边相等的四边形为平行四边形， 所以当BC＝AD＝6 cm，CD＝AB＝4 cm时， 四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：6；4． 6.如图，佳佳将两个全等的直角三角板（含30°）的直角边重合拼成如图①，图②的四边形ABCD． （1）判断四边形ABCD的形状为 　　　　； （2）连接AC，若直角三角板斜边的长为12，请从图①，图②中选择一个图形，求对角线AC的长度． 【答案】解：（1）∵两个直角三角板全等， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）选择图①， AC和BD交于O， ∵∠CBD＝30°，∠CDB＝90°， ∴CDBC12＝6， ∴BD＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ODBD＝3，AC＝2OC， ∴OC3， ∴AC＝2OC＝6． 7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴AB＝CD， 又AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 五、平行四边形性质的综合应用 1.如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC＝10，AB＝6，∠ABC＝140°，则下列结论不一定正确的是（　　） A.CD＝6 B.OC＝5 C.∠ADC＝140° D.∠BAC＝20° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，AC＝10，AB＝6，∠ABC＝140°， ∴CD＝AB＝6，OC＝OAAC＝5，∠ADC＝∠ABC＝140°， 故A不符合题意，B不符合题意，C不符合题意； ∵AD∥BC， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝40°， 假设∠BAC＝20°成立，则∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝20°， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵∠DAC＝∠BCA， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，与已知条件不符， ∴∠BAC＝20°不成立， 故D符合题意， 故选：D． 2.如图，在▱ABCD中，下列结论中不一定成立的是（　　） A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCD C.AC⊥BD D.AB＝CD 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC， ∴∠1＝∠2； ∴选项A、B、D不符合题意； 当四边形ABCD是菱形时，AC⊥BD， ∴选项C符合题意； 故选：C． 3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A.∠ABD＝∠CBD B.∠BAD＝2∠ABC C.AB＝BC D.OB＝OD 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AB∥CD，AD∥CB， ∴∠ABD＝∠CDB，∠BAD+∠ABC＝180°，则A，B，C不正确， 故选：D． 4.如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝16，则△BOC的周长为 　　． 【答案】14 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵AC+BD＝16， ∴， ∴△BOC的周长＝OB+OC+BC＝14， 故答案为：14． 5.如图，将▱ABCD平均分成三个小平行四边形，再将三个小平行四边形分别平均分成2份、3份和n份，如果阴影部分面积是▱ABCD面积的，则n的值为 　　． 【答案】8 【解析】设平行四边形的面积为S， ∵阴影部分面积是▱ABCD面积的， ∴SSSS， ∴n＝8， 经检验，n＝8是方程的解， 故答案为：8． 6.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BF＝DE， ∴BE＝DF， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵AD＝AE， ∴， ∴∠AEB＝180°﹣∠AED＝180°﹣40°＝140°， ∵△ABE≌△CDF， ∴∠DFC＝∠AEB＝140°． 7.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O，延长EF交AD的延长线于点G． （1）求证：BO＝DO； （2）若BD⊥AD，∠BEG＝90°，∠A＝45°，，求AD的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠OBE＝∠ODF． 在△OBE与△ODF中， ， ∴△OBE≌△ODF（AAS）． ∴BO＝DO； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠GDF＝45°，∠GFD＝∠AEG＝90°， ∴△GFD是等腰直角三角形， ∴FG＝DF，DGFG＝2，∠G＝45°， ∵BD⊥AD， ∴△DGO是等腰直角三角形， ∴DG＝DO＝2， ∴DO＝BO＝2， ∴DB＝4， ∵∠A＝45°，BD⊥AD， ∴∠A＝∠ABD＝45°， ∴AD＝BD＝4． 六、有关平行四边形的边的性质 1.如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3 cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，若△CDE恰为等边三角形，则AD的长度是（　　）cm． A.6 B. C.8 D.10 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝3 cm，AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵将纸片沿对角线AC对折， ∴∠ACB＝∠ACE， ∴∠DAC＝∠ACE， ∴AE＝EC， ∵△DEC是等边三角形， ∴DE＝EC＝CD＝3 cm， ∵2AB＝6 cm， ∴AD＝6 cm， 故选：A． 2.如图，P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S3＝S2+S4，②若S3＝2S1，则S2＝2S4，③若S1+S3＝5，则ABCD的面积为10；④S1+S2＝S3+S4．其中正确的（　　） A.①③ B.②③ C.①② D.②④ 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， 设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，hAB、hBC分别为平行四边形的AB边和BC边的高， 则， ∴AB•h1+CD•h3＝AB•hAB，BC•h2+AD•h4＝BC•hBC， 又∵S平行四边形ABCD＝AB•hAB＝BC•hBC， ∴S2+S4＝S1+S3，故①正确； 根据S3＝2S1只能判断h3＝2h1，不能判断h2＝2h4，即不能得出S2＝2S4，故②错误； 根据S1+S3＝S2+S4，S1+S3＝5，能得出ABCD的面积为5×2＝10，故③正确； 由题意只能得到S2+S4＝S1+S3无法得到S1+S2＝S3+S4，故④错误； 故选：A． 3.平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为（　　） A.4，8，4，8 B.5，7，5，7 C.5.5，6.5，5.5，6.5 D.13，11，13，11 【答案】B 【解析】设两邻边长分别为x，y， 由题意可得， ， 解得， 所以平行四边形的各边长为5，7，5，7， 故选：B． 4.如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝8，BE平分∠ABC交AD于点E，点F是DC的中点，连接EF交BC的延长线于点G，则BG＝　　． 【答案】11 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC＝8，AD∥BC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝5， ∴DE＝3， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠FCG，∠DEF＝∠G， ∵点F是DC的中点， ∴DF＝CF， ∴△EDF≌△GCF（AAS）， ∴DE＝CG＝3， ∴BG＝BC+CG＝8+3＝11， 故答案为：11． 5.如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，BC＝5，AC＝3，则CD的长为 　　． 【答案】 【解析】∵BC＝5，AC＝3，AC⊥BC， ∴AB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB， 故答案为：． 6.如图，在▱ABCD中，过AC中点O的直线分别交CB，AD的延长线于点E，F． （1）求证：BE＝DF； （2）连结FC，若EF⊥AC，DF＝2，△FDC的周长为16，求▱ABCD的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AO＝CO，AD＝BC， ∴∠OAF＝∠OCE，∠E＝∠F， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴AF﹣AD＝CE﹣BC， ∴BE＝DF； （2）解：连接CF， ∵EF⊥AC，AO＝CO， ∴EF垂直平分AC， ∴AF＝CF， ∵△FDC的周长为16， ∴DF+CF+CD＝16，即2+AD+2+CD＝16， ∴AD+CD＝12， ∴▱ABCD的周长为2（AD+CD）＝24． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，CE，延长CE交BA的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）当时，求证：BE平分∠ABC． 【答案】证明：（1）∵ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠F＝∠FCD， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）； （2）∵E是AD的中点， ∴， ∵， ∴AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴BE平分∠ABC． 七、反证法 1.用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（　　） A.同旁内角互补的两条直线平行 B.同旁内角互补的两条直线不平行 C.同旁内角不互补的两条直线平行 D.同旁内角不互补的两条直线不平行 【答案】C 【解析】由题意可得，反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设同旁内角不互补的两条直线平行， 故选：C． 2.下列说法中，正确的是（　　） A.不等式只有2个解 B.不等式x+5＞3的解集为x＞2 C.用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都大于60° D.有两个角相等的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】A、不等式有无数个解，选项说法错误，故不符合题意； B、不等式x+5＞3的解集为x＞﹣2，选项说法错误，故不符合题意； C、用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设：这个三角形中每一个内角都大于60°，选项说法正确，故符合题意； D、有两个角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，比如等腰直角三角形，故选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 3.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（　　） A.两锐角都大于45° B.有一个锐角小于45° C.有一个锐角大于45° D.两锐角都小于45° 【答案】A 【解析】反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°， 故选：A． 4.用反证法证明命题“同位角不相等时，两直线不平行”，应假设：　　　　　　　　　　． 【答案】同位角不相等，两条直线平行 【解析】用反证法证明命题“同位角不相等时，两直线不平行”，应假设：同位角不相等，两条直线平行， 故答案为：同位角不相等，两条直线平行． 5.用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设　　　　　　　　． 【答案】一个三角形中至少有两个钝角 【解析】根据反证法就是从结论的反面出发进行假设， 故证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角． 故答案为：一个三角形中至少有两个钝角． 6.人教版初中数学教科书七年级下册第18﹣19页告诉我们平行线所具有的3个性质：性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了． 已知：直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF． 证明：假设 　　， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF， ∴PQ∥CD（ 　　）， ∵AB∥CD，且AB也过点G， ∴与（ 　　）矛盾，所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 请完成上面（1）、（2）、（3）空： （1）　　； （2）　　； （3）请选择合理的依据 　　． A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】证明：假设∠BGF≠∠DHF， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF， ∴PQ∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∵AB∥CD，且AB也过点G， ∴与（经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）矛盾，所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 故答案为：∠BGF≠∠DHF；同位角相等，两直线平行；C． 7.试证明：两直线相交有且只有一个交点． 【答案】解：已知直线a，b，求证：直线a，b相交时只有一个交点P． 证明如下：假设a，b相交时不止一个交点P，不妨设其他交点中有一个为P′， 则点P和点P′在直线a上又在直线b上， 那么经过P和P′的直线就有两条， 这与“两点决定一条直线”相矛盾， 因此假设不成立， 所以两条直线相交只有一个交点． 八、利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，AC交BD于点O，O为AC中点，下列条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.OB＝OD B.AB＝CD C.AC＝BD D.AD＝BC 【答案】A 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.OA＝OB，OC＝OD B.OA＝OC，OB＝OD C.OB＝AB，OD＝CD D.OA＝OB，AC＝BD 【答案】B 【解析】A、OA＝OB，OC＝OD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意； B、OA＝OC，OB＝OD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、OB＝AB，OD＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； D、OA＝OB，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A.∠1＝∠3，AAS B.∠1＝∠3，ASA C.∠2＝∠3，AAS D.∠2＝∠3，ASA 【答案】D 【解析】∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠3， ∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∵点M是AC的中点， ∴MA＝MC， 在△MAD和△MCB中， ， ∴△MAD≌△MCB（ASA）， ∴MD＝MB， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴①，②分别为∠2＝∠3，ASA， 故选：D． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，现有三个条件：①AD＝BC；②OB＝OD；③AB＝CD．其中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有__________（只写序号即可）． 【答案】①② 【解析】①∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①符合题意； ②∵AD∥BC， ∴∠OBC＝∠ODA， 又∵OB＝OD，∠BOC＝∠DOA， ∴△OBC≌△ODA（ASA）， ∴OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故②符合题意； ③由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故③不符合题意； 故答案为：①②． 5.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形有 　　　　（填序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】①AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ②AB＝CD，AD＝BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ③AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形； ④OA＝OC，OB＝OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； ⑤∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形； 故答案为：①②④⑤． 6.如图，线段AC与BD相交于点O，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，且BE＝DF，AF＝CE，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形ABCD为平行四边形． 【答案】证明：∵AC⊥BE，AC⊥DF， ∴∠BEO＝∠DFO＝90°， 在△BEO与△DFO中， ∴△BEO≌△DFO（AAS）， ∴EO＝FO，BO＝DO， 又∵AF＝CE， ∴AF﹣FO＝CE﹣EO， ∴AO＝CO， 又∵BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，在四边形ABCD中，AD＝12，OD＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°． （1）求线段OC的长． （2）求证：四边形ABCD为平行四边形． 【答案】（1）解：∵∠ADB＝90°，AD＝12，OD=5， ∴OA13， ∵AC＝26， ∴OC＝AC﹣OA＝26﹣13＝13， ∴OC的长是13． （2）证明：由（1）得OA＝13，OC＝13， ∴OA＝OC， ∵OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 九、利用定义或”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形 1.四边形ABCD的三个内角∠A、∠B、∠C的度数依次如下，能使四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A.87°、103°、87° B.87°、93°、87° C.87°、93°、93° D.87°、103°、104° 【答案】B 【解析】当∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°时， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴ABCD是平行四边形， ∴四个选项中只有B选项满足题意， 故选：B． 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使ABCD为平行四边形，下列添加的条件不能是（　　） A.AD∥BC B.∠B＝∠D C.AB＝CD D.AD＝BC 【答案】D 【解析】A、当AB∥CD，AD∥BC时， 故可证明四边形ABCD为平行四边形； B、∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠C+∠D＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴可证明四边形ABCD为平行四边形； C、当AB∥CD，AB＝DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形； D、当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形； 故选：D． 3.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　） A.∠B+∠C＝180° B.AB＝CD C.∠A＝∠B D.AD＝BC 【答案】B 【解析】∵∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故选：B． 4.在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC 　　AD，则四边形ABCD为平行四边形． 【答案】∥ 【解析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知： ∵AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：∥． 5.如图，△ABC、△ACE、△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有__________个． 【答案】2 【解析】∵∠B＝60°，∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝60°+60°＝120°， ∴∠B+∠BAE＝180°， ∴AE∥BD， ∵AE＝BC＝CD， ∴四边形AECB，AEDC是平行四边形． 故答案为：2． 6.如图，E，F是四边形ABCD的边上两点，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵DF＝BE，DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴DE＝BF，DE∥BF， ∵AE＝CF， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的高，如果AB+BD＝AC+CD，那么AB＝AC吗？ 悦悦的思考：通过添辅助线“补短”，分别表示出“AB+BD”和“AC+CD”，… （1）根据悦悦的思考，完成上述解答． （2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB+AD＝CD+CB．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】解：（1）延长DB至E，使BE＝AB；延长DC至F，使CF＝AC；连接AE、AF． ∵AB+BD＝CD+AC， ∴DE＝DF， 又AD⊥BC， ∴△AEF是等腰三角形； ∴∠E＝∠F； ∵AB＝BE， ∴∠ABC＝2∠E； 同理，得∠ACB＝2∠F； ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC； （2）在DA的延长线上取点M，使AM＝AB，在BC的延长线上取点N，使CN＝CD，连接BM、DN， 则∠M＝∠ABM，∠N＝∠CDN， ∵AB+AD＝CD+CB，且AM＝AB，CN＝CD， ∴AM+AD＝CN+CB， 即DM＝BN， 又∵AD∥BC， ∴四边形MBND是平行四边形， ∴MB＝ND，∠M＝∠N， ∴∠ABM＝∠CDN， 在△ABM和△CDN中， ， ∴△ABM≌△CDN（ASA）， ∴AM＝CN， ∵DM＝BN， ∴DM﹣AM＝BN﹣CN， 即AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$