精品解析：湖北省黄石市下陆区2024—2025学年下学期八年级数学期末考试

下陆区2024-2025学年度下学期期末质量检测 八年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 一个正多边形的每个外角都是36°，那么它是（ ） A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形 4. 已知一次函数的图象经过点 ，且 随 的增大而增大，则点 的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据2，2，4，3，6，4，2的众数和中位数分别是（　　） A. 3，2 B. 2，3 C. 2，2 D. 2，4 6. 矩形，菱形、正方形都一定具有的性质是（　　） A. 邻角也相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 7. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 图形经过第一、二、三象限 B. 当x>时，y<0 C. y随x的增大而增大 D. 图形必经过点（-2，1） 8. 的三边分别为 、 、 ，由下列条件能判定 为直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 9. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线 与直线相交于点．根据图象可知，关于 的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形 中，，，，点 从点 出发，以的速度向点 运动，点 从点 同时出发，以相同的速度向点 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点 的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 使根式有意义的x的取值范围是___． 12. 如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是_________尺（1丈尺）． 13. 若直线与 交于x轴上一点，则m为______． 14. 将一组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，x，6，8，若中位数为5，则这组数据的众数为______． 15. 直线与 轴交于点A，与 轴交于点 ，点 是 轴上一动点，当 是以 为腰的等腰三角形时，点 的坐标为__________． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）已知，求代数式的值． 17. 如图，在 中，点E在边 上，点F在边 上， ，连接． （1）求证： （2）若，求证：四边形是矩形． 18. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示. （1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图； （2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________； （3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？ 19. 如图，已知过点的直线与直线：相交于点. （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积. 20. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简： ______；______； （2）矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； （3）当时，化简：． 21. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，在矩形 中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接．设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形； （2）当t为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积 23. 勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，是数形结合的纽带．阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”这句话的意思是：如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5． （2）上述记载表明了：在 中，如果 ， ，，，那么 ， ， 三者之间的数量关系是 ． （3）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路：将下面的证明过程补充完整： 证明：∵，， ，且 = ，  ∴整理得，，  ∴ ． （4）如图 ，把矩形 折叠，使点C与点A重合，折痕为 ，如果，，求 的长． 24. 如图，直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以 为边在第二象限内作正方形 ，点E为边 的中点，作，交边 于点F． （1）求边 的长； （2）求直线 的解析式； （3）求点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 下陆区2024-2025学年度下学期期末质量检测 八年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含有开的尽的因式，被开方数不含有分母，即可判断． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2. 下列等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算和化简，掌握二次根式的运算法则和性质是解决问题的关键． 根据二次根式的性质化简和运算的法则，逐一计算判定即可． 【详解】解：A、没有同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 一个正多边形的每个外角都是36°，那么它是（ ） A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形外角和是 以及正多边形每个外角度数一样的性质求解． 【详解】解：， 是正十边形． 故选：C． 【点睛】本题考查多边形外角和的性质，解题的关键是掌握多边形外角和的性质． 4. 已知一次函数的图象经过点，且 随 的增大而增大，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而增大即可确定结论． 【详解】解：A、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项A不符合题意； B、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴选项B不符合题意； C、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而增大，选项C符合题意； D、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项D不符合题意； 故选：C． 5. 一组数据2，2，4，3，6，4，2的众数和中位数分别是（　　） A. 3，2 B. 2，3 C. 2，2 D. 2，4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求众数和中位数；根据众数和中位数的定义求解．众数是出现次数最多的数，中位数需将数据排序后取中间的数． 【详解】解：数据中2出现3次，4出现2次，3和6各出现1次， 因此众数为2， 将数据从小到大排列为：2，2，2，3，4，4，6．共有7个数据，中位数为第4个数，即3． 综上，众数为2，中位数为3， 故选：B． 6. 矩形，菱形、正方形都一定具有的性质是（　　） A. 邻角也相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形，菱形，正方形的性质进行分析即可． 【详解】因为矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形， 所以一定具有的性质是对角线互相平分， 故选：Ｄ． 【点睛】本题考查了特殊四边形的性质，熟知以上性质是解题的关键． 7. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 图形经过第一、二、三象限 B. 当x>时，y<0 C. y随x的增大而增大 D. 图形必经过点（-2，1） 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】A、由，则图象必过第二、四象限，由b=1>0，则图象还过第一象限，即函数图象过第一、二、四象限，故本选项错误； B、令得：，又，y随x的增大而减小，则当x>时，y<0，故本选项正确； C、， y随x的增大而减小，故本选项错误； D、当x=-2时，，则图形不经过点（-2，1），故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，点在函数图象上的坐标特点等知识，熟悉一次函数的图象与性质是关键． 8. 的三边分别为、、，由下列条件能判定 为直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A．由不能判定 为直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴c为斜边，，即 是直角三角形，故本选项符合题意； C．∵，，， ∴， ∵， ∴ 不是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴，即 是锐角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 9. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线 与直线相交于点．根据图象可知，关于 的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图像的交点直接判断即可． 【详解】解：由题意可知， 当时， 直线 的图像位于直线图像的上方， 即关于 的不等式的解集为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键． 10. 如图，在四边形 中，，，，点从点 出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，表示出 ， ， 和的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，可得，， ∵，， ∴，， 当四边形为矩形时，， 即，解得，故①不正确； 当四边形为平行四边形时，则， 即，解得，故②不正确； 当时，分两种情况： 当四边形是平行四边形时，则， 即，解得， 当四边形是等腰梯形时， 过点作于点，过点 作于点 ，如图所示， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又，，， ∴， 即， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有 个． 故选： 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含的代数式表示各线段的长度是解题的关键． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 使根式有意义的x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义， 必须， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是_________尺（1丈尺）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．设 长为x尺，则尺，直接根据勾股定理列方程，求解即可． 【详解】解：设 长为x尺，则尺， 在中，尺， ， ， 解得：， 则折断处离地面（即 ）的高度是尺． 故答案为：． 13. 若直线与 交于x轴上一点，则m为______． 【答案】 【解析】 【分析】当 时，，解得，则两直线的交点坐标为，将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：当 时，，解得， ∴两直线的交点坐标为， 将代入得，，解得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了直线的交点坐标，一次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 14. 将一组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，x，6，8，若中位数为5，则这组数据的众数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，解答本题的关键是掌握众数和中位数的定义．根据中位数的定义，求出x的值，再由一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，可得出答案． 【详解】解：∵这组数据的中位数是5， ∴， 解得：， 这组数据为：1，3，4，6，6，8，因为6出现的次数最多，故众数为6． 故答案为6． 15. 直线与 轴交于点A，与 轴交于点，点 是 轴上一动点，当 是以 为腰的等腰三角形时，点 的坐标为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出的长，当时，利用勾股定理，可求出 的长，进而可得出点C的坐标．当时，可得出，进而可得出点C的坐标；综上所述，即可得出结论． 【详解】解：把 代入函数，得 ，解得， ∴， 把 代入函数，得， ∴，， ∵ 是以 为腰的等腰三角形， ①当时， 若点C在点A的右侧，如图 在 中，， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 若点C在点A的左侧，如图 则， ∴， ∴点C的坐标为 ②当时，如图 ， ， ∴点C的坐标为， 综上所述，点C的坐标是或或． 故答案为：或或． 三．解答题（共9小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （ ）根据二次根式的性质把二次根式化简，再按二次根式的混合运算法则计算得到答案； （ ）根据二次根式的乘方法则求出，代入原式，根据完全平方公式、平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式                        ； 【小问2详解】 解：将代入得 原式                                                                   ． 17. 如图，在 中，点E在边 上，点F在边 上， ，连接． （1）求证： （2）若 ，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形和矩形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，是解决问题的关键． （1）根据平行四边形性质得到，结合 ，推出，即得 ； （2）根据平行四边形性质得到，结合 ，得到，推出四边形是平行四边形，根据 ，即得是矩形． 【小问1详解】 ∵ 中，， 且 ， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 ∵ 中，， 且 ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴， ∴是矩形． 18. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示. （1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图； （2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________； （3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？ 【答案】（1）50， 补全条形统计图如下： （2）15，15 （3）220人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体， （1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的，根据频率可求出答案； （2）根据众数、中位数的定义进行计算即可； （3）求出样本捐款金额超过15元（不含15元）的所占百分比，估计总体中捐款金额超过15元（不含15元）人数． 【小问1详解】 解： （人 ， “捐款为15元”的学生有（人 ， 【小问2详解】 学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元， 将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元， 故答案为：15，15； 【小问3详解】 捐款金额超过15元（不含15元）的人数（人）， 所以全校八年级学生为1100名，捐款金额超过15元（不含15元）的人数为220人， 19. 如图，已知过点的直线与直线：相交于点. （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据P点是两直线交点，可求得点P的纵坐标，再利用待定系数法将点B、点P的坐标代入直线l1解析式，得到二元一次方程组，求解即可. （2）根据解析式可求得点啊（-2，0），点C（0，1），由可求得四边形的面积 【详解】 解：（1）∵点P是两直线的交点， 将点P（1，a）代入 得，即 则的坐标为， 设直线的解析式为： ， 那么， 解得： . 的解析式为：. （2）直线与 轴相交于点 ，直线与x轴相交于点A 的坐标为，点的坐标为 则 ， 而， 【点睛】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积. 20. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简： ______；______； （2）矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； （3）当时，化简：． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 按照二次根式的混合运算法则求解即可 （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （2）首先求出矩形的另外一边长，再按矩形的周长公式计算即可． （3）把各分母先有理化再进行加减运算． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 矩形的另外一边长为： ∴矩形的周长为：． 【小问3详解】 当时 21. 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元 （2）①（，且x为正整数）；②该商店购进34台A型电脑、66台B型电脑时，销售利润最大，，最大利润是13300元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，以及一次函数的应用． （1）设每台A型电脑的销售利润为m元，每台B型电脑的销售利润为n元，根据“销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①利用总利润=每台A型电脑的销售利润×购进A型电脑的数量+每台B型电脑的销售利润×购进B型电脑的数量，可找出y与x的关系式，由B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍得出，再结合0且x为正整数，即可得出自变量x的取值范围； ②由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合x的取值范围，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每台A型电脑的销售利润为m元，每台B型电脑的销售利润为n元， 根据题意得：， 解得：． 答：每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元； 【小问2详解】 ①根据题意得：， ∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍， ∴， 解得：， ∵，且x为正整数， ∴， ∴y与x的关系式为（，且x为正整数），； ②∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为，此时（台）． 答：该商店购进34台A型电脑、66台B型电脑时，销售利润最大，最大利润是13300元． 22. 如图，在矩形 中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接．设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形； （2）当t为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积 【答案】（1） （2） （3）15， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定可得：当时，四边形为矩形，进而可得关于t的方程，即可求解； （2）当时，四边形为菱形，进而可得关于t的方程，即可求解； （3）求出菱形的边长，再计算周长和面积即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形 中，， ∴， 由已知可得，， 在矩形 中，， 当时，四边形为矩形， ∴，得， 故当时，四边形为矩形； 【小问2详解】 ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当，即时，四边形为菱形 即时，四边形为菱形，解得， 故当时，四边形为菱形； 【小问3详解】 当时，， 则周长为； 面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键． 23. 勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，是数形结合的纽带．阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”这句话的意思是：如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5． （2）上述记载表明了：在 中，如果 ， ，， ，那么，，三者之间的数量关系是 ． （3）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路：将下面的证明过程补充完整： 证明：∵，， ，且 = ，  ∴整理得，，  ∴ ． （4）如图 ，把矩形 折叠，使点C与点A重合，折痕为 ，如果，，求 的长． 【答案】（2）；（3） ； ；；  ；（4）； 【解析】 【分析】（2）根据勾股定理解答即可； （3）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可； （4）根据翻折变换的特点、结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：（2） ； （3）∵，， ，且， ∴整理得，， ∴． （4）∵矩形 折叠后点C与点A重合， ∴ ， 设，则， 在 中，由勾股定理得 即，解得， ∴； 【点睛】本题考查的是正方形和矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键. 24. 如图，直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以 为边在第二象限内作正方形 ，点E为边 的中点，作，交边 于点F． （1）求边 的长； （2）求直线 的解析式； （3）求点F的坐标． 【答案】（1）10 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把 、 分别代入求得，，即，，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作轴于点G，根据正方形的性质可得 ，， ，从而证得，求得，由一次函数的平行规律设直线 的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）把 绕点B逆时针旋转 得到，连接、 ，证明，可得，，可证，可得，设，则，，利用勾股定理列方程求得，过点D作轴于点G， 证明，求得，利用中点坐标公式求得，设，再利用两点坐标公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把 代入得，， ∴， 把 代入得，， 解得， ∴， ∴，， 在中，； 【小问2详解】 解：过点C作轴于点G， ∵四边形 是正方形， ∴ ，， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴设直线 的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线 的解析式为； 【小问3详解】 解：把 绕点B逆时针旋转 得到，连接、 ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由旋转的性质得，， 又∵， ∴， ∴，，， ∵ ， ∴点在 的延长线上， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵点E是 的中点，， ∴， 设，则，， 在中，， 又∵， ∴， 解得， ∴， 过点D作轴于点G， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点E是 的中点， ∴，即， 由（2）得，直线 的解析式为 设， ∴， 解得或， ∵点F在 上， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、两点间的距离公式、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、旋转的性质、用待定系数法求一次函数解析式、中点坐标公式、正方形的性质，熟练掌握相关定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $