第二十一章 一元二次方程 单元测试-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第二十一章 一元二次方程 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（  ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．用配方法解方程，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．以普洱本地紫檀木或竹根雕刻成迷你茶壶、茶杯挂件，融入茶马古道文化符号（如马帮、古道纹路）的茶具微雕饰品深受众多游客的喜爱．某茶具微雕饰品专卖店今年1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，若将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的根为（    ） A． B．1 C．1或 D．0 6．如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第（    ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． A．9 B．10 C．11 D．12 7．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（  ） A．3 B． C．9 D． 8．如果关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若一元二次方程（均为常数）为“邻根方程”，下列选项符合满足的数量关系的是（   ） A． B． C． D． 9．在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程（）的图解，若，则的值为（    ） A．10 B．12 C．8 D．14 10．已知实数，满足，记，则的最小值是（  ） A．2 B．1 C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是 ． 12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 13．方程的一次项系数是 ． 14．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 15．已知实数，满足．则 ． 16．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为 ． 17．如图，正方形的边长为 13，以为斜边向内作，，，于点 E，连接．若 ，则 的面积为 ． 18．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) 20．某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求x的值． 21．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 22．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 23．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求m的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 24．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ，，， ，， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，，则______；______； (2)一元二次方程的两个根为，，求的值； (3)若，是关于x的方程的两个不相等的实数根，且，求m的值． 25．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 26．如图1，在正方形中，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点落在正方形内部的点处，连接并延长，交于点． (1)判断与的数量关系为______； (2)【应用】如图1，延长交于点． ①证明：； ②若，，，求的长度； (3)【拓展】如图2，将正方形沿折叠，使点落在点处（正方形内部），连接并延长，交于点，延长交直线于点．若，，直接写出的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（  ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，通过计算判别式判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：由方程得：，，， ， 方程有两个相等的实数根， 故选：Ｃ． 2．用配方法解方程，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，确定正确选项即可． 【详解】解： 移项：将常数项移到方程右边 配方：取一次项系数4的一半（即2），平方得4，两边同时加上4： 化简：左边写成完全平方形式，右边合并常数项：， 故选：B． 3．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，需满足三个条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2． 【详解】选项A：，未知数的最高次数为3，不符合“二次”条件． 选项B：，含两个未知数和，不符合“一元”条件． 选项C：，仅含一个未知数，且最高次数为2，符合所有条件． 选项D：，未知数的最高次数为1，不符合“二次”条件． 故选C． 4．以普洱本地紫檀木或竹根雕刻成迷你茶壶、茶杯挂件，融入茶马古道文化符号（如马帮、古道纹路）的茶具微雕饰品深受众多游客的喜爱．某茶具微雕饰品专卖店今年1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，若将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为，进行列方程，即可作答． 【详解】解：∵1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为， ∴， 故选：A 5．一元二次方程的根为（    ） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，通过因式分解求解即可． 【详解】解：原方程可分解为， 解得或， 故选：C． 6．如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第（    ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，一元二次方程的应用，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；…， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，， 解得，， 又因为n为正整数，所以， 即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故选：D． 7．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（  ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 8．如果关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若一元二次方程（均为常数）为“邻根方程”，下列选项符合满足的数量关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根据题意，设方程的两个根分别为，利用根与系数的关系建立方程组，消去即可得到满足的数量关系，熟记一元二次方程根与系数关系，理解题中新定义方程概念是解决问题的关键． 【详解】解：设关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根为， ①，②， 则由①得，将其代入②得， 化简可得， 故选：C． 9．在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程（）的图解，若，则的值为（    ） A．10 B．12 C．8 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 设设，则，由勾股定理得，然后根据求出m，根据即可求出a． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 10．已知实数，满足，记，则的最小值是（  ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次根的判别式，解题的关键是掌握以上知识点． 由得到，然后代入，得到，设（），则，整理得到，然后利用一元二次根的判别式求解即可． 【详解】已知，则， ∴ 设（），则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴或（舍去） ∴的最小值是． 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，掌握此概念是解题的关键；由题意，把一元二次方程的根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程：的一个根是2， ∴， 解得：； 故答案为：2． 12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程有实数根的条件，以及对完全平方非负性的理解． 原方程左边为完全平方形式，右边为常数表达式，由于左边，因此右边满足即可，无需展开方程计算判别式． 【详解】解：， 要使该方程有实数根，则， ． 故答案为：． 13．方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一次项系数的定义是解决此题的关键．找出一元二次方程的一次项系数即可． 【详解】解：方程的一次项系数是． 故答案为：． 14．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】58 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：58． 15．已知实数，满足．则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据题意可构造关于的一元二次方程，那么再由根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵实数，满足， ∴为关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系可得：， 故答案为：4． 16．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设所修道路的宽为，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：所修道路的宽为． 故答案为：1 17．如图，正方形的边长为 13，以为斜边向内作，，，于点 E，连接．若 ，则 的面积为 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，过点D作于H，可证明得到，同理可证明，得到；设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可证明， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 18．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)，； (2)方程没有实数根， (3)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）把移项后两边同时加上1，即可赔偿完全平方式，方程运用配方法求解即可； （2）方程运用公式法求解即可； （3）方程移项后，提公因式后，即可运用因式分解法求解． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴，； （2）解：， 这里，， ， ∴方程没有实数根， （3）解：， ， ， ∴， 20．某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求x的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设每个支干长出个小分支，根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支，进而得出答案． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意可得， ． 解得：，（舍去）， ∴． 21．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【详解】（1）解：方程有两个实数根，． ， ． 当时，方程有两个实数根． （2）解：由根与系数关系，得，． ， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 22．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 【答案】该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设每台学习机售价为x元，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润等于每台的销售利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每台学习机售价为x元， 依题意得：， 解得：，， ∵减少库存， ∴； 答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 23．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求m的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】(1)③ (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，根据新定义进行判断即可； （2）求出方程的解，根据新定义，进行求解即可； （3）根据根与系数的关系，结合新定义进行求解即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∴，故①不是“邻根方程”； ，解得：； ∴，故②不是“邻根方程”； ，解得：， ∴；故③是“邻根方程”； 故答案为：③ （2）解：方程的两根为， 方程是“邻根方程”， ，即， 或； （3）证明：设，是方程的两个根， 由根与系数的关系得：，， 方程是“邻根方程”， ，， ， ． 24．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ，，， ，， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，，则______；______； (2)一元二次方程的两个根为，，求的值； (3)若，是关于x的方程的两个不相等的实数根，且，求m的值． 【答案】(1)6， (2)4 (3)3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）利用一元二次方程根与系数的关系，列出方程然后求解即可． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得；； 故答案为：6，； （2）解：根据根与系数的关系得，， ； （3）解：根据题意得， 解得， ，， 而， ， 整理得， 解得，舍去， 的值为 25．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1) (2) (3)不存在；理由见解析 (4)当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， 故当时，四边形为矩形； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； （3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴，即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题． 26．如图1，在正方形中，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点落在正方形内部的点处，连接并延长，交于点． (1)判断与的数量关系为______； (2)【应用】如图1，延长交于点． ①证明：； ②若，，，求的长度； (3)【拓展】如图2，将正方形沿折叠，使点落在点处（正方形内部），连接并延长，交于点，延长交直线于点．若，，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)的值为或 【分析】（1）利用证明即可； （2）①由折叠知，则，再由平行得，由，则有； ②由（1）得；由①知，而，进而得，求得a的值；设正方形的边长为m，则在中，利用勾股定理建立方程求得m，从而求得； （3）分点H在延长线上及点H在线段上两种情况进行，设，正方形的边长为m，与（2）②同理可求得，进而求得结果． 【详解】（1）解：由折叠知，， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①证明：由折叠知，则； ∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴； ②解：由（1）得； 由①知， ∴； 又； ∴， 解得：； ∴； 设正方形的边长为m，则， ∴， 在中，由勾股定理有， 即， 解得：（舍去）， 则； （3）解：设，正方形的边长为m； 当点H在线段上时， 与（2）②同理得：， 解得：， 同理在中，由勾股定理有， 即， 解得：（舍去）， 则， ∴； 当点H在线段延长线上时，如图； 则， 与（2）①同理，， 则； ∴， ∴； ∵，， 在中，由勾股定理有， 即， 解得：（舍去）， 则， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，解一元二次方程等知识，掌握这些知识并灵活运用是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$