第二十一章 一元二次方程（优质等类型）-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第二十一章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的新定义运算 【解惑】定义运算：．例如：．方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查新定义及一元二次方程根的判别式，根据定义运算将方程转化为一元二次方程的一般形式，然后计算判别式判断根的情况．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：由定义运算得：， ∴方程可化为： 整理得：， ∵， ∴方程无实数根． 故选：C． 【融会贯通】 1．定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据定义可得，即，再利用判别式可证明原方程有两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴． 故选：B． 2．定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程．且有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，根的判别式；由新定义得是的根，可得方程是“湘”方程，由根的判别式得，即可求解；理解新定义，能熟练解方程并能利用根的判别式求解是解题的关键． 【详解】解：， ， 是的根， 方程是“湘”方程， ， ， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：， ， ； 故答案为：． 3．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，，因为是的2倍，所以方程是“一元二次倍根方程”．已知是正整数，若关于的一元二次方程是“一元二次倍根方程”，且关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的值为 ． 【答案】2或5 【分析】本题考查根的判别式和因式分解法解一元二次方程，用因式分解法求解方程得出，，再根据一元二次方程根的判别式，得出的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 总有两个不相等的实数根， ， 解得， 是正整数， ，2，3，4，5，6， 方程是“倍根方程”， 能被整除或能被3整除， ∴或6或 或5或0(舍去)． 故答案为：2或5． 类型二、一元二次方程的变形求值 【解惑】若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知是方程的一个根，则代数式的值是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根的定义，准确计算是关键．根据一元二次方程的根的定义得到，再整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ， 故选：A． 2．已知三个关于x的一元二次方程，，，恰有一个公共实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，设公共实数根为，则，，，三式相加得出，即，求出，再将原式变形计算即可得出答案． 【详解】解：设公共实数根为，则，，， ∴三式相加得出，即， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解是指能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程得到，变形可得，，然后把它们整体代入中，通分、化简、约分即可． 【详解】实数是关于的一元二次方程的一个解， ， ， ， 故答案为： 类型三、一元二次方程的整体带入 【解惑】关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程，从而，，即可求解． 【详解】解：根据题意得：方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是， ∴关于的一元二次方程的解为，， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出两方程之间的关系是解题的关键． 【融会贯通】 1．若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】令可将方程化成可得或，由此即可得． 【详解】解：令， 则方程可化成为方程， ∵方程的两个实数根为1和， 方程的两个实数根为1和， 或， 解得或， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键． 2．已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握将进行换元转化为已知方程形式是解题的关键．把关于的方程中的看成一个整体，利用已知方程的解来求解． 【详解】解：令，则方程可化为． 关于的方程的解为，， 在中，，． 即或． 当时，；当时，． 故答案为：， ． 3．关于x的方程的解是（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程的根是 ； （2）关于x的方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）将看作整体，由题意可知再求解即可； （2）仿照（1）计算即可． 【详解】解：（1）∵方程的解是， ∴设，则可化为， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． （2）设，则可化为，即， ∵关于x的方程的解是， ∴，即， ∴，解得：． 故答案为：． 类型四、换元法的应用 【解惑】利用换元法解方程． 【答案】， 【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，设，于是原方程化为，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：设，于是原方程化为， ∴， 解得，； 当时，， ∴， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 此时，方程无解， 故原方程的解为，． 【融会贯通】 1．换元法解方程：． 【答案】，， 【分析】本题主要考查利用整体思想及换元法、因式分解法求一元二次方程的根，能够熟练运用式子相乘以及整体思想是解题关键设，则，解方程得到或，带回后再解一元二次方程求解未知数的值即可． 【详解】解：设．则． 解得或． 当时，，即． 解得． 当时，，即． 解得，． 综上所述，原方程的解为，，． 2．阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， （1）根据材料中的方法求出解即可；   （2）设（m为常数），将原方程化为，方程整理，得，令解得，当时，，方程化为，解得，，即可求出答案． 【详解】（1）解：解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ，   故答案为：，； （2）设（m为常数），   将原方程化为①   方程①整理，得 ②   令解得，   当时，，   方程②化为 解得  ，， ，． 3．阅读下列材料： 解方程：． 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，∴； 当时，，∴， 所以原方程有四个根：，，，． 根据上述解方程的方法，解决下列问题： (1)解方程时，若设，直接写出用表示该方程； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 【答案】(1) (2) (3)2，3，4，5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法的解题步骤． （1）根据换元法，可得答案； （2）根据换元法，可得答案； （3）根据换元法，可得答案． 【详解】（1）解：设，则； （2）解：设，则， ，即， 解得，则或（舍去） ； （3）解：设最小的正整数为，则其它三个正整数分别为，，， 根据题意，得， ， 设，则， ， 解得，（舍去） ，即， 解得，（舍去）， 这四个连续的正整数为2，3，4，5． 类型五、配方法的应用 【解惑】求式子的最小值. 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，将代数式进行配方，求解即可，解题的关键是掌握配方法的步骤，正确的将式子进行变形． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴式子的最小值为． 【融会贯通】 1．把方程配方，得到． ①求m和p的值； ②解这个方程． 【答案】①，；②，． 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤： 第一步：将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数； 第二步：将常数项移到方程的另一边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式； 第三步：配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． ①移项，配方即可得出，，即可得解； ②将的值代入后配方得出，开方得出，即可得解． 【详解】①解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得：，； ②， 配方得：， 开平方得：， 解得：，． 2．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式： (1)请用上述方法把分解因式； (2)求多项式的最小值； (3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法的应用是解题的关键：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． （1）按照题干中所给的方法，利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法将多项式变形为，然后利用完全平方式的非负性即可求出多项式的最小值； （3）利用配方法将多项式变形为，然后利用完全平方式的非负性即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为1； （3）解：∵ ， 又∵，， ∴， ∴无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 3．阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：， ∵ ． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】 （3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 【答案】（1）2，（2）；（3） 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． （1）利用非负数的性质确定代数式的最值； （2）利用完全平方公式变形，最后确定最值； （3）变形等式，利用非负数的性质，求出、的值，再利用三角形的三边关系确定边长的取值范围． 【详解】解：（1）∵代数式 ∴代数式的最小值是，这时相应的的值是； （2） ∵ ∴， ∴代数式有最小值； （3）∵a，，是的三边长，满足， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 类型六、十字相乘法的应用 【解惑】解方程：（十字相乘法）． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． 先利用因式分解法把方程转化为，则或，进而完成解答． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 【融会贯通】 1．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图，所以．我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为．依照上面的方法，解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． （1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【详解】（1）解：， 或， 所以，； （2）， 或， 所以，． 2．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 3．根据多项式乘法可知从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解，如：，方程分解为；从而可以快速求出方程的解．请你利用此方法尝试解方程． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了因式分解以及因式分解法解一元二次方程； （1）根据十字相乘法因式分解即可求解； （2）利用十字相乘法，得，即可求解； （3）利用十字相乘法，得，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）. 利用十字相乘法，得 ∴或. ∴，. （3）. 利用十字相乘法，得. ∴或. ∴，. 类型七、根与系数关系的对称式 【解惑】有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决 请你完成下面两个问题： (1)已知实数、满足、，求的值． (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】(1)或 (2)的最大值为 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，若是一元二次方程的两根时，则． （1）当时， 、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，代入计算解题； （2）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，求出c的取值范围即可解题． 【详解】（1）解：当时， ∵实数、满足， ∴、可看作方程的两根， ， ∴原式， 当， 则原式； 综上所述，原式的值为或； （2）解：， ∴将、看作是方程 的两实数根， ，而 ， ， ， 即， ∴的最大值为． 【融会贯通】 1．阅读材料 材料1．关于x的一元二次方程的两个根为和系数a，b，c有如下关系： ； 材料2．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：m，n是一元二次方程的两个实数根， ． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，则_______，_______； (2)一元二次方程的两个根为m，n，则的值； (3)已知实数s，t满足且，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解本题的关键； （1）根据根与系数的关系可得，； （2）根据根与系数的关系可得，结合完全平方公式可得答案； （3）根据题意可得s，t可看作是一元二次方程的两个数根．可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为， 则，； （2）解：由题意得， ． （3）解：实数s，t满足，且， s，t可看作是一元二次方程的两个数根． ． ， ． ． 2．材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m、n，求的值． 解：∵一元二次方程．的两个实数根分别为m、n， ， 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为：，则_____；____． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，且，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，分式的化简求值，完全平方公式等知识，理解材料中关于x的一元二次方程的两个根为，则是解题关键． （1）根据材料1中一元二次方程根和系数的关系即可求解； （2）根据材料1中一元二次方程根和系数的关系，得到，，，再将分式通分化简求值即可； （3）由题意可知，实数s、t是方程的两根，进而得到，，再结合完全平方公式，得出，即可求解． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为：， 则；， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为m、n， ，， ． （3）解：实数s、t满足，， 实数s、t是方程的两根， ，， ， ，即或 3．背景情境：赛赛同学在学习《一元二次方程》中做过这样一道题： 题目：已知实数满足，，且，求的值． 解：根据题意得与为方程的两根， ∴，， ∴， 请认真阅读赛赛同学解题的方法，仔细思考．解决问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知关于的方程有两个根，满足．当的三边满足，，，求的值以及的面积． 【答案】(1)； (2)的值为，的面积为． 【分析】（）根据题意可得，，变形整理所求式子，然后代入求值即可； （）利用根与系数的关系得，，，结合可求出的值, 由满足 ，，可得出为方程的两根，根据根与系数的关系可得出，，由可得出为直角三角形，再利用三角形的面积公式可求出的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴与为方程的两根， ∴，， ∴； （2）解：∵，是方程的两个根， 则有， ∴，，， ∵， ∴，则， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∵满足，， ∴为方程的两根， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴的值为，的面积为． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，勾股定理逆定理，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程 根的判别式 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ． 类型八、一元二次方程的新定义应用 【解惑】如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”． 【答案】(1)是“倍根方程”，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）先解一元二次方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）先转化一元二次方程求解，再根据“倍根方程”的定义判断即可． 【详解】（1）解：是“倍根方程”，理由如下： ，解得：， 所以，则是“倍根方程”； （2）证明：∵点在双曲线y上， ∴，且， ∴方程化为方程，解得：， ∴， ∴方程是“倍根方程”． 【融会贯通】 1．已知关于是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是___________；（填写序号） (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】此题考查了勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握“差根方程”的定义是解题的关键． （1）解方程并根据定义进行判断即可； （2）解方程得到，，根据定义得到，即； （3）分为斜边和为直角边两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 该方程是差根方程； ， ， ， ， 该方程不是差根方程； 故答案为： （2）， 因式分解得：， 解得：， 关于x的方程是“差根方程”， ； （3）设 当为斜边时，， ， ， ， 解得， ， 解得舍去，边长不能为负， ， 方程为， 当为斜边，则， ， ， ， 当时，时，解得由韦达定理可得方程为， 当时，(边长不能为负，舍去， 综上，这个差根方程为和 2．定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． (1)方程__________（填是或不是）“差积方程”； (2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值． (3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)2 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）先解方程得出，，根据新定义得出，求出，根据它的一个实数根为，得出，整体代入求出结果即可． 【详解】（1）解：， 即， 解得：， ， ∴不是差积方程； （2）解：， 即， 解得：，， ∵是差积方程， ， 即或． 解得：或； （3）解：， 解得：， ，， ∵是差积方程， ， 即， 即， ∵它的一个实数根为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 3．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______． (2)若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，正确理解全整根方程、全整根伴侣方程、最值码的定义是解题的关键． （1）根据“最值码”定义求解即可． （2）根据定义可得，进而可得，解方程即可得到答案． （3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值． 【详解】（1）解：在关于x的一元二次方程中，，， ， ， ， “全整根方程” 的“最值码”是． 故答案为：． （2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”， ∴， ∴， 解得； （3）解：对于方程，，，， ， ， ， ． 对于方程，，，， ， ， ． ∵方程是方程的“全整根伴侣方程”， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 或． 、均为正整数， 不符合题意， ， 故的值为2． 类型九、一元二次方程的应用——几何动点求t 【解惑】在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； （2）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 【融会贯通】 1．如图，在中，，动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，另一动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，点同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为，那么经过多长时间，的面积为？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据的面积为列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， ， ， 整理，得 解得， ，则， ， 经过，的面积为． 2．如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动． (1)经过多少时间时，四边形为矩形； (2)经过多少时间时，四边形的面积为； (3)经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是． 【答案】(1)当时，四边形为矩形； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 依题意得：， 解得：． 答：当时，四边形为矩形； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）解：过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 3．如图所示，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以2厘米秒的速度移动，点沿边从点开始向点以1厘米秒的速度移动，如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么： (1)当运动秒时，用含的式子表示__________，__________，__________，__________． (2)当为何值时，的面积为8？ (3)求四边形的面积，并写出一个与计算结果有关的结论． 【答案】(1)厘米，厘米，厘米，厘米 (2)或 (3)平方厘米，结论见解析 【分析】（1）根据“路程速度时间”及线段之间的和差关系即可直接得出答案； （2）由矩形的性质可得，由三角形的面积公式可得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可求出的值； （3）由矩形的性质可得，由三角形的面积公式可得（平方厘米），（平方厘米），由于（平方厘米），根据可得（平方厘米），于是可得结论． 【详解】（1）解：根据“路程速度时间”，点的速度是1厘米秒， （厘米）， 厘米， （厘米）， 点的速度是2厘米秒， （厘米）， 厘米， （厘米）， 故答案为：厘米，厘米，厘米，厘米； （2）解：四边形是矩形， ， ， ，，， ， 整理，得：， ， 或， 解得：，， 答：当或时，的面积为8； （3）解：四边形是矩形， ， （平方厘米）， （平方厘米）， 又（平方厘米）， （平方厘米）， 结论：在、运动过程中，四边形的面积始终保持不变，为平方厘米，且等于矩形面积的一半． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的应用（动态几何问题），因式分解法解一元二次方程，三角形的面积公式，列代数式，整式加减的应用，线段的和与差等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 类型十、勾股圆方图注与黄金分割数 【解惑】【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； (2)【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 【答案】(1)；， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程—配方法，数形结合是关键 （1）根据赵爽的解法变形一元二次方程，画出大正方形，构造新方程，求出方程的一个正解即可； （2）仿照赵爽的解法变形一元二次方程，构造新的关于x的方程，解出正数解即可． 【详解】（1）解：第一步，将原方程变为，变形得：， 第二步，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形如图： 第三步，根据大正方形的面积可得新的方程：， 解得原方程的一个根为． 故答案为：；，； （2）解：方程变形为：， 根据赵爽的解法可造方程为：， ∵，， ∴（舍去负值）， ∴， ∴原方程的一个正数解为：． 【融会贯通】 1．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． (2)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用） (3)一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由个相同矩形构成，这个矩形的总面积为，中间围成的正方形边长为．那么______，______． 【答案】(1)② (2)作图见解析， (3)； 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据个矩形的总面积为，知，即；而中间围成的正方形边长为，可得解． 【详解】（1）解：∵应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∴解法正确的构图是②， 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， 解得：， ∴方程的正数解是； （3）如图：∵， ∴， ∵个矩形的总面积为， ∴， ∴， 解得：， ∵中间围成的正方形边长为， ∴， ∵，表示边长， ∴， 解得：， 故答案为：；． 2．关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3)0 【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【详解】（1）依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． （2）∵， ∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则， ∴． （3）∵，； ∴； 即； ∴． 又∵； ∴； 即． ∵，为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴． 又∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 3．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的帕特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数满足：，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意将代入，然后解一元二次方程即可得解； （2）根据题意将变形为，从而可以看作是一元二次方程的两个根，进而可以得解． 【详解】（1）解：根据题意，将代入得， ， ， 黄金分割数大于， 黄金分割数为：； （2）解：， ， ， ， 是一元二次方程的两个根， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的新定义运算 【解惑】定义运算：．例如：．方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【融会贯通】 1．定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 2．定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程．且有两个相等的实数根，则 ． 3．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，，因为是的2倍，所以方程是“一元二次倍根方程”．已知是正整数，若关于的一元二次方程是“一元二次倍根方程”，且关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的值为 ． 类型二、一元二次方程的变形求值 【解惑】若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【融会贯通】 1．已知是方程的一个根，则代数式的值是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．无法确定 2．已知三个关于x的一元二次方程，，，恰有一个公共实数根，则的值为 ． 3．已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 类型三、一元二次方程的整体带入 【解惑】关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【融会贯通】 1．若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 3．关于x的方程的解是（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程的根是 ； （2）关于x的方程的根为 ． 类型四、换元法的应用 【解惑】利用换元法解方程． 【融会贯通】 1．换元法解方程：． 2．阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 3．阅读下列材料： 解方程：． 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，∴； 当时，，∴， 所以原方程有四个根：，，，． 根据上述解方程的方法，解决下列问题： (1)解方程时，若设，直接写出用表示该方程； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 类型五、配方法的应用 【解惑】求式子的最小值. 【融会贯通】 1．把方程配方，得到． ①求m和p的值； ②解这个方程． 2．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式： (1)请用上述方法把分解因式； (2)求多项式的最小值； (3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 3．阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：， ∵ ． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】 （3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 类型六、十字相乘法的应用 【解惑】解方程：（十字相乘法）． 【融会贯通】 1．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图，所以．我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为．依照上面的方法，解下列方程： (1) (2) 2．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 3．根据多项式乘法可知从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解，如：，方程分解为；从而可以快速求出方程的解．请你利用此方法尝试解方程． 类型七、根与系数关系的对称式 【解惑】有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决 请你完成下面两个问题： (1)已知实数、满足、，求的值． (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【融会贯通】 1．阅读材料 材料1．关于x的一元二次方程的两个根为和系数a，b，c有如下关系： ； 材料2．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：m，n是一元二次方程的两个实数根， ． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，则_______，_______； (2)一元二次方程的两个根为m，n，则的值； (3)已知实数s，t满足且，求的值； 2．材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m、n，求的值． 解：∵一元二次方程．的两个实数根分别为m、n， ， 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为：，则_____；____． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，且，求出的值． 3．背景情境：赛赛同学在学习《一元二次方程》中做过这样一道题： 题目：已知实数满足，，且，求的值． 解：根据题意得与为方程的两根， ∴，， ∴， 请认真阅读赛赛同学解题的方法，仔细思考．解决问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知关于的方程有两个根，满足．当的三边满足，，，求的值以及的面积． 类型八、一元二次方程的新定义应用 【解惑】如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于x的方程是“倍根方程”． 【融会贯通】 1．已知关于是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是___________；（填写序号） (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 2．定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． (1)方程__________（填是或不是）“差积方程”； (2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值． (3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 3．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______． (2)若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 类型九、一元二次方程的应用——几何动点求t 【解惑】在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在中，，动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，另一动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，点同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为，那么经过多长时间，的面积为？ 2．如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动． (1)经过多少时间时，四边形为矩形； (2)经过多少时间时，四边形的面积为； (3)经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是． 3．如图所示，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以2厘米秒的速度移动，点沿边从点开始向点以1厘米秒的速度移动，如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么： (1)当运动秒时，用含的式子表示__________，__________，__________，__________． (2)当为何值时，的面积为8？ (3)求四边形的面积，并写出一个与计算结果有关的结论． 类型十、勾股圆方图注与黄金分割数 【解惑】【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； (2)【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 【融会贯通】 1．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． (2)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用） (3)一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由个相同矩形构成，这个矩形的总面积为，中间围成的正方形边长为．那么______，______． 2．关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 3．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的帕特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数满足：，，且，求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$