第二十一章 一元二次方程（基础+中等类型）-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第二十一章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的定义与一般形式 【解惑】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．方程的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（　　） A．1，，4 B．1，3，4 C．1，， D．1，3， 2．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 3．一元二次方程的常数项是 ． 类型二、一元二次方程的根与判别式 【解惑】下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．关于x的方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 2．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 类型三、一元二次方程根与系数关系 【解惑】若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【融会贯通】 1．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 3．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 类型四、一元二次方程的应用——数字、循环问题 【解惑】如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（  ） A．6 B．7 C．14 D．16 【融会贯通】 1．为了践行“文明其精神，野蛮其体魄”的精神，2025年仙游县举办创建杯男子篮球联赛活动，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，应邀请多少支球队参加？设邀请x支球队参加，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 支队伍参加比赛． 3．一个两位数，个位数字与十位数字的和为，并且个位数字的平方比十位数字大，求这个两位数． 类型五、一元二次方程的应用——传染、平均变化率 【解惑】有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．某工厂一月份产值为50万元，计划二、三月份总产值达到120万元，求二、三月份平均每月的增长率为多少？设二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 2．新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了 ． 3．随着“博物馆热”的持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解历史文化．某博物馆，今年月份共计接待游客万人，月份接待游客增加到了万人． (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率； (2)若月份继续保持相同的增长率，则该博物馆月份预计接待游客多少万人？ 类型六、一元二次方程的应用——三角形、四边形问题 【解惑】已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程的一个根，那么这个三角形的周长为（   ） A．6或8 B．8 C．17或19 D．19 【融会贯通】 1．已知一个直角三角形两直角边之和为17，斜边长为13，则它面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 2．如图，一个菱形两条对角线长的和是，面积是．设，则 ，根据题意可列方程为 ． 3．在公元9世纪，花拉子米（杰出的数学家、天文学家和地理学家之一，被誉为“代数之父”）在其《代数学》中利用几何方法求解一元二次方程． 以方程为例，花拉子米的两种几何解题思路如下： 思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和的矩形，再补上四个边长为的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为（    ），可得方程，则方程的正数解是． 思路二：如图②所示，将原方程转化为（    ），可得方程，则方程的正数解是． 根据上述材料，解答下列问题． (1)补全花拉子米的解法步骤； (2)根据花拉子米的思路，在图③中，任选一种方法画出能够得到方程的正数解的构图，写出必要的思考过程． 类型七、解一元二次方程——直接开平方法与配方法 【解惑】解方程 (1) (2)（配方法） 【融会贯通】 1．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．解方程：． 3．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 类型八、解一元二次方程——公式法 【解惑】用合适的方法解方程： 【融会贯通】 1．解方程：． 2．用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 3．解方程： (1) (2)（公式法） 类型九、解一元二次方程——因式分解法 【解惑】解方程：． 【融会贯通】 1．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 2．解方程： (1) (2)． 3．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 类型十、一元二次方程的应用——销售问题 【解惑】庐州黄是安徽合肥特有的桂花品种，它将合肥的古称与桂花的颜色相融合，折射着这座城与桂花的不解之缘．某抖音主播以每罐（35克）20元的价格新进一批桂花，根据以往的销售经验，当销售价格定为每罐24元时，每天可售出200罐，后来经过市场调查发现，每罐桂花的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，若设该种桂花的售价为：（）元． (1)该抖音主播每天售出桂花______罐；（用含的式子表示） (2)抖音平台规定：在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过，若该抖音主播销售该种桂花要想平均每天获利1700元，求该种桂花每罐的售价． 【融会贯通】 1．荣成海鲜以其丰富的种类，优良的品质和悠久的历史而闻名．近年来，荣成市大力推进科技兴海，以养兴渔的策略．某海鲜店从当地渔民处以20元/斤的价格购进一批爬虾，经市场调研发现，这种虾爬的日销售量（斤）与每斤售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)为使日销售这种爬虾的利润为1750元，而且尽可能让顾客得到实惠，该爬虾的实际售价应定为多少元？ 2．逛商场时经常会遇到“图书按斤卖”活动．已知某商场“图书按斤卖”活动销售单价为25元/斤，为庆祝商场周年庆，决定采取“多买多降”活动，即当顾客购买质量超过5斤时，每多买1斤，购书单价则下降1元．设某位顾客买了斤（）， (1)在该周年庆活动下，这位顾客的购书单价为__________元（用含的代数式表示）； (2)若该顾客以活动价购书花了200元，那么该顾客共购书多少斤． 3．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的定义与一般形式 【解惑】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程，解题关键是掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 方程中含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B． 方程仅含未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； C． 方程含两个未知数和，不是一元方程，故此选项不符合题意； D． 方程未明确，当时不是二次方程，因此不满足条件，故此选项不符合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．方程的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（　　） A．1，，4 B．1，3，4 C．1，， D．1，3， 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解： 方程化为一般形式为 ∴二次项系数、一次项系数和常数项是1，3，， 故选：D 2．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 3．一元二次方程的常数项是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式中各部分名称（二次项、一次项、常数项等）是解题的关键．明确一元二次方程一般形式，找出方程中常数项． 【详解】解：一元二次方程的一般形式是（），其中为常数项， 对于方程，对比一般形式，，，， ∵ 此方程中符合常数项定义的是， ∴ 该一元二次方程的常数项是． 故答案为： ． 类型二、一元二次方程的根与判别式 【解惑】下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，通过计算各选项对应的一元二次方程的判别式，判断是否存在实数根即可． 【详解】对于一元二次方程 ，判别式 ： 选项A：， ，，， ，方程有两个实数根． 选项B： ，，， ，方程无实数根． 选项C： ，，， ，方程有两个实数根． 选项D： ，，， ，方程有两个实数根． 综上，只有选项B的判别式为负，故无实数根． 故选B． 【融会贯通】 1．关于x的方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式． 通过计算一元二次方程的判别式，判断其符号即可确定根的情况． 【详解】解： ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根；当一元二次方程有两个相等的实数根；当一元二次方程无实数根；由题意可知，得，解方程即可确定答案．熟记一元二次方程根的情况与判别式关系，得出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根为 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 类型三、一元二次方程根与系数关系 【解惑】若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是牢记“当时，方程有两个实数根”． 根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，． 故选B． 【融会贯通】 1．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出和是解答本题的关键． 根据m，n是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 3．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，且 (2)不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根；当一元二次方程有两个相等的实数根；当一元二次方程无实数根；一元二次方程根与系数的关系：．熟记一元二次方程根的情况与判别式关系、根与系数的关系，得出方程求解是解决问题的关键． （1）由题意可得，且，解不等式即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，代入解方程，再由（1）中，且判断即可得到答案． 【详解】（1）解：关于的方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得，且； （2）解：不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0， 理由如下： 设关于的方程的两个不相等的实数根为，， 则， 方程的两个实数根的倒数之和等于0， ， 则， 解得， 由（1）知，，且， 不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0． 类型四、一元二次方程的应用——数字、循环问题 【解惑】如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（  ） A．6 B．7 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最大的数为16． 故选：D． 【融会贯通】 1．为了践行“文明其精神，野蛮其体魄”的精神，2025年仙游县举办创建杯男子篮球联赛活动，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，应邀请多少支球队参加？设邀请x支球队参加，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据设邀请x支球队参加，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，进行列出方程，即可作答． 【详解】解：∵设邀请x支球队参加，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场， ∴， 故选：D． 2．三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 支队伍参加比赛． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 有支队伍参加比赛，根据每支队伍与其他队伍只比一场，共计场比赛，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设有支队伍参加比赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即有支队伍参加比赛， 故答案为：． 3．一个两位数，个位数字与十位数字的和为，并且个位数字的平方比十位数字大，求这个两位数． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，根据题意，设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，由此列式求解即可． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为， 根据题意，得，整理，得， 解得（不符合题意，舍去），， ， 这个两位数为． 类型五、一元二次方程的应用——传染、平均变化率 【解惑】有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， ∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．某工厂一月份产值为50万元，计划二、三月份总产值达到120万元，求二、三月份平均每月的增长率为多少？设二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据题意，二、三月份的总产值需达到120万元，需分别表示这两个月的产值并求和，据此进行列式作答即可． 【详解】解：设每月增长率为，则二月份产值为万元，三月份产值为万元， 可得方程： 故选：B 2．新冠肺炎病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了 ． 【答案】13人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，再根据“经过两轮传染后共有196人”列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意得，， 整理得，， 解得：或（舍去）， 即每轮传染中平均一个人传染了13个人． 故答案为：13人． 3．随着“博物馆热”的持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解历史文化．某博物馆，今年月份共计接待游客万人，月份接待游客增加到了万人． (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率； (2)若月份继续保持相同的增长率，则该博物馆月份预计接待游客多少万人？ 【答案】(1) (2)万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为，根据今年3月份共计接待游客万人，月份接待游客增加到了万人，列出一元二次方程，解之其符合题意的值即可； （2）根据月份继续保持相同的增长率，列式计算即可． 【详解】（1）解：（1）设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为． （2）解：月份接待游客人数：（万人）， 答：该博物馆月份预计接待游客万人． 类型六、一元二次方程的应用——三角形、四边形问题 【解惑】已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程的一个根，那么这个三角形的周长为（   ） A．6或8 B．8 C．17或19 D．19 【答案】D 【分析】根据方程求得方程的两根，再根据三角形的三边关系，求得三角形周长即可． 【详解】解：∵第三边的长为二次方程的一根， ∴， ∴，， ∵， ∴边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形， ∴三角形的周长． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题关键． 【融会贯通】 1．已知一个直角三角形两直角边之和为17，斜边长为13，则它面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【分析】设一条直角边长为x，则另一条直角边长为17-x，利用勾股定理求解，然后确定直角三角形的边长，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设一条直角边长为x，则另一条直角边长为17-x， ∴， 解得：，， 当x=5时，17-x=12； 当x=12时，17-x=5； ∴直角三角形的面积为：， 故选：A． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键． 2．如图，一个菱形两条对角线长的和是，面积是．设，则 ，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由菱形两条对角线长的和是可得，再根据菱形的面积为可得，即可列出方程，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形两条对角线长的和是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，面积是， ∴， ∴ 故答案为：，． 3．在公元9世纪，花拉子米（杰出的数学家、天文学家和地理学家之一，被誉为“代数之父”）在其《代数学》中利用几何方法求解一元二次方程． 以方程为例，花拉子米的两种几何解题思路如下： 思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和的矩形，再补上四个边长为的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为（    ），可得方程，则方程的正数解是． 思路二：如图②所示，将原方程转化为（    ），可得方程，则方程的正数解是． 根据上述材料，解答下列问题． (1)补全花拉子米的解法步骤； (2)根据花拉子米的思路，在图③中，任选一种方法画出能够得到方程的正数解的构图，写出必要的思考过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据已知算式和图形可得答案． （2）根据“在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为和2的矩形，再补上一个边长为2的小正方形，最终把图形补成一个大正方形”，可得答案． 【详解】（1）解：思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和的矩形，再补上四个边长为的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为，可得方程，则方程的正数解是； 思路二：如图②所示，将原方程转化为可得方程，则方程的正数解是． 故答案为：，5； （2）解： 思路一：在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和2的矩形，再补上四个边长为2的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为，可得方程，则方程的正数解是． 思路二：在边长为x的正方形的两条邻边上作边长分别为x和4的矩形，再补上一个边长为2的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为，可得方程，则方程的正数解是． 类型七、解一元二次方程——直接开平方法与配方法 【解惑】解方程 (1) (2)（配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：； （2）解：， 解得：． 【融会贯通】 1．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程. （1）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ， （3）解：， ， ， ， ， （4）解：， ， ， ， ，． 2．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握利用配方法解一元二次方程的步骤、正确计算是解题的关键． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得：， 方程左右两边同加上得：， 整理得：， ∴， ∴，． 3．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；掌握配方方法是解题的关键． （1）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）整理后移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （2）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （3）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （4）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （5）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，． 类型八、解一元二次方程——公式法 【解惑】用合适的方法解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 【融会贯通】 1．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：， ．            ． ． 2．用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）先移项，然后运用完全平方公式配方求解即可； （2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的存在，再运用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以  ． （2）解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴  ． 3．解方程： (1) (2)（公式法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解： 化为一般式得， 则， ∴， ∴， 解得． 类型九、解一元二次方程——因式分解法 【解惑】解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解法求解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键 ． 先将给定的方程化为一般形式，然后通过因式分解将方程左边转化为两个一次因式的乘积，再根据若两个因式的乘积为0，则这两个因式至少有一个为0的原理，分别求解两个一次方程，从而得到原一元二次方程的解． 【详解】解： 移项得： 采用十字相乘法：分解为与，分解为与，交叉相乘再相加可得， 或， 解得：或． 【融会贯通】 1．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）移项后用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴，． 2．解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：， ． ，． （2）解： ，． 3．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）利用直接开平方的方法求出方程结果即可； （2）利用因式分解的方法求解方程结果即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或； （2）， ， ， 或， 或． 类型十、一元二次方程的应用——销售问题 【解惑】庐州黄是安徽合肥特有的桂花品种，它将合肥的古称与桂花的颜色相融合，折射着这座城与桂花的不解之缘．某抖音主播以每罐（35克）20元的价格新进一批桂花，根据以往的销售经验，当销售价格定为每罐24元时，每天可售出200罐，后来经过市场调查发现，每罐桂花的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，若设该种桂花的售价为：（）元． (1)该抖音主播每天售出桂花______罐；（用含的式子表示） (2)抖音平台规定：在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过，若该抖音主播销售该种桂花要想平均每天获利1700元，求该种桂花每罐的售价． 【答案】(1) (2)该抖音主播销售该种桂花要想平均每天获利1700元，每罐的售价应为30元； 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键在于读懂题意，找准等量关系． （1）结合每天可售出200罐，每罐桂花的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，进行列式化简，即可作答． （2）根据数量乘单件利润等于获利1700元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意得， 整理得， 解得，． ， ， 不符合题意，舍去， ． 答：该抖音主播销售该种桂花要想平均每天获利1700元，每罐的售价应为30元； 【融会贯通】 1．荣成海鲜以其丰富的种类，优良的品质和悠久的历史而闻名．近年来，荣成市大力推进科技兴海，以养兴渔的策略．某海鲜店从当地渔民处以20元/斤的价格购进一批爬虾，经市场调研发现，这种虾爬的日销售量（斤）与每斤售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)为使日销售这种爬虾的利润为1750元，而且尽可能让顾客得到实惠，该爬虾的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)该爬虾的实际售价应定为45元． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数应用，审清题意正确列出方程和函数的表达式是解题关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”列方程求解后，根据要让消费者得到实惠可得答案． 【详解】（1）解：与的函数关系式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴与的函数关系式为：； （2）解：根据题意知，， 整理得：， 解得：或， ∵要让消费者得到实惠， ∴， 答：该爬虾的实际售价应定为45元． 2．逛商场时经常会遇到“图书按斤卖”活动．已知某商场“图书按斤卖”活动销售单价为25元/斤，为庆祝商场周年庆，决定采取“多买多降”活动，即当顾客购买质量超过5斤时，每多买1斤，购书单价则下降1元．设某位顾客买了斤（）， (1)在该周年庆活动下，这位顾客的购书单价为__________元（用含的代数式表示）； (2)若该顾客以活动价购书花了200元，那么该顾客共购书多少斤． 【答案】(1) (2)该顾客共购书10斤或20斤 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，先求出这位顾客的购书单价，再由等量关系列一元二次方程求解即可得到答案，找准等量关系列出方程求解是解决问题的关键． （1）由题意直接列代数式即可得到答案； （2）由（1）知这位顾客的购书单价为，根据题意列一元二次方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设某位顾客买了斤（）， 已知某商场“图书按斤卖”活动销售单价为25元/斤，当顾客购买质量超过5斤时，每多买1斤，购书单价则下降1元，则在该周年庆活动下，这位顾客的购书单价为， 故答案为：； （2）解：由（1）知这位顾客的购书单价为元， 则，即 ，          解得，， 经检验两个解均满足大于5 故该顾客共购书10斤或20斤． 3．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)20万元 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及直接开平方法解一元二次方程、十字相乘法分解因式解一元二次方程等知识，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则，直接开平方求解即可得到答案； （2）设下调后每辆汽车降低万元，由等量关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则， ， 则或， 解得（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%； （2）解：设下调后每辆汽车降低万元， 则， 整理得， ， 则或， 解得， 此次销售尽量让利于顾客， 应取， （万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$