第二十二章 二次函数拓展之几何篇（优质类型）-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第二十二章 二次函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数中的全等三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，二次函数（a、b为常数，）的图象与x轴交于点和点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作轴于点G，Q是x轴上的点，要使以P、Q、G为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P、Q的坐标． 【答案】(1) (2)当P的坐标为时，Q的坐标为或；当P的坐标为时，Q的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质． （1）将、代入中，解二元一次方程组即可； （2）先根据二次函数解析式求出，进而得，，再分两种情况讨论：①若，如图1，则由可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标；②若，如图2，则由可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标． 【详解】（1）解：将、代入中， 得， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：， ， ， ， ，                             ①若，如图1， ， 在中，令得： ， 解得（舍去），， ， ， ；                         ②若，如图2， ， 在中，令得： ， 解得（舍去），， ， ， ． 综上所述，以P、Q、G为顶点的三角形与全等，当P的坐标为时，Q的坐标为或；当P的坐标为时，Q的坐标为或． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（a、b为常数，）的图象与x轴交于点和点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作轴于点G，Q是x轴上的点，要使以P、Q、G为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P、Q的坐标． 【答案】(1) (2)当P的坐标为时，Q的坐标为或；当P的坐标为时，Q的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）将、代入中，解二元一次方程组即可； （2）先根据二次函数解析式求出，进而得，，再分两种情况讨论：①若，如图1，则由可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标；②若，如图2，则由可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标． 【详解】（1）解：将、代入中，得， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴，对称轴为直线， ∴， ， ， ，                             ①若，如图1， ， 在中，令得：， 解得（舍去），， ， ， ；                         ②若，如图2， ， 在中，令得： ， 解得（舍去），， ， ， ． 综上所述，以P、Q、G为顶点的三角形与全等，当P的坐标为时，Q的坐标为或；当P的坐标为时，Q的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足 ，连接，当 的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形和 全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最小值为 (3)存在，， 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴对称，再向上平移3个单位得到，则有，即可获得答案； （3）首先确定直线，进而解得点，，的坐标，根据题意解得Q点运动轨迹为直线，然后根据全等三角形的性质，分或两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入， 可得，解得， 则抛物线的表达式为； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为， ∴点E 坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， 将点 B 关于y轴对称，再向上平移3个单位得到， 则：， 即最小值为 ； （3）设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线， 令得， ∴， ∴， ∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， 根据题意，将原抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点， 可设Q点运动轨迹所在直线为， 将点代入，可得，解得， ∴Q点运动轨迹为直线：， ∴或， 当时， ∴轴， 令， 则， 经检验，符合题意， 当时，， ∴， 即， ∴令， 则， 经检验，符合题意， ∴，． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数图像的平移、全等三角形的性质等知识，综合运用相关知识是解题关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，其顶点为D，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式． (2)M是该抛物线上在第三象限内的一点，过点M作轴于点N，P是x轴上一点，要使以M，N，P为顶点的三角形与全等，求满足条件的点M，P的坐标． 【答案】(1) (2)①，；②当M的坐标为时，点P的坐标为或；当M的坐标为时，点P的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的函数解析式即可； （2）根据解析式求出相关线段的长度，再分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：依题意，得 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴，， ∴，． 在中，令， 解得，， ∴，． ∵，， ∴当以M，N，P为顶点的三角形与全等时，E与N是对应点． ①若，，如图1，则． 在中，令，得． 解得（大于0，舍去），， ∴，， ∴，． ②若，，如图2，则． 在中，令，得． 解得（大于0，舍去），， ∴，， ∴，． 综上所述，若以M，N，P为顶点的三角形与全等，则当M的坐标为时，点P的坐标为或；当M的坐标为时，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法、抛物线的顶点、与坐标轴的交点、全等三角形判定等知识，解决此题的关键是由数形结合列出方程． 类型二、二次函数中的等腰三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，当点P在直线上方的抛物线时，连接、，点M是x轴上一动点，连接、．当的面积最大时，求的最小值； (3)如图2，点N是线段上一个动点，过点N作轴，垂足为N，交于点Q，试探究点N在运动过程中，是否存在这样的点Q使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，二次函数的最值以及等腰三角形的意义，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）把，两点坐标代入，求出的值即可； （2）确定点坐标，运用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，交于，设，则，得，求出，可得；作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接交点，则的最小值为，由勾股定理可求出，即的最小值； （2）根据等腰三角形的定义，结合两点间距离公式分别求出的长度，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴， （2）解：对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； 过点作轴，交于，设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴； 作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接交点，则的最小值为， ∴, ∴的最小值为； （3）解：∵，, ∴ 设，则， ∴；， 若是等腰三角形时， 当时，则， ∴， ∴，此种情况不存在； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，则， ∴， 整理得， ∴，此时 ，方程无解． ∴． 【融会贯通】 1．如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或， 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标； （2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标． 【详解】（1）解：将点坐标代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点坐标为； （2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或， 或时，； （3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接， 由垂直平分线性质得，，， ，， ，， 设，， 在中，， ，解得， ， 设， ，， ，解得， ， 综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标． 2．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)；面积最大值为 (3)点M的坐标为，， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，两种种情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令得， ∴，， ∴， 令得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解方程得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； （3）解：∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，、 ①当时， 如图所示有，， ②当时，过点C作， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，． 3．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，一次函数经过点、、．点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点，连接． (1)求二次函数和一次函数的解析式； (2)当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)连接，连接交于点，记面积为，面积为，在点运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)的最大值为：． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，过点作于点，由题意可得，轴，从而可得的纵坐标为2，进而得出，求解即可； （3）证明，如图，过作轴交于，而直线轴，可得轴，则，证明，可得，求解，，可得，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为，即． 当，， ∴， 一次函数过点和， 代入，得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：依题意，可设，则， 过点作于点， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，轴， ∴的纵坐标为2， ∴， 即有， 解得：（舍去）或， ∴． （3）解：∵面积为，面积为， ∴， 如图，过作轴交于，而直线轴， ∴轴，则， ∴， ∴， ∵，直线为， ∴，，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是直线上方二次函数图象上的一个动点， ∴， 而，则有最大值， 当时，的最大值为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 类型三、二次函数中的等腰直角三角形 【解惑】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)当时，求y的取值范围； (2)如图2，点G为抛物线对称轴上的一点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二次函数图象得性质．熟练掌握二次函数的对称性，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由A、B的坐标求出抛物线解析式，求出顶点，可得y的取值范围； （2）分别过、作直线的垂线，垂直为、，根据为等腰直角三角形，可得，得到，，得根据，即得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、B两点，且对称轴为， ． ∵抛物线与x轴交于两点， ． ．． ． ∴当时，． ∵当时，， 当时，． 故的取值范围为； （2）证明：分别过、作直线的垂线，垂直为、． 则． ． 又为等腰直角三角形， ，． ． ． ． ，． ，， ，． ． ∵，， ∴． ． ． 为定值． 【融会贯通】 1．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 2．如图，抛物线过点、点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是第四象限抛物线上的一个动点． ①当的面积最大时，求点的坐标？并求出面积的最大值； ②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，最大值为；②存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，三角形的面积，等腰直角三角形，掌握二次函数的性质，等腰直角三角形是解题的关键． （1）由抛物线过点，，可直接得出抛物线的表达式为，展开即可得出结论． （2）①过点作轴，交线段于点，则，根据二次函数的性质可得结论； ②由题意可知，若是等腰直角三角形，则，分别表示及，可求出的值，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，点， 抛物线的表达式为； （2）由（1）得抛物线的解析式为， 令，则， ， 直线的表达式为， 点是第四象限抛物线上的一个动点， 设， ①如图，过点作轴的垂线，交线段于点，则， 当时，即，的值取最大，最大值为 ②存在， 由题意可知， 若是等腰直角三角形，则， 点是第四象限抛物线上的一个动点， 设，， ， 轴， ， ， ， 解得 舍去或或或 舍去， 当是等腰直角三角形时，点的坐标为或． 3．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解的函数表达式为 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识： （1）根据题意设代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，得，，求出，，根据列方程，求出方程的解即可； （3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设 代入，得 解得： ∴抛物线解的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 把,代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为； ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为 ∴，， ∴；， ∵， ∴， 整理得，， 解得，或（不合题意，舍去） ∴； （3）解：由②知，，， ∵， ∴， 又轴， ∴ ∴， 若是等腰直角三角形，则有： ①当时，连接，如图， ∴， ∵ ∴ ∴轴， ∴ ∴， 解得，或（不合题意，舍去） ②当时，如图，连接则作于点K， 则且轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得，或（不符合题意，舍去）， 综上，当或时，为等腰直角三角形 类型四、二次函数中的直角三角形 【解惑】如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ，， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或； （3）解：，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在线段上运动， 设，且， 过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． 【融会贯通】 1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点的坐标为，且． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，为抛物线上位于第二象限内的一个动点，过点作轴的垂线，该垂线交直线于点，交轴于点，设线段的长度为，求关于的函数关系式． (3)在（）的条件下，连接，若为直角三角形，求的值． (4)连接，将线段沿轴向左平移个单位长度，若线段与抛物线有交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)． 【分析】根据抛物线的解析可以求出点的坐标为，根据可以求出点的坐标为，又因为点的坐标是，设抛物线的解析式为，把点代入，求出的值即可； 用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标为，点的坐标为，则有，整理可得：关于的函数表达式为； 由已知条件可知为等腰直角三角形，所以可得，若为直角三角形，则为等腰直角三角形，所以应分两种情况讨论，第一种情况是当时，此时点和点的纵坐标都是，所以可得：，解方程求出的值即可；第二种情况是当时，此时，，可得方程，解方程求出的值即可； 设线段向左平移了个单位长度，平移后点的坐标是，点的坐标是，当点在抛物线上时，可得：，解方程可得：，当点，在抛物线上时，可得方程，解方程可得：，所以可得的取值范围为． 【详解】（1）  解：将代入， 可得：， 点的坐标为， ， ， 点的坐标为，     又， 抛物线的解析式为， 将点代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为；     （2）解：设直线的解析式为， 将点，点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为，     直线与抛物线交于点，与直线交于点， 设，， 线段的长为， ， 整理得：， 即关于的函数表达式为； （3）解：，， 为等腰直角三角形， ， ， 若为直角三角形，则为等腰直角三角形， 分两种情况： 如图所示， 当时， ， ， ， ， ， 解得：（不符合题意，舍去），， 故此时的值为；     如图所示， 当时，过点作于点，则，， ，， ， 解得：(不符合题意，舍去)，，     故此时的值为， 综上所述，的值为或；   （4）解：如下图所示， 设线段向左平移了个单位长度， 点的坐标是，点的坐标是， 平移后点的坐标是，点的坐标是， 当点在抛物线上时， 可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 当点在抛物线上时， 可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 的取值范围为．    【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、用待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，图形的平移，解决本题的关键运用数形结合的思想和方程思想． 2．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标． 【答案】(1) (2)存在满足条件的点，其坐标为或 (3)点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为 【分析】（1）由的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出点坐标，则可表示出、和的长，分、两种情况分别得到关于点坐标的方程，可求得点坐标； （3）由、的坐标可求得直线的解析式，可设出M点坐标，则可表示出N点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点M的坐标． 【详解】（1）解：在抛物线上， ，解得， 抛物线解析式为； （2）， 抛物线对称轴为直线， 当时，， ，且， ， 点在对称轴上， 可设， ，， 当时，， 解得，此时点坐标为； 当时， 解得（与重合，舍去）或，此时点坐标为； 综上可知：存在满足条件的点，其坐标为或； （3）当时，即，解得或， ，， 设直线解析式为， 由题意可得，解得， 直线解析式为， 点M是线段上的一个动点， 可设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为4， 此时， ，即M为的中点， 点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用点的坐标表示出和是解题的关键，在（3）中用M点坐标表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴相交于，且顶点，是抛物线上一动点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，若，求的坐标； (3)如图2，过作交抛物线于，以、、为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，求出的坐标；若不存在，通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据图象顶点为点，设抛物线解析式为，再代入求出即可解答； （2）将以为旋转中心顺时针旋转对应点，连接交抛物线于，过作轴，且，则，求出，，证明，求出，求出的直线解析式，联立即可求解． （3）分为①当时，②当时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象顶点为点， 故设抛物线解析式为， ∵抛物线图象经过， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 即； （2）解：将以为旋转中心顺时针旋转对应点，连接交抛物线于，过作轴，且， ， 令，解得：， ， 当时，， ， ∵， ∴在和中 ， ∴， ∴， ， 设的直线解析式为， ∴， 解得：， ∴的直线解析式为， ∴， 整理的， 解得：， 当时，， ∴； （3）解：①当时， 设的直线方程为， 设的直线方程为， ∴， 整理得， ∴， ∴， ， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴， ， ∴直线与轴夹角的正切值直线与轴夹角的正切值的倒数， ∴，即， ， ∴， 即， ∵， 设的直线解析式为， ， 整理得：， ， ∴， 解得：， ∴的直线解析式为， ∴， 整理得， 解得：， ∵当在的左侧时， ， ， ， ∵当在的右侧时， ， ； ②由（1）知，顶点， ， ， ， ， ∴此时为直角三角形，即， 若，此时与重合，与题意不合，应舍去． 综上，或时，以为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】该题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，全等三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数解析式，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是运用分类讨论思想解决问题． 类型五、二次函数中的平行四边形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点，使得是以底的等腰三角形，求点的坐标： (3)设为直线上方的抛物线上一点，连接，以为邻边作平行四边形，则平行四边形面积的最大值为___________； (4)如图2，若在x轴上有两个动点，且，则的最小值为___________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式，平行四边形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，，，根据等腰三角形的定义可得，即，则，解方程即可得到答案； （3）求出直线解析式为，设，则，则，根据，得到，则由平行四边形的性质可得，故当最大时，最大值，据此求解即可； （4）作点A关于x轴的对称点L，作且，连接，则，由轴对称的性质可得，证明四边形是平行四边形，得到，则，故当A、E、T三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线相交于点和点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设点M的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵是以底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，； ∴点M的坐标为或； （3）解；设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当最大时，最大值， ∴的最大值为； （4）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点L，作且，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴当A、E、T三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为． 【融会贯通】 1．如图，已知抛物线过点、，点是直线上一点． (1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标； (2)当点在抛物线上时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (4)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)点的坐标为 (4)存在．点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线的函数解析式，并将其转化为顶点式，即可确定该抛物线的顶点坐标； （2）把代入抛物线的解析式，进行求解即可； （3）结合（1）可知该抛物线的对称轴为，并确定该抛物线与轴的另一个交点的坐标；结合点是直线上一点，并根据抛物线轴对称的性质可得，易得，故当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小，即可确定答案； （4）根据题意，设，，分是平行四边形的一边和是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴此抛物线的函数解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）由（1）知：， ∵点是直线上一点，且点在抛物线上， ∴当，， ∴； （3）∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， 设该抛物线与轴的另一个交点为， 令，可得， 解得，， ∴， 如下图， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∵点在直线上， 当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小， 如下图， 此时， ∴， ∴点的坐标为； （4）∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上， ∴可设，， ①如下图， 当是平行四边形的一边时， 则有， ∴，解得， ∴； ②如下图， 当是平行四边形的对角线时， 则有， ∴，解得， ∴． 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 2．如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析； (2)或或； (3)存在，或或或 【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）证明，即可得到是平行四边形； （2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可； （3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵抛物线与y轴交于点C， 令，则， ∴点， 令，则， 解得， ∴，， ∴由平移的性质可知， ∵， ∴是平行四边形； （2）∵抛物线的解析式为， ∴点， 设点， ∵，， ①若为的对角线时，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ② 若为的对角线，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ③ 若为的对角线，则与互相平分 ∴    ∴ 解得   ∴ 综上所述，点G的坐标为或或； （3）存在， 要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形， ∵点G在对称轴上， ∴设点G的坐标为， 由勾股定理，得，， ①若，则 即， 得， 此时点G的坐标为， ② 若，则， 解得， 此时点G的坐标为， ③ 若，则， 解得， 此时点G的坐标为或， 综上可知，点G的坐标为或或或． 3．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点， (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积最大时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程） 【答案】(1) (2) (3)有，满足条件的点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点A坐标； （2）连接，求出直线的表达式为，过点D作x轴的垂线，交于点G，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解； （3）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：把，代入 则有， 解得 二次函数的解析式为， 令，得到，解得或， ． （2）如图中连接，． 设直线解析式为：， ，， ， 解得，， 直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为， 则， 点在第三象限， ， ， 当时，，点， 面积最大时，； （3）解：在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： ∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点N的横坐标为t， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点N在抛物线上， ∴点N的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点N的坐标为； 综上，在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；点N的坐标为或或． 类型六、二次函数中的菱形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式； (2)连接，并将沿y轴翻折，得到四边形，是否存在点P，使得四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在点P的运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1)点A的坐标为，该抛物线的函数表达式为 (2)存在这样的点，此时点的坐标为 (3)当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32 【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题， （1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式，再令求出点A的坐标即可； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）连接，作轴于点，轴于点，设点的坐标为．则，，，，结合，化解后利用二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点， 把，代入中， 得解得 该抛物线的函数表达式为． 当时， ，解得或， ∴点A的坐标为； （2）解：假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点．如图， 四边形为菱形，， ，且， ，即点的纵坐标为． 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在这样的点，此时点的坐标为． （3）解：连接，作轴于点，轴于点，如图， 设点的坐标为． ，，， ，，，， ， ∵，， 当时，S有最大值，最大值为32，此时， 此时点的坐标为， 即当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32． 【融会贯通】 1．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于两点，交轴于点． (1)求直线的表达式和a，m的值． (2)是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及面积最大时点的坐标． (3)在（2）中面积最大的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)，， (2)最大值为，此时点的坐标为 (3)或或，见解析 【分析】（1）先将代入求出a的值，然后求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，证明，得出，得出，从而说明当取得最大值时，也取得最大值．设，则，得出，根据二次函数最大值，求出结果即可； （3）先求出平移后的表达式为，设．分三种情况：当为对角线时，当为边长且和是对角线时，当为边长且和是对角线时，求出结果即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线交轴于点， ， 抛物线交轴于两点， ， ， 设直线的表达式为， 将代入得， 解得：， 直线的表达式为． （2）解：， ， ， 如图，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点， 则， ， ， ， 当取得最大值时，也取得最大值． 设，则， ， 当时，最大，此时， 当时，面积最大，最大值为： ， 此时点的坐标为． （3）解：将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后的表达式为： ， 此抛物线的对称轴为直线． 设． ， ， ． 当为对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 与互相平分，且， ，解得． 的中点坐标为的中点坐标为， ， 解得 此时； 当为边长且和是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 与互相平分，且， ， 解得：， 的中点坐标为的中点坐标为， ， 解得：， 此时或． 同理，当为边长且和是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 和互相平分，且， 即，此方程无解． 综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，菱形的性质，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点为抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式 (2)连接，点Q为直线上方抛物线上一点，过点Q作轴于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，点M是新抛物线对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)； (2)的最大值为，； (3)点N的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，设，用表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得新抛物线的对称轴为，分三种情况讨论，利用菱形的性质结合中点坐标公式求得即可． 【详解】（1）解：把，代入得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则， ∴，令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， 代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时， ∴； （3）解：∵，， ∴点向右平移3个单位得到点， ∴向右平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 设， ∵，， ①当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 无意义，舍去； ②当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， 当时，， ∴，即， 解得， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴； ③当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 综上，点N的坐标为或或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 类型七、二次函数中的矩形 【解惑】在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点，与轴交点坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为，将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象． ①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为4时，求的值； ②在①的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）将对称轴及点，代入求解即可得到答案； （2）①先根据抛物线表达式得到对称轴与顶点坐标，结合A，B两点的位置关系以及线段中点的横坐标，得到点A的纵坐标大于点B的纵坐标．分别讨论和时图象G的最高点和最低点的情况，再结合两点纵坐标的差为4建立方程，求解即可； ②根据m求出A，B两点的坐标，结合的长度得出抛物线平移规律，即可求出平移后的函数表达式，从而得到点M的横坐标，然后设点M的纵坐标为p，由点A，B，M三点构成直角三角形的限制条件，由勾股定理构造关于p的方程，利用矩形的两条对角线互相平分，即中点重合求出点N的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线（、为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点，与轴交点坐标为 ∴， 解得： 则抛物线的函数表达式为： （2）解：①由（1）可知抛物线为， ∴抛物线对称轴为，顶点为， ∵点A在点B的左侧， ∴，即， ∵线段的中点的横坐标为， ∴点A距离对称轴更近， ∵抛物线开口向下， ∴点A的纵坐标大于点B的纵坐标． 当时，抛物线对称轴位于A，B两点之间，则图象G的最高点为抛物线的顶点，最低点为点B， ∵最高与最低点的纵坐标差为4， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）； 当时，A，B两点都在对称轴右侧（包含对称轴），图象G的最高点为A，最低点为B， ∵最高与最低点的纵坐标差为4， ∴， 解得：； 综上所述：； ②由得到，，则 ， 根据平移的性质，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度． ∵抛物线为， ∴平移后的抛物线为， 对称轴为． 设点M的坐标为， 当点A、B、M三点构成直角三角形时，以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形． ∵， ， ， （Ⅰ）当为矩形的对角线时，， ∴， 整理得， ∵， ∴该方程无解； （Ⅱ）当为矩形的对角线时，， ∴，解得， ∴； ∵矩形的对角线互相平分， ∴，， 即，， ∴，， ∴； （Ⅲ）当为矩形的对角线时，， ∴，解得， ∴； ∵矩形的对角线互相平分， ∴，， 即，， ∴，， ∴； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，函数图象的平移，矩形的性质，勾股定理等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 【答案】(1)直线解析式为；抛物线表达式为 (2)线段的最大值为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，则可求得点C的坐标与抛物线的对称轴，从而求得点D的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设交y轴于点E，则为等腰直角三角形；过F作轴交于点N，则为等腰直角三角形，；设，则，根据题意建立二次函数，利用二次函数性质求解； （3）分两种情况：当点P在的右边时，设直线交y轴于点R，易得，求出直线的解析式，得点R的坐标；设，由四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标；当点P在的左边时，同理求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：把A、B两点坐标分别代入中，得：， 解得：， ∴； 上式中令，得，即； ∵抛物线的对称轴为直线，C、D关于对称轴对称， ∴; 设直线解析式为，把A、D两点坐标代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：如图，设交y轴于点E， 当时，，则， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 过F作轴交于点N，则， ∴为等腰直角三角形， ∴； 设，则， ∴， 由于二次项系数为负，则当时，有最大值， ∴； 即的最大值为； （3）解：如图，当点P在的右边时，设直线交y轴于点R， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即； 设直线的解析式，则有，解得， ∴直线的解析式， 上式中令，则，即； 设， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得：，即； ∵， ∴由平移得； 如图，当点P在的左边时， 同理：由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 由平移得：； 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解题的关键． 2．如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． （1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时， 解得： ∴ 设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线上方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）解：∵ 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线， ∴， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 3．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，函数值的取值范围是___________； (3)若点为第四象限的抛物线上一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点． ①连接，过点作轴，交于点，以、为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分图象与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)①的值为或 ② 【分析】（1）将，代入，用待定系数法即可求解；把抛物线的解析式化成顶点式即可得顶点坐标； （2）根据二次函数的性质求出最大值与最小值即可求得取值范围； （3）①求出直线的表达式，分别表示点、的坐标，进而可表示出、的长度，分两种情况：Ⅰ当点在点左侧即时，Ⅱ当点在点右侧即时，分别列方程求解即可； ②用分别表示点关于直线的对称点的坐标，结合图形列方程或不等式即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 把配方， 得， 顶点的坐标为：； （2）解：， 时，随的增大而减小， 时，随的增大而增大， 当时，时，， 时，， ， 故答案为：； （3）解：①令，则， 解得， ， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， ， 点为第四象限的抛物线上一点， 轴， ，即，， ， 轴， ， ； Ⅰ当点在点左侧即时，如图所示： ，当矩形的周长为时，， 即， 解得（舍），； Ⅱ当点在点右侧即时，如图所示： ， 当矩形的周长为时，， 即， 解得； 综上所述，当矩形的周长为时，的值为或； ②如图所示： 当点关于直线的对称点在轴上时，； 当点关于直线的对称点过原点时， ， ， ， ， 综上所述，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的周长、轴对称等知识，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是本题的关键． 类型八、二次函数中的正方形 【解惑】某校数学学习小组的同学们对过山车的轨道设计很好奇，他们在网上找到一张过山车的设计图，截取其中的一部分，利用一次函数和二次函数相关知识进行探究． 首先他们在平面直角坐标系中画出这个图形，如图①，将其整体看成图象，是二次函数和一次函数的图象组合．分析得到：若时，；若时，．随后他们测量了图象上一些点的坐标，数据如下： (1)直接写出，，的值． (2)如图②，他们在整个图象上设计了一个动点，设点的横坐标为，过点作一条平行于轴的直线，在直线上取点，点的横坐标为． ①当时，求出点落在图象上时的值． ②如图③，若过、两点作轴的垂线，垂足分别为点、点，得到矩形，当矩形为正方形时，求的值． ③在直线上另取点，点的横坐标为（点与点不重合），当线段的长度随的增大而增大时，分别直接写出线段与图象的交点个数为个和2个时的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①；②当的值为，，，时，矩形为正方形；③当时，线段与图象的交点个数为个；当时，线段与图象的交点个数为个 【分析】（1）将，；；，，，代入当时，；当时，，求解即可； （2）①由题意知：当时，点，都在二次函数图象上，且轴，推出，求解即可； ②由题意知：点的横坐标为，点的横坐标为，轴，得，推出，点的纵坐标为或，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； ③根据线段的长度随的增大而增大，推出，根据二次函数图象的对称性得点关于对称轴的对称点的横坐标为；继而推出当时，线段与图象的交点个数为个；然后再分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，；当时，， 又∵当时，；当时；，当时，， ∴， 解得：， ∴当时，；当时，， （2）解：①∵当时，， 又∵当时，点，都在二次函数图象上，且点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， 解得：； ②∵点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， ∵矩形为正方形，轴， ∴， ∴点的纵坐标为或， 当时， ，解得：（不符合题意，舍去）或； ，解得：或； 当时，，解得： 综上所述，当的值为，，或时，矩形为正方形； ③∵点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， 又∵线段的长度随的增大而增大， ∴，即， ∴， 此时二次函数图象上点关于对称轴的对称点的横坐标为； ∵， ∴当时，线段与图象的交点个数为个； 当时，，此时线段与图象的交点个数为个； ∵当时，， 当时，， ∴， 当线段与图象的交点个数为个时，则， 解得：， ∴； 当线段与图象的交点个数为个时，则， 解得：（不符合题意，舍去）或， 综上所述，当时，线段与图象的交点个数为个；当时，线段与图象的交点个数为个． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，一元二次方程与不等式的应用等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，过、作x轴的垂线，分别交直线于C、D两点．抛物线经过O、C、D三点． (1)求抛物线的表达式； (2)点M，N是平面直角坐标系中的两点，若四边形是正方形，求直线与抛物线的交点P的坐标； (3)若沿方向平移（点C在线段上，且不与点D重合），在平移的过程中与重叠部分的面积记为S，试求S的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分两种情况讨论：①当M、N在左侧时；②当M、N在右侧时，然后构造全等三角形求出N的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，最后联立方程组求解即可； （3）设水平方向的平移距离为，利用平移性质求出S的表达式：，然后关键二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴，． ∵抛物线过原点， ∴设抛物线的解析式为． ∴，解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴，， ①当M、N在左侧时，如图，过N作于G，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴； ②当M、N在右侧时，如图，过N作于G，则， 同理可求出，直线解析式为， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设直线解析式为，则， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 如答图所示， 设平移中的三角形为，点在线段上， 设与x轴交于点E，与直线交于点P，与x轴交于点F，与直线交于点Q， 设水平方向的平移距离为， 则图中，，，， 设直线的解析式为， 将代入得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 联立方程组，解得t， ∴． 过点P作轴于点G，则． ∴ ， 当时，S有最大值为， ∴S的最大值为． 【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，第（2）问中，解题的关键是根据正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求出N的坐标；第（3）问中，解题的关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法． 2．如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 3．如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式解析式为，将代入计算即可； （2）先求出，过点P作轴的垂线，交于点Q，求出直线的解析式为，设，则，求出，再根据建立方程求解即可； （3）求出直线的解析式为，设，，根据题意得到，，求出，由四边形是正方形，建立方程组，转化为，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为，将代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式解析式为； （2）解：将代入，则， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点Q， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴轴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，解得：或， 则或， ∴点P的坐标为或； 当时，方程无解； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴与抛物线段交于点N，轴于F，轴于H， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 则， ∴． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、一次函数解析式，正方形的性质性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． 类型九、二次函数中的等角与倍角、角度 【解惑】如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标． (2)若点D是直线下方抛物线上的动点，当面积是面积的一半时，求点D坐标． (3)连接，若点E的抛物线上的一个动点，且满足，求点E坐标． 【答案】(1) (2) (3)E点坐标为或 【分析】（1）当时，解方程，即可求A、B点坐标； （2）过D点作轴交于点M，设，则，由题意可得，求出t的值即可求D点坐标； （3）在上取点G，使，直线与抛物线的交点为E；过点B作轴，过点C作轴，交于N点，在上取点H，使，直线与抛物线的交点为E． 【详解】（1）解：当时，， ∴ 解得或， ∴； （2）当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 过D点作轴交于点M， 设，则， ∴， ∴面积，△DBO面积， ∵面积是面积的一半， ∴ ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）∵， ∴， 在上取点G，使， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 当时，解得（不符合题意，舍去）或， ∴， 过点B作轴，过点C作轴，交于N点， ∵， 在上取点H，使，如图 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，解得（不符合题意，舍去）或， ∴； 综上所述：E点坐标为或． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，一元二次方程，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，能够确定所在的直线解析式是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知二次函数． (1)求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）； (2)当时，y的最小值为，求出t的值； (3)如图，若该二次函数的图象过点，且与x轴交于另一点A，与y轴交于点C，在对称轴上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)的值为1 (3)存在点坐标为或时，为 【分析】（1）将化为顶点式即可解答． （2）根据抛物线得对称轴为．分为若，当时函数取最小值；若，当时函数取最小值．若，当时函数取最小值，列方程求出即可； （3）由题意得：抛物线解析式为：，则抛物线图象的对称轴为，，根据题意，设，求出直线的解析式为，过点作交于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，分为当点在轴上方时，和当点在轴下方时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：， 则该二次函数的顶点坐标为． （2）解：抛物线对称轴为． 若，当时函数取最小值， ∴，解得：（不符合题意，舍去）； 若，当时函数取最小值， ∴，解得：，； ∵， ∴． 若，当时函数取最小值， ∴，解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为1． （3）解：存在点坐标为或时，为， 理由如下： 由题意得：，解得：， 故抛物线解析式为：， 则抛物线图象的对称轴为，， 根据题意，设，直线的解析式为， 将，代入， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作交于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，， 当点在轴上方时，如图， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 将代入，则， 解得：或（舍去）； 当点在轴下方时，如图， 同理， ∴，， ，， ，， ， ， 将， 代入则， 解得：（舍去）或； 综上，当点坐标为或时，为． 【点睛】该题是二次函数综合题，涉及二次函数的图象和性质、二次函数最值、一次函数解析式、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，在上取点，连接，其中，过点作轴交于点，求长度的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在平面内，将抛物线沿直线斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过时停止平移，此时得到新抛物线．在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)长度的有最大值为，点 (3)或 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）先求出点C、D的坐标，然后再运用待定系数法求得直线的解析式，设P点坐标为，则，再表示出线段的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可解答； （3）由，设平移后的解析式为，再根据平移后的抛物线过点可求得t，进而确定平移后的抛物线解析式，然后分点位于x轴的上侧与下侧，设出M点的坐标，根据等腰直角三角形性质求出x的值即可确定M点坐标即可． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，， ，解得： 抛物线的解析式为； （2） ， ，， 设直线的解析式为， 则，解得 ， 同理：直线的解析式为， 设P点坐标为， 则， ， ， ， ∴当时，长度的有最大值为，点． （3）， 如图，设平移后的解析式为， ∵当平移后的新抛物线经过时停止平移，得到新抛物线， ，解得：或（舍弃）， ∴平移后的新抛物线的解析式为， ①当M点位于x轴上侧时，过点M作轴， 设， ， 为等腰直角三角形， ， ， 解得：，或（舍去）， ； 当M点位于x轴下侧时，过点M作轴， 设， ， 为等腰直角三角形， ， ， 解得：，或（负数舍去）， ， 综上所述符合条件的点的坐标或． 3．已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上位于直线上方的一点，连结． ①如图1，过点P作轴交于点D，交x轴于点E，连结．设的面积为，的面积为，若，求S的最大值； ②如图2，已知，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①当时，S有最大值为6；②． 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数综合的面积问题、直线与二次函数图象交点坐标求法等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键． （1）运用待定系数法解答即可； （2）①先求出B的坐标，然后再运用待定系数法求出直线的解析式，设，则，，然后表示出S与m的函数关系式，最后运用二次函数的性质求最值即可； ②在上截取，则可得，再说明，然后运用待定系数法求得直线、的解析式，再与抛物线解析式联立确定P点坐标． 【详解】（1）将代入抛物线得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）①令，解得，， ， 设直线的解析式为， 代入点，得， 解得， 直线的解析式为． 点P为抛物线上位于直线上方的一点，可设， 则，，， ， ， ， ，， 当时，S有最大值6 ． ②在上截取，如下图所示： 又， 垂直平分， ， ， ， 又，， ，即， ， ， 设直线的解析式为， 代入点，得， 解得， 直线的解析式为， ， 可设直线的解析式为， 代入点得，，， 直线的解析式为， 解方程，得，， 当时，， 点P的坐标为． 类型十、二次函数中的定值与比值 【解惑】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称.       图1                 图2 (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图2，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值. 【答案】(1) (2)当时， (3)见解析 【分析】本题考查二次函数图象得性质．熟练掌握二次函数的对称性，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据对称性求出点B的坐标，即可求出的长； （2）由A、B的坐标求出抛物线解析式，求出顶点，可得y的取值范围； （3）分别过、作直线的垂线，垂直为、，根据为等腰直角三角形，可得，得到，，得根据，即得． 【详解】（1）抛物线与轴交于、两点，且对称轴为直线， ； （2）∵抛物线与轴交于，两点， ． ∴． ． ． 当时，． ∵当时，， 当时，． （3）分别过、作直线的垂线，垂直为、． 则，． ． 又为等腰直角三角形， ，． ． ． ． ，． ，， ，． ． ∵，， ∴． ． ． ． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为点，且经过原点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线上，且位于直线上方的一个动点，当点在抛物线上，且横坐标为时， 的面积为____________． 求的面积的最大值． (3)如图，将原抛物线沿射线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于，两点（点在点的左侧）． 若，则新抛物线的解析式为____________． 在抛物线平移过程中，线段的长度总是定值，请你直接写出此定值． 【答案】(1)； (2)；当时，的面积的最大值为； (3)；． 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键． （）由题意可知，解得，即可求函数的解析式； （）过点作轴交于点，求出直线的解析式为，分别求出，，再求的面积即可； 过点作轴交于点，设，则，的面积 ，当时，的面积的最大值为； （）点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，平移后的函数解析式为，可求 ，则新抛物线的解析式为； 设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则平移后的函数解析式为 ，当时，，根据根与系数的关系可得，，则． 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴， 解得， ∴； （2）解：过点作轴交于点， ∵点横坐标为， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：； 过点作轴交于点， 设，则， ∴的面积， 当时，的面积的最大值为； （3）解：∵， ∴点向右平移个单位，向上平移个单位得到点， 设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， ∴平移后的函数解析式为，将点代入， 可得， 解得（舍）或， ∴新抛物线的解析式为， 故答案为：； 设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， ∴平移后的函数解析式为， 当时，， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴， ∴． 2．综合与探究 如图，在中，，，，点在射线上，点在射线上，动点在射线上，沿方向，以每秒个单位的速度匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为，探究与的关系． (1)填空：如图，当点由点运动到点时， 当时， ； 关于的函数解析式为 ．（不必写出自变量的取值范围） (2)如图，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象段，请根据图象信息： 求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；   当正方形的面积最小时，直接写出的比值为 ． 【答案】(1)12； (2)；． 【分析】（）当时，点与点重合，然后利用直角三角形的性质得，再由勾股定理求出，最后由面积公式即可求解； 勾股定理求出，最后由面积公式即可求解； （）由图象可知，当点运动到点时，，则二次函数图象过点，由图象知顶点坐标为，再通过待定系数法即可求解； 当时，正方形的面积最小，分别求出，，的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，然后代入即可求解； 本题考查了二次函数的应用，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，点与点重合， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 此时正方形的边长为，面积为：，即， 故答案为：； 当点由点运动到点时，每秒个单位的速度匀速运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解：由图象可知，当点运动到点时，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当点由点运动到点时，二次函数图象过点， 由图象知顶点坐标为， 所以可设， 将点代入，得， 解得， ∴关于的函数解析式为， 如图，当时，正方形的面积最小， ∴由， 当时，， ∴， 由上得，当点运动到点时，， 则， ∴， ∴当点运动到点时，， 即， 解得：（舍去），， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．如图，一次函数与二次函数的图像交于A、D两点（点A在点D左侧），与二次函数的图象交于B、C两点（点B在点C左侧）． (1)如图1，若，，请求出的值． (2)如图1，若，点B与A横坐标之差为1，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个比值：如果不是，请说明理由． (3)如图2，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据两点之间的距离公式，求出，即可解答； （2）先求出点A、B、C、D的横坐标，过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作于点P，过点C作于点Q，易证，则，根据点B与A横坐标之差为1，德吹，，进而得出，再求出，即可解答． （3）先求出点A、B、C、D的横坐标，由（2）同理可得：，，推出，进而求出，即可解答． 【详解】（1）解：若，，则一次函数为， 联立和得： ， 解得或， ，， 联立和得： ， 解得或， ，， ， ， ． （2）解：当时，一次函数为， 联立和得： ， 解得， 联立和得： ， 解得：， 过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作于点P，过点C作于点Q， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵点B与A横坐标之差为1， ∴，，即， 整理得：， ∵， ∴． （3）解：联立和得： ， 解得， 联立和得： ， 解得：， 由（2）可得：， ∴， 整理得：， 由图可知：一次函数图象经过二、四象限，则， 两边同时除以m得：， 令，则， 解得：， ∴， ∴， 同理可得：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数和一次函数交点的方法和步骤． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数中的全等三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，二次函数（a、b为常数，）的图象与x轴交于点和点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作轴于点G，Q是x轴上的点，要使以P、Q、G为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P、Q的坐标． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（a、b为常数，）的图象与x轴交于点和点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作轴于点G，Q是x轴上的点，要使以P、Q、G为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P、Q的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足 ，连接，当 的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形和 全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，其顶点为D，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式． (2)M是该抛物线上在第三象限内的一点，过点M作轴于点N，P是x轴上一点，要使以M，N，P为顶点的三角形与全等，求满足条件的点M，P的坐标． 类型二、二次函数中的等腰三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，当点P在直线上方的抛物线时，连接、，点M是x轴上一动点，连接、．当的面积最大时，求的最小值； (3)如图2，点N是线段上一个动点，过点N作轴，垂足为N，交于点Q，试探究点N在运动过程中，是否存在这样的点Q使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在．请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 3．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，一次函数经过点、、．点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点，连接． (1)求二次函数和一次函数的解析式； (2)当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)连接，连接交于点，记面积为，面积为，在点运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由． 类型三、二次函数中的等腰直角三角形 【解惑】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)当时，求y的取值范围； (2)如图2，点G为抛物线对称轴上的一点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 【融会贯通】 1．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线过点、点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是第四象限抛物线上的一个动点． ①当的面积最大时，求点的坐标？并求出面积的最大值； ②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 类型四、二次函数中的直角三角形 【解惑】如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【融会贯通】 1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点的坐标为，且． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，为抛物线上位于第二象限内的一个动点，过点作轴的垂线，该垂线交直线于点，交轴于点，设线段的长度为，求关于的函数关系式． (3)在（）的条件下，连接，若为直角三角形，求的值． (4)连接，将线段沿轴向左平移个单位长度，若线段与抛物线有交点，请直接写出的取值范围． 2．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴相交于，且顶点，是抛物线上一动点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，若，求的坐标； (3)如图2，过作交抛物线于，以、、为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，求出的坐标；若不存在，通过计算说明． 类型五、二次函数中的平行四边形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点，使得是以底的等腰三角形，求点的坐标： (3)设为直线上方的抛物线上一点，连接，以为邻边作平行四边形，则平行四边形面积的最大值为___________； (4)如图2，若在x轴上有两个动点，且，则的最小值为___________． 【融会贯通】 1．如图，已知抛物线过点、，点是直线上一点． (1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标； (2)当点在抛物线上时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (4)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点， (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积最大时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程） 类型六、二次函数中的菱形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式； (2)连接，并将沿y轴翻折，得到四边形，是否存在点P，使得四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在点P的运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【融会贯通】 1．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于两点，交轴于点． (1)求直线的表达式和a，m的值． (2)是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及面积最大时点的坐标． (3)在（2）中面积最大的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点为抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式 (2)连接，点Q为直线上方抛物线上一点，过点Q作轴于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，点M是新抛物线对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 类型七、二次函数中的矩形 【解惑】在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点，与轴交点坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为，将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象． ①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为4时，求的值； ②在①的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 2．如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，函数值的取值范围是___________； (3)若点为第四象限的抛物线上一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点． ①连接，过点作轴，交于点，以、为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分图象与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 类型八、二次函数中的正方形 【解惑】某校数学学习小组的同学们对过山车的轨道设计很好奇，他们在网上找到一张过山车的设计图，截取其中的一部分，利用一次函数和二次函数相关知识进行探究． 首先他们在平面直角坐标系中画出这个图形，如图①，将其整体看成图象，是二次函数和一次函数的图象组合．分析得到：若时，；若时，．随后他们测量了图象上一些点的坐标，数据如下： (1)直接写出，，的值． (2)如图②，他们在整个图象上设计了一个动点，设点的横坐标为，过点作一条平行于轴的直线，在直线上取点，点的横坐标为． ①当时，求出点落在图象上时的值． ②如图③，若过、两点作轴的垂线，垂足分别为点、点，得到矩形，当矩形为正方形时，求的值． ③在直线上另取点，点的横坐标为（点与点不重合），当线段的长度随的增大而增大时，分别直接写出线段与图象的交点个数为个和2个时的取值范围． 【融会贯通】 1．如图，过、作x轴的垂线，分别交直线于C、D两点．抛物线经过O、C、D三点． (1)求抛物线的表达式； (2)点M，N是平面直角坐标系中的两点，若四边形是正方形，求直线与抛物线的交点P的坐标； (3)若沿方向平移（点C在线段上，且不与点D重合），在平移的过程中与重叠部分的面积记为S，试求S的最大值． 2．如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 类型九、二次函数中的等角与倍角、角度 【解惑】如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标． (2)若点D是直线下方抛物线上的动点，当面积是面积的一半时，求点D坐标． (3)连接，若点E的抛物线上的一个动点，且满足，求点E坐标． 【融会贯通】 1．已知二次函数． (1)求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）； (2)当时，y的最小值为，求出t的值； (3)如图，若该二次函数的图象过点，且与x轴交于另一点A，与y轴交于点C，在对称轴上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，在上取点，连接，其中，过点作轴交于点，求长度的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在平面内，将抛物线沿直线斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过时停止平移，此时得到新抛物线．在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 3．已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上位于直线上方的一点，连结． ①如图1，过点P作轴交于点D，交x轴于点E，连结．设的面积为，的面积为，若，求S的最大值； ②如图2，已知，求点P的坐标． 类型十、二次函数中的定值与比值 【解惑】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称.       图1                 图2 (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图2，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值. 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为点，且经过原点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线上，且位于直线上方的一个动点，当点在抛物线上，且横坐标为时， 的面积为____________． 求的面积的最大值． (3)如图，将原抛物线沿射线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于，两点（点在点的左侧）． 若，则新抛物线的解析式为____________． 在抛物线平移过程中，线段的长度总是定值，请你直接写出此定值． 2．综合与探究 如图，在中，，，，点在射线上，点在射线上，动点在射线上，沿方向，以每秒个单位的速度匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为，探究与的关系． (1)填空：如图，当点由点运动到点时， 当时， ； 关于的函数解析式为 ．（不必写出自变量的取值范围） (2)如图，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象段，请根据图象信息： 求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；   当正方形的面积最小时，直接写出的比值为 ． 3．如图，一次函数与二次函数的图像交于A、D两点（点A在点D左侧），与二次函数的图象交于B、C两点（点B在点C左侧）． (1)如图1，若，，请求出的值． (2)如图1，若，点B与A横坐标之差为1，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个比值：如果不是，请说明理由． (3)如图2，若，求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$