第二十二章 二次函数（优质类型）-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第二十二章 二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的对称性求最值 【解惑】二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C． D．7 【融会贯通】 1．已知，则的最小值为（     ） A． B． C． D．1 2．二次函数的最大值为 ． 3．若二次函数有最大值为4，则的最小值是 ． 类型二、二次函数的增减性 【解惑】已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（   ） A．或 B．或 C．1 D． 【融会贯通】 1．已知二次函数，当时，则y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 3．若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则 ． 类型三、二次函数中的将军饮马与三点共线 【解惑】已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x、y轴的交点分别为A、B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，求的最小值（　　） A． B． C．5 D． 【融会贯通】 1．已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的个数为（    ） ①线段AC的长度为；②抛物线的对称轴为直线；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有3个． A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，已知直线经过点，抛物线W：与y轴交于点C．点E、F分别是抛物线对称轴和直线l上的动点，连结，则的最小值为 ． 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为 ． 类型四、二次函数图象与各系数符号 【解惑】如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【融会贯通】 1．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ． 3．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ① ②若点均在二次函数图象上，则 ③ ④对于任意实数m，总有 其中正确的结论是： 类型五、二次函数的应用——图形问题 【解惑】在一块一边长为、另一边长为的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出宽度为的小路，中间花坛面积为，求与之间的函数表达式． 【融会贯通】 1．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．问x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 2．如图1，在边长为正方形中，动点同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），的面积为（单位：），则关于的函数图象如图2． (1)求关于的函数解析式； (2)当为何值时，有最大值，最大值是多少． (3)当为何值时，为． 3．如图，在中，，，过点向上作，且．，两点分别从，同时出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．在运动过程中，以，为邻边作平行四边形．设运动时间为秒，平行四边形和重叠部分的图形面积为． (1)用含的代数式表示的长； (2)当点在上时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 类型六、二次函数的应用——销售问题 【解惑】某商店决定购两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件种纪念品比每件种纪念品的进价高30元．用1000元购进种纪念品的数量和用元购进种纪念品的数量相同． (1)求两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场通过市场调查，整理出型纪念品的售价与数量的关系如表， 售价（元/件） 销售量（件） 该商场购进型纪念品共件，其中型纪念品的件数小于型纪念品的件数，但不小于件．若型纪念品的售价为每件元时，商场将型纪念品均全部售出后获得的最大利润为元，求出的值． 【融会贯通】 1．某民宿有A，B两种客房，其中A种客房12间，B种客房10间．若全部入住，一天的营业额为3600元；若A，B两种客房均有5间入住，一天的营业额为1600元． (1)A，B两种客房每间的定价分别是多少元？ (2)该民宿对一段时间内B种客房的入住情况进行调研后发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每间客房的定价每增加20元，就会有一间客房空闲．当B种客房每间的定价为多少元时，B种客房一天的营业额W最大？最大营业额为多少元？ 2．“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元／间（为10的整数倍）． (1)若房间定价为300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元； (2)为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当为多少时，民宿利润最大？ (3)在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价的范围． 3．某商店销售一种进价为4元/件的新产品，经调查发现：销售单价定为5元/件时，每天可销售150件；若销售单价每涨价1元，则每天销售量减少10件．设销售单价为元，销售量为（件）． (1)求与的函数关系式； (2)若销售该新产品每天的总利润为（元），求销售单价为多少元时每天的总利润最大，最大利润是多少元？ (3)由于该产品市场需求量较大，厂家将进价提高了元，当销售单价不超过13元/件时，利润随着的增大而增大，求的最小值． 类型七、二次函数的应用——图形运动问题 【解惑】如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点、分别是、的中点，连接．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，过点作的垂线交于点，以为直角边向下方作，使，且．设点的运动时间为（秒）． (1)填空：________，________（用含的代数式表示）； (2)当点落在线段上时，求的值； (3)当与重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积为平方单位，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点、、、的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分图形的面积为． ①当点与点重合时，求的值； ②求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 3．如图，是等腰直角三角形，，，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．过点P作于点D，以为边向右侧作矩形，且．设点P的运动时间为t秒，矩形和重叠部分图形的面积为S． (1)当点F在上时， ______． (2)当矩形和重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 类型八、二次函数的应用——飞行与滑行问题 【解惑】滑雪项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡与水平地面的夹角为，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其表达式为． (1)问该运动员从A处跳出到B处着陆垂直下降了多少米？ (2)求运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间的函数表达式． (3)进一步研究发现：运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；在空中飞行后着陆．问当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大？最大是多少？ 【融会贯通】 1．纸飞机承中华千年飞天梦，形溯纸莺竹骨之巧．纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．其中纸飞机上抛和下降的飞行轨迹可看作是一段抛物线，滑行的飞行轨迹是一条线段，滑行距离受滑行比（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为米，则滑行比为）的影响．如图所示，小明玩纸飞机，其起抛点的高度为米，当纸飞机的水平飞行距离为米时达到最大高度米．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)小明前方距离小明米，有一堵米高的墙，若纸飞机能顺利飞过这堵墙（不考虑墙的厚度，且不包括端点），求的取值范围； (3)小明根据多次实验，得到其折叠的纸飞机的滑行比为，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为米？（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过米）． 2．第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究： 下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为轴，过起跳点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．，．某运动员在处起跳腾空后，飞行至着陆坡的处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为． (1)求、的值（提示作）； (2)进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆． ①求关于的函数解析式； ②当为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离最大． 3．纸飞机承中华千年飞天梦，形溯纸鸢竹骨之巧．纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．其中纸飞机上抛和下降的飞行轨迹可看作是一段抛物线，滑行的飞行轨迹是一条线段，滑行距离受滑行比（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为米，则滑行比为）的影响．如图所示，小明玩纸飞机，其起抛点的高度为米，当纸飞机的水平飞行距离为3米时达到最大高度米． (1)求这条抛物线的解析式； (2)小明前方，距离小明米．有一堵米高的墙，若纸飞机能顺利飞过这堵墙（不考虑墙的厚度，且不包括端点），求的取值范围； (3)小明根据多次实验，得到其折叠的纸飞机的滑行比为，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为10米？（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过米） 类型九、二次函数的应用——铅锤高问题 【解惑】已知抛物线经过点，与轴交于、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线交抛物线于S、T两点，为抛物线上A、T之间的动点，过点作轴于点于点，求的最大值； (3)如图2，平移抛物线的顶点到原点得抛物线，直线交抛物线于P、Q两点，已知点，连接分别交抛物线于另一点N、M，求证：直线经过一个定点． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，其中，，为抛物线顶点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在线段上方抛物线上运动（不含端点、，求的最大值及此时点的坐标． 2．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 3．如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交直线于点，过点作于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点，新抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），请直接写出点，的坐标． 类型十、二次函数的新定义 【解惑】定义：如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，我们称抛物线与互为“亲密抛物线”． (1)下列抛物线是抛物线的“亲密抛物线”的是的______；（直接填入序号） ①；②；③； (2)若抛物线：（m，n为实数且）与：互为“亲密抛物线”，请问抛物线的图象是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，否则，请说明理由； (3)已知抛物线：（a，b，c为实数且）与x轴交于点M、N，抛物线：与x轴交于点P、Q，若抛物线与互为“亲密抛物线”，且，请问是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【融会贯通】 1．定义：抛物线与轴交于，两点，它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“至美抛物线”． 理解：（1）下列抛物线是“至美抛物线”的是_____．（填序号） ①    ②    ③ 应用：（2）若“至美抛物线”的顶点坐标为，且，求该抛物线的解析式． 拓展：（3）若“至美抛物线”的顶点坐标为，且，与轴的交点为． ①若“至美抛物线”可以由抛物线平移得到，求点的纵坐标； ②已知点，，若是等腰三角形，直接写出的值． 2．定义：已知平面直角坐标系中有，两点（点在点左侧），，且轴，若抛物线经过，两点，则称抛物线是线段的“共弦抛物线”． (1)若，，线段的一条“共弦抛物线”的顶点的纵坐标为，求这个抛物线的解析式； (2)在（）的条件下，抛物线与轴相交于，两点，求的面积； (3)若，线段的“共弦抛物线”和的顶点分别为点，，且点，距线段的距离之和为，求的值． 3．【背景】 对于二次函数，现定义：函数（为常数）叫做的伴随二次函数，其中称为伴随参数． 【初识】 （1）若二次函数，求时伴随二次函数的函数解析式； 【拓展】 （2）若的图象与伴随二次函数的图象有且只有一个公共点，且该公共点的纵坐标为6，求伴随参数的值； 【迁移】 （3）已知某喷泉的水流轨迹可近似为函数（单位：米），其中表示水平距离，表示铅直高度．因设施调整，要使调整后喷泉水流的新轨迹函数变为的伴随二次函数，求取何值时新轨迹的最高点到原点的距离最小？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的对称性求最值 【解惑】二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的性质，根据抛物线解析式得出开口方向，即可求解． 【详解】解：∵，开口向上， ∴当时，y有最小值为， 故答案为：A． 【融会贯通】 1．已知，则的最小值为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，将绝对值函数分段讨论，求出各区间内的表达式，通过二次函数顶点公式或区间端点分析最小值． 【详解】解：当时，，，则．此时，随趋近于负无穷而增大，最小值趋近于． 当时，，，则．此时． 当时，，，则．此时，随增大而增大，最小值趋近于． 对于二次函数，其顶点横坐标为， 当时，最小值为： ∴中间区间的最小值为，其他区间的最小值均大于此值． 因此，的最小值为， 故选：B． 2．二次函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值． 根据所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是，由可知，顶点纵坐标为最大值． 【详解】解：分析二次函数， 该二次函数的， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， ∴顶点坐标为， 所以，最大值为5， 故答案为：5． 3．若二次函数有最大值为4，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键． 根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值． 【详解】解：∵二次函数有最大值为4， ∴设二次函数的顶点坐标为， ∵向左平移1个单位得到， ∴的顶点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴的顶点坐标为，且开口向上， 此时顶点坐标为，则最小值为； 故答案为：． 类型二、二次函数的增减性 【解惑】已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（   ） A．或 B．或 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的平移及最值问题．首先确定平移后的函数解析式，再根据二次函数的性质得到最小值的位置，进而求解n的值即可． 【详解】解：原二次函数顶点为，设解析式为， 代入点得，即， 向右平移个单位后，解析式为， 代入点得方程， 解得， ∴平移后函数为，对称轴为直线，顶点坐标为， 解方程，得或， ∵当时，函数的最小值为， ∴必须包含或，且不跨越对称轴（否则最小值在顶点处为）， ∴或， 解得或， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知二次函数，当时，则y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先化为顶点式，再确定开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质确定取值范围． 【详解】解：∵， 该二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵，， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∵当时，；当时，， 当时，． 故选：A． 2．已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当自变量时，函数有最大值为10， ∴当即时，时取最大值，即， 解得， 当即时，号时取最大值，即， 则 ∵，方程没有实数根， 当时即，时取最大值，即， 解得 综上，的值为或， 故答案为：或． 3．若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可知两个函数的开口方向和对称轴，当时，可求出两个函数的最小值，然后即可求出答案． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，函数值最小，， 二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小， ， 当时，函数值最小，， ， 故答案为：． 类型三、二次函数中的将军饮马与三点共线 【解惑】已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x、y轴的交点分别为A、B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，求的最小值（　　） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数图象的性质，轴对称求最短距离．充分利用抛物线的对称性是解题关键．令抛物线与x轴的另一个交点为，即点A关于对称的点是C，连接与直线的交点即为点P．利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，令抛物线与x轴的另一个交点为，即点A关于对称的点是C，连接与直线的交点即为点P． 由图象可知，， ∵对称轴是直线， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴的最小值为5． 故选：C． 【融会贯通】 1．已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的个数为（    ） ①线段AC的长度为；②抛物线的对称轴为直线；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有3个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质．求出，坐标代入距离公式判断①；根据对称轴判断②；求出解析式得到的值最大时点的坐标为判断③；将边看成平行四边形的一边有3种情况，看成对角线有1种情况，共4种判断④． 【详解】解：①在二次函数中，令，得，令，则，解得，或， ，， ，故①正确； ②在二次函数中，对称轴为，故②正确； ③连接交对称轴为点，此时的值最大， ，设直线的解析式为：，则： ，解得， 直线的解析式为：，令，， 当点的坐标为时，的值最大．故③错误； ④若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，当为边时，共有三个平行四边形； 当为对角线时，共有1个平行四边形． 符合条件的点有4个，故④错误． 故选：C． 2．如图，已知直线经过点，抛物线W：与y轴交于点C．点E、F分别是抛物线对称轴和直线l上的动点，连结，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先利用待定系数法求出直线的表达式，设点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得，则可知当、、三点一线且与垂直时最小，由点坐标可确定出，设点的坐标，利用勾股定理得到关于m的关系式，再根据二次函数的性质即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得， ， 当、、三点一线且与垂直时，最小， 由题意可得，解得， 直线解析式为； 对于，当时，， ， ， 抛物线W：的图象关于直线对称， ， 设点的坐标， ， 中，， 当，有最小值，最小值为， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用、轴对称最短问题，勾股定理，等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先确定A、B、C的坐标，再根据三角形的三边关系得出，进而可得出当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值，然后求出的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：由题意可知：A、B、的坐标分别为、， ∴对称轴直线为： ∴顶点C的坐标为， 如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：， ∴当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值． 设的解析式为， 则， 解得： ∴的解析式为：， 当时，则， 则点P的坐标为 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式，以及利用三角形的边的关系确定线段的最大值，其中运用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键． 类型四、二次函数图象与各系数符号 【解惑】如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口向上，可得，再由抛物线对称轴为直线，可得，，②正确．再由，可得，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，从而得到时，，③错误．再根据二次函数的对称性可得，④错误，即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ，则，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； 时，， ， ③错误； 点与点关于对称轴对称， ，所以④错误． 故选：A． 【融会贯通】 1．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数对称轴，以及与轴交点情况，即可判断①；利用二次函数对称轴列式变形即可判断②；利用二次函数的最值情况即可判断③，利用抛物线对称性和增减情况即可判断④，利用二次函数增减情况即可判断⑤． 【详解】解：①由图知，对称轴在轴右侧， ， 函数图象与轴交于正半轴， ， ， 故①正确； ②函数图象对称轴为， 则， 故②正确； ③函数图象开口向下， 则当时，函数取得最大值， 即为任意实数，则 为任意实数，则， 故③正确； ④函数图象与轴正半轴交点小于， 函数图象与轴负半轴交点大于， 即时，， 当时，， 则， 故④错误； ⑤若点和点都在抛物线上， ， 则， 故⑤错误； 综上所述，正确结论的个数有3个； 故选：B． 2．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可． 【详解】由图像可知，，， ∴，故①正确． 当x=时，y=0， 即 ∴ ∴ ∴，故②正确． 由对称轴为，与x轴一个交点为可知与x轴另一个交点为 即 化简得，故③正确． ∵对称轴为 ∴ ∴， 将代入有 即 ∴，故④错误． 综上所述①②③正确． 故答案为①②③． 3．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ① ②若点均在二次函数图象上，则 ③ ④对于任意实数m，总有 其中正确的结论是： 【答案】②③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键． ①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出的正负；②根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小；③代入以及之间的关系即可求解；④化简不等式，用a表示b，根据及不等式的性质得到只含有m的不等式，判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴的交点在正半轴上，对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∴，故①不正确； ∵与对应的函数值都为1， ∴对称轴为直线， ∵， ∴点离对称轴更近， ∴，故②正确； ∵时，， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵④，， 即证， 变形可得，即， ∵， ∴故原式不成立，故④不正确， 故答案为： ②③． 类型五、二次函数的应用——图形问题 【解惑】在一块一边长为、另一边长为的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出宽度为的小路，中间花坛面积为，求与之间的函数表达式． 【答案】． 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数表达式是解题的关键． 由矩形空地的长、宽及四周所留小路的宽度，可得出中间花坛的长为，宽为，利用矩形的面积公式，可得出与之间的函数表达式，再找出的取值范围即可． 【详解】解：矩形空地的长为，宽为，且四周留出小路的宽度为， 中间花坛的长为，宽为． 根据题意得：， 又， ， 与之间的函数表达式为． 【融会贯通】 1．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．问x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【答案】当米时，矩形场地的面积最大，最大值为800平方米 【分析】本题考查二次函数的应用，由题意得，，则，即可求解； 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴当米时，矩形场地的面积最大，最大值为800平方米． 2．如图1，在边长为正方形中，动点同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），的面积为（单位：），则关于的函数图象如图2． (1)求关于的函数解析式； (2)当为何值时，有最大值，最大值是多少． (3)当为何值时，为． 【答案】(1) (2)当时，S取得最大值8 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，以及二次函数的应用． （1）分当时和当时两种情况求解即可； （2）结合图象求解即可； （3）分当时和当时两种情况求解即可； 【详解】（1）当时， ∵， ∴． 当时，如图，连接， 由题意知，， ∴ ， ∴； （2）由图象可知，在两段函数分界点处S取得最大值， ∴当时，S取得最大值，最大值为； （3）当时， 由，得（负值舍去）． 当时， 由，得（负值舍去）． 综上可知，当或时，为． 3．如图，在中，，，过点向上作，且．，两点分别从，同时出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．在运动过程中，以，为邻边作平行四边形．设运动时间为秒，平行四边形和重叠部分的图形面积为． (1)用含的代数式表示的长； (2)当点在上时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)点在上时，；点在上时， (2) (3) 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，多边形的面积，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． （1）分为点在上时，点在上时，求解即可； （2）如图1中，当点落在上时，是等腰直角三角形，构建方程求解即可； （3）如图2，当时，重叠部分是，如图3，当时，重叠部分是四边形，如图4，当，重叠部分是四边形，如图5，时，重叠部分是五边形，分别求解，可得结论． 【详解】（1）点在上时，； 点在上时，； （2）如图1，当点落在上时，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 如图2，当时，重叠部分是， ∵， ∴， ∴； 如图3，当时，重叠部分是四边形， ∵， ∴，又， ∴， ∴； 如图4，当，重叠部分是四边形， ∵，， ∴， ∴； 如图5，时，重叠部分是五边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 类型六、二次函数的应用——销售问题 【解惑】某商店决定购两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件种纪念品比每件种纪念品的进价高30元．用1000元购进种纪念品的数量和用元购进种纪念品的数量相同． (1)求两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场通过市场调查，整理出型纪念品的售价与数量的关系如表， 售价（元/件） 销售量（件） 该商场购进型纪念品共件，其中型纪念品的件数小于型纪念品的件数，但不小于件．若型纪念品的售价为每件元时，商场将型纪念品均全部售出后获得的最大利润为元，求出的值． 【答案】(1)A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元 (2) 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值，是解题的关键． （1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可； （2）设该商场购进型纪念品件，则购进型纪念品件，结合表格由题意可知，设型纪念品均全部售出后获得的总利润为元，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元， 由题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； 当时：， 两种纪念品每件的进价分别是50元和20元； （2）设该商场购进型纪念品件，则购进型纪念品件， 由题意，得：， 解得：， 结合表格由题意可知， 设型纪念品均全部售出后获得的总利润为元， 则， 整理，得：， 对称轴为， 对称轴在的左侧，当时利润最大， 当时，有最大值， 最大值为：， ， 的值为32． 【融会贯通】 1．某民宿有A，B两种客房，其中A种客房12间，B种客房10间．若全部入住，一天的营业额为3600元；若A，B两种客房均有5间入住，一天的营业额为1600元． (1)A，B两种客房每间的定价分别是多少元？ (2)该民宿对一段时间内B种客房的入住情况进行调研后发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每间客房的定价每增加20元，就会有一间客房空闲．当B种客房每间的定价为多少元时，B种客房一天的营业额W最大？最大营业额为多少元？ 【答案】(1)A，B两种客房每间的定价分别是200元、120元 (2)当B种客房每间的定价为160元时，B种客房一天的营业额W最大，最大营业额为1280元 【分析】本题考查二元一次方程组，二次函数的实际应用，二次函数最值，解题的关键在于根据题意找出等量关系． （1）设A种客房每间的定价是x元，B种客房每间的定价是y元，根据“全部入住，一天的营业额为3600元；若A，B两种客房均有5间入住，一天的营业额为1600元”建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）设B种客房每间的定价为a元，根据题意建立W与a的关系式，再结合二次函数最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：设A种客房每间的定价是x元，B种客房每间的定价是y元， 由题意，得 解得 答：A，B两种客房每间的定价分别是200元、120元． （2）解：设B种客房每间的定价为a元，则： ∴当时，W取最大值，最大值为1280． 答：当B种客房每间的定价为160元时，B种客房一天的营业额W最大，最大营业额为1280元． 2．“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元／间（为10的整数倍）． (1)若房间定价为300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元； (2)为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当为多少时，民宿利润最大？ (3)在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价的范围． 【答案】(1)38，10840； (2)见解析；当或360时有最大值元； (3)见解析；，且为10的整数倍. 【分析】（1）由题意，民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，进而可以租出去38个房间，进而求出利润； （2）设利润为元，则，由于 为10的整数倍及二次函数的性质可以判定得解； （3）由题意，令，则当或，又获利润不低于10360元，则，又该民宿空闲房间数不能超过20间，故，进而可以判定求解. 【详解】（1）解：由题意，∵民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲， ∴ ∴ ∴房间定价为300元时，则可租出去38个房间； ∴此时利润（元） 故答案为：38，10840； （2）由题意，设利润为元， ∴ ∵ ∴开口向上，对称轴为直线， 又∵ 为10的整数倍， ∴当或时，有最大值 （3）由题意，令 ∴或 又∵所获利润不低于10360元， ∴ ∵该民宿空闲房间数不能超过20间 ∴ 解得： ∴，且为10的整数倍. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式等相关知识和内容，解题时要熟练掌握并能灵鹤运用二次函数的性质是关键. 3．某商店销售一种进价为4元/件的新产品，经调查发现：销售单价定为5元/件时，每天可销售150件；若销售单价每涨价1元，则每天销售量减少10件．设销售单价为元，销售量为（件）． (1)求与的函数关系式； (2)若销售该新产品每天的总利润为（元），求销售单价为多少元时每天的总利润最大，最大利润是多少元？ (3)由于该产品市场需求量较大，厂家将进价提高了元，当销售单价不超过13元/件时，利润随着的增大而增大，求的最小值． 【答案】(1) (2)销售单价为12元时利润最大，最大利润是640元 (3)2 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据销售单价每涨价1元，则每天销售量减少10件，列出与的函数关系式； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出w与x的函数关系式并根据二次函数的性质求最值； （3））根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出w与x的函数关系式，求出二次函数的对称轴为，再根据销售单价不超过13元/件时，利润随着的增大而增大，结合二次函数的性质得到关于m的不等式，解不等式，取的最小值即可． 【详解】（1）解：根据题意得，与的函数关系式为：； （2）解：由题意可得： ， ， 当时，（元）， 故销售单价为12元时利润最大，最大利润是640元； （3）解：由题意得：， 二次函数的对称轴为：， ，当销售单价不超过13元时，利润随着的增大而增大， ， 解得， 的最小值为2． 类型七、二次函数的应用——图形运动问题 【解惑】如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)或6 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）过点C作于点E，有，求出，可得，即此时P运动到点E，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当时，；当时，；当时，，作出正确的图形，逐项分析，即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点E，如图， ， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时P运动到点E， ∴， 即． （2）①当时，如图 由（1）可得 ， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当时，如图 ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得． 综上所述，t的值为2或6． （3）①当时，矩形与重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图 有，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点、分别是、的中点，连接．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，过点作的垂线交于点，以为直角边向下方作，使，且．设点的运动时间为（秒）． (1)填空：________，________（用含的代数式表示）； (2)当点落在线段上时，求的值； (3)当与重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积为平方单位，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可； （2）利用矩形的性质求解即可； （3）分类讨论的取值情况，利用面积公式列式即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 由题意可得：，， ∴， ∴，即， ， 故答案为：；； （2）解：如图①，当点落在线段上时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图②，当时，重叠部分是四边形， ； 如图③，当时，重叠部分是四边形， ． 【点睛】本题为动点与几何综合，涉及到了相似三角形的判定即性质，矩形的性质，二次函数，一次函数等知识点，合理分析图象作出图形是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点、、、的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分图形的面积为． ①当点与点重合时，求的值； ②求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； ． 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质、二次函数与几何的综合．解决要本题的关键是利用分类讨论的思想，分情况求解． 过点作，因为，，根据点的坐标是，可得，根据等腰直角三角形的性质可得：，从而可得点的坐标是；根据正方形的顶点的坐标可得，可得点的坐标是； 当点与点重合时，正方形向右平移了个单位长度，从而可知； 正方形向右平移时：当时，重叠部分是等腰直角三角形；当时，重叠部分是五边形；当时，重叠部分是等腰直角三角形；当时，正方形与等腰直角三角形没有重叠部分．分情况根据三角形的面积公式求出与的函数关系式即可． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， 是等腰直角三角形， ，， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是； 正方形的顶点， ， ， 点的坐标是， 故答案为：，； （2）解：当点与点重合时，如下图所示， 此时， ； 当时， 正方形与重叠部分为等腰直角三角形， 如图①所示， 由题意，得， ； 当时， 正方形与重叠部分为五边形， 如图②所示， 由图可知：， 由可知， ， ； 当时， 正方形与重叠部分为等腰直角三角形， 如图③所示， 由题意，得， ， ， 整理得：． 综上所述， 3．如图，是等腰直角三角形，，，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．过点P作于点D，以为边向右侧作矩形，且．设点P的运动时间为t秒，矩形和重叠部分图形的面积为S． (1)当点F在上时， ______． (2)当矩形和重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查动点问题的函数解析式，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质； （1）由是等腰直角三角形，得到，，，当点F在上时，由题意得，，则，由矩形，得到，则，据此列方程求解即可； （2）当在上，到之前时；当在上，到之后时；当在上时，三种情况分类讨论，分别画出图形，表示出对应线段的长度，求出当矩形和重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式即可，注意证明等腰直角三角形． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 当点F在上时，由题意得，，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：当在上，到之前时，，如图， 此时矩形和重叠部分的图形为矩形，； 当在上，到之后时，，如图， 此时矩形和重叠部分的图形为五边形，不合题意； 当在上时，如图，设与交点， 此时矩形和重叠部分的图形为梯形， 此时由题意可得：，， ∵， ∴，解得 ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形和重叠部分的图形面积； 综上所述，． 类型八、二次函数的应用——飞行与滑行问题 【解惑】滑雪项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡与水平地面的夹角为，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其表达式为． (1)问该运动员从A处跳出到B处着陆垂直下降了多少米？ (2)求运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间的函数表达式． (3)进一步研究发现：运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；在空中飞行后着陆．问当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大？最大是多少？ 【答案】(1)50米 (2) (3)；31.25米 【分析】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键． （1）过作于，于，根据题意得出，即可求解； （2）根据题中所给信息，得出，，利用待定系数法列出关于的二元一次方程组求解即可得出结论； （3）作轴交抛物线于，交于，利用待定系数法确定直线的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出，表示出运动员离着陆坡的竖直距离，根据抛物线的性质得出当时，有最大值为． 【详解】（1）解：过作于，于，如图所示： ， 着陆坡的坡角为，即， ， 在中，， 则， ∴垂直下降了50米； （2）， ，即，， 将，代入得， 解得， ∴； （3）作轴交抛物线于，交于，如图所示： 设直线的表达式为，将，代入得，解得， 即直线的表达式为， 由（1）知抛物线表达式为， ， 运动员离着陆坡的竖直距离， 由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为． 【融会贯通】 1．纸飞机承中华千年飞天梦，形溯纸莺竹骨之巧．纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．其中纸飞机上抛和下降的飞行轨迹可看作是一段抛物线，滑行的飞行轨迹是一条线段，滑行距离受滑行比（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为米，则滑行比为）的影响．如图所示，小明玩纸飞机，其起抛点的高度为米，当纸飞机的水平飞行距离为米时达到最大高度米．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)小明前方距离小明米，有一堵米高的墙，若纸飞机能顺利飞过这堵墙（不考虑墙的厚度，且不包括端点），求的取值范围； (3)小明根据多次实验，得到其折叠的纸飞机的滑行比为，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为米？（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过米）． 【答案】(1) (2) (3)当纸飞机开始滑行时的高度为米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意得抛物线经过且顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）将代入解析式求出x的值即可得到答案； （3）设滑行高度为米，则水平滑行的距离为米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得抛物线经过，且顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， （2）解：将代入解析式得：， 解得：或， ∴； （3）解：设滑行高度为米，则水平滑行的距离为米， 当时，解得或 ∴飞行的距离为米， ∴， ∴， 解得：（或不是方程的根，且不合题意舍去）， ∴当纸飞机开始滑行时的高度为米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为米． 2．第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究： 下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为轴，过起跳点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．，．某运动员在处起跳腾空后，飞行至着陆坡的处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为． (1)求、的值（提示作）； (2)进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆． ①求关于的函数解析式； ②当为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离最大． 【答案】(1) (2)①；②当时，有最大值 【分析】（1）过作于，于，利用直角三角形性质和勾股定理得到，，进而得到，，推出，坐标，最后利用待定系数法求解，即可解题； （2）①设一次函数关系式为，根据题意得到时，，空中飞行后着陆，，再利用待定系数法求解，即可解题； ②作轴交抛物线于，交于，设直线的表达式为，利用待定系数法求出直线的表达式，有，，进而得到竖直距离的表达式，再根据二次函数的最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：过作于，于，如图所示： ， 着陆坡的坡角为，即， ， 在中，，，， 则，， ， ，即，， 将，代入得：，解得； （2）解：①由（1）知，根据运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，设一次函数关系式为， 当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行后着陆，， ，解得， 水平方向移动距离与飞行时间的一次函数关系式为； ②作轴交抛物线于，交于，如图所示： 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得， 即直线的表达式为， 由（1）知抛物线表达式为， 有，， 运动员离着陆坡的竖直距离，， 由可知抛物线开口向下，当时，取最大值， 将带入得； 解得， 当时，有最大值． 【点睛】本题考查直角三角形性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值情况，坐标与图形，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 3．纸飞机承中华千年飞天梦，形溯纸鸢竹骨之巧．纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．其中纸飞机上抛和下降的飞行轨迹可看作是一段抛物线，滑行的飞行轨迹是一条线段，滑行距离受滑行比（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为米，则滑行比为）的影响．如图所示，小明玩纸飞机，其起抛点的高度为米，当纸飞机的水平飞行距离为3米时达到最大高度米． (1)求这条抛物线的解析式； (2)小明前方，距离小明米．有一堵米高的墙，若纸飞机能顺利飞过这堵墙（不考虑墙的厚度，且不包括端点），求的取值范围； (3)小明根据多次实验，得到其折叠的纸飞机的滑行比为，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为10米？（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过米） 【答案】(1) (2) (3)当纸飞机开始滑行时的高度为米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为10米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意得抛物线经过且顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）将代入解析式求出x的值即可得到答案； （3）设滑行高度为米，则水平滑行的距离为米，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得抛物线经过，且顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， （2）解：将代入解析式得：， 解得：或， ∴； （3）解：设滑行高度为米，则水平滑行的距离为米， 当时，解得或 ∴飞行的距离为米， ∴， ∴， ∴， ∵纸飞机开始滑行的高度不超过米， ∴ ∴当纸飞机开始滑行时的高度为米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为10米． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 类型九、二次函数的应用——铅锤高问题 【解惑】已知抛物线经过点，与轴交于、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线交抛物线于S、T两点，为抛物线上A、T之间的动点，过点作轴于点于点，求的最大值； (3)如图2，平移抛物线的顶点到原点得抛物线，直线交抛物线于P、Q两点，已知点，连接分别交抛物线于另一点N、M，求证：直线经过一个定点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线交于点，设，则，可得，，进而得到，，解直角三角形得到，则可得到，据此可得答案； （3）根据题意可得，设直线的解析式为，联立得，，则可得到，同理可得；联立得，则，据此可求出；设直线的解析式为，联立得，则可得到，可求出，则直线的解析式为，据此可证明结论． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与轴交于， ∴，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：设直线交于点， 设，则， ∴，， ∴，， ∵， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为； （3）证明：∵平移抛物线的顶点到原点，得到抛物线， ∴， 设直线的解析式为， 联立得，， ， ， 同理可得， 联立得， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 联立得， ， ， ， 直线的解析式为， 在中，当时，， 直线过定点． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，其中，，为抛物线顶点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在线段上方抛物线上运动（不含端点、，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把抛物线解析式化为顶点式可得；再求出，进而得到直线解析式为；过点E作轴交于F，设，则，则；根据，可得，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解；∵抛物线解析式为， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 如图所示，过点E作轴交于F， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴的最大值为，此时点的坐标为． 2．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 3．如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交直线于点，过点作于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点，新抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），请直接写出点，的坐标． 【答案】(1) (2)3， (3)， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，平移问题，与x轴的交点问题的知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）用待定系数法求二次函数解析式． （2）分别求出直线和解析式，设，则，如图1，过点F作交于点W，由平移可知，再证明为等腰直角三角形，由等腰直角三角形进一步得出，再根据，再根据二次函数的性质求解即可． （3）由平移的性质得出，再利用待定系数法求出新抛物线解析式，再求出抛物线与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 把代入， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，如图1，过点F作交于点W， 由平移可知 ∵，轴交直线于点E， ∴，即， 由可知， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为3，． 此时点D的坐标为； （3）解：设抛物线向右平移了m个单位， 则新抛物线的表达式为：， 将点代入， 可得出：， 解得：（舍去）或1， 则新抛物线的表达式为：， 令，则， 即， 则，， 即，． 类型十、二次函数的新定义 【解惑】定义：如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，我们称抛物线与互为“亲密抛物线”． (1)下列抛物线是抛物线的“亲密抛物线”的是的______；（直接填入序号） ①；②；③； (2)若抛物线：（m，n为实数且）与：互为“亲密抛物线”，请问抛物线的图象是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，否则，请说明理由； (3)已知抛物线：（a，b，c为实数且）与x轴交于点M、N，抛物线：与x轴交于点P、Q，若抛物线与互为“亲密抛物线”，且，请问是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2)经过定点、 (3)是定值，为4 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题中所给新定义结合二次函数的图象与性质可进行求解； （2）由题意易得的顶点坐标为，则有，然后抛物线化简为：，进而问题可求解； （3）由题意易得抛物线的顶点为，则有，然后可得，进而可得，，推出，同理可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标为，则有： ①把点代入明显成立，而二次函数的顶点坐标为，代入明显成立；故与是“亲密抛物线”； ②把点代入明显不成立，故与不是“亲密抛物线”； ③把点代入明显成立，而二次函数的顶点坐标为，代入明显成立；故与是“亲密抛物线”； 故答案为：①③； （2）解：抛物线的图象经过定点；理由如下： ∵， ∴的顶点坐标为， ∵抛物线（m，n为实数且）与互为“亲密抛物线”， ∴点在抛物线上， ∴，化简得， ∴抛物线化简为：， 令， 解得或， ∴抛物线过定点，坐标为、； （3）解：是为定值；理由如下： 已知抛物线（a，b，c为实数且）与x轴交于点M、N，抛物线与x轴交于点P、Q， ∴抛物线的顶点为， ∵抛物线与互为“亲密抛物线”， ∴点在抛物线上， ∴， 化简得①， ∵， ∴， 代入①得：②， ∵抛物线与x轴交于点M、N， ∴是关于x的一元二次方程的两根， ∴，， ∵ ， 同理可得，， ∴， ∴为定值，定值为4． 【融会贯通】 1．定义：抛物线与轴交于，两点，它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“至美抛物线”． 理解：（1）下列抛物线是“至美抛物线”的是_____．（填序号） ①    ②    ③ 应用：（2）若“至美抛物线”的顶点坐标为，且，求该抛物线的解析式． 拓展：（3）若“至美抛物线”的顶点坐标为，且，与轴的交点为． ①若“至美抛物线”可以由抛物线平移得到，求点的纵坐标； ②已知点，，若是等腰三角形，直接写出的值． 【答案】（1）①③；（2）；（3）①；②3或4 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）分别求出抛物线与轴的交点坐标，顶点坐标，根据新定义，进行求解即可； （2）根据顶点坐标，得到对称轴，进而求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）①根据平移，得到，同法（2）求出抛物线的解析式即可；②分，，，3种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 当时，则：， ∴，； 故①是“至美抛物线”； ∵， ∴， 故②不是“至美抛物线”； ∵， ∴， 当时，则：， ∴，； 故③是“至美抛物线”； 故答案为：①③； （2）抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴交于，两点，， 点的坐标为，点的坐标为，， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， 抛物线的解析式为． （3）①“至美抛物线”的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线，且为整数， ， 点的坐标为，点的坐标为， “至美抛物线”可以由抛物线平移得到， ， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， 抛物线的解析式为， ∴当时，， 点的坐标为； ②抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 当时，，解得， 为整数， 不符合题意，舍去； 当时，，解得， 为整数， 不符合题意，舍去； 当时，，解得或． 综上所述，的值为3或4． 2．定义：已知平面直角坐标系中有，两点（点在点左侧），，且轴，若抛物线经过，两点，则称抛物线是线段的“共弦抛物线”． (1)若，，线段的一条“共弦抛物线”的顶点的纵坐标为，求这个抛物线的解析式； (2)在（）的条件下，抛物线与轴相交于，两点，求的面积； (3)若，线段的“共弦抛物线”和的顶点分别为点，，且点，距线段的距离之和为，求的值． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)的面积为； (3)的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，解一元二次方程，二次函数图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，线段的一条“共弦抛物线”，顶点的纵坐标为，则顶点坐标为，然后代入，求出的值即可； （）由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为，当时，，求出，，然后利用的面积为求解即可； （）由线段的“共弦抛物线”和，则对称轴为直线 ，故有，，抛物线的顶点坐标为，所以抛物线的顶点距线段线段的距离为，点距线段的距离为，从而得到抛物线的顶点为或，然后分当顶点为时，当顶点为时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵，，线段的一条“共弦抛物线”， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵顶点的纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为：，且过点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图， 由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为， 当时，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴的面积为； （3）解：∵线段的“共弦抛物线”和， ∴对称轴为直线， ∵， ∴，，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点距线段线段的距离为， ∴点距线段的距离为， ∴抛物线的顶点为或， 当顶点为时，， 将代入得，， 解得：， 当顶点为时，， 将代入得，， 解得：， ∴的值为或． 3．【背景】 对于二次函数，现定义：函数（为常数）叫做的伴随二次函数，其中称为伴随参数． 【初识】 （1）若二次函数，求时伴随二次函数的函数解析式； 【拓展】 （2）若的图象与伴随二次函数的图象有且只有一个公共点，且该公共点的纵坐标为6，求伴随参数的值； 【迁移】 （3）已知某喷泉的水流轨迹可近似为函数（单位：米），其中表示水平距离，表示铅直高度．因设施调整，要使调整后喷泉水流的新轨迹函数变为的伴随二次函数，求取何值时新轨迹的最高点到原点的距离最小？ 【答案】（1）；（2）4或；（3） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，理解伴随二次函数的定义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义求解即可； （2）根据伴随二次函数的定义求出，结合题意可得公共点为或，分情况求解即可； （3）根据伴随二次函数的定义求出，求出新轨迹的最高点到原点的距离，由此即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得：当时，； （2）∵， ∴， 当时，， 解得，； 若公共点为时，将其坐标代入解析式，得， 解得，； 因为时与图象重合，不合题意，故舍去，只取； 若公共点为时，将其坐标代入，解析式，得， 解得，； 因为时与图象重合，不合题意，故舍去，只取； 综上，所求的值为4或； （3）∵， ∴， 此时新轨迹最高点的横坐标为， 纵坐标为， ∴新轨迹的最高点到原点的距离为， ∵， ∴当，即时新轨迹最高点到原点的距离最小． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$