第二十二章 二次函数（基础+中等类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

第二十二章 二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的定义及求参 【解惑】下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ． 3．若函数是二次函数，则的值是 ． 类型二、列二次函数关系式 【解惑】某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 3．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 类型三、二次函数与一次函数图象 【解惑】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 3．如图，抛物线与直线交于点和点B．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，写出点M的横坐标的取值范围 ． 类型四、二次函数的增减性 【解惑】已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知抛物线经过点，，若A，B两点均在直线的下方，且，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若点在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为，其中． (1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； (2)若为此二次函数图象上不同的两个点，当时，，求m的值； (3)若点在此二次函数图象上，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围． 类型五、二次函数的对称性 【解惑】已知二次函数的图象过点，若点也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知二次函数的图象上有两点，若，当函数值取得最大值时，对应的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线，点，是抛物线上两点，且． （1）抛物线的对称轴为 （用含有的式子表示）； （2）当时，始终满足，则的取值范围是 ． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线（且）过点． (1)求该抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； (2)在该抛物线上存在两点，，当时，总有，求的取值范围． 类型六、图象法求一元二次不等式 【解惑】抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，；④方程的两个根分别为和．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 3．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：    (1)直接写出方程的两个根． (2)直接写出不等式的解集． (3)直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 类型七、待定系数法求二次函数解析式 【解惑】已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（  ） … 0 1 3 4 … … 3 4 0 … A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而减小 C． D．该二次函数图象与轴只有一个交点 【融会贯通】 1．如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 2．以顶点坐标，且过点的抛物线的解析式： 3．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； (2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（）个单位，图象恰好经过点，求n的值． 类型八、二次函数的坐标轴交点坐标与平移 【解惑】二次函数的图象与轴交点的坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【融会贯通】 1．抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位后，得到新抛物线解析式为 ． 3．如图，抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)直接写出点的坐标（用含的代数式表示）； (2)若的面积为6，求的值； (3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移个单位，记平移后抛物线中随的增大而减小的部分为，当直线与总有两个公共点时，求的取值范围． 类型九、二次函数的应用——增长率问题 【解惑】向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【融会贯通】 1．某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，写出第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式． 2．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 3．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 类型十、二次函数的应用——喷水、拱桥问题 【解惑】公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的一部分，隧道底部宽为，高为．为了避免隧道内行车容易疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为的水平警示灯带．普通货车的高度大约为（载货后高度），为保证安全，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．现以中点为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右两侧的距离）． 【融会贯通】 1．某城市计划在滨河步道上方搭建一座抛物线型观景台．如图，步道的宽为，观景台拱顶最高处点距离地面为．为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称，支撑柱，在两个支撑柱上搭一个限高横杆．以步道的中点为原点，所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求该观景台所在抛物线的函数表达式； (2)为提升景观效果，现要在横杆上方设置一个面积为的矩形宣传牌，要求宣传牌在观景台内部，一边落在上，且长、宽均为整数，宣传牌关于观景台的对称轴对称．求符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由． 2．综合与实践 如图，这是一个直角三角形斜坡截面，，，，坡面上有一根标杆（标杆粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点B不重合，），现在斜坡点A处安装一个喷水管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离x（单位：m）与水流的高度y（单位：m）的变化规律如表： x 0 1 2 3 4 … y 3 3 … (1)求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标． (2)若喷水管喷出的水流恰好经过标杆的顶部点N． ①求标杆的最大高度； ②若点A到M，N两点的距离相等，求点N的坐标． 3．一个可移动的喷灌架喷射出的水流可以看成抛物线，如图是喷灌架给坡地草坪喷水的平面示意图，喷灌架置于坡地草坪底部点处，喷水头的竖直高度为，当喷射出的水流与点的水平距离为时，达到最高，此时其与水平地面的竖直高度为．在直线坡地草坪上，点与点的水平距离为，与水平地面的竖直高度为． (1)求水流抛物线的解析式； (2)求水流抛物线与直线坡地草坪之间的竖直距离的最大值； (3)已知在点处有一棵竖直高度为的小树．若将喷灌架沿直线坡地草坪向右移动，设其向右水平移动（其中），使其喷射出的水流不被小树遮挡，直接写出的取值范围． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的定义及求参 【解惑】下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的的识别，根据二次函数的定义（形如，），逐一判断各选项是否为二次函数即可． 【详解】A．，符合的形式（），是二次函数； B．，展开后为，最高次项为，系数为2，是二次函数； C．，符合的形式（），是二次函数． D．，展开后为，化简后为一次函数，不是二次函数． 故选D． 【融会贯通】 1．下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得答案． 【详解】解：，， 由二次函数的定义可得，四个选项中，只有C选项中的函数是二次函数， 故选：C． 2．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为，二次函数最高次必须为二次，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 3．若函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数称为二次函数”进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为4． 类型二、列二次函数关系式 【解惑】某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 【融会贯通】 1．一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 2．一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解． 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 3．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 类型三、二次函数与一次函数图象 【解惑】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点，灵活运用利用一次函数的性质和二次函数的性质是解题的关键． 根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项A错误，不符合题意； B、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项B正确，符合题意； C、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项C错误，不符合题意； D、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据，两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 3．如图，抛物线与直线交于点和点B．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，写出点M的横坐标的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，解题关键是利用数形结合思想分类讨论点在不同位置时，与抛物线的相交情况．利用待定系数法求出抛物线的解析式及直线的解析式，进而求出抛物线顶点坐标，点的坐标，再分类讨论点的位置情况，即当点在点的左侧时，当点在线段上时，当点在点的右侧时，分析与抛物线的相交情况即可． 【详解】解：点为抛物线与直线的一个交点， ，， 解得，， 抛物线解析式为，直线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为 联立方程组得，解得，， 点的坐标为， 点是直线上的一个动点，点是将点向左平移3个单位长度所得， 轴， 又，的水平距离为， 当在点左侧时，与抛物线无公共点， 当点在线段上，不含点时，与抛物线有一个公共点，即， 当点在点右侧时，只有与抛物线顶点相交时，即时，与抛物线有一个公共点， 综上所述得，的取值范围是或． 类型四、二次函数的增减性 【解惑】已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，则在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∵点都在函数的图象上，且， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．已知抛物线经过点，，若A，B两点均在直线的下方，且，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 根据题意，抛物线开口向上，点A、B在直线下方，且．通过代入点坐标建立不等式，求解t的范围． 【详解】∵点在直线下方， ∴， 解得． ∵点在直线下方， ∴， 解得． ∵ ： ∴， 解得． ∴． 故选：D． 2．若点在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式的求解，求出，，根据，得到，即，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，如图： ∵点在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为，其中． (1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； (2)若为此二次函数图象上不同的两个点，当时，，求m的值； (3)若点在此二次函数图象上，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解二元一次方程组，解不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，因为，故建立方程组，再解得，即可作答． （2）先整理得对称轴为直线，结合，说明关于对称轴对称，得，解得：； （3）把点代入得，则对称轴，整理得，因为当时，y随x的增大而增大，得且，解得：，即可作答． 【详解】（1）解：把点代入到二次函数的表达式中， 得 化简得：， 依题意联立方程组：， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵二次函数的表达式为； ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴． ∵， 说明关于对称轴对称， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵点在此二次函数图象上， ∴，对称轴， ∵， ∴ ∴， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴且， ∴ ∴ 解得：， ∴ ∵ ∴． 类型五、二次函数的对称性 【解惑】已知二次函数的图象过点，若点也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．由，和点，得出二次函数图象开口向上，对称轴为直线，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象过点， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴越远的点，函数值越大， 点在该二次函数图象上，且点离对称轴最远，点离对称轴最近， ， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知二次函数的图象上有两点，若，当函数值取得最大值时，对应的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据两个对称点确定抛物线的对称轴，判定顶点为最高点即可确定的值． 【详解】解：由抛物线上可知，纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线的顶点为最高点， 所以，当函数值取得最大值时，对应的值为1． 故选：B 2．已知抛物线，点，是抛物线上两点，且． （1）抛物线的对称轴为 （用含有的式子表示）； （2）当时，始终满足，则的取值范围是 ． 【答案】 直线 或 【分析】本题考查了抛物线的对称性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）令，可求得抛物线与x轴的两个交点坐标，即可求得对称轴； （2）分与两种情况考虑，利用二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：（1）令，则； ∵， ∴； 即抛物线与x轴交于点， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：直线； （2）当时，， 抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小， ∵当，且时，始终满足， ∴， 解得：； ∴； 当时，， 抛物线开口向下，抛物线对称轴的右侧，函数值y随自变量的增大而减小； ∵当，且时，始终满足， ∴， 即， ∴； 综上，或； 故答案为：或． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线（且）过点． (1)求该抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； (2)在该抛物线上存在两点，，当时，总有，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线； (2)且． 【分析】（1）解法一：先根据抛物线一定过原点得出与是对称点，从而推出该抛物线的对称轴；解法二：将点代入求出抛物线解析式后，根据抛物线对称轴为即可得解； （2）分情况讨论：当时：ⅰ．若；ⅱ．若；②当时：ⅰ．若；ⅱ．若；ⅲ．若． 【详解】（1）解：解法一：由题知抛物线为（且）， 该抛物线过点， 抛物线过点， 与是对称点， 该抛物线的对称轴为直线； 解法二：抛物线为（且）过点， 将点代入中得， ， ， ， ， 抛物线的解析式为， 该抛物线的对称轴为直线． （2）解：将点代入抛物线（且）， 中，得， ，， 抛物线的解析式为， ①当时，（抛物线对称轴在轴左侧）， ⅰ．若，即，抛物线的大致图象如解图①， 则，， ； ⅱ．若，即，则，抛物线的大致图象如解图②， ， 点、均在对称轴的右侧，且，即， 又在对称轴右侧，随的增大而减小， ； ②当时，（抛物线对称轴在轴右侧）， ⅰ．若，即，则，抛物线的大致图象如解图③， 点，均在对称轴的右侧，且，即， 又在对称轴右侧，随的增大而减小， ； ⅱ．若，即，则，抛物线的大致图象如解图④， 点，均在对称轴的右侧，随的增大而减小， 和的大小关系不确定， 和的大小关系不确定，不符合题意； ⅲ．若，即，抛物线的大致图象如解图⑤， 此时，不符合题意． 综上，的取值范围是且． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的图象与性质，解题关键是利用数形结合的思想解题． 类型六、图象法求一元二次不等式 【解惑】抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与不等式的关系等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． 根据图象开口向上可知，与轴的交点在原点上方可知，据此可判断①；因为抛物线与轴交于，对称轴为直线，所以另一交点为，则、两式相减可得，可判断②；抛物线顶点坐标为，开口向下，则为最大值，对于任意实数，都有，据此可判断③；由图象可得当时，，据此可判定④． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵与轴的交点在原点上方可， ∴， ∴，即①正确； ∵抛物线与轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴当时，；当时，， ∴两式相减可得，即②正确； ∵抛物线顶点坐标为，开口向下， ∴为最大值， ∴对于任意实数，都有，即③错误； ④由图象可得，当时，，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选C． 【融会贯通】 1．二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，；④方程的两个根分别为和．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，解题关键是掌握二次函数的性质． ①由抛物线交轴的负半轴，得到，可判定①； ②根据题意得到抛物线的对称轴为直线，则，可判定②； ③当时，得到抛物线全在轴下方，于是得到，可判定③； ④根据二次函数图象的与轴的交点得到方程的两根分别为和3，可判定④． 【详解】解：①抛物线交轴的负半轴， ，故①正确； ②抛物线的对称轴为直线， ，故②错误； ③当时，抛物线全在轴下方，即，故③正确； ④二次函数图象的与轴的交点坐标为和， 关于的一元二次方程的两根分别为和3，故④正确； ∴正确结论的序号是①③④． 故选：C． 2．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 3．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：    (1)直接写出方程的两个根． (2)直接写出不等式的解集． (3)直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数中取一个定值时，二次函数就转化为一个一元二次方程． 抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根； 就是抛物线在轴上方，因为当时，抛物线的图象在轴的上方，所以不等式的解集为； 抛物线开口向下，在对称轴左侧时随的增大而减小，从图象上可知抛物线的对称轴是，所以当时，随的增大而减小； 方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，从图象上可以看出当时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； （2）解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的上方， 不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； （4）解：由图象可知，当时， 方程组有一组解， 方程有两个相等的实数根， 当时， 方程组有两组解， 方程有两个不相等的实数根， 方程有两个不相等的实数根时，． 类型七、待定系数法求二次函数解析式 【解惑】已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（  ） … 0 1 3 4 … … 3 4 0 … A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而减小 C． D．该二次函数图象与轴只有一个交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过待定系数法求出二次函数解析式，结合二次函数的性质分析各选项即可． 【详解】解：分别将，，代入得： ， 解得：， 即解析式为． A：，开口向下，错误； B：对称轴，开口向下，当时，y随x增大而减小，正确； C：当时，，错误； D：判别式，与x轴有两个交点，错误； 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，待定系数法求出函数解析式，进而根据增减性结合二次函数的最值，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点、， ∴，解得：， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为：，抛物线上的点到对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，，当时，， ∵当时的最大值与最小值的差为6，， ∴，且， 解得：或（舍去）； 故选：A． 2．以顶点坐标，且过点的抛物线的解析式： 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的顶点式和待定系数法是解题关键． 设抛物线的解析式为，再将点代入求解即可得． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴该抛物线的解析式为． 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； (2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（）个单位，图象恰好经过点，求n的值． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． （1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴． 解得：． ∴二次函数的解析式为． ∴对称轴为直线．顶点的坐标为． （2）解：二次函数的解析式化为． ∵把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位， ∴平移后新二次函数的解析式为． ∵平移后图图象经过点， ∴． 解得：． 类型八、二次函数的坐标轴交点坐标与平移 【解惑】二次函数的图象与轴交点的坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 令，解方程求出x的值，即可得得答案． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴二次函数的图象与轴交点的坐标是的图象与轴交点的坐标是，， 故选：A． 【融会贯通】 1．抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令，求出的值即可，掌握轴上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故选：． 2．将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位后，得到新抛物线解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”，对原抛物线进行向右平移个单位和向上平移个单位的操作，从而得到新抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线向右平移个单位， 根据“左加右减”原则，变为，得到； 再向上平移个单位， 根据“上加下减”原则，在式子后面加，得到． 故答案为： 3．如图，抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)直接写出点的坐标（用含的代数式表示）； (2)若的面积为6，求的值； (3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移个单位，记平移后抛物线中随的增大而减小的部分为，当直线与总有两个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则，即可求得点坐标； （2）求出的坐标，表示出的面积，由此即可得到答案； （3）平移后的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，当抛物线经过点时，，此时直线与有两个公共点，联立，得到方程，当时，此时直线与有两个公共点，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：在中，令，得， 解得，， ，， ， 由抛物线图象可得：， ， ， 解得：； （3）解：由（2）得 ，， 将抛物线向右平移个单位， 新抛物线的解析式为：， 对称轴为直线， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 当抛物线经过点时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，， 当时，随的增大而减小， 联立， 解得：，， 此时与直线有两个交点； 联立， ， 直线与总有两个公共点， ， 解得：， 综上所述，当时，直线与总有两个公共点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质；二次函数的平移规则：左加右减，上加下减；采用数形结合的思想进行解题，是解此题的关键． 类型九、二次函数的应用——增长率问题 【解惑】向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【答案】(1)； (2)40米． 【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为； （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得 ， 解得，，（不合题意，舍去） 答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 【融会贯通】 1．某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，写出第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【答案】y＝5000x2＋10000x＋5000． 【分析】根据增长率第2年的销量=第1年的销量+增加百分率x×第1年的销量=(1+x)×第1年的销量，第3年的销售量y=第2年的销量+增加百分率x×第2年的销量=(1+x)×第2年的销量=(1+x)2×第1年的销量即可． 【详解】解：由题意可知y＝500(1＋x)2＝5000x2＋10000x＋5000， ∴y＝5000x2＋10000x＋5000． 【点睛】本题考查增长率问题，利用增长率求函数解析式，掌握增长率的公式是解题关键． 2．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 3．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【答案】（1）20%；（2）6125000（元） 【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可； （2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值． 【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0， 由题意得：， 解得：x=0.2或x=-2.2（舍）， 答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%； （2）设多改造a户，最高投入费用为w元， 由题意得：， ∵a=-50，抛物线开口向下， ∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元， 答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解． 类型十、二次函数的应用——喷水、拱桥问题 【解惑】公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的一部分，隧道底部宽为，高为．为了避免隧道内行车容易疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为的水平警示灯带．普通货车的高度大约为（载货后高度），为保证安全，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．现以中点为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右两侧的距离）． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由题意可得顶点的坐标为，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可得悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是，把代入（）所得函数解析式求出的值进而即可求解； 本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，顶点的坐标为，， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵普通货车的高度大约为，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于， ∴悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， 解得， ∴灯带的最大安装长度是． 【融会贯通】 1．某城市计划在滨河步道上方搭建一座抛物线型观景台．如图，步道的宽为，观景台拱顶最高处点距离地面为．为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称，支撑柱，在两个支撑柱上搭一个限高横杆．以步道的中点为原点，所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求该观景台所在抛物线的函数表达式； (2)为提升景观效果，现要在横杆上方设置一个面积为的矩形宣传牌，要求宣传牌在观景台内部，一边落在上，且长、宽均为整数，宣传牌关于观景台的对称轴对称．求符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由． 【答案】(1) (2)长为10m，宽为2m；见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）先求出两个支撑柱之间的距离．进一步求得的长可以为1或2．则有下列2种初步的设计方案：①；②；然后分别验证即可． 【详解】（1）解：由题意，得拱顶最高处点的坐标为，， ∴点B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴该观景台所在抛物线的函数表达式为； （2）解：令，即． 解得． 两个支撑柱之间的距离． 矩形宣传牌的面积为，宣传牌在观景台内部，一边落在上，且长、宽均为整数，宣传牌关于观景台的对称轴对称， 的长可以为1或2． 有下列2种初步的设计方案： ①；②： ． 方案①不合题意． ，此时点到步道的距离为6． 当时，． 此时宣传牌左上方顶点的坐标是．符合题意． 综上所述，矩形宣传牌的长为，宽为． 2．综合与实践 如图，这是一个直角三角形斜坡截面，，，，坡面上有一根标杆（标杆粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点B不重合，），现在斜坡点A处安装一个喷水管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离x（单位：m）与水流的高度y（单位：m）的变化规律如表： x 0 1 2 3 4 … y 3 3 … (1)求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标． (2)若喷水管喷出的水流恰好经过标杆的顶部点N． ①求标杆的最大高度； ②若点A到M，N两点的距离相等，求点N的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2)①的最大值为；②点的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，结合表格数据可得，抛物线的对称轴是直线，则该抛物线的顶点坐标为，故可设该抛物线的解析式为，再将点代入得，解得，进而可以判断得解； （2）①依据题意，设直线的解析式为，又将，代入得，可得直线的解析式为，又设点的坐标为，则的坐标为，故，进而可以判断得解； ②依据题意，过点作于点，连接，又设，则点的坐标为，由得为中点，即，又，则，可得，然后将点的坐标代入抛物线的解析式得，求出后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意可得该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为． 将点代入得，解得， 该抛物线的解析式为，顶点坐标为． （2）解：①设直线的解析式为． 将，代入得解得 即直线的解析式为． 设，则， ， 当时，的最大值为． ②如图，过点作于点，连接，设，则． 由得为中点，即． ， ，即． 将点坐标代入抛物线解析式得， 整理方程得， 解得（舍去），， 故点的坐标为． 3．一个可移动的喷灌架喷射出的水流可以看成抛物线，如图是喷灌架给坡地草坪喷水的平面示意图，喷灌架置于坡地草坪底部点处，喷水头的竖直高度为，当喷射出的水流与点的水平距离为时，达到最高，此时其与水平地面的竖直高度为．在直线坡地草坪上，点与点的水平距离为，与水平地面的竖直高度为． (1)求水流抛物线的解析式； (2)求水流抛物线与直线坡地草坪之间的竖直距离的最大值； (3)已知在点处有一棵竖直高度为的小树．若将喷灌架沿直线坡地草坪向右移动，设其向右水平移动（其中），使其喷射出的水流不被小树遮挡，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由顶点设抛物线的解析式为，将点代入求解即可； （2）先求得直线的解析式为，计算，利用二次函数的性质求解即可； （3）由题意得平移后的抛物线可表示为，将点代入，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，水流抛物线的顶点坐标为， 设水流形成的抛物线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 水流抛物线的解析式为； （2）解：由题意可知点坐标为， 设直线的解析式为，把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解： 设喷灌架沿直线坡地草坪向右水平移动，则向上移动， 则平移后的抛物线可表示为， 将点代入得，， 解得或． ∴结合图象可得，的取值范围为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$