精品解析：辽宁省抚顺市四方高级中学2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题A

2024—2025学年（下）高二年级期末质量检测 数学（试题A） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 5天内某校当天新增感冒人数y与每日温差x（单位：℃）的数据如下表： x 5 7 8 9 11 y 9 m 15 17 20 由于保存不善，有1个数据模糊不清，用m代替，已知y关于x的经验回归方程为，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】用中心点坐标代入计算. 【详解】由，， 所以，解得. 故选：B. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，结合离心率的概念即可求解. 【详解】由，得， 所以，得， 所以双曲线的离心率为. 故选：D 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 44 B. 33 C. 66 D. 77 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列项的性质结合等差数列求和公式计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，因为， 所以， 则. 故选：D.    4. 甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（ ） A. 24种 B. 16种 C. 12种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】因为甲一定在乙丙之间，否则将在两端，先排乙丙有种排法， 其次选一人在乙丙中间有种排法， 然后乙丙中间排序有种排法， 最后另一人选在排头排尾有种排法， 共种排法. 故选：B. 5. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心距与半径和、差的关系可得两圆的位置关系. 【详解】由题，， 故， 故，故， 故两圆相交. 故选：A 6. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式判断其单调性，从而不妨设，可得，由此可求得，构造函数，利用导数即可求得最值. 【详解】因为，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 不妨设，则， 可得，则， 令，则， 令，则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 故选：D 7. 已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】指对同构后将不等式变形为，再设，利用导数分析单调性求出最小值，然后令，利用导数分析最大值可得. 【详解】因为，即，即在上恒成立， 设，则，易知时，， 在上单调递增，， 所以恒成立，即， 令，则， 易知在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 8. 为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（ ） A. 可化简为，估计其值为 B. 可化简为，估计其值为 C. 可化简为，估计其值为 D. 可化简为，估计其值为 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率公式化简. 【详解】1.化简. 已知， 则， 由条件概率公式， 所以 ， 2.根据列联表计算概率 由列联表可知，， 所以 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得样本容量为20，平均数是3，从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于C，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断,对于D，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断； 【详解】对于A，由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，A正确； 对于B，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于， 故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即， 所以第70百分位数是23.5，故B错误； 对于C，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5， 设此时这9个数的平均数为，方差为，则，故C错误． 对于D，样本数据，，，的标准差为8，故数据，，，的标准差为，故D正确； 故选：AD． 10. 已知函数，则（ ） A. 若，则函数的极小值点是 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 若过点有三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为 D. 若函数在上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对函数求导，利用判断函数的单调性，确定极小值点即可判断A；通过可判断B；设切点坐标，然后求出斜率以及切线方程，根据该切线经过，可得出的表达式，然后构造函数求出函数的单调区间，进而确定有三个根时的取值范围，由此判断C；根据已知可得只有一个零点在内，进而计算即可确定的取值范围可判断D. 【详解】对于A，当时，，的定义域为， ，令得或， 当时，，在，上单调递增； 当时，，单调递减， 故函数的极大值点为，极小值点为1，故A错误； 对于B，由 ， 即， 所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C，设切点为，则， 此切线的斜率为， 所以切线方程为， 化简可得， 将代入得， 由题知方程有三个解，令， 则由得， 所以当及时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以有极大值，极小值， 分析函数的图象可得，解得，故C正确； 对于D，，若函数在上存在唯一的极值点，则在内只有一个零点， 因为图象的对称轴为直线，所以， 即， 解得，故D正确， 故选：BCD. 11. 关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是（ ） A. 若等比数列的前项和，则实数 B. 若数列为等比数列，且，则 C. 若等差数列的前项和为，则成等差数列 D. 若等差数列的前项和为，公差，则的最大值为30 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等比数列前项和的性质，等比数列各项下标之间的关系，等差数列前项和的性质，依次判断各选项正误，求出结果. 【详解】由，可得时，， 作差得，当时，，解得，所以A错误； 由等比数列性质可知，因为，所以， ，所以B正确； 由等差数列的前项和可知，成等差数列，所以C正确； 等差数列中，公差，则， 当或时，前项和取得最大值，最大值，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列，，则_______． 【答案】58 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解． 【详解】是正项等比数列，则，， 所以， 故答案为：58. 13. 某在线教育平台推出一个学习打卡活动，用户每天打卡成功的概率为0.8，且每天打卡结果相互独立．若小明连续参与5天的打卡活动，设他打卡成功的天数为X，则=______．（用数字作答） 【答案】## 【解析】 【分析】由题设，应用独立重复试验的概率求法求概率即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 14. 若对任意，，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】依题意分和两种情况讨论．当时，构造，，求导，根据其单调性分析即可；当时，构造，根据其单调性分析可将题意中的恒成立问题转化为在上恒成立问题，进而分析即可得出答案． 【详解】依题意可得在上恒成立，（*） 当时，令， 则， 则在上单调递增， 所以，故（*）成立； 当时，即， 令，， 因函数与在上单调递增，故在上单调递增， 又，且， 则（*）成立，等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立，（**） 令，，则， 若时，，此时在上单调递增， 所以，故（**）成立，即（*）成立； 若时，令，解得， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 所以， 又，此时在上单调递减， 所以，所以，故（**）不成立，即（*）不成立． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240. （1）求的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的有理项． 【答案】（1）， （2）有理项有3项，分别为 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可得各项系数和，结合题意列式计算可得，由二项式系数性质可得二项式系数最大项； （2）求得展开式通项公式，令，且，计算即可. 【小问1详解】 令，则展开式中各项系数之和为，各二项式系数和为， 则，解得， 展开式有5项，二项式系数最大的为第3项; 【小问2详解】 二项式的展开式的通项公式为， 令，且，解得， 则展开式中含的有理项有3项，分别为. 16. 已知数列的前项和为是首项和公差均为1的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，利用的关系，求即可； （2）由，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由是首项和公差为1的等差数列，得，则， 当时， 当时，， 因为满足上式， 所以数列的通项公式． 【小问2详解】 因为， 所以． 17. 已知函数， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有最大值，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数导函数，分，两种情况讨论函数的单调性，即可得到函数的最大值，依题意即证，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 当时，．， 则，， 故曲线在点处的切线方程是． 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 当时，，故在上单调递增，无最大值； 当时，令，则， 所以时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故的最大值是， 要证， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，则．即，得证． 18. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，点在椭圆上，直线与圆相切，且与椭圆交于两点，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）①求证：； ②求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据关系，并代点求解可得出椭圆的方程； （2）①当切线斜率不存在时，求出点、的坐标，验证；当切线斜率存在时，设切线方程为，与椭圆方程联立消去并由韦达定理验证，综合可得出结论； ②由①知当切线斜率不存在时，；当切线斜率存在时，由弦长公式可得，由韦达定理和换元的思想结合基本不等式可得此时的范围，综合可得的取值范围，从而求得面积的取值范围. 【小问1详解】 根据题意，， 解得，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①当直线斜率不存在时，则切线方程为， 联立可得， 所以，直线与椭圆的两个交点分别为、， 此时，即， 同理可知，直线与椭圆的两个交点分别为、， 此时，即； 当切线斜率存在时，设切线方程为， 与椭圆方程联立消去并整理可得， ，可得， 设点、，由韦达定理可得，， 因为直线与圆相切，则，即， 所以， ，所以，. 综上所述，； ②由题意可得点到直线的距离为， 由①知当切线斜率不存在时，，； 当切线斜率存在时，由弦长公式可得 ， 当时，， 当且仅当时，等号成立， 所以， 综上，的取值范围为. 19. 已知甲、乙、丙三个品牌的手机从1米高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率均为，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率依次为，，，假设三个品牌的手机掉落后屏幕是否碎掉互不影响. （1）求这3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率； （2）设这3个品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉的品牌个数为随机变量X，求X的分布列； （3）已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉，求该品牌手机是甲的概率. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式列式计算. （2）求出的可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列. （3）利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 设事件D表示“3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉”， 则. 【小问2详解】 依题意，随机变量X的取值集合为， 设事件A表示“甲品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”， 事件B表示“乙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”， 事件C表示“丙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”， 则，，， 因此，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 【小问3详解】 设事件E表示“3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉”， 事件F表示“3个品牌的手机掉落两次后恰有甲品牌的手机屏幕仍未碎掉”， 由（2）知，，， 所以已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉， 该品牌手机是甲的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年（下）高二年级期末质量检测 数学（试题A） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 5天内某校当天新增感冒人数y与每日温差x（单位：℃）的数据如下表： x 5 7 8 9 11 y 9 m 15 17 20 由于保存不善，有1个数据模糊不清，用m代替，已知y关于x的经验回归方程为，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 12 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 44 B. 33 C. 66 D. 77 4. 甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（ ） A. 24种 B. 16种 C. 12种 D. 8种 5. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 6. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（ ） A. 可化简为，估计其值为 B. 可化简为，估计其值为 C. 可化简为，估计其值为 D. 可化简为，估计其值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 10. 已知函数，则（ ） A. 若，则函数的极小值点是 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 若过点有三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为 D. 若函数在上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为 11. 关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是（ ） A. 若等比数列的前项和，则实数 B. 若数列为等比数列，且，则 C. 若等差数列的前项和为，则成等差数列 D. 若等差数列的前项和为，公差，则的最大值为30 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列，，则_______． 13. 某在线教育平台推出一个学习打卡活动，用户每天打卡成功的概率为0.8，且每天打卡结果相互独立．若小明连续参与5天的打卡活动，设他打卡成功的天数为X，则=______．（用数字作答） 14. 若对任意，，则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240. （1）求的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的有理项． 16. 已知数列的前项和为是首项和公差均为1的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知函数， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有最大值，求证：． 18. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，点在椭圆上，直线与圆相切，且与椭圆交于两点，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）①求证：； ②求面积的取值范围. 19. 已知甲、乙、丙三个品牌的手机从1米高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率均为，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率依次为，，，假设三个品牌的手机掉落后屏幕是否碎掉互不影响. （1）求这3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率； （2）设这3个品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉的品牌个数为随机变量X，求X的分布列； （3）已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉，求该品牌手机是甲的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $