专题2.6 有理数的乘方（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题）同步培优讲练-2025-2026学年苏科版数学七年级上册（2024新教材）

专题2.6 有理数的乘方 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：有理数的乘方 1 知识点梳理02：乘方的符号法则 2 知识点梳理03：科学记数法 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：有理数幂的概念理解 3 考点2：有理数的乘方运算 4 考点3：有理数乘方逆运算 5 考点4：乘方运算的符号规律 6 考点5：乘方的应用 7 考点6：用科学记数法表示绝对值大于1的数 9 考点7：将用科学记数法表示的数变回原数 10 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 11 基础夯实 11 培优拔高 12 知识点梳理01：有理数的乘方 1.乘方的概念：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)． 即有：. 底数：在中，叫做底数， 指数：叫做指数. 典型例子：此处2叫做底数，3是指数，表示2的个数； 2.特例：当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 技巧点拨： （1） 乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 类比以前学的加减乘除法学习乘方。 运算名称 符号表示 加法 加数 加数 和 减法 被减数 减数 差 乘法 乘数 乘数 积 除法 被除数 除数 商 乘方 底数 指数 幂 幂特指乘方作为结果时的一种叫法，与和差积商相对应。 （2）当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 （3）一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 知识点梳理02：乘方的符号法则 1.正数的任何次幂都是正数； 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 3.0的任何正整数次幂都是0； 4.任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 技巧点拨： (1)有理数的乘方运算，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)计算幂时，可以转化成乘法计算。 知识点梳理03：科学记数法（这是一个很小，但非常非常重要的知识点，要牢记） 科学记数法的定义： 把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 技巧点拨： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 考点1：有理数幂的概念理解 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）如果、互为相反数，、互为倒数，，为立方等于本身的数的个数，求代数式的值是（    ） A．11 B．10 C．9 D．12 【变式训练1】（24-25七年级上·河南开封·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【变式训练2】（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且． (1)_____；_____；此时刻快车头A与慢车头之间相距______单位长度； (2)从此时刻开始算起，再行驶多少秒钟两列火车的车头相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头A、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这段时间的长度及定值；若不正确，请说明理由． 考点2：有理数的乘方运算 【典例精讲】（2025·四川广安·模拟预测）一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ． 【变式训练1】（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）把下列8个数填入相应的大括号内：，2.4，0，，，，，． 正数集合：{                          } 负数集合：{                          } 负整数集合：{                        } 正分数集合：{                        } 【变式训练2】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 考点3：有理数乘方逆运算 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·期中）先化简再求值：已知，，且，求的值． 【变式训练1】（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【变式训练2】（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 考点4：乘方运算的符号规律 【典例精讲】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知． (1)填空：______，______； (2)先化简，在（1）的条件下再求值：． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）先化简再求值： (1) 其中． (2)，其中 ． 考点5：乘方的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·河南安阳·期末）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么_______，______； ②已知，那么_______，_______． （2）观察上述计算结果，我们可以看出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动_______位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动______位． （3）已知，，．填空： ①________； ②_______． 【变式训练1】（24-25七年级上·四川泸州·期末）二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形（如图1）．某校学生利用二维码建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的身份识别图案，其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为，则为该行所表示的数．例如：图2中第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，计算，表示该生为5班学生、请判断下列选项中表示9班10号学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）【探索发现】 如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______； ②请根据①的结论计算． 【问题解决】 如图2，第1次分割，把正方形的面积三等分；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…根据以上信息解决问题： （2）计算； 考点6：用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏常州·期中）作为城市高质量发展“大动脉”的常州地铁，近年来为城市发展和居民生活提供了高效便捷的公共交通服务．其中1号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2019年9月21日开通运营，这条线路呈南北走向，北起新北区森林公园站，途经天宁区，南至武进区南夏墅站．如图为1号线串联的部分站点．据统计，2024年10月1日至7日，常州地铁1号线客流量达万人次． (1)若万人次用科学记数法表示为人次，则_______． (2)某天，小红同学从环球港站开始乘坐地铁1号线，在地铁各站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，约定向南夏墅站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：． ①请通过计算说明A站是哪一站？ ②若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小红志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是多少千米？ 【变式训练1】（24-25七年级上·北京·期中）求索半世纪、奋斗十余载，中国人的“大飞机梦”在新时代终成现实——我国首次按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机完成研发、制造、取证、投运．2024年9月19日中午，印有“”字样的南航航班从广州白云机场腾空而起，飞向上海虹桥机场，（标准航程型）最大起飞质量，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．近似数精确到十分位 B．将数80360保留2个有效数字是 C．用四舍五入法得到的近似数精确到 D．用科学记数法表示的近似数，其原数是60600 考点7：将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（24-25七年级上·四川广元·期末）已知某数用科学记数法表示为，则这个数是（   ） A．41000 B．410000 C．4100000 D．41000000 【变式训练1】（24-25七年级上·宁夏石嘴山·期中）已知：，则a表示的数为 ． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）今年第一季度我国增值税、消费税比上年同期增收元，也就是说增收了（   ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．万元 1．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州·中考真题）贵州省的“花江峡谷大桥”因跨越花江大峡谷而得名，其中主桥跨径，桥面至水面高度．建成后，会成为新的世界第一高桥和世界第一的山区跨径桥梁．1420这个数用科学记数法可表示为（  ） A． B． C． D． 3．（2021·河北·中考真题）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． （1）用含，的代数式表示； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值． 4．（2025·江苏扬州·中考真题）2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为 ． 5．（2024·宁夏·中考真题）地球上水（包括大气水，地表水和地下水）的总体积约为亿．请将数据用科学记数法表示为 ． 基础夯实 1．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）2024年11月15日，天舟八号在中国文昌航天发射场成功发射，并与空间站核心舱顺利对接，此次主要任务是为神舟十九号运送约6000千克物资．6000这个数用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）计算（m个3，n个4）的结果是（   ） A． B． C．+4n D． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）若，，，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·重庆秀山·期末）我县幅员面积约为2460平方千米．2460用科学记数法表示为： ． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）据江苏网报道，2024年国庆节期间，泰州迎来旅游新高峰，全市接待游客约人次,将用科学记数法表示为 ． 6．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）今年11月18日，是石柱土家族自治县成立40周年纪念日，40年来家乡的各个方面都发生了巨大变化，其中地区生产总值从1984年的0.9亿元增长到2023年的230.46亿元．把230.46亿元用科学记数表示为 元． 7．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，． 正数集合：{                }； 分数集合：{                }； 负有理数集合：{            }． 8．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）补全数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”将这些数连接起来：，，． 9．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）在如图所示的数轴上表示，并用“”将它们连接起来． 10．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知的相反数是，，求的值． 培优拔高 11．（24-25七年级上·四川南充·期中）在中，负数的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）在，，，，这五个数中，负数共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 14．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）若，则 ． 15．（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列语句： ①相反数等于它本身的数0；②绝对值等于它本身的数是正数；③倒数等于它本身的数是；④立方等于它本身的数是0、1，其中正确的语句是 ．（填序号） 16．（24-25七年级上·山东济宁·期中）比较大小： （填或）． 17．（24-25七年级上·广东湛江·期中）将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用“”把这些数连接起来． ． 18．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”；一般地，把为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1             B．对于任何大于等于2的整数， C．         D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (4)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为______． 【灵活应用】 (5)计算： 19．（24-25七年级上·广东深圳·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： (1)M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______； (2)①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______； ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______； (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值） 20．（24-25七年级上·四川雅安·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 有理数的乘方 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：有理数的乘方 1 知识点梳理02：乘方的符号法则 2 知识点梳理03：科学记数法 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：有理数幂的概念理解 3 考点2：有理数的乘方运算 6 考点3：有理数乘方逆运算 7 考点4：乘方运算的符号规律 10 考点5：乘方的应用 12 考点6：用科学记数法表示绝对值大于1的数 15 考点7：将用科学记数法表示的数变回原数 17 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 20 基础夯实 20 培优拔高 23 知识点梳理01：有理数的乘方 1.乘方的概念：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)． 即有：. 底数：在中，叫做底数， 指数：叫做指数. 典型例子：此处2叫做底数，3是指数，表示2的个数； 2.特例：当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 技巧点拨： （1） 乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 类比以前学的加减乘除法学习乘方。 运算名称 符号表示 加法 加数 加数 和 减法 被减数 减数 差 乘法 乘数 乘数 积 除法 被除数 除数 商 乘方 底数 指数 幂 幂特指乘方作为结果时的一种叫法，与和差积商相对应。 （2）当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 （3）一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 知识点梳理02：乘方的符号法则 1.正数的任何次幂都是正数； 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 3.0的任何正整数次幂都是0； 4.任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 技巧点拨： (1)有理数的乘方运算，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)计算幂时，可以转化成乘法计算。 知识点梳理03：科学记数法（这是一个很小，但非常非常重要的知识点，要牢记） 科学记数法的定义： 把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 技巧点拨： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 考点1：有理数幂的概念理解 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）如果、互为相反数，、互为倒数，，为立方等于本身的数的个数，求代数式的值是（    ） A．11 B．10 C．9 D．12 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了代数式求值，相反数，倒数的定义，有理数的乘方计算，熟练掌握相反数和倒数及绝对值的性质是解题的关键． 互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得，，，，再由立方等于本身的数有0和，得到，据此代入求值即可． 【规范解答】解：∵、互为相反数，、互为倒数，， ∴，，， ∵立方等于本身的数是0或，为立方等于本身的数的个数 ∴， ∴ ． 故选A． 【变式训练1】（24-25七年级上·河南开封·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息进行运算即可； （2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则； （3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可； （4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为，； （2）（m、n都是正整数）， 故答案为； （3），， 故答案为，； （4）∵， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且． (1)_____；_____；此时刻快车头A与慢车头之间相距______单位长度； (2)从此时刻开始算起，再行驶多少秒钟两列火车的车头相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头A、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这段时间的长度及定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)，，24 (2)再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度 (3)正确，这段时间的长度为0.5秒，定值是6单位长度 【思路引导】（1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和÷速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，且， ∴，即， ，即， ∴此时刻快车头A与慢车头之间相距； 故答案为：，，24； （2）解：由题意可分： ①当快慢车未相遇前相距8个单位长度时，则有：（秒）； ②当快慢车相遇后相距8个单位长度时，则有：（秒） 答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度； （3）解：因为，     当在之间时，是定值4， （秒） 此时（单位长度）． 故这段时间为0.5秒，定值是6单位长度． 【考点剖析】 本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想理解和解决问题． 考点2：有理数的乘方运算 【典例精讲】（2025·四川广安·模拟预测）一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数乘方，计算出，，，即可解答，数熟练计算是解题的关键． 【规范解答】解：， ，，， ， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）把下列8个数填入相应的大括号内：，2.4，0，，，，，． 正数集合：{                          } 负数集合：{                          } 负整数集合：{                        } 正分数集合：{                        } 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了有理数的分类．根据有理数的分类直接得答案．解题的关键是掌握有理数的概念． 【规范解答】解：，， 正数集合：{，，，}； 负数集合：{，，}； 负整数集合：{，}； 正分数集合：{，，}． 【变式训练2】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；； 【思路引导】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）①根据绝对值的运算性质即可判断；②根据平方运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 【规范解答】解：（1）∵，；，； ①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②互为相反数的两个数的平方相等； （2），， ∴，， ∵， ∴，． 考点3：有理数乘方逆运算 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·期中）先化简再求值：已知，，且，求的值． 【答案】， 【思路引导】本题考查了整式的加减—化简求值、绝对值性质、有理数的乘方，解决本题的关键是正确掌握相关运算法则．根据，，且，求出，，然后去括号，合并同类项，化简整式，最后将、代入求值，即可解题． 【规范解答】解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以，， ， 当，时， 原式； 当，时， 原式， 综上，原式的结果是． 【变式训练1】（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【规范解答】（1）解：，； （2）解： ． 【变式训练2】（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【答案】(1)2，4，6 (2) (3)5 【思路引导】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 考点4：乘方运算的符号规律 【典例精讲】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】， 【思路引导】此题考查了整式加减中的化简求值．先去括号并合并同类项得到化简结果，再利用非负数的性质求值字母的值，代入化简结果计算即可． 【规范解答】解： ； ∵，，， ∴，， 解得， ∴原式 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知． (1)填空：______，______； (2)先化简，在（1）的条件下再求值：． 【答案】(1)，1 (2)， 【思路引导】本题考查的是非负数的性质，整式的加减运算中的化简求值； （1）根据非负数的性质可得，，再进一步求解即可； （2）先去括号，合并同类项，再把，代入计算即可. 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解： ， 当，时， 原式 . 【变式训练2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）先化简再求值： (1) 其中． (2)，其中 ． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的化简求值，非负性，熟练掌握整式的加减运算法则，绝对值的非法性，偶次方的非负性是解题的关键； （1）根据去括号，合并同类项，先化简整式，再根据非负性求出a，b的值，再代入求值即可； （2）根据去括号，合并同类项，先化简整式，再代入求值即可． 【规范解答】（1）解：原式 ， ， ， ， 原式； （2）解：原式 ， 当时，原式 ． 考点5：乘方的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·河南安阳·期末）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么_______，______； ②已知，那么_______，_______． （2）观察上述计算结果，我们可以看出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动_______位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动______位． （3）已知，，．填空： ①________； ②_______． 【答案】（1）①121，；②，；（2）①两；②三；（3）； 【思路引导】本题考查的是有理数的乘方，根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）根据有理数的乘方运算得出结论即可； （2）通过观察底数的小数点移动的位数与结果的小数点移动的位数得出规律即可求出结果； （3）根据上面总结的规律求解即可． 【规范解答】解：（1）①已知，那么，； ②已知，那么，． （2）①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动两位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动三位． （3）①； ②． 【变式训练1】（24-25七年级上·四川泸州·期末）二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形（如图1）．某校学生利用二维码建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的身份识别图案，其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为，则为该行所表示的数．例如：图2中第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，计算，表示该生为5班学生、请判断下列选项中表示9班10号学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数的混合运算的应用，图形的规律，因为其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．所以分别算出第一、二行的数，进行验证即可． 【规范解答】解：A、第二行：，学号不符合，故该选项不符合题意； B、第一行：，第二行：，班级、学号均符合，故该选项符合题意； C、第二行：，学号不符合，故该选项不符合题意； D、第一行：，班级不符合，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）【探索发现】 如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______； ②请根据①的结论计算． 【问题解决】 如图2，第1次分割，把正方形的面积三等分；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…根据以上信息解决问题： （2）计算； 【答案】（1）①；②；（2） 【思路引导】本题考查了图形的变化规律，有理数的乘方，读懂题意，得出图形的变化规律是解本题的关键． （1）①根据题目规律进行计算即可；②根据①的结论即可求解； （2）分别计算图形中阴影部分的面积以及空白部分的面积，得出第次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是，由此可得答案； （3）根据（2）的方法进行计算即可求解． 【规范解答】解：（1）①观察图形可知：部分①的面积为：，部分②的面积为，部分③的面积为，部分④的面积为，部分⑤的面积为， 阴影部分的面积是， 故答案为：； ②观察图形可知： ； （2）根据题意：设正方形的面积为1，第1次分割， 把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为，空白部分面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为， 空白部分面积为……， 则第次分割阴影部分的面积和为， 两边同除以2，得， ． 考点6：用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏常州·期中）作为城市高质量发展“大动脉”的常州地铁，近年来为城市发展和居民生活提供了高效便捷的公共交通服务．其中1号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2019年9月21日开通运营，这条线路呈南北走向，北起新北区森林公园站，途经天宁区，南至武进区南夏墅站．如图为1号线串联的部分站点．据统计，2024年10月1日至7日，常州地铁1号线客流量达万人次． (1)若万人次用科学记数法表示为人次，则_______． (2)某天，小红同学从环球港站开始乘坐地铁1号线，在地铁各站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，约定向南夏墅站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：． ①请通过计算说明A站是哪一站？ ②若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小红志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是多少千米？ 【答案】(1)6 (2)①站是奥体中心站；②54千米 【思路引导】本题考查了科学记数法、正负数的应用、有理数加减法与乘法的应用等知识，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键． （1）本题考查了科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．由此即可得． （2）①将记录的数字相加，由此即可得； ②将记录的数字的绝对值相加，再乘以相邻两站之间的平均距离即可得． 【规范解答】（1）解：万， ∵万人次用科学记数法表示为人次， ∴， 故答案为：6． （2）解：① （站）， 所以由题意可知，站是奥体中心站． ② （千米）， 答：这次小红志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是54千米． 【变式训练1】（24-25七年级上·北京·期中）求索半世纪、奋斗十余载，中国人的“大飞机梦”在新时代终成现实——我国首次按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机完成研发、制造、取证、投运．2024年9月19日中午，印有“”字样的南航航班从广州白云机场腾空而起，飞向上海虹桥机场，（标准航程型）最大起飞质量，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．将写成其中，n为整数的形式即可． 【规范解答】解：． 故选：B． 【变式训练2】（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．近似数精确到十分位 B．将数80360保留2个有效数字是 C．用四舍五入法得到的近似数精确到 D．用科学记数法表示的近似数，其原数是60600 【答案】B 【思路引导】本题考查的知识点是近似数与有效数字，关键是要明确其近似数和有效数字的意义．根据近似数和有效数字的意义对每个选项逐一分析判断，得出正确选项． 【规范解答】解：A、近似数精确到十分位，，所以说精确到十分位不正确； B、将数80360保留2个有效数字是：，所以正确； C、用四舍五入法得到的近似数精确到，所以说精确到不正确； D、用科学记数法表示的近似数，应是约等于60600，因为是近似数，所以不正确； 故选：B． 考点7：将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（24-25七年级上·四川广元·期末）已知某数用科学记数法表示为，则这个数是（   ） A．41000 B．410000 C．4100000 D．41000000 【答案】C 【思路引导】本题考查了将科学记数法表示的数还原成原数．根据有理数乘法与乘方作答即可． 【规范解答】依题意：； 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级上·宁夏石嘴山·期中）已知：，则a表示的数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查科学记数法，利用有理数的乘方运算，把科学记数法表示的数还原即可． 【规范解答】解：； 故答案为： 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）今年第一季度我国增值税、消费税比上年同期增收元，也就是说增收了（   ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．万元 【答案】B 【思路引导】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，把写成原数，则需把小数点向右移动为即可，解题的关键是正确理解科学记数法的表示形式中，原数的整数位为，原数等于把小数点向右移动位所得的数，若向右移动，位数不够用补上． 【规范解答】解：元元 亿元， 故选：． 1．（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可． 【规范解答】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即： ． 故选：C 2．（2025·贵州·中考真题）贵州省的“花江峡谷大桥”因跨越花江大峡谷而得名，其中主桥跨径，桥面至水面高度．建成后，会成为新的世界第一高桥和世界第一的山区跨径桥梁．1420这个数用科学记数法可表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查科学记数法，科学记数法的形式为，其中，为整数，根据科学记数法的表示方法，进行表示即可． 【规范解答】解：； 故选：C． 3．（2021·河北·中考真题）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． （1）用含，的代数式表示； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值． 【答案】（1） （2） 【思路引导】（1）进本甲种书和本乙种书共付款为2种书的总价，用单价乘以数量即可； （2）将书的数量代入（1）中结论，求解，最后用科学记数法表示． 【规范解答】（1） （2） 所以． 【考点剖析】本题考查了列代数式，科学记数法，幂的计算，正确的理解题意根据实际问题列出代数式，正确的用科学记数法表示出结果是解题的关键． 4．（2025·江苏扬州·中考真题）2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【规范解答】解：， 故答案为：． 5．（2024·宁夏·中考真题）地球上水（包括大气水，地表水和地下水）的总体积约为亿．请将数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 基础夯实 1．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）2024年11月15日，天舟八号在中国文昌航天发射场成功发射，并与空间站核心舱顺利对接，此次主要任务是为神舟十九号运送约6000千克物资．6000这个数用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去 1 来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．据此求解即可． 【规范解答】解：， 故选：D． 2．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）计算（m个3，n个4）的结果是（   ） A． B． C．+4n D． 【答案】D 【思路引导】本题考查乘法的意义，乘方的意义，根据乘法的意义和乘方的意义即可作出判断． 【规范解答】解：∵m个3相加可记为，n个4相乘可记为， ∴计算， 故选：D． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）若，，，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数的乘法、乘方运算及大小比较，先根据运算法则求出、、，再结合正数大于0，0大于负数判断即可得到答案． 【规范解答】解：由题意可得： ，，， ∵， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级上·重庆秀山·期末）我县幅员面积约为2460平方千米．2460用科学记数法表示为： ． 【答案】 【思路引导】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【规范解答】解：2460用科学记数法表示为． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）据江苏网报道，2024年国庆节期间，泰州迎来旅游新高峰，全市接待游客约人次,将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【规范解答】解：， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）今年11月18日，是石柱土家族自治县成立40周年纪念日，40年来家乡的各个方面都发生了巨大变化，其中地区生产总值从1984年的0.9亿元增长到2023年的230.46亿元．把230.46亿元用科学记数表示为 元． 【答案】 【思路引导】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【规范解答】解：230.46亿， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，． 正数集合：{                …}； 分数集合：{                …}； 负有理数集合：{            …}． 【答案】，，，，；，，，；，，， 【思路引导】本题考查了化简多重符号，化简绝对值，有理数的乘方，有理数的分类，正负数的定义，根据小于0的有理数是负有理数，大于0的数为正数等相关知识内容进行逐个分析，即可作答． 【规范解答】解：，， 正数集合：{，，，，，…}； 分数集合：{，，，，…}； 负有理数集合：{，，，，…}. 8．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）补全数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”将这些数连接起来：，，． 【答案】见解析， 【思路引导】本题考查了有理数大小比较．先化简，再根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【规范解答】解：，． 在数轴上表示如下： ． 9．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）在如图所示的数轴上表示，并用“”将它们连接起来． 【答案】数轴上表示见解析， 【思路引导】本题主要考查了有理数与数轴，乘方计算，计算绝对值和化简多重符号，先计算绝对值和化简多重符号以及乘方，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【规范解答】解：， 数轴表示如下所示； ∴． 10．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知的相反数是，，求的值． 【答案】9 【思路引导】本题考查了相反数，有理数的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据相反数的定义得出的值，进而得到的值，然后代入计算即可． 【规范解答】解： 的相反数是， ， ， ， ． 培优拔高 11．（24-25七年级上·四川南充·期中）在中，负数的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了相反数、绝对值、乘方、负数的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据相反数、绝对值、乘方化简，然后再根据负数的定义判断即可解答． 【规范解答】解： 是正数，是负数，是正数，是负数，，综上共有3个负数． 故选B． 12．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了数轴、有理数的加减法与乘方、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，再根据数轴、有理数的加减法与乘方、绝对值的性质逐项判断即可得． 【规范解答】解：由数轴可知，． A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 13．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）在，，，，这五个数中，负数共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了相反数、绝对值、乘方、负数等知识点，理解乘方的运算法则成为解题的关键． 先根据相反数、绝对值、乘方化简，然后根据负数的定义即可解答． 【规范解答】解：为正数，为正数，既不是正数、也不是负数，是负数，是负数，综上负数共有2个． 故选D． 14．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查非负性，根据非负性求出的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15．（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列语句： ①相反数等于它本身的数0；②绝对值等于它本身的数是正数；③倒数等于它本身的数是；④立方等于它本身的数是0、1，其中正确的语句是 ．（填序号） 【答案】①③/③① 【思路引导】本题考查了相反数，绝对值、倒数的定义和立方的运算，解题关键是准确理解并运用这些数学概念的定义； 根据相反数的定义、绝对值的性质以及立方的运算逐一分析判断即可． 【规范解答】①根据相反数的定义，的相反数是0，所以相反数等于它本身的数是0，所以该语句正确； ②绝对值的性质是，正数和0的绝对值等于它本身，所以绝对值等于它本身的数是正数和0，不只是正数，所以该语句错误； ③根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，，，所以倒数等于它本身的数是，所以该语句正确； ④分别计算，，，，所以立方等于它本身的数是、、，不只是和，所以该语句错误． 综上所述：正确的有：①③； 故答案为：①③． 16．（24-25七年级上·山东济宁·期中）比较大小： （填或）． 【答案】< 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较， 1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 先计算各数，再利用有理数大小的比较方法比较即可． 【规范解答】解：，， ∵， ， ． 故答案为：． 17．（24-25七年级上·广东湛江·期中）将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用“”把这些数连接起来． ． 【答案】数轴见解析， 【思路引导】本题考查有理数与数轴，化简绝对值，多重符号化简，有理数的乘方运算，先化简各数，然后在数轴上表示出各数，再根据数轴上右边的数比左边的大，比较大小即可． 【规范解答】解：， 在数轴上表示各数如图： 由图可知：． 18．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”；一般地，把为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1             B．对于任何大于等于2的整数， C．         D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (4)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为______． 【灵活应用】 (5)计算： 【答案】(1)， (2)C (3)， (4) (5) 【思路引导】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用除方的定义解答即可； （2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可； （3）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可； （4）根据（3）中的计算方法求解即可； （5）利用除方的定义解答即可． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：A，，即任何非零数的圈2次方都等于1，故该选项说法正确； B，，故该选项说法正确； C，，， 可得，故该选项说法错误； D，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故该选项说法正确， 故选C． （3）解：， ， 故答案为：，； （4）解：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为： ， 故答案为：； （5）解： ． 19．（24-25七年级上·广东深圳·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： (1)M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______； (2)①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______； ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______； (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值） 【答案】(1)；2；9 (2)G； 或11 (3)秒或秒或秒． 【思路引导】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据非负数的性质求得和的值，再利用两点之间的距离求解即可； （2）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化； （3）根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况，分情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴M在数轴上所表示的数为，N在数轴上所表示的数为，M、N两点间的距离为， 故答案为：；2；9； （2）解：①根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． ②根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点M的左侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件． 点的右侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 综上，【M，N】美好点H所表示的数是或11； 故答案为：或11； （3）解：根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况， 第一种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第二种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，M为【N，P】的美好点，点在，之间，如图， 当时，， 因此秒； 综上所述，秒或秒或秒． 20．（24-25七年级上·四川雅安·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 【答案】(1) (2)，， (3) 【思路引导】（）根据题意和图形解答即可； （）由图形可求出第二行、第三行的数字之和，进而求出第四行、第五行的数字之和，从而找到规律，即可得到第行的数字之和； （）设前行所有的数字之和为，可得，，用即可求解； 本题考查了数字类变化规律，有理数的加法和乘方运算，整式的加减，解题的关键是观察图形的变化，找到数字的变化规律． 【规范解答】（1）解：由题意得，图中第行第个数是， 故答案为：； （2）解：由图可得，第二行的数字之和是，第三行的数字之和， ∵第二行的数字之和是， 第三行的数字之和是， 第四行的数字之和是， 第五行的数字之和是， ， ∴第行的数字之和， 故答案为：，，； （3）解：设前行所有的数字之和为， 则， ∴ 得， ， 即， ∴图中前行所有的数字之和为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$