专题12.4 分组分解法（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题12.4 分组分解法 教学目标 1. 会用分组分解法进行因式分解； 2. 尝试不同的分组方式进行因式分解 3. 掌握分组分解法的应用。 教学重难点 1.重点 （1）通过适当分组，将某些整式因式分解； （2）分组分解法与其他方法综合因式分解； （3）分组分解法的应用。 2.难点 （1）适当巧妙分组因式分解，正确化简、变形求值等； （2）阅读材料题。 知识点1 分组分解法 1.例题分析 因式分解： (1)x²-4xy+4y²-4;(2)9a²-3a+b-b². 分析：x²-4xy+4y²-4的前面三项符合完全平方公式的特征，分组后可以用公式法因式分解；将9a²-3a+b-b²的第一项与第四项分为一组，第二项与第三项分为一组，第一组用公式法因式分解后与第二组有公因式3a-b,可以用提取公因式法因式分解. 解：(1)x²-4xy+4y²-4=(x²-4xy+4y²)-4=(x-2y)²-4=(x-2y+2)(x-2y-2). (2)9a²-3a+b-b²=(9a²-b²)-(3a-b)=(3a+b)(3a-b)-(3a-b)=(3a-b)(3a+b-1). 观察整式的特征，通过适当分组，我们可以将某些整式因式分解. 2.分组分解法 对于一个整式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个整式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 要点：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把整式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原整式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【即学即练】 1．因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 首先将原式变形为，然后利用分组分解法分别提公因式得到，进一步提公因式分解即可． 【详解】 ． 2．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．利用分组分解法因式分解即可． 【详解】解：原式 3．分解因式：． 【答案】． 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据分组分解法和提取公因式法进行分解即可，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ． 4．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法成为解题的关键． 先将分组成，然后再运用提取公因式、公式法求解即可． 【详解】解： ． 5．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据提公因式法以及平方差公式可得，从而得到，再根据十字相乘法进行因式分解，即可求解； （2）先分组，再利用完全平方公式以及平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题主要考查了整式的因式分解，熟练掌握整式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合整式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 6．先分解因式，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】先利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，再将a、b的值代入求值即可得． 【详解】原式， ， ， 当，时，原式， ， ． 【点睛】本题考查了利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键． 题型01 分组分解法因式分解 【典例1】． 【答案】． 【分析】综合利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解即可得． 【详解】原式， ， ． 【点睛】本题考查了综合利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键． 【变式1】．分解因式： 【答案】 【分析】利用分组分解法进行因式分解即可 【详解】解： 【点睛】本题考查了分组分解法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键 【变式2】． 【答案】 【分析】根据分组分解法先分组，再连续运用公式，可分解因式． 【详解】x2﹣4y2+4x+4 =(x+2)2﹣4y2 =(x+2+2y)(x+2﹣2y)． 【点睛】本题考查了因式分解，综合利用了分组分解法，公式法分解因式． 【变式3】．因式分解： 【答案】 【分析】利用分组因式分解方法，先对后三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式继续分解因式 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查分组因式分解方法，用公式法进行因式分解，掌握分组分解法进行因式分解的一般步骤是解题的关键． 【变式4】．因式分解：2x3﹣3x2+3y2﹣2xy2． 【答案】（2x﹣3）（x+y）（x﹣y） 【详解】试题分析：将前两项与后两项分别组合，再提取公因式，进一步运用平方差公式分解即可． 解：原式=x2（2x﹣3）+y2（3﹣2x） =（2x﹣3）（x2﹣y2） =（2x﹣3）（x+y）（x﹣y）． 考点：因式分解-分组分解法． 点评：此题主要考查了分组分解法因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题没有完全平方公式，需两两组合，提取公因式后才能进一步分解因式，综合性较强． 【变式5】．分解因式：． 【答案】（2x+y+1）（2x+y﹣3） 【详解】解：原式=（4x2+4xy+y2）﹣（4x+2y）﹣3 =（2x+y）2﹣2（2x+y）﹣3 =（2x+y+1）（2x+y﹣3）． 【变式6】．因式分解： 【答案】 【分析】分组后利用立方差公式分解，再提取公因式即可. 【详解】 【点睛】本题考查是因式分解，掌握立方差公式及会分组是关键. 【变式7】．因式分解： 【答案】 【分析】先分组分解后提取公因式即可. 【详解】 【点睛】本题考查的是分解因式，能正确的进行分组是关键. 题型02 辨析分组分解法因式分解 【典例1】．用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A． ，故选项A分组正确，不符合题意； B． ，故选项B分组正确，不符合题意； C．无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意； D． ，故选项D分组正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法． 【变式1】．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 【变式2】．把整式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键． 题型03 用适当的方法因式分解 【典例1】．因式分解： (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式； （2）先用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式； （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式； （4）先将原式分组，再利用平方差公式分解因式． 本题主要考查了分解因式．分解因式时，首先观察是否有公因式，如果有公因式，则先提公因式，然后再利用公式法分解因式．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对整式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）此整式有公因式，应先提取公因式，再对余下的整式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解； （2）根据平方差公式计算即可求解； （3）根据十字相乘法分解因式即可求解； （4）分组法和提取公因式法分解因式即可求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式2】．分解因式： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （4）先分组，进而得到，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式3】．分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）根据十字相乘法因式分解即可； （3）将作为一组，作为一组，利用分组分解法因式分解即可； （4）将作为一个整体先因式分解，再将所得结果因式分解即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查的是因式分解的提公因式法、十字相乘法以及分组分解法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律． 题型04 根据分组分解法求代数式的值 【典例1】．已知a+b＝3，ab＝1，则3a+ab+3b＝ ，a2+b2= 【答案】 8 11 【分析】直接利用分组分解法将原式变形，再结合完全平方公式将原式变形，进而将已知代入求出答案． 【详解】解：∵a+b=3，ab=-1， ∴3a+ab+3b=3（a+b）+ab =3×3-1 =8； a2+b2=（a+b）2-2ab=9+2=11． 故答案为：8；11． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式以及分组分解法分解因式，正确将原式变形是解题关键． 【变式1】．若x2+4x+8y+y2+20＝0，则x﹣y＝ ． 【答案】2． 【分析】把原式配方，然后，根据完全平方公式和非负数的性质，解答出即可． 【详解】由x2+4x+8y+y2+20＝0得（x+2）2+（y+4）2＝0， ∴x+2＝0，y+4＝0， 解得x＝﹣2，y＝﹣4， ∴x﹣y＝2. 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分解因式和非负数的性质，正确分组是解答的关键． 【变式2】．已知，，则代数式的值是 ． 【答案】-3 【分析】先根据，，求出a-c=-1，再将整式分解因式代入求值即可. 【详解】∵，， ∴a-c=-1， ∴ = = = =-3， 故答案为：-3. 【点睛】此题考查整式的化简求值，掌握整式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键. 【变式3】．已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先利用分组分解法对整式进行因式分解，再把已知条件代入计算即可求值，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：． 【变式4】．已知，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式将原式进行因式分解，然后再将，，，代入计算即可. 【详解】由题意得：， ∵，，， ∴原式． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 题型05 分组分解法的综合应用 【典例1】．的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用添项和分组分配法分解因式即可得解，掌握分组分配法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴的分解因式结果中，含有因式， 故选：C． 【变式1】．整式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（　　） A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1 【答案】C 【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案． 【详解】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2 ＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y） ＝（x﹣2y）2+（x﹣2y） ＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）． 故选：C． 【点睛】此题考查整式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案. 【变式2】．长方形的周长为，它的两边，是整数，且满足，求它的面积． 【答案】 【分析】利用因式分解得出．然后根据周长求出边长再求面积即可求解． 【详解】∵长方形周长为16cm， ∴． ∵，     ∴． 因式分解，得：， 即． ∴或者， 解得：或． ∵，是整数，     ∴． ∴该矩形的面积为． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握因式分解方法是解题的关键． 题型06 材料题 【典例1】．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【变式1】．阅读以下材料，并解决问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的整式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如整式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下： 例1： ……………………分成两组 ………………分别分解 ………………………提取公因式完成分解 像这种将一个整式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的整式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． (1)材料例1中，分组的目的是_________． (2)若要将以下整式进行因式分解，怎样分组比较合适？ _____________； _____________． (3)利用分组分解法进行因式分解：． 【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式 (2)， (3) 【分析】本题主要考查的因式分解的方法，掌握提取公因式法公式法分解因式，理解分组分解的方法是解题的关键． （1）根据因式分解的方法“提取公因式，公式法”即可求解； （2）根据材料提示的“分组分解法”进行分解因式即可求解； （3）运用分组分解法进行分解因式，先把前三项看做一个整体，是完全平方公式，再与后一项结合，运用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解：分组后能出现公因式，分组后能应用公式； （2）解：，前两项为一组，后一项为一组， ∴原式， ，第一项和第三项作为一组，第二、四、五项作为一组， ∴原式， 故答案为：，． （3）解： ． 【变式2】．阅读下列文字与例题，并解答： 将一个整式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法． 例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 (1)试用“分组分解法”因式分解： (2)已知四个实数，，，，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示、、（直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键． （1）根据因式分解分组分解法分解即可； （2）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①当时，得，， ， ； ②当时， ，，，， ， 即， ， ， ， ， 由得，得，， ，即， ， ， ， ， 又由，，得，即， ，即， 或， ，或， 又，则， ，． 题型07 因式分解的应用 【典例1】．用平方差公式进行因式分解在数的运算中有着广泛的应用，比如，数的整除性探究中的应用． 例：能被2009整除吗？ 解: ∵ 中有因数2009， ∴ 一定能被2009整除． 请你试一试：已知数字恰能被两个在60和70之间的整数整除，求出这两个数． 【答案】63和65． 【分析】根据题目中的运算规律进行因式分解，即可求出答案． 【详解】解： = =； =； ∴可被63与65整除， 即所求在60和70之间的两个整数是63和65． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法进行解题． 【变式1】．因为，这说明整式有一个因式为，我们把代入此整式发现能使整式的值为0，利用上述阅读材料求解： （1）若是整式的一个因式，求k的值； （2）若和是整式的两个因式，试求m，n的值； （3）在（2）的条件下，把整式因式分解． 【答案】（1）；（2）m，n的值分别为和0；（3）． 【分析】（1）由已知条件可知，当时，，将的值代入即可求得 （2）由题意可知，和时，，由此得二元一次方程组，从而可求得m和n的值； （3）将（2）中m和n的值代入，提取公因式，则由题意知和也是所给整式的因式，从而问题得解． 【详解】解：（1）∵是整式的一个因式 ∴时， ∴ ∴ ∴ ∴的值为； （2）和是整式的两个因式， ∴当和时，， ∴， 解得： ∴m，n的值分别为和0； （3）∵，， ∴可化为： ∴ ． 【点睛】本题考查了利用因式定理分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键． 【变式2】．材料1：由整式乘法，，将该式子从右到左地使用，即可对形如的整式进行因式分解：．整式的特征是二次项系数为1，常数项为某两数之积，一次项系数为这两数之和． 材料2：因式分解：，将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原得：原式． 上述用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)根据材料2将因式分解； (3)结合材料1和材料2，将因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将写成即可根据材料一的方法因式分解； （2）令（x-y）=A，将（x-y）=A代入原式再用完全平方公式进行因式分解即可； （3）令，将，代入原式后化简，再用材料一的方法因式分解即可． 【详解】（1） 原式= = （2） 令（x-y）=A 原式= = 还原A得：原式=； （3） 令， 原式 = =（A-4）（A+1） 还原A得：原式==． 【点睛】此题主要以阅读理解的形式考查了因式分解得“十字相乘”和“换元法”，正确地运用十字相乘法和换元法以及仔细理解题意是解题的关键． 【变式3】．数学业余小组在活动中发现： …… （1）请你在答题卡中写出（补上）上述公式中积为的一行； （2）请仔细领悟上述公式，并将分解因式： （3）请将分解因式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将n=5代入公式中即可求出结论； （2）根据=，然后利用条件中公式因式分解即可； （3）将整式乘再除以，然后根据条件中公式将分子变形，再利用平方差公式和条件公式将分子因式分解，最后约分即可． 【详解】解：（1）将n=5代入中，得 ； （2） = = =； （3） = = = = =． 【点睛】此题考查的是因式分解，根据已知条件中公式因式分解是解题关键． 一、单选题 1．下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解的方法判断即可． 【详解】解：A. ，正确；     B. ，错误，所以此选项符合题意； C. ，正确； D. ，正确 故选B. 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 2．把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是先分组，再利用提公因式与平方差公式分解因式，把原式分为两组，再提取公因式，结合平方差公式分解因式即可. 【详解】解： ； 故选D 3．把整式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将归结为一组，将1归结为一组．变形为，然后再使用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解中的分组分解法及公式法，属于基础题，熟练掌握平方差公式及完全平方式是解题的关键． 4．若m＞﹣1，则整式m3﹣m2﹣m+1的值为（　　） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】把整式m3﹣m2﹣m+1分解因式，根据分解的结果即可判断． 【详解】解：整式m3﹣m2﹣m+1=（m3﹣m2）﹣（m﹣1）=m2（m﹣1）﹣（m﹣1）=（m﹣1）（m2﹣1）=（m﹣1）2（m+1）， ∵m＞﹣1， ∴（m﹣1）2≥0，m+1＞0， ∴m3﹣m2﹣m+1=（m﹣1）2（m+1）≥0， 故选：C． 5．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　） A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11 【答案】B 【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解． 【详解】解：a2-ab-ac+bc=11， （a2-ab）-（ac-bc）=11， a（a-b）-c（a-b）=11， （a-b）（a-c）=11， ∵a＞b， ∴a-b＞0，a，b，c是正整数， ∴a-b=1或11，a-c=11或1． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式． 6．已知实数m，n，p，q满足，，则（    ） A．48 B．36 C．96 D．无法计算 【答案】A 【分析】先利用单项式乘以整式法则将要求值的整式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查单项式乘以整式、整式乘以整式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解． 二、填空题 7．分解因式： ． 【答案】 【分析】前两项一组，提取公因式x，后两项一组，提取公因式a，然后两组之间再提取公因式整理即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了整式的因式分解，熟练掌握整式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合整式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 8．分解因式： ． 【答案】 【分析】先根据平方差公式，然后再提公因式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式，． 9．分解因式：＝ ． 【答案】 【分析】按照分组分解法进行分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，分组分解法是把各项适当分组，先根据各式的特点进行分组，再使分解因式在各组之间进行．；分组时用到添括号，添括号时要注意各项符号的变化；熟练掌握分解因式的方法是关键． 10．因式分解：m2-n2-2m+1= ． 【答案】（m-1+n）（m-1-n） 【分析】先分组，得到m2-2m+1-n2，后进行完全平方公式分解与平方差公式分解即可． 【详解】原式=m2-2m+1-n2 =（m-1）2-n2 =（m-1+n）（m-1-n）． 故答案为（m-1+n）（m-1-n）． 【点睛】本题考查了分组分解法、完全平方公式、平方差公式，将原式分组得到可以运用公式解决是关键． 11．因式分解= 【答案】（x+3y-2）（x-2y+3） 【分析】先将第三、第五、第六项结合，用十字相乘法对6y2-13y+6进行分解，把二、四项结合用提公因式法分解，再将 x2+（y+1）x-（3y-2）（2y-3），整体用十字相乘进行分解，得出即可． 【详解】解：x2+xy-6y2+x+13y-6 =x2+（y+1）x-（6y2-13y+6） =x2+（y+1）x-（3y-2）（2y-3） =（x-2y+3）（x+3y-2）． 故答案为（x+3y-2）（x-2y+3）． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，以及提公因式法和十字相乘法，正确分组以及熟练利用十字相乘法分解因式是解题关键． 12．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8= ． 【答案】（x﹣4）（x﹣1）（x+2） 【分析】式子中加上2x减去2x，利用分组分解法及十字相乘法分解因式． 【详解】解：x3﹣3x2﹣6x+8 = = = = = =（x﹣4）（x﹣1）（x+2）， 故答案为：（x﹣4）（x﹣1）（x+2）． 【点睛】此题考查了十字相乘法及分组分解法分解因式，正确添加项及因式分解的方法是解题的关键． 13．已知，，则代数式的值是 ． 【答案】-3 【分析】先根据，，求出a-c=-1，再将整式分解因式代入求值即可. 【详解】∵，， ∴a-c=-1， ∴ = = = =-3， 故答案为：-3. 【点睛】此题考查整式的化简求值，掌握整式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键. 14．若，则 ． 【答案】2022 【分析】根据，得，然后局部运用因式分解的方法达到降次的目的，整体代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ 故填“2022”． 【点睛】本题主要考查了因式分解，善于运用因式分解的方法达到降次的目的，渗透整体代入的思想是解决本题的关键． 15．整式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键，先分解得到分组后的公因式是，由此可得和此单项式分成一组后应得到公因式，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴第一种情况，与一组， ∴ ； 第二种情况，与一组， ∴ ； 故答案为：或． 16．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是 ． 【答案】3 【分析】根据a=-226x+2017，b=-226x+2018，c=-226x+2019，可以求得a-b、b-c、a-c的值，然后将所求式子变形再因式分解即可解答本题． 【详解】解：，，， ，，， 故答案为：3． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，巧妙变形，利用完全平方公式因式分解，求出所求式子的值． 三、解答题 17．分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分组分解法，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 先对原式使用分组分解法分解因式，得到，然后提取公因式，再对剩余部分使用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 18．分解因式： 【答案】 【分析】先把二次三项式利用十字相乘法进行因式分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 本题考查的是利用分组分解法进行因式分解，把整式进行正确的分组、灵活运用十字相乘法是解题的关键． 【详解】解： ． 19．因式分解：． 【答案】 【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式= = = =． 【点睛】本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的整式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解． 20． 【答案】 【分析】用分组分解法分解，一、四项一组，提取公因式3a；二、三项一组，提取公因式6b；然后再提取公因式x-3y即可. 【详解】原式= = =. 【点睛】本题考查了因式分解，把一个整式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.正确分组是解答本题的关键，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止. 21．3x-4y-3x+4 【答案】 【分析】移项得，两两分开提公因式得，再提公因式后再利用平方差公式进行因式分解即可 【详解】原式=             =             =             = 【点睛】本题主要考查了提公因式与平方差公式进行因式分解，掌握相关概念是解题关键 22．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解； （2）先进行公式变形为，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可； （3）先将原式分组为再分别利用平方差公式和提公因式法分解，最后提公因式即可； （4）先利用十字相乘法进行分解，再次利用十字相乘法进行分解即可求解． 【详解】（1）解： = ； （2）解： ； （3）解： （4） ． 【点睛】本题考查了将整式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此方法无法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分组分解法进行因式分解，注意因式分解一定要彻底。 23．当时，整式的值为0，求的值，并将该整式进行因式分解． 【答案】，． 【分析】先将x的值代入，解关于k的一元一次方程求出k的值，再综合利用分组分解法、提公因式法、公式法进行因式分解即可得． 【详解】当时，整式的值为0， 即， 解得； 则原整式为， 因式分解得：原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了综合利用分组分解法、提公因式法、公式法进行因式分解，解一元一次方程，熟练掌握因式分解的各方法是解题关键． 24．已知a=k+3,b=2k＋2,c=3k-1求的值 【答案】36 【分析】先将原式移项得到：，然后对于前三项利用完全平方式进行因式分解，中间两项提取公因式得到：，然后将看成一个整体利用完全平方式因式分解，再将已知的、的值代入计算即可 【详解】原式=             =             = 又∵a=k+3,b=2k＋2,c=3k-1 ∴原式= =36 【点睛】本题考查了因式分解的实际运用，熟练掌握相关概念公式是解题关键 25．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么. 例：把整式am＋an＋bm＋bn分解因式. 解法1：am＋an＋bm＋bn ＝（am＋an）＋（bm＋bn） ＝  a（m＋n）＋b（m＋n） ＝（m＋n）（a＋b）. 解法2：am＋an＋bm＋bn ＝（am＋bm）＋（an＋bn） ＝ m（a＋b）＋n（a＋b） ＝（a＋b）（m＋n）. 根据你的发现，把下面的整式分解因式: (1)mx－my＋nx－ny； (2)2a＋4b－3ma－6mb. 【答案】（1）（x－y）（m＋n）；（2）（a＋2b）（2-3m） 【分析】(1)分组后提取公因式即可得到结果； (2)分组后提取公因式即可得到结果． 【详解】解：(1)解法一： 原式=m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n) 解法二： 原式=(mx+nx)-(my+ny)=x(m+n)-y(m+n)=(m+n)(x-y) (2)解法一： 原式=2(a+2b)-3m(a+2b)=(a+2b)(2-3m) 解法二： 原式=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b) 【点睛】此题考查了因式分解-分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组． 26．通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些整式只用上述一种方法无法因式分解，下面是甲、乙两位同学对整式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下整式进行因式分解， (1)试用上述方法分解因式：． (2)已知，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解．掌握分组分解法，是解题的关键． （1）利用分组分解法进行求解即可； （2）先分组提取公因式，再利用平方差公式法进行因式分解，将代入，即可求解． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， ∵，且， ∴，， ∴． 27．如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行整式的因式分解． 尝试运用：例题：把整式因式分解． 请利用上述方法将下列整式因式分解： （1）； （2）． 【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用，十字相乘法分解因式： 观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此求解即可； 说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可； （1）仿照题意分解因式即可； （2）把看作一个整体仿照题意分解因式即可． 【详解】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即， 故答案诶：； 说理验证：由题意得， 故答案为：，，，； （1） ； （2） ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.4 分组分解法 教学目标 1. 会用分组分解法进行因式分解； 2. 尝试不同的分组方式进行因式分解 3. 掌握分组分解法的应用。 教学重难点 1.重点 （1）通过适当分组，将某些整式因式分解； （2）分组分解法与其他方法综合因式分解； （3）分组分解法的应用。 2.难点 （1）适当巧妙分组因式分解，正确化简、变形求值等； （2）阅读材料题。 知识点1 分组分解法 1.例题分析 因式分解： (1)x²-4xy+4y²-4;(2)9a²-3a+b-b². 分析：x²-4xy+4y²-4的前面三项符合完全平方公式的特征，分组后可以用公式法因式分解；将9a²-3a+b-b²的第一项与第四项分为一组，第二项与第三项分为一组，第一组用公式法因式分解后与第二组有公因式3a-b,可以用提取公因式法因式分解. 解：(1)x²-4xy+4y²-4=(x²-4xy+4y²)-4=(x-2y)²-4=(x-2y+2)(x-2y-2). (2)9a²-3a+b-b²=(9a²-b²)-(3a-b)=(3a+b)(3a-b)-(3a-b)=(3a-b)(3a+b-1). 观察整式的特征，通过适当分组，我们可以将某些整式因式分解. 2.分组分解法 对于一个整式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个整式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 要点：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把整式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原整式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【即学即练】 1．因式分解： 2．因式分解：． 3．分解因式：． 4．分解因式： ． 5．因式分解： (1)； (2)． 6．先分解因式，再求值：，其中，． 题型01 分组分解法因式分解 【典例1】． 【变式1】．分解因式： 【变式2】． 【变式3】．因式分解： 【变式4】．因式分解：2x3﹣3x2+3y2﹣2xy2． 【变式5】．分解因式：． 【变式6】．因式分解： 【变式7】．因式分解： 题型02 辨析分组分解法因式分解 【典例1】．用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．把整式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03 用适当的方法因式分解 【典例1】．因式分解： (1) (2) (3) (4)； 【变式1】．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．分解因式： (1) (2) (3) (4)． 【变式3】．分解因式： (1) (2) (3) (4) 题型04 根据分组分解法求代数式的值 【典例1】．已知a+b＝3，ab＝1，则3a+ab+3b＝ ，a2+b2= 【变式1】．若x2+4x+8y+y2+20＝0，则x﹣y＝ ． 【变式2】．已知，，则代数式的值是 ． 【变式3】．已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】．已知，，，则的值为 ． 题型05 分组分解法的综合应用 【典例1】．的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 【变式1】．整式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（　　） A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1 【变式2】．长方形的周长为，它的两边，是整数，且满足，求它的面积． 题型06 材料题 【典例1】．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【变式1】．阅读以下材料，并解决问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的整式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如整式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下： 例1： ……………………分成两组 ………………分别分解 ………………………提取公因式完成分解 像这种将一个整式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的整式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． (1)材料例1中，分组的目的是_________． (2)若要将以下整式进行因式分解，怎样分组比较合适？ _____________； _____________． (3)利用分组分解法进行因式分解：． 【变式2】．阅读下列文字与例题，并解答： 将一个整式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法． 例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 (1)试用“分组分解法”因式分解： (2)已知四个实数，，，，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示、、（直接写出答案即可）． 题型07 因式分解的应用 【典例1】．用平方差公式进行因式分解在数的运算中有着广泛的应用，比如，数的整除性探究中的应用． 例：能被2009整除吗？ 解: ∵ 中有因数2009， ∴ 一定能被2009整除． 请你试一试：已知数字恰能被两个在60和70之间的整数整除，求出这两个数． 【变式1】．因为，这说明整式有一个因式为，我们把代入此整式发现能使整式的值为0，利用上述阅读材料求解： （1）若是整式的一个因式，求k的值； （2）若和是整式的两个因式，试求m，n的值； （3）在（2）的条件下，把整式因式分解． 【变式2】．材料1：由整式乘法，，将该式子从右到左地使用，即可对形如的整式进行因式分解：．整式的特征是二次项系数为1，常数项为某两数之积，一次项系数为这两数之和． 材料2：因式分解：，将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原得：原式． 上述用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)根据材料2将因式分解； (3)结合材料1和材料2，将因式分解． 【变式3】．数学业余小组在活动中发现： …… （1）请你在答题卡中写出（补上）上述公式中积为的一行； （2）请仔细领悟上述公式，并将分解因式： （3）请将分解因式． 一、单选题 1．下列分解因式错误的是（     ） A． B． C． D． 2．把分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 3．把整式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是（　　 ） A． B． C． D． 4．若m＞﹣1，则整式m3﹣m2﹣m+1的值为（　　 ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 5．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　 　） A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11 6．已知实数m，n，p，q满足，，则（     ） A．48 B．36 C．96 D．无法计算 二、填空题 7．分解因式： ． 8．分解因式： ． 9．分解因式：＝ ． 10．因式分解：m2-n2-2m+1= ． 11．因式分解= 12．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8= ． 13．已知，，则代数式的值是 ． 14．若，则 ． 15．整式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 16．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是 ． 三、解答题 17．分解因式：． 18．分解因式： 19．因式分解：． 20． 21．3x-4y-3x+4 22．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．当时，整式的值为0，求的值，并将该整式进行因式分解． 24．已知a=k+3,b=2k＋2,c=3k-1求的值 25．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么. 例：把整式am＋an＋bm＋bn分解因式. 解法1：am＋an＋bm＋bn ＝（am＋an）＋（bm＋bn） ＝  a（m＋n）＋b（m＋n） ＝（m＋n）（a＋b）. 解法2：am＋an＋bm＋bn ＝（am＋bm）＋（an＋bn） ＝ m（a＋b）＋n（a＋b） ＝（a＋b）（m＋n）. 根据你的发现，把下面的整式分解因式: (1)mx－my＋nx－ny； (2)2a＋4b－3ma－6mb. 26．通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些整式只用上述一种方法无法因式分解，下面是甲、乙两位同学对整式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下整式进行因式分解， (1)试用上述方法分解因式：． (2)已知，且，求． 27．如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行整式的因式分解． 尝试运用：例题：把整式因式分解． 请利用上述方法将下列整式因式分解： （1）； （2）． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$