2.4圆周角（第2课时圆内接四边形）（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 2.4.2 圆周角 ——圆内接四边形 第二章 对称图形——圆 章节导读 学 习 目 标 1 2 理解圆的内接四边形、四边形的外接圆的概念 掌握圆内接四边形的性质 3 掌握圆内接四边形的判定，能构造辅助圆 知识回顾 1. 确定圆的条件？ C A B O 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 知识回顾 2. 三角形的外接圆？圆的内接三角形？ 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆， 这个三角形叫做圆的内接三角形。 C A B O 新知探究 思 考 1. 过四边形的4个顶点能画一个圆吗？ D3 D2 C A B O D1 如图，过四边形ABCD1的4个顶点能画一个圆； 但是，过四边形ABCD2、四边形ABCD3的4个顶点不能画一个圆； ∴过四边形的4个顶点不一定能画一个圆。 新知探究 思 考 2. 如图，四边形的ABCD的四个顶点都在O上，请类比三角形， 描述四边形ABCD与O的关系？ 三角形的3个顶点确定一个圆 四边形的4个顶点都在同一个圆上 这个圆叫做三角形的外接圆 这个三角形叫做圆的内接三角形 C A B O D 这个圆叫做四边形的外接圆 这个四边形叫做圆的内接四边形 新知探究 圆内接四边形： 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上， 这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 eg：如图，四边形ABCD是O的内接四边形， O是四边形ABCD的外接圆。 知识要点 C D A B O 新知探究 思 考 1. 如图，在⨀O的内接四边形ABCD中，BD是⨀O的直径， 问：∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？ 解：∵BD是⨀O的直径， ∴∠A = 90°，∠C = 90°， ∴∠A + ∠C = 180°， 又∵四边形内角和是360°， ∴∠ABC + ∠ADC = 180°。 【总结】在此情况下，圆内接四边形的对角互补。 C A D B O 新知探究 思 考 2. 如图，圆心O不在⨀O的内接四边形ABCD的对角线上， 问：上述结论是否仍然成立? 解：作直径DE，连接AE、CE， ∵BD是⨀O的直径， ∴∠DAE + DCE = 90° + 90° = 180°， 又∵ = ，∴∠BCE = ∠BAE， ∴∠DAB + ∠DCB = ∠DAB + ∠BCE + ∠DCE = ∠DAB + ∠BAE + ∠DCE = ∠DAE + DCE = 180°， 又∵四边形内角和是360°， ∴∠ABC + ∠ADC = 180°。 C A D B O E 【总结】圆内接四边形的对角互补。 新知探究 思 考 解：∵∠A的度数是的度数的一半， ∠C的度数是的度数的一半， 和的度数的和是360°， ∴∠A + ∠C = × 360° = 180°， 同理：∠B + ∠D=180°。 C A D B O 3. 还有其他证明“圆内接四边形的对角互补”的方法吗？ 【提示：从圆周角的知识入手】 新知探究 圆内接四边形的性质： 圆内接四边形的对角互补。 eg：如图，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。 知识要点 C D A B O 典例分析 典例1 如图，B、C、D是⨀O上的三个点， 已知∠C = 105°，求∠BOD的度数？ C D B O 解：设点A是优弧BD上一点 ( 不与B、D重合 )， 连接AB、AD， 由题意可得：四边形ABCD是⨀O的内接四边形， ∴∠A + ∠C = 180°， ∵∠C = 105°，∴∠A = 75°， ∴∠BOD = 2∠A = 150°。 A 方法技巧 解题关键： 构造圆内接四边形，利用圆内接四边形的性质求圆心角所对的圆周角的度数。 ∠BOD + ∠C = 180° 新知探究 探 究 如图，四边形ABCD是⨀O的内接四边形，∠BAE是∠BAD的外角，问 ：∠C与∠BAE有怎样的数量关系？ 解：∵四边形ABCD是⨀O的内接四边形， ∴∠BAD + ∠C = 180°， 又∵∠BAD + ∠BAE = 180°， ∴∠C = ∠BAE。 【总结】圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 C D A B O E 新知探究 圆内接四边形的性质的推论： 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 eg：如图，∠C = ∠BAE。 知识要点 C D A B O E 典例分析 典例2 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M为边CB延长线上一点。若∠AOC = 110°，则∠ABM的度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．70° 解：∵∠AOC = 110°， ∴∠D = ∠AOC = 55°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABM = ∠D = 55°。 C A B O D M C 方法技巧 解题关键： 套用圆内接四边形的性质的推论。 注意：选填小题可直接使用该推论，但解答题需证明。 新知探究 思 考 在四边形ABCD中，∠B + ∠D = 180°，问：A、B、C、D四点共圆吗？ 用假设法： 已知不共线的三点确定一个圆， 则可假设第四个点不在圆上 第四个点不在圆上， 即第四个点在圆外或圆内 新知探究 思 考 在四边形ABCD中，∠B + ∠D = 180°，问：A、B、C、D四点共圆吗？ 解：A、B、C三点可确定⨀O， ① 假设点D在圆外， 延长AD交⨀O于点E，连接CE， 由题意可得：四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠B + ∠AEC = 180°， ∵∠B + ∠D = 180°， ∴∠AEC = ∠D， 与三角形的外角定理矛盾，故假设不成立。 C A B O D E 新知探究 思 考 在四边形ABCD中，∠B + ∠D = 180°，问：A、B、C、D四点共圆吗？ 解：A、B、C三点可确定⨀O， ② 假设点D在圆内， 延长AD交⨀O于点E，连接CE， 由题意可得：四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠B + ∠E = 180°， ∵∠B + ∠ADC = 180°， ∴∠E = ∠ADC， 与三角形的外角定理矛盾，故假设不成立。 C A B O D E 新知探究 思 考 在四边形ABCD中，∠B + ∠D = 180°，问：A、B、C、D四点共圆吗？ 综上，点D在圆上， ∴A、B、C、D四点共圆。 C A B O D E C A B O D E 【总结】如果四边形ABCD的一组对角互补，那么A、B、C、D四点共圆。 新知探究 知识要点 圆内接四边形的判定： 如果四边形ABCD的一组对角互补，那么A、B、C、D四点共圆。 eg：∵∠A + ∠C = 180°或∠B + ∠D = 180°， ∴A、B、C、D四点共圆。 C A D B O 典例分析 典例3 如图，在▱ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD。 求证：A、E、C、F四点共圆。 证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEC = ∠AFC = 90°， ∴∠AEC + ∠AFC = 180°， ∴A、E、C、F四点共圆。 C A B D E F 新知探究 探 究 在四边形ABCD中，∠ADB = ∠ACB，问：A、B、C、D四点共圆吗？ 解：A、B、C三点可确定⨀O， ① 假设点D在圆外， 设AD与⨀O交于点E，连接BE， ∵ = ， ∴∠AEB = ∠ACB， ∵∠ADB = ∠ACB， ∴∠AEB = ∠ADB， 与三角形的外角定理矛盾，故假设不成立。 C A B O D E 新知探究 在四边形ABCD中，∠ADB = ∠ACB，问：A、B、C、D四点共圆吗？ 解：A、B、C三点可确定⨀O， ② 假设点D在圆内， 延长AD交⨀O于点E，连接BE， ∵ = ， ∴∠E = ∠ACB， ∵∠ADB = ∠ACB， ∴∠E = ∠ADB， 与三角形的外角定理矛盾，故假设不成立。 C A B O D E 探 究 新知探究 在四边形ABCD中，∠ADB = ∠ACB，问：A、B、C、D四点共圆吗？ 综上，点D在圆上， ∴A、B、C、D四点共圆。 【总结】如果四边形ABCD中，∠ADB = ∠ACB，那么A、B、C、D四点共圆。 C A B O D E C A B O D E 探 究 新知探究 知识要点 圆内接四边形的判定的其他结论： 如果四边形ABCD中， ∠ADB = ∠ACB或∠BAC = ∠BDC或∠CBD = ∠CAD或∠DCA = ∠DBA， 那么A、B、C、D四点共圆。 eg：∵∠ADB = ∠ACB， ∴A、B、C、D四点共圆。 C A D B O 典例分析 典例4 若在四边形ABCD中，∠BAC = ∠BDC = 30°，∠ACB = 75°，则∠ADB = ________。 解：∵∠BAC = ∠BDC， ∴A、B、C、D四点共圆， ∵ = ， ∴∠ADB = ∠ACB = 75°。 C D A B 75° 题型探究 圆内接四边形的性质的应用 题型一 【例1】圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C = 1：2：3， 则∠D = ________。 解：设∠A的度数为x， ∵∠A：∠B：∠C = 1：2：3， ∴∠B的度数为2x，∠C的度数为3x， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C=∠B + ∠D = 180°， ∴x + 3x = 180°，解得：x = 45°， ∴∠B = 2x = 90°， ∴∠D = 90°。 90° 题型探究 圆内接四边形的性质的应用 题型一 【例2】如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径， = 。若∠C = 110°，则∠ABC的度数等于________。 解：连接AC， ∵四边形ABCD是半圆的内接四边形， ∴∠DAB = 180° - ∠DCB = 70°， ∵ = ， ∴∠CAB=∠CAD = ∠DAB = 35°， ∵AB是直径，∴∠ACB = 90°， ∴∠ABC = 90° - ∠CAB = 55°。 55° O B C A D 题型探究 圆内接四边形的性质的推论的应用 题型二 【例3】如图，A、B、C是⨀O上三点，D是AB延长线上一点， ∠CBD = 65°，则∠AOC = ________。 解：点E是优弧AB上一点 ( 不与A、B重合 )， 连接AE、CE， 由题意可得：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠E = ∠CBD = 65°， ∴∠AOC = 2∠E = 130°。 130° O C A B D E 题型探究 圆内接四边形的判定——辅助圆 题型三 【例4】如图，已知等腰三角形 ABC，∠ACB = 120°， 且 AC = BC = 4，在平面内任作 ∠APB = 60°，BP的最大值为________。 解：∵∠ACB = 120°，∠APB = 60°， ∴A、P、B、C四点共圆， ∴当BP是圆的直径时，BP最长， ∴∠PAB = 90°，∴∠ABP = 30°， 过点C作AB的垂线交PB于点O，则点O即为圆心， ∵∠ACB = 120°，且AC = BC = 4， ∴∠ACB = 30°，∴∠BCO = 60°， ∴△OBC是等边三角形， 8 P O ∴OC = BC = 4， ∴BP = 2OC = 8。 课堂小结 圆内接四边形： 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上， 这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 圆内接四边形的性质的推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 圆内接四边形的判定： 如果四边形ABCD的一组对角互补，那么A、B、C、D四点共圆。 圆内接四边形的判定的其他结论： 如果四边形ABCD中， ∠ADB = ∠ACB或∠BAC = ∠BDC或∠CBD = ∠CAD或∠DCA = ∠DBA， 那么A、B、C、D四点共圆。 感谢聆听! $$