精品解析：山东省青岛第三十九中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

山东省青岛第三十九中学2024-2025学年度第二学期期末考试 数学试题 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数满足，则的虚部为（    ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】，； 的虚部为. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合A,再根据绝对值不等式应用交集定义计算即可. 【详解】集合， ，则. 故选：B.     3. 不等式“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式后即可判断. 【详解】由，可得，充分性不成立；由，可得，可得，必要性成立． 故选：B 4. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出曲线在点处的切线后结合判别式可求的值. 【详解】因为，故曲线在点处的切线的斜率为， 故对应的切线方程为， 因为该切线也是曲线的切线，故有两个等根， 即有两个等根，故，故， 故选：C. 5. 2024年12月4日，我国“春节”正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．某地为迎接春节的到来，举行了舞龙舞狮、铁水火龙、高跷秧歌、花灯猜谜、庙会祭祖五个民俗表演活动．若甲、乙、丙3人参加此次表演活动，且每人只选择一个活动参加，则3人中至多有2人所选活动相同的情况共有（ ） A. 64种 B. 90种 C. 120种 D. 180种 【答案】C 【解析】 【分析】分恰有2人所选活动相同、3人所选活动均不同两种情况分别计算，再根据分类加法计数原理计算可得. 【详解】甲、乙、丙3人中至多有2人所选活动相同的情况有两类： ①恰有2人所选活动相同，有种； ②3人所选活动均不同，有种； 所以共有种． 故选：C 6. 牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（ ）（参考数据：，） A. 2.9 B. 3.4 C. 3.9 D. 4.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意中的关系式可得、，利用指、对数互化求出m的值即可. 【详解】由，有， 又，有，即， 则，解得， 故选：B. 7. 已知随机变量，若，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态密度曲线的对称性，得到，再利用“1”的妙用，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，正态密度曲线关于对称，所以，且， 所以， 则， 当且仅当，，即时，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B 8. 设函数，若关于的方程 有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，及直线，由图象知，，求出，代入后利用函数单调性可得结论． 【详解】如图，作出函数有图象，再作直线，时，满足题意， 由图知，，∴，即， 由得，因此， ，易知函数在时是增函数， 所以， 故选：D． 二、多选题 9. 已知，，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】结合同角三角关系将平方即可求解即可判断A，再利用平方关系求解判断B，化切为弦通分即可求解判断C，解方程即可求解判断D. 【详解】由，得， 所以，故选项A正确； 因为，，所以，， 又因为，所以，故选项B正确； 因为，故选项C错误； 由，，所以，故选项D错误； 故选：AB 10. 已知，则（ ） A. 的值为2 B. 的值为 C. 的值为 D. 当时，除以11的余数为10 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AC：利用赋值法分析求解；对于B：根据二项展开式的通项公式分析求解；对于D：整理可得，结合二项展开式分析求解. 【详解】因为， 对于选项A：令，则； 对于选项B：因为的通项为， 可知含项为， 所以的值为，故B错误； 对于选项C：令，则； 令，则； 所以，故C正确； 对于选项D：令，则， 因为， 可知除以11的余数为， 则除以11的余数为，且除以11的余数为， 所以当时，除以11的余数为10，故D正确； 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 11. 已知角终边上一点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式化简原式，由三角函数定义求出，代入计算即可. 【详解】， 因为角终边上一点，所以，则， 所以 故答案为： 12. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数得到在区间上恒成立，即恒成立求出最小即可. 【详解】由，得， 因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立， 即恒成立，又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒产品中有3个正品和2个次品，若从甲盒中任取2个产品，则这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率__________.若先从甲盒中任取2个产品，放入乙盒，再从乙盒任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由条件概率公式得到第一个空；由超几何分布，分别计算出从甲中取出的是两个正品、一个正品一个次品、两个次品的概率，再由全概率公式得到第二个空的答案. 【详解】设事件为“从甲中取出的件产品中有一个为正品”，事件为“从甲中取出的个产品中有一个为次品”， 则，，所以； 设事件为“从乙中取出的这个产品是正品”，事件为“从甲中取出两个正品”， 事件为“从甲中取出一个正品、一个次品”，事件为“从甲中取出两个次品”， 则， ， 由全概率公式得. 故答案为：；. 四、解答题 14. 某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550（或等于550分）为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表： 班级 成绩 合计 优秀 非优秀 一班 35 15 二班 15 25 合计 （1）请完成列联表； （2）根据列联表中的数据，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系？ 参考数据： 0.10 0.05 0.01 00.005 2.706 3.841 6.635 7.879 ． 【答案】（1） 班级 成绩 合计 优秀 非优秀 一班 35 15 5 二班 15 25 40 合计 50 40 90 （2）能． 【解析】 【分析】（1）利用已知数据求和即可得到列联表； （2）利用卡方公式计算，再与参考数据对照，即可得出判断． 【小问1详解】 班级 成绩 合计 优秀 非优秀 一班 35 15 5 二班 15 25 40 合计 50 40 90 【小问2详解】零假设为：推广新课改与总成绩是否优秀无关． 根据列联表中的数据，得到 故根据的独立性检验，可以认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系． 15. 已知函数，若的一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为. （1）求的解析式，并写出的单调递减区间； （2）把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域. 【答案】（1）；单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求出、，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先根据三角函数的变换规则求出的解析式，由的取值范围，求出的取值范围，结合正弦函数的性质求得值域. 【小问1详解】 因为函数的一个零点为0，所以，即，得， 因为，所以. 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以. 因为，，所以， 所以函数的解析式为， 由，，解得，， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 把的图象向右平移个单位得到 ， 再将向上平移个单位得到， 所以， 因为，所以. 当时，即时，， 当时，即时，， 所以函数在的值域为. 16. 某同学在上学的路上要经过3个十字路口，在每个路口是否遇到红灯相互独立，设该同学在三个路口遇到红灯的概率分别为，，. （1）求该同学在上学路上恰好遇到一个红灯的概率； （2）若该同学在上学路上每遇到1个红灯，到校打卡时间就会比规定打卡时间晚48秒，记该同学某天到校打卡时间比规定时间晚秒，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，52 【解析】 【分析】（1）利用概率的乘法和加法公式即可求解； （2）根据已知条件求出随机变量的取值，再利用概率的乘法和加法公式求出随机变量对应的概率，进而得出随机变量的分布列，再利用随机变量的期望公式即可求解. 【小问1详解】 记A={该同学在上学路上恰好遇到一个红灯}, . 【小问2详解】 的可能取值为， , , , X的分布列为： X 0 48 96 144 P . 17. 已知函数有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）记两个极值点分别为，，证明：. 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知，， 所以， 所以. 令，则， 令，则， 所以在上单调递增. 因为，， 所以函数存在唯一零点，即， 且当时，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，存在最小值，即. 因为，所以，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）由题意知，导函数在上有两个不相等的实数根，再根据二次函数的性质进行求解即可； （2）根据题意可得，，是方程的两个不等正实根，根据韦达定理得，，代入化简，进而构造函数，再求导判断其单调性和最值，即可证明. 【小问1详解】 由题意得，，. 因为有两个极值点，所以方程有两个不相等的正根， 所以，解得. 检验：当时，由得或. 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，满足题意. 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 18. 已知是定义在R上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． （1）对于，求证：； （2）设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于2，求实数的取值范围： （3）设的导函数在R上严格增．若对任意，都有且直线与的“距离”相等．证明：是偶函数． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）举出实例即可； （2）令，时不合要求，，求导得到单调性，求出，故，即，令，求导得到其单调性，得到，故； （3）设，，与都存在最小值，且最小值相等，设在处取得最小值，在处取得最小值，故，即，结合在R上严格增，若，得到，要想恒成立，需满足且，由于的任意性，可知是偶函数，若，此时直线与重合，是偶函数满足要求，得到结论 【小问1详解】 当时，， ，对恒成立，故； 【小问2详解】 ，令， 则， 当时，，故在R上单调递增， 无最小值，不合要求， 当时，令，得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为直线的“距离”不小于2，故， 即，令，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故； 【小问3详解】 设，， 若对任意，都有，直线与的“距离”相等， 即与都存在最小值，且最小值相等， 设在处取得最小值，在处取得最小值， 故，， ， 其中，， 则，， 故，， 若，因为在R上严格增，所以，故， 要想恒成立，需满足且， 由于的任意性，可知是偶函数， 若，此时直线与重合，是偶函数满足要求， 综上，是偶函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青岛第三十九中学2024-2025学年度第二学期期末考试 数学试题 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数满足，则的虚部为（    ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 不等式“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 5. 2024年12月4日，我国“春节”正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．某地为迎接春节的到来，举行了舞龙舞狮、铁水火龙、高跷秧歌、花灯猜谜、庙会祭祖五个民俗表演活动．若甲、乙、丙3人参加此次表演活动，且每人只选择一个活动参加，则3人中至多有2人所选活动相同的情况共有（ ） A. 64种 B. 90种 C. 120种 D. 180种 6. 牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（ ）（参考数据：，） A. 2.9 B. 3.4 C. 3.9 D. 4.4 7. 已知随机变量，若，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若关于的方程 有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. 的值为2 B. 的值为 C. 的值为 D. 当时，除以11的余数为10 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 11. 已知角终边上一点，则____________． 12. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____. 13. 已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒产品中有3个正品和2个次品，若从甲盒中任取2个产品，则这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率__________.若先从甲盒中任取2个产品，放入乙盒，再从乙盒任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为__________. 四、解答题 14. 某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550（或等于550分）为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表： 班级 成绩 合计 优秀 非优秀 一班 35 15 二班 15 25 合计 （1）请完成列联表； （2）根据列联表中的数据，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系？ 参考数据： 0.10 0.05 0.01 00.005 2.706 3.841 6.635 7.879 ． 15. 已知函数，若的一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为. （1）求的解析式，并写出的单调递减区间； （2）把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域. 16. 某同学在上学的路上要经过3个十字路口，在每个路口是否遇到红灯相互独立，设该同学在三个路口遇到红灯的概率分别为，，. （1）求该同学在上学路上恰好遇到一个红灯的概率； （2）若该同学在上学路上每遇到1个红灯，到校打卡时间就会比规定打卡时间晚48秒，记该同学某天到校打卡时间比规定时间晚秒，求X的分布列和数学期望. 17. 已知函数有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）记两个极值点分别为，，证明：. 18. 已知是定义在R上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． （1）对于，求证：； （2）设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于2，求实数的取值范围： （3）设的导函数在R上严格增．若对任意，都有且直线与的“距离”相等．证明：是偶函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $