精品解析：山东省青岛市青岛第九中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题

青岛九中2023-2024学年度第二学期期末考试 高二数学学科试题学生版 一、单选题 1. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 2. “”是“过点有两条直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 4. 的展开式中常数项为（ ） A. 544 B. 559 C. 495 D. 79 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，，下顶点为 ，直线交 于另一点 ，的内切圆与相切于点 ．若，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且，则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若 均为正数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 已知函数 满足，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 是奇函数 11. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若.则 B. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 C. 从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种 D. 西部某县委将7位大学生志愿者男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种 三、填空题 12. 已知集合，，则集合 的元素个数为__________． 13. 已知随机变量，且，则__________. 14. 若函数的四个零点成等差数列，则________． 四、解答题 15. 在 中，角的对边分别为 ，已知. （1）求 ； （2）若为 边的中点，求 的长. 16. 已知函数，其中． （1）当 时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若 在区间上的最小值为，求a的值． 17. 在五面体 中， 平面 ，平面 ． （1）求证： ； （2）若，，点D到平面的距离为，求二面角的大小． 18. 已知抛物线经过点. （1）求抛物线E的方程； （2）设直线与E的交点为，直线 与 倾斜角互补. （i）求 的值； （ii）若，求 面积的最大值. 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4 经计算可得：. （1）因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列. ①求的最值； ②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（ 是一个确定的实数），则称数列收敛于 .根据数列收敛的定义证明数列收敛． 参考公式： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛九中2023-2024学年度第二学期期末考试 高二数学学科试题学生版 一、单选题 1. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可. 【详解】由，知，解得. 故选：C. 2. “”是“过点有两条直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由已知点在圆外，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得答案. 【详解】由题意，点在圆外，则有， ，所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件. 故选：B 3. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案. 【详解】， 则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可， 故选：A. 4. 的展开式中常数项为（ ） A. 544 B. 559 C. 495 D. 79 【答案】B 【解析】 【分析】若要展开式中出现常数项，需考虑六个括号中每个括号提供哪些项，分三种情况解决即可. 【详解】展开式中的常数项分三种情况： 第一种，六个括号都提供 ，此时得到； 第二种，六个括号中一个括号提供，两个括号提供，三个括号提供 ，此时得到； 第三种，六个括号中两个括号提供，四个括号提供，此时得到， 所以展开式的常数项为， 故选：B. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 则，所以. 故选：A. 6. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，，下顶点为 ，直线交 于另一点 ，的内切圆与相切于点 ．若，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解． 【详解】设椭圆的长轴长为 ，短轴长为，焦距为，则，， 设的内切圆与，相切于点，如图所示， 则，， 所以， 所以的周长为， 由椭圆定义可得，， 所以，则， 故选：B． . 8. 有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且，则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数的概念可知，当X为1，2，3，4时，新的样本数据的第25百分位数不变，进而求出概率. 【详解】由题意得，，由于， ， 所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数， 所以，当X为1，2，3，4时，新的样本数据的第25百分位数不变， 所以，新的样本数据的第25百分位数不变的概率是. 故选：D. 二、多选题 9. 若均为正数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，B，利用均值不等式或“1”的妙用计算判断；对于C，D化成关于b的二次函数即可判断作答. 【详解】因均为正数，且， 则有，当且仅当时取“=”，即 的最大值为，A正确； ，当且仅当时取“=”，即的最小值为9，B正确； 显然，在上单调递减，无最小值，C不正确； ，当且仅当时取“=”，即的最小值为，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数 满足，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 是奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法求得，，可判断各选项的正误。 【详解】令 ，则， 令，则，解得或， 若，则恒成立，不合题意，故，A选项正确； ，则,，B选项错误； 函数，定义域为R，， 为偶函数，C正确，D错误. 故选：AC 11. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若.则 B. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 C. 从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种 D. 西部某县委将7位大学生志愿者男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法判断A，根据分步乘法计数原理判断B，先选一双鞋子，再从剩下的 双鞋子中各选一只，按照分步乘法计数原理判断C，先分组、再分配，即可判断D. 【详解】对于A：二项式展开式的通项为（）， 所以、、，、、， 对， 令 可得， 令可得， 所以，故A正确； 对于B：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种，故B错误； 对于C：先从 双不同颜色的鞋子中任选一双有种取法，再从剩余的 双鞋子中的任意两双，在这两双中各选一只有， 由分步乘法计数原理可得从 双不同颜色的鞋子中任取 只，其中恰好只有一双同色的不同取法共有，故C正确； 对于D：分组的方案有、 和 、 两类， 第一类有种； 第二类有种， 所以共有种不同的方案，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题 12. 已知集合，，则集合 的元素个数为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用列举法求解集合，即可求解. 【详解】当 时， ，2，4，分别为,均不能满足， 当 时， 时可满足， 时，， 时，均不满足， 当时，可满足，时，，时，均不满足， 所以，故集合 的元素有2个， 故答案为：2 13. 已知随机变量，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由，可得，则. 【详解】因为，所以，则. 故答案为：. 14. 若函数的四个零点成等差数列，则________． 【答案】 【解析】 【详解】根据给定条件，求出函数 的4个零点，再借助对称性及等差中项列式求解即得. 【点睛】由，得，由函数 有4个零点，得， 即有或，则 的4个零点从小到大依次为， 依题意，，即，解得， 所以. 故答案为： 四、解答题 15. 在 中，角的对边分别为 ，已知. （1）求 ； （2）若为 边的中点，求 的长. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式求解； （2）根据余弦定理求出 边，再根据向量运算求. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理，得， 化简得，因为，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 在 中，由余弦定理得， 所以，解得． 因为 为 的中线，所以， 所以， 因为，所以，解得. 16. 已知函数，其中． （1）当 时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若 在区间上的最小值为，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由 ，分别求出及，即可写出切线方程； （2）计算出，令，解得 或，分类讨论 的范围，得出 的单调性，由 在区间上的最小值为，列出方程求解即可． 【小问1详解】 当 时，，则，，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即． 【小问2详解】 ，令，解得 或， 当时，时，，则 在上单调递减， 所以，考虑，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的极大值为，所以由得 ； 当时，时，，则 在上单调递减， 时，，则 在上单调递增， 所以，则，不合题意； 当 时，时，，则 在上单调递减， 所以，不合题意； 综上， ． 17. 在五面体 中， 平面 ，平面 ． （1）求证： ； （2）若，，点D到平面的距离为，求二面角的大小． 【答案】（1）证明：因为 平面 ，平面 ， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）由 平面 ，平面 ，得，由线面平行的判定定理可得平面 ，再由线面平行的性质定理，即可得出答案． （2）利用等体积法可得为等腰直角三角形，所以,建立坐标系，利用向量垂直可得,求解两平面的法向量，进而可得求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于 平面 ，，所以平面 ， 平面 ，故, 又因为 平面 ，平面 ， 所以， 又，平面，所以 平面 由于，则,故, 故为等腰直角三角形，所以, 如图以 为坐标原点，所在的直线分别为 ，， 轴建系， 设，则， 故 由于，所以，故， 设平面的法向量为,,，平面的法向量为,,， 因为，， 所以，即 令 ，则， 因为，， 所以，即 令 ，则， 设成的角为 ，由图可知 为钝角， 所以，故， 18. 已知抛物线经过点. （1）求抛物线E的方程； （2）设直线与E的交点为，直线 与 倾斜角互补. （i）求 的值； （ii）若，求 面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i） ；（ii） 【解析】 【分析】（1）把 点坐标代入抛物线方程，可求 的值. （2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于 的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线 与 倾斜角互补，转化成，可求 的值；（ii）先求弦长，再求 到直线 的距离，可表示出 的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，，所以 ， 所以抛物线 的方程为. 【小问2详解】 （i）如图： 设，将直线 的方程代入得： ，所以， 因为直线 与 倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以 . （ii）由（i）可知，所以， 则， 因为，所以，即， 又点 到直线 的距离为， 所以， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以 面积最大值为 . 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4 经计算可得：. （1）因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列. ①求的最值； ②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（ 是一个确定的实数），则称数列收敛于 .根据数列收敛的定义证明数列收敛． 参考公式： . 【答案】（1） （2） （3）①最大值为 ，最小值为； ②证明：对任意总存在正整数，其中 表示取整函数， 当 时，， 所以数列收敛. 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到y关于t的回归方程； （2）由题意可知，其中，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解； （3）①分n为偶数和n为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解； ②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得， ， 则， 所以， 可得，所以. 【小问2详解】 解：由题意知，其中， 所以，又由， 所以是首项为1的常数列，所以 所以，又因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，所以. 【小问3详解】 解：①当 为偶数时，单调递减， 最大值为； 当  为奇数时，单调递增，最小值为， 综上可得，数列的最大值为，最小值为. ②略 【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $