精品解析：广东省汕头市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末考试 高一级数学科试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. =（    ） A. B. C. D. 3. 命题，命题，则是成立的（    ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 为第四象限角 10. 下列函数中最小值为2的是（     ） A. B. C. D. 11. 某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地平面的高度（单位：）为，）．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距面，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面．则（ ） A. B. C. 过山车启动时距地面20米 D. 一个周期内过山车距离地平面高于40时间是4 12. 已知正数、、满足，则下列选项正确的是（     ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.14题第一空2分，第二空3分. 13. 函数的定义域为________．（用区间表示） 14. 已知，则_________，_________. 15. 已知，，且，则取得最小值时的值是______________. 16. 已知函数，，，总，使得成立，则实数的取值范围是____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求的值； （2）若，，求的值． 18. 已知集合函数 （1）若，设的解集为，求； （2）设命题，写出命题的否定；若命题是假命题，求实数的取值范围． 19. 已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的最小值以及取得最小值时的值. 20. 每逢节假日，汕头小公园开埠区总是游人如织，这里骑楼风貌、非遗展演、戏亭印象、时尚潮玩，总能让慕名而来的游客感受到“最潮最老”的潮汕文化.经统计，汕头小公园开埠区2021年至2023年春节期间的游客人数如下表所示： 年份 2021年 2022年 2023年 年份代码x 1 2 3 游客人数y（单位：万人） 120 180 270 根据上述数据，汕头小公园开埠区春节期间的游客人数y（万人）与年份代码x（注：记2021年的年份代码为，2022年的年份代码为，依此类推）有两个函数模型可供选择：①，② （1）试判断哪个函数模型更合适（给出判断即可，不必说明理由），请根据你的判断结果以及表中数据求出该函数模型的函数解析式； （2）为提升游客的旅游体验，汕头市需提前做好各项准备.请问大约在哪一年，汕头小公园开埠区春节期间的游客量约是2022年的3倍？（参考数据：） 21. 已知函数． （1）用定义证明函数在R上减函数； （2）若（其中，），求实数的取值范围； （3）若在上存在唯一零点，求实数的取值范围． 22. 有一个半径为，圆心角的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形. 方案1：如图1，裁剪出的矩形的顶点在线段上，点在弧上，点D在线段OM上； 方案2：如图2，裁剪出矩形的顶点分别在线段上，顶点在弧上，并且满足，其中点为弧的中点. （1）按照方案1裁剪，设，用表示矩形的面积，并求出其最大面积； （2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的最大面积，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末考试 高一级数学科试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意求，再结合并集的概念求答案. 【详解】因为全集， 集合， 所以， 又因为集合，所以， 故选：D. 2. =（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简计算即可. 【详解】. 故选：A 3. 命题，命题，则是成立的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式有，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】由，而， 所以是成立的充分不必要条件. 故选：A 4. 设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，作差法比较出大小关系；CD选项，利用不等式的性质得到答案. 【详解】A选项，当时，，A错误； B选项，， 因为，所以，则， 故，，B错误； C选项，两边同乘以得， 两边同乘以得， 故，C正确； D选项，因为，所以， 两边同除以得，D错误. 故选：C 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，可排除B,D,结合，可排除D,得到A正确. 【详解】因为， 易得函数的定义域为， 且， 所以函数为偶函数，故排除B,D; 又，故A正确，D错误， 故选:A. 6. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可得答案. 【详解】因为，， ， 所以. 故选：D. 7. 如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的的值，进而可求出，，然后线段的中点，可得出，进而可求得线段的长. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出， 由可得， 所以，扇形的面积为， 当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时． 因为，则扇形的圆心角， 取线段的中点，由垂径定理可知， 因为，则， 所以， 故选：A. 8. 设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出的图象，利用换元法以及一元二次方程根的分布等知识列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】画出的图象如下图所示，由图可知要使有个解，则需， 依题意，方程有6个不同的实数解， 令，则有两个不相等实数根， 且，令， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：B 【点睛】含有绝对值的指数函数图象（如，且，）的画法如下：先画出的图象，然后向下平移个单位，得到的图象，然后保留轴上方的图象，轴下方的图象关于轴对称向上翻折，从而得到的图象. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 为第四象限角 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用同角三角函数的关系及三角函数的符号一一判定选项即可. 【详解】，， ，，故A正确； ，故C正确； ，故B错误； 因，且，所以为第四象限角，故D正确. 故选:ACD. 10. 下列函数中最小值为2的是（     ） A B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A利用二次函数性质求解最小值判断；对于B、C、D应用基本不等式求解最小值判断即可. 【详解】对于A：，显然时取到最小值2，故A正确； 对于B：由题意，所以， 当且仅当，即，也即时，等号成立，故B正确； 对于C：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D：， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D错误. 故选：AB 11. 某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地平面的高度（单位：）为，）．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距面，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面．则（ ） A. B. C. 过山车启动时距地面20米 D. 一个周期内过山车距离地平面高于40的时间是4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意得出函数的最值，即可求出A和B，根据周期求出，根据及即可求出，再根据函数解析式逐项判断即可得出答案． 【详解】由题意知，周期满足，解得， 所以， 又因为，解得， 所以， 由，得，，， 因为， 所以， 所以， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，， 则，即，， 所以一个周期内过山车距离地平面高于40的时间是4，故D正确， 故选：BCD． 12. 已知正数、、满足，则下列选项正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可. 【详解】令，可得，，， ，故A正确； ，故B正确； ，，所以，得， 又，所以，得，所以，，故C不正确； ，故D正确； 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.14题第一空2分，第二空3分. 13. 函数的定义域为________．（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据已知列出不等式，根据指数函数的单调性求解，即可得出答案. 【详解】要使函数有意义，则应有，所以. 故答案为：. 14. 已知，则_________，_________. 【答案】 ①. ②. ##0.6 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式将变形，即可求出的值；利用二倍角公式将变形，再弦化切，再将代入即可求出的值. 【详解】因为，解得； 因为，所以， 所以. 故答案为：；. 15. 已知，，且，则取得最小值时的值是______________. 【答案】## 【解析】 【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】， 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为： 16. 已知函数，，，总，使得成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数与的值域，然后再由，，使得成立，可知函数的值域是的值域的子集，即，进而建立不等关系求的取值范围即可. 【详解】∵，∴ ∵，∴，∴ ∴ 要使，总，使得成立， 则需满足： ∴ ，解得或 ∴的取值范围是. 【点睛】本题是一道综合性较强的题目，主要考查二次函数、三角函数在给定区间内的值域与建立不等关系求未知数的范围．在求函数的值域时注意利用数形结合方法进行分析． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一，根据三角函数定义可得，，继而利用诱导公式化简，即可求得答案；法二，利用三角函数定义可得，继而利用诱导公式和同角的三角函数关系化简，可得答案； （2）利用三角函数定义以及同角的三角函数关系以及两角和的余弦公式，即可求得答案. 【小问1详解】 法一：由角终边上一点，得， 故 法二：由角终边上一点，得， 故； 【小问2详解】 由角终边上一点，得， 因为，， 所以， 则 18. 已知集合函数 （1）若，设的解集为，求； （2）设命题，写出命题的否定；若命题是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）命题的否定：，；实数的取值范围为 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求得集合，利用补集的意义求得，进而利用交集的意可求； （2）利用存在量词命题的否定全称量词命题可求得命题的否定，法一：根据命题的否定为真命题可求得的范围.法二：求得命题为真命题时的范围，利用命题真假性的关系可求得结论. 【小问1详解】 当时，，或， 而，所以. 【小问2详解】 命题的否定：，（或，）， 法一：命题是假命题，所以命题的否定为真命题， 即， 解得，所以实数的取值范围为． 法二：假设命题“，”为真命题； 则， 解得 ，为假命题， ，所以实数的取值范围为． 19. 已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的最小值以及取得最小值时的值. 【答案】（1）， （2），最小值为 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦函数对称性求参，根据单调性即可求得单调增区间； （2）利用平移伸缩变换得到，再由角的范围结合正弦函数图象性质即可求得最值. 【小问1详解】 由已知可得，. 又图象的相邻两对称轴间的距离为，则函数的周期满足， 则，解得，故得. 由可得，， 故的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，， 将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象. 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象. 因为，所以 故当，即时，的最小值为. 20. 每逢节假日，汕头小公园开埠区总是游人如织，这里的骑楼风貌、非遗展演、戏亭印象、时尚潮玩，总能让慕名而来的游客感受到“最潮最老”的潮汕文化.经统计，汕头小公园开埠区2021年至2023年春节期间的游客人数如下表所示： 年份 2021年 2022年 2023年 年份代码x 1 2 3 游客人数y（单位：万人） 120 180 270 根据上述数据，汕头小公园开埠区春节期间的游客人数y（万人）与年份代码x（注：记2021年的年份代码为，2022年的年份代码为，依此类推）有两个函数模型可供选择：①，② （1）试判断哪个函数模型更合适（给出判断即可，不必说明理由），请根据你的判断结果以及表中数据求出该函数模型的函数解析式； （2）为提升游客的旅游体验，汕头市需提前做好各项准备.请问大约在哪一年，汕头小公园开埠区春节期间的游客量约是2022年的3倍？（参考数据：） 【答案】（1）模型①更合适， （2）2025年 【解析】 【分析】（1）首先分析出模型①更合适，然后将代入模型①，求出的值，即可得到函数解析式，特别注意的取值范围； （2）由题意知游客量约是2022年的3倍即540万人，再根据（1）所得的函数解析式列出等式，整理可得，再利用指数式和对数式的互化表示出，再利用换底公式及对数的性质运算即可. 【小问1详解】 选择函数模型①更合适， 将代入模型①，可得，解得， 所以函数解析式为； 【小问2详解】 因为2022年的游客量约为180万人，所以当汕头小公园的游客量约是2022年的3倍时， 约是540万人，即，整理可得， 所以. 故大约在2025年，汕头小公园的游客量约是2022年的3倍． 21. 已知函数． （1）用定义证明函数在R上为减函数； （2）若（其中，），求实数的取值范围； （3）若在上存在唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性定义即可证明结论； （2）利用函数的单调性可得，结合对数函数性质分类讨论，即得答案； （3）结合函数单调性，利用零点存在定理即可求得答案. 【小问1详解】 任取，，且， 则， 因为，所以，所以，则， 所以函数在R上为减函数； 【小问2详解】 由（1）得在R上为减函数，又， 则， 当时，，解得， 当时，，解得，不成立， 综上所述， 【小问3详解】 由（1）得在R上为减函数，则在R上也为减函数， 又在上存在唯一零点， 即，且 解得. 22. 有一个半径为，圆心角的扇形铁皮OMN，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形. 方案1：如图1，裁剪出的矩形的顶点在线段上，点在弧上，点D在线段OM上； 方案2：如图2，裁剪出的矩形的顶点分别在线段上，顶点在弧上，并且满足，其中点为弧的中点. （1）按照方案1裁剪，设，用表示矩形的面积，并求出其最大面积； （2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的最大面积，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形. 【答案】（1），最大值为； （2），方案1 【解析】 【分析】（1）由图1得到，进而得到，得到矩形的面积,再利用三角函数的性质求解； （2）由图2设 得到，，得到矩形的面积为：，再利用三角函数性质求解. 【小问1详解】 解：由图1知：， 则， 所以矩形的面积为：， ， ， ， ， ， 当，即，矩形面积取得最大值为； 【小问2详解】 由图2知：设 ，则， ， 所以矩形的面积为：， ， ， ， ，， 当，即，矩形面积取得最大值为； 因为， 所以方案1可以裁剪出面积最大的矩形； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$