精品解析：河南省南阳市桐柏县2024-2025学年八年级下学期6月期末考试数学试题

2025年春期期中学情调研 八 年 级 数 学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，根据任何不等于0的数的0次幂都等．由此即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 2. 某型号手机搭载的麒麟9020芯片工艺接近工艺水平（），数据0.000000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 3. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①对角线相等 B. ③对角线互相垂直 C. ②有一组邻边相等 D. ④对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形和菱形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，据此可得答案． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形， 故错误的只有④， 故选： D． 4. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 【详解】解：． 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，且随的增大而减小，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，判断点所在的象限，根据正比例函数的性质，结合点的坐标特征，判断k和a的符号，从而确定点所在的象限，即可作答． 【详解】解：∵随的增大而减小， ∴正比例函数的，且经过第二、四象限， ∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴在第二象限， 故选：B 6. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，得到四边形的对角线互相垂直平分，得到四边形是菱形，不符合题意； B、根据四边相等的四边形为菱形，得到四边形是菱形，不符合题意； C、，得到四边形的一组对边平行且相等，进而得到四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形为菱形，得到四边形是菱形，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形为平行四边形，不能得到四边形为菱形，符合题意； 故选D． 7. 一项工程，甲独做要x天完成，乙独做要y天完成，则甲、乙合做完成工程需要的天数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查工程问题中的合作完工时间计算．熟练掌握工程问题的基本公式：，是解题的关键． 根据，用工作总量“1”除以甲、乙合作的工作效率得到甲、乙合做完成工程需要的天数． 【详解】解：甲的工作效率是，乙的工作效率是，工作总量是1， ∴两人合做完成这项工程所需的天数是 故本题选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据题意可得每个点的横纵坐标的乘积表示总价，根据四件商品的位置可得甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k，乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k，丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k，据此可得答案． 【详解】解：∵横坐标表示单价，纵坐标表示数量， ∴每个点的横纵坐标的乘积表示总价， ∵甲在反比例函数图象下方， ∴甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k， ∵乙，丁在反比例函数图象上， ∴乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k， ∵丙在反比例函数图象上方， ∴丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k， ∴四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是丙， 故选：C． 9. 已知关于x的方程的解是负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解和解不等式等知识，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是根据． 方程去分母化为整式方程，求得，再根据方程的解是负数，，可得，且，即可求解； 【详解】解：去分母得，， 方程的解是负数， ， 解得： ， 的取值范围是且． 故选：C． 10. 如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长为20，则能够求出长度的线段是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是矩形，正方形的性质，中心对称图形的性质，根据题意设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形． ∴两个大的正方形相同，两个矩形相同， 设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴小矩形的两边分别为，，大的矩形两边长分别为，， ∵已知矩形的周长为20， ∴, 解得：， ∴两个大的正方形的边长为， ∴能够求出长度的线段是， 故选A 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小明的口语、听力、笔试成绩分别为90分、80分、90分，则小明这学期的英语成绩是______． 【答案】88 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数：若个数，，，，的权分别是，，，，则叫做这个数的加权平均数（其中）． 根据加权平均数的公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： （分）， 即小明这学期的英语成绩是88分， 故答案为：88． 12. 矩形对角线与相交于，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，根据矩形的性质可求解． 【详解】解：矩形中，， ∴， 故答案为：2． 13. 已知，求______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值．设，则，，，再代入化简即可得出答案． 【详解】解：设，则，，． ． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先求出，四边形是矩形，再根据反比例函数的几何意义可得，然后根据计算即可得． 【详解】解：∵过点分别作轴于点，轴于点， ∴，四边形是矩形， ∵反比例函数的图象分别与，相交于两点， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 三、解答题（8个题，共75分） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）求的值． （2）当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】（1）， （2）整数的值为0，1，3 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的关键． （1）根据使得分式无意义，时分式的值为0，即可解得； （2）将，代入，得到分式为，逐一代入整数的值即可求解． 【小问1详解】 解： 当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， 【小问2详解】 解： ，， ， 当，， ，， ，， 综上，整数的值为0，1，3． 18. 某班50名同学利用两周时间开展了两次劳动技能比赛，第一次比赛结束后，把学生的成绩进行统计，发现成绩只有2分、3分、4分、5分、并制成了如图1、图2所示尚不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请计算成绩是3分、4分同学的人数，并补充完整条形统计图； （2）求第一次劳动技能比赛成绩的平均数； （3）第二次劳动技能比赛结束后，发现成绩只有3分、4分、5分，并且此次比赛成绩的中位数恰好是第一次劳动技能比赛成绩的中位数，最低分变成了3分，且有3人，众数变成了5分，则第二次劳动技能比赛成绩为5分的学生人数是_____人(填空)． 【答案】（1）见详解 （2） （3）24 【解析】 【分析】考查扇形统计图、条形统计图、中位数、众数、平均数的意义和计算方法，掌握意义和计算方法是正确解答的前提． （1）用总人数乘以成绩是3分的学生人数所占的百分比即可求出成绩是3分的学生人数；然后用总数减去其他组的人数即可求出成绩是4分的学生人数，然后补全统计图即可； （2）根据平均数的概念求解即可； （3）根据中位数和众数分析求解即可． 【小问1详解】 解：成绩是 3 分的学生人数为：人， 成绩是 4 分的学生人数为：人． 补充条形统计图如下： 【小问2详解】 解：（分）； 【小问3详解】 解：第一次劳动技能比赛成绩的中位数为4分， 第二次劳动技能比赛最低分是3分，且有3人， 因此得4分或5分为47人； 由于中位数仍然是4分，众数是5分，因此成绩自小到大排列后，第25、26个成绩必须是4，且得5分的人数要比得4分人数多， 因此得5分的人数为24人． 19. （1）填空：①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边________． ②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角________． ③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线________． （2）在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质______． 已知：是平行四边形，求证：________． 【答案】（1）①相等；②相等；③互相平分；（2）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质． （1）根据平行四边形性质解答即可； （2）选择性质1，连接，证明即可证明结论成立． 【详解】（1）填空：①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等． ②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角相等． ③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线互相平分． 故答案为：①相等；②相等；③互相平分； （2）若选择性质1： 在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质1． 已知：是平行四边形，求证：，． 证明：连接 ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 若选择性质2： 在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质2． 已知：是平行四边形，求证：，． 证明：连接， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 同理可证：． 20. 探究的图象及性质： （1）绘制函数图象； ①列表：请将下表补充完整，其中________； … 0 1 2 3 … … 2 3 4 6 4 2 … ②描点：根据表中的数值描点，图中描出了一部分点，请补充描出其他点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请补充画出函数图象； （2）探究函数性质： ①当____时，函数有最大值为____； ②时，随的增大而______； ③函数的图象关于_______对称； （3）运用函数图象及性质：根据函数图象，写出不等式的解集是________． 【答案】（1）①；②描点见解析；③画图见解析 （2）①；②增大；③轴 （3） 【解析】 【分析】本题考查函数图象与性质，涉及描点法作函数图象、由图象得函数性质、由函数图象解不等式等知识，数形结合，准确作出函数图象是解决问题的关键． （1）①将代入函数表达式即可得到值；②根据列表描点即可得到答案；③用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到答案； （2）由（1）中所作函数图象，数形结合即可得到答案； （3）求不等式的解集是指的图象在上方部分的图象对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 解：①， 当时，， 故答案为：； ②描点如图所示： ； ③作图如下： ； 【小问2详解】 解：①由（1）中图象可知，当时，函数有最大值为， 故答案为：； ②由（1）中图象可知，当时，随增大而增大， 故答案为：增大； ③由（1）中图象可知，函数的图象关于轴对称， 故答案为：轴； 【小问3详解】 解：如图所示： 求不等式的解集是指的图象在上方部分的图象对应的的取值范围， 当时，， 当时，的图象在图象上方， 即不等式的解集是， 故答案为：． 21. 如图，菱形的对角线与相交于点，点为中点，连接并延长至点，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的周长为40，平行线与间的距离为6，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）48 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，掌握菱形的性质是解题的关键． （1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，即可得证； （2）根据菱形的周长为40求出，由平行线与间的距离为6求出，然后根据矩形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：点为中点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形矩形． 【小问2详解】 解：∵若菱形的周长为40， ∴， 又∵平行线与间的距离为6，且， ∴， ∴， ∴． 22. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）点A的注意力指标数是_________； （2）当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键． （1）设的解析式为：，将代入即可求解； （2）当时，设解析式为，代入两点的坐标即可求解； （3）分别求解当时，；当时，；即可判断； 【小问1详解】 解：设的解析式为：， 由得， ∴， 由图可知：点A的注意力指标数是． 【小问2详解】 解：当时，设的解析式为， ∴， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 理由：当时，，解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． ∴当时，注意力指标数都不低于． 而， ∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 23. 探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． （1）观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是_________________． （2）数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． （3）结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为________． （4）结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为4，求的最小值． 【答案】（1）； （2）成立，理由见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）通过构造中点G，连接辅助线，利用正方形性质、等腰直角三角形性质以及角的关系，找到全等三角形的判定条件，使用角边角的证明方法，证明从而猜想并证明． （2）沿用（1）中构造全等三角形的方法，利用正方形基本性质和角的关系，使用角边角的证明方法，证明，证明无论E在上什么位置，都成立． （3）借助图形变换的思想，把分散的线段通过变换集中到一起，再利用几何图形的各种性质来探究它们之间的数量关系，通过延长线段构造全等三角形，由边角边的证明方法证明，将，，转化到一条线段上找关系即可． （4）通过对称变换将两条线段的和进行转化，再利用三点共线原理找到最小值的情况，最后结合正方形边长求出最小值，利用对称性质将转化，根据两点之间线段最短求的最小值． 【小问1详解】 解：猜想，依据是，理由如下： 取中点G，连接，如图① ∵点E、点G分别为、中点， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵为正方形外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，有， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：成立，理由如下： 如图，在上取一点G，使，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的外角平分线， ∴，即， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，结论成立． 【小问3详解】 解：如图，将绕点A逆时针旋转得到， 由（2）可知，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴点N、D、M三点共线， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 故答案为：； 【小问4详解】 解：作点A关于直线的对称点，连接，，， 延长，作于点，如图， ∵点A关于直线的对称点为点， ∴，， ∴， ∴若使最小，则需点D、F、三点共线，最小值为的长度， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，图形的旋转，轴对称的性质，本题围绕正方形中与相关的图形展开，需熟练掌握边角边的证明以及边角边的证明三角形全等的证明方法，再根据三点共线，即最短是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期期中学情调研 八 年 级 数 学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 计算结果是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2. 某型号手机搭载的麒麟9020芯片工艺接近工艺水平（），数据0.000000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①对角线相等 B. ③对角线互相垂直 C. ②有一组邻边相等 D. ④对角线互相平分 4. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，且随的增大而减小，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 一项工程，甲独做要x天完成，乙独做要y天完成，则甲、乙合做完成工程需要的天数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是（ ） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 已知关于x方程的解是负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 或 10. 如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长为20，则能够求出长度的线段是（     ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小明的口语、听力、笔试成绩分别为90分、80分、90分，则小明这学期的英语成绩是______． 12. 矩形对角线与相交于，若，则______． 13. 已知，求______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 三、解答题（8个题，共75分） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）求的值． （2）当分式的值为正整数时，求整数的值． 18. 某班50名同学利用两周时间开展了两次劳动技能比赛，第一次比赛结束后，把学生的成绩进行统计，发现成绩只有2分、3分、4分、5分、并制成了如图1、图2所示尚不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请计算成绩是3分、4分同学的人数，并补充完整条形统计图； （2）求第一次劳动技能比赛成绩的平均数； （3）第二次劳动技能比赛结束后，发现成绩只有3分、4分、5分，并且此次比赛成绩中位数恰好是第一次劳动技能比赛成绩的中位数，最低分变成了3分，且有3人，众数变成了5分，则第二次劳动技能比赛成绩为5分的学生人数是_____人(填空)． 19. （1）填空：①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边________． ②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角________． ③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线________． （2）在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质______． 已知：是平行四边形，求证：________． 20. 探究的图象及性质： （1）绘制函数图象； ①列表：请将下表补充完整，其中________； … 0 1 2 3 … … 2 3 4 6 4 2 … ②描点：根据表中的数值描点，图中描出了一部分点，请补充描出其他点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请补充画出函数图象； （2）探究函数性质： ①当____时，函数有最大值为____； ②时，随的增大而______； ③函数的图象关于_______对称； （3）运用函数图象及性质：根据函数图象，写出不等式的解集是________． 21. 如图，菱形的对角线与相交于点，点为中点，连接并延长至点，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的周长为40，平行线与间的距离为6，求四边形的面积． 22. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）点A的注意力指标数是_________； （2）当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 23. 探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． （1）观察猜想：如图①，若为中点，猜想与的数量关系为________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是_________________． （2）数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． （3）结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为________． （4）结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为4，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $