精品解析：湖南省株洲市渌口区朱婷镇中学多校2024-2025学年七年级下学期6月期末联考数学试题

湖南省株洲市渌口区朱亭镇中学多校期末联考2024-2025学年七年级下学期期末数学试题 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 4．本试卷共三道答题，27道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列实数：，，0，，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如果，那么下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（ ） A. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件 B. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是偶数 C. 了解一批灯泡的质量，采用抽样调查的方式 D. 天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨 4. 学校为了了解七年级学生喜欢的社团课中竹艺手工、竹影社及竹乐社所占的比例，通常采用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 以上均可 5. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中到轴的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7. 如图，从小明家到公路l共有三条路线，其中路线．他选择路线到公路的距离近的理由是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8. 下列关于的说法中，错误的是（ ） A. 是无理数 B. 2<<3 C. 5的平方根是 D. 是5的算术平方根 9. 记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有只羊，乙有只羊，可列出方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将正确答案写在答题卡相应的横线上） 11. 若点在第二象限，则的取值范围是______. 12. 已知实数a，b满足，则的值为______． 13. 已知，用含有y的式子表示x，结果为________． 14. 已知是二元一次方程组的解，则的值是______． 15. 如图是杆称在称重物时的示意图，已知，则的度数为________． 16. 在平面直角坐标系中，点P位于原点，第1秒钟向右移动1个单位，第2秒钟向上移动2个单位，第3秒钟向左移动3个单位，第4秒钟向下移动4个单位，第5秒钟向右移动5个单位，…依此类推，经过2024秒钟后，点P的坐标是__________． 三、解答题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤） 17. 计算：． 18. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶关联点”（为常数，且）． 例如：点的“2阶关联点”为点，即点． （1）点的“3阶关联点”的坐标为______． （2）若点的“4阶关联点”为，求点的坐标． （3）若点的“阶关联点”到两坐标轴的距离相等，求的值． 19. 解不等式，并求出该不等式的最小整数解． 20. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，是的边AC上任意一点，经过平移后得到，点P的对应点为． （1）写出各点的坐标： （______，______），（______，______），（______，______）， （2）在图中画出 （3）求的面积． 22. 为促进学生健康成长，学校全面推行课后服务模式．在课后服务时间内组织学生进行自主阅读、体育、艺术、及其他一些有益身心健康的活动，学生根据自己的喜好，自主选择．学校随机抽取了部分学生进行调查（抽取的学生都选择了一种自己喜爱的活动），下面是根据调查情况，得到的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题： （1）求出本次调查中，随机抽取的学生人数； （2）补全条形统计图，并求出“其他”所对应的圆心角的度数； （3）若该校学生总人数为840人，估计选择阅读的学生有多少人？ 四、几何证明与计算（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 23. 在下面的括号内，填上推理的依据． 如图，，求证：． 证明：∵， ∴（ ）， ∴（ ）． 24. 如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）若平分交于点E，，试说明． 五、应用题（本大题共1小题，共8分） 25. 某商场同时采购了A，B两种品牌的运动装，第一次采购A品牌运动装10件，B品牌运动装30件，采购费用为8600元；第二次只采购了B品牌运动装50件，采购费用为11000元． （1）求A，B两种品牌运动装的采购单价分别为多少元每件？ （2）商家通过一段时间的营销后发现，B品牌运动装的销售明显比A品牌好，商家决定采购一批运动装，要求：①采购B品牌运动装的数量是A品牌运动装的2倍多10件，且A品牌的采购数量不低于18件；②采购两种品牌运动装的总费用不超过15000元，请问该商家有哪几种采购方案？ 六、拓展延伸题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 26. 定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”． （1）①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）； ②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______； （2）若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围； （3）已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根． 27. 如图1，点E是直线上一点，F是直线上一点，． （1）求证：； （2）如图2，，与的平分线交于点Q，与相交于点M，若，求的度数； （3）如图3，平分，平分，，当的大小不变时，下列结论：①的度数不变；②的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省株洲市渌口区朱亭镇中学多校期末联考2024-2025学年七年级下学期期末数学试题 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 4．本试卷共三道答题，27道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列实数：，，0，，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念．解题的关键是理解无理数的定义，能区分有理数和无理数．无理数是无限不循环小数． 根据无理数的定义，对每个选项进行判断，即得． 【详解】解：在，，0，中，是无理数． 故选：A． 2. 如果，那么下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．， ，故本选项不符合题意； B．， ，故本选项符合题意； C．， ，故本选项不符合题意； D．， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列说法错误的是（ ） A. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件 B. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是偶数 C. 了解一批灯泡的质量，采用抽样调查的方式 D. 天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨 【答案】A 【解析】 【分析】根据事件的定义，调查方式，可能性，解答即可． 本题考查了事件的分类，调查方式，可能性，正确掌握分类，调查方式和可能性是解题的关键． 【详解】解：A. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，说法错误， 本选项符合题意； B. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是偶数是随机事件，正确； 本选项不符合题意； C. 了解一批灯泡的质量，采用抽样调查的方式，正确， 本选项不符合题意； D. 天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨，正确， 本选项不符合题意； 故选：A． 4. 学校为了了解七年级学生喜欢的社团课中竹艺手工、竹影社及竹乐社所占的比例，通常采用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 以上均可 【答案】B 【解析】 【分析】根据各统计图的特征与优缺点进行选择即可． 【详解】解：了解七年级学生喜欢的社团课中竹艺手工、竹影社及竹乐社所占的比例，通常采用扇形统计图， 故选：B． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、折线统计图的特点，熟练掌握扇形统计图能反映部分与整体的关系，更容易看出部分占整体的比例是解题的关键． 5. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 解集表示在数轴上，如图所示， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中到轴的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：到轴的距离是． 故选：A． 7. 如图，从小明家到公路l共有三条路线，其中路线．他选择路线到公路的距离近的理由是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，据此可得答案． 【详解】解；从小明家到公路l共有三条路线，其中路线．他选择路线到公路的距离近的理由是垂线段最短， 故选：B． 8. 下列关于的说法中，错误的是（ ） A. 是无理数 B. 2<<3 C. 5的平方根是 D. 是5的算术平方根 【答案】C 【解析】 【分析】根据和算术平方根、平方根的性质逐一判断即可． 【详解】A、是无理数，说法正确； B、2＜＜3，说法正确； C、5的平方根是±，故原题说法错误； D、是5的算术平方根，说法正确； 故选C． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的区别，无理数的估算，关键是要熟记平方根和算术平方根的区别． 9. 记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有只羊，乙有只羊，可列出方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设甲有只羊，乙有只羊，根据乙给甲一只羊，则甲的羊数为乙的两倍可得：甲的羊数乙的羊数；如果甲给乙一只羊，则两人的羊数相同可得等量关系：甲的羊数乙的羊数，进而可得方程组． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊，根据题意得， ． 10. 解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据在数轴上表示解集的方法判断即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式①②的解集在同一条数轴上表示为： 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将正确答案写在答题卡相应的横线上） 11. 若点在第二象限，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】在第二象限内的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，列式求值即可． 【详解】解：∵在第二象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，此特点常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 12. 已知实数a，b满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了偶次方的性质以及算术平方根的定义，求代数式的值；正确把握相关定义是解答关键．直接利用偶次方的性质以及算术平方根的定义得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 13. 已知，用含有y的式子表示x，结果为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数． 把y看作已知数求出x即可． 【详解】解：方程 解得： 故答案为：． 14. 已知是二元一次方程组的解，则的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 则． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 15. 如图是杆称在称重物时的示意图，已知，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，根据两直线平行，内错角相等得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，点P位于原点，第1秒钟向右移动1个单位，第2秒钟向上移动2个单位，第3秒钟向左移动3个单位，第4秒钟向下移动4个单位，第5秒钟向右移动5个单位，…依此类推，经过2024秒钟后，点P的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的性质、规律型问题．画出图形，探究规律后利用规律即可解决问题． 【详解】解：如图， 观察图形可知4的倍数秒点P在第三象限的角平分线上， ∵， ∴经过2024秒钟后，点P在第三象限， ∵P4的坐标为， P8的坐标为， …， ∴的坐标为， ∴的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤） 17. 计算：． 【答案】13 【解析】 【分析】根据算术平方根，立方根，绝对值的化简计算即可，本题考查了算术平方根，立方根，绝对值，熟练掌握计算的方法是解题的关键． 【详解】 ． 18. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶关联点”（为常数，且）． 例如：点的“2阶关联点”为点，即点． （1）点的“3阶关联点”的坐标为______． （2）若点的“4阶关联点”为，求点的坐标． （3）若点的“阶关联点”到两坐标轴的距离相等，求的值． 【答案】（1）； （2）点的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查新定义下的点坐标规律，二元一次方程组； （1）根据题目定义得到，即可求出； （2）设点的坐标为，根据题目定义得到二元一次方程组，计算求解即可； （3）根据题目定义列式计算得到点的“阶关联点”为，再根据计算求解即可． 【小问1详解】 解：点的“3阶关联点”的坐标为， ∴坐标为：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 点的“4阶关联点”为， ， 解得， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：点， ∴ 点的“阶关联点”为． 由题意可得：， 或． 解得或． 19. 解不等式，并求出该不等式的最小整数解． 【答案】，最小整数解为1． 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式的最小整数解，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可． 【详解】解： 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴原不等式的最小整数解为1． 20. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将它的解集在数轴上表示出来，如图所示： ． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集，然后在数轴上表示其解集即可得到答案．熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 原不等式组得解集为， 将它的解集在数轴上表示出来，如图所示： ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，是的边AC上任意一点，经过平移后得到，点P的对应点为． （1）写出各点的坐标： （______，______），（______，______），（______，______）， （2）在图中画出 （3）求的面积． 【答案】（1）3，1；1，-1；4，-2 （2） △A1B1C1如图所示， （3）4 【解析】 【分析】（1）根据点P（a，b）的对应点为P1（a+6，b-2），据此将各点的横坐标加6、纵坐标减2可得； （2）顺次连接各顶点即可得； （3）利用割补法求解可得． 【小问1详解】 是的边AC上任意一点，经过平移后得到，点P的对应点为 所以，平移后各点的横坐标加6、纵坐标减2， 故， ，C1（4，-2）， 故答案为：3，1；1，-1；4，-2 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的面积=3×3-×2×2-×3×1-×1×3 =9-2-1.5-1.5 =4． 【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 22. 为促进学生健康成长，学校全面推行课后服务模式．在课后服务时间内组织学生进行自主阅读、体育、艺术、及其他一些有益身心健康的活动，学生根据自己的喜好，自主选择．学校随机抽取了部分学生进行调查（抽取的学生都选择了一种自己喜爱的活动），下面是根据调查情况，得到的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题： （1）求出本次调查中，随机抽取的学生人数； （2）补全条形统计图，并求出“其他”所对应的圆心角的度数； （3）若该校学生总人数为840人，估计选择阅读的学生有多少人？ 【答案】（1）120 （2）补全的条形统计图如图所示：， （3）126 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据喜爱体育的人数和所占的百分比，可以计算出本次被调查的学生有多少名； （2）根据（1）的结论可得喜爱艺术的人数，从而可以将条形统计图补充完整；根据“其他”所占比例即可求出计算； （3）用样本估计总体列式解答即可． 【小问1详解】 解：随机抽取的学生人数为：（人； 【小问2详解】 喜爱艺术：（人， “其他”所对应的圆心角度数为 【小问3详解】 （人， 选择“阅读”的学生大约有126人． 四、几何证明与计算（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 23. 在下面的括号内，填上推理的依据． 如图，，求证：． 证明：∵， ∴（ ）， ∴（ ）． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（ 两直线平行，同旁内角互补）， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 24. 如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）若平分交于点E，，试说明． 【答案】（1） （2） 说明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质求解即可； （2）首先根据角平分线的概念得到，然后利用平行线的性质得到，进而利用平行线的判定定理证明即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键 五、应用题（本大题共1小题，共8分） 25. 某商场同时采购了A，B两种品牌的运动装，第一次采购A品牌运动装10件，B品牌运动装30件，采购费用为8600元；第二次只采购了B品牌运动装50件，采购费用为11000元． （1）求A，B两种品牌运动装的采购单价分别为多少元每件？ （2）商家通过一段时间的营销后发现，B品牌运动装的销售明显比A品牌好，商家决定采购一批运动装，要求：①采购B品牌运动装的数量是A品牌运动装的2倍多10件，且A品牌的采购数量不低于18件；②采购两种品牌运动装的总费用不超过15000元，请问该商家有哪几种采购方案？ 【答案】（1）A种品牌运动装的采购单价为200元每件，B种品牌运动装的采购单价为220元每件； （2）该商家共有3种采购方案， 方案1：A种品牌运动装采购18件，B种品牌运动装采购46件； 方案2：A种品牌运动装采购19件，B种品牌运动装采购48件； 方案3：A种品牌运动装采购20件，B种品牌运动装采购50件． 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）设A种品牌运动装的采购单价为x元每件，B种品牌运动装的采购单价为y元每件，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设A种品牌运动装采购m件，则B种品牌运动装采购件，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【小问1详解】 设A种品牌运动装的采购单价为x元每件，B种品牌运动装的采购单价为y元每件．根据题意，得 解得 答：A种品牌运动装的采购单价为200元每件，B种品牌运动装的采购单价为220元每件． 【小问2详解】 设A种品牌运动装采购m件，则B种品牌运动装采购件． 根据题意，得 解得 又∵m为整数，． ∴该商家共有3种采购方案， 方案1：A种品牌运动装采购18件，B种品牌运动装采购46件； 方案2：A种品牌运动装采购19件，B种品牌运动装采购48件； 方案3：A种品牌运动装采购20件，B种品牌运动装采购50件． 六、拓展延伸题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 26. 定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”． （1）①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）； ②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______； （2）若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围； （3）已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根． 【答案】（1）①B，C；② （2） （3）的平方根为． 【解析】 【分析】（1）根据定义分别求得的值即可求解； （2）解不等式组得，根据是“爱心点”可得；进一步可得，，据此即可求解； （3）由题意得，解不等式组得；根据p，q为有理数可得，据此即可求解 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴ ∴ 同理：由得： 此时， 由得： 此时，， ∴是“爱心点”的有； ②∵点是“爱心点” ∴且 即： 故答案为：①B，C；② 【小问2详解】 解：解不等式组得： ∵是“爱心点”， ∴由（1）可知： ∵s是不等式组的最大整数解 ∴ ∴ ∴， 解得： 【小问3详解】 解：∵点是“爱心点”， ∴ 由，得： ∴ ∵p，q为有理数， ∴ ∴ ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了新定义题型，涉及了一元一次不等式组的求解、二元一次方程组的求解等知识点，正确理解题意是解题关键． 27. 如图1，点E是直线上一点，F是直线上一点，． （1）求证：； （2）如图2，，与的平分线交于点Q，与相交于点M，若，求的度数； （3）如图3，平分，平分，，当的大小不变时，下列结论：①的度数不变；②的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图1，过点P作， ， ， ，， ， ， ， ． （2） （3） 的度数不变． 理由如下：连接， 设，，则， FM平分∠PFD， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数不变， 的度数不变． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）过点P作，分别证明，，进而可证； （2）设，，则，然后根据（1）的结论求解即可； （3）连接，设，，则，由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，从而，求出，由（1）得，进而可求出，即的度数不变． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，， 平分， ， 由（1）结论可知：， ， 由（1）结论可知：， ， ， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $