第八讲 有理数的减法 暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025年新七年级人教版数学上暑假预习讲义 第八讲 有理数的减法（解析版） 知识点梳理 知识点1 有理数减法的基本法则 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即：a - b = a + (-b) （将减法转化为加法，再利用加法法则计算） 要点诠释 1.变减为加：将减号（−）改为加号（+），同时把减数（b）变为它的相反数（-b）。 按加法法则计算：同号相加：绝对值相加，符号不变。异号相加：绝对值相减，符号取绝对值较大者的符号。 2. 符号处理：减号变加号后，减数的符号必须同时改变。 零的特殊性：a−0=a，0−a=−a。 3、总结口诀 “减号变加号，减数变相反；再按加法算，符号看大小。” 知识点2 有理数减法的实际应用 根据问题中提供的信息，建立有理数减法模型，进而解决实际问题 要点诠释： 有理数减法在现实生活中有广泛的应用，以下是几个典型的实际场景和对应的解析： 1.财务收支计算关键点：连续减法表示多次支出，结果为0说明收支平衡。 2.温度变化测量关键点：温度上升（加正数）、下降（加负数）均可视为有理数运算。 3.海拔高度差异关键点：减去负数等于加正数，体现“差值”的实际意义。 4.时间轴上的倒计时关键点：负数减法表示时间线上的反向调整。 5.商业利润与亏损关键点：不同计算方式对应不同业务解释。 例题精析 题型1 有理数的减法法则理解 例1．有理数 m，n 在数轴上的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 名师支招 减号变加号，减数变相反；再按加法算，符号看大小。 【答案】A 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数的减法运算 【分析】根据数轴上有理数的位置，有理数的运算，不等式的基本性质，计算判断即可． 本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则，不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，且 ∴， 故B选项错误； ∵， ∴， 故A选项正确；C选项错误； ∵， ∴， 故D选项错误； 故选：A． 变式训练 1．有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，老师让四位同学用字母表示法则，则四位同学中表示完全正确的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】．A 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法法则，相反数，熟练掌握用字母表示法则是解题的关键． 根据减法法则以及相反数的定义判断即可． 【详解】解：有理数的减法法则是：减去一个数等于加上这个数的相反数， 用字母表示为， 所以甲同学表示正确． 故选：A． 2．下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 【答案】．D 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的减法运算、有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的运算，比较大小，绝对值的意义，根据相关运算法则，绝对值的意义，逐一进行判断即可．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】解：A、两个有理数的差为正数，则被减数一定大于减数，两个数中不一定有正数，比如；原说法错误，不符合题意； B、，不一定小于，例如：，；原说法错误，不符合题意； C、a为任何有理数，则必为非正数；原说法错误，不符合题意； D、若，则a为非正数；原说法正确，符合题意； 故选D． 3．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】．C 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、有理数大小比较、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴与有理数，由数轴可得，，据此逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则和大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，，故错误， ∵，，， ∴，故正确，错误， 故选：． 4．若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C．a D．ab 【答案】A 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、有理数大小比较、有理数的定义 【分析】本题主要考查了运用有理数的概念、有理数加减运算、有理数的大小比较等知识点，掌握有理数的加减运算法则成为解题的关键． 根据有理数的概念与运算法则进行比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴中最大的一个数是． 故选：A． 5．若，则a、b在数轴上表示的点的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的减法运算、绝对值的几何意义、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的意义，根据绝对值的意义，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、由数轴得，，不符合题意； B、由数轴得，，不符合题意； C、由数轴得，，不符合题意； D、由数轴得，，符合题意； 故选：D． 题型2 有理数的减法运算 例2．计算： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 名师支招 变减为加：将减号（−）改为加号（+），同时把减数（b）变为它的相反数（-b）。 按加法法则计算：同号相加：绝对值相加，符号不变。异号相加：绝对值相减，符号取绝对值较大者的符号。 【答案】 0 16 8 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数加法和减法运算法则成为解题的关键。 分别运用有理数的加法法则和减法法则进行计算即可求解． 【详解】解：； ； ； ； ； ； ； ； ； 。 故答案为：；；；；；；；；；． 变式训练2 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则计算即可； （4）根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有A，B，C三个点，其中A到B的距离为3，B到C的距离为8． (1)若以B为原点，则数轴上点A所表示的数是______，点C所表示的数是______． (2)记A，B，C所对应的数的和为m，原点到B的距离为2，求m的值． 【答案】(1)，8； (2)或11 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离，有理数的加减法： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）分原点在点B右侧和左侧两种情况，分别求出点A，点B，点C表示的数，然后求和即可得到答案． 【详解】（1）解：∵A到B的距离为3，B到C的距离为8， ∴当以点B为原点，点A表示的数是，点C表示的数是； 故答案为：，8； （2）解：当原点在点B右侧时， ∵原点到点B的距离为2， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数是，点C表示的数是， ∴； 当原点在点B左侧时， ∵原点到点B的距离为2， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数是，点C表示的数是， ∴； 综上所述，m的值为或11． 3．下面有、0，，四个有理数． (1)求最大数与最小数的差． (2)若再添上一个有理数，使得五个有理数的和为0，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数大小比较、有理数的减法运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据题意找出最大的数和最小的数作减法即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）由题意可知，最大的数是，最小的数是， ∴ ； （2）由题意可得， ． 4．已知，，且，求的值． 【答案】或 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了化简绝对值、代数式求值等知识点，根据题意求得或、成为解题的关键． 根据绝对值的意义并结合已知条件分别求得a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∵， ∴或、， ∴或． 答：的值为或． 5．在数轴上，，两点所表示的数分别对应着有理数和． (1)对照数轴填写下表： ，两点间的距离 (2)若，两点间的距离记为，则与，之间有何数量关系？ (3)在数轴上标出所有符合条件的整数点，使它到表示的点和表示的点的距离之和为（不包括表示和的点），并求出所有这些整数的和． 【答案】(1)，，，，， (2) (3)这些整数的和为 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴，有理数的知识，解题的关键是掌握数轴的性质，数轴上两点间的距离，有理数的加减运算，进行解答，即可． （1）数轴上两点之间的距离是用右边点表示的数，减去左边的点表示的数，即可； （2）通过观察数轴上，两点间的距离就是这两点表示的数的差的绝对值，即可； （3）建立数轴，在数轴上标出所有符合条件的点，即可． 【详解】（1）解：由数轴可得， ，两点间的距离 故答案为：，，，，，． （2）解：由表格可得，数轴上两点之间的距离是用右边点表示的数，减去左边的点表示的数， ∴． （3） 解：由数轴可得： ∴整数点到表示的点和表示的点的距离之和为，这些整数为：，，，，，，， ∴这些整数的和为：． 题型3 有理数的减法的实际应用 例3.．2024国庆假期，全国从10月1日到7日放假7天，各地景区游人如织，西安文旅市场热度不减．据统计，西安位列国庆假日“热门目的地”第二、“高铁游热门目的地”第五、“入境游热门目的地”第八，世界人文之都魅力进一步彰显．在9月30日西安城墙的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)七天假期里，游客人数最多的是10月_____日，达到_____万人．游客人数最少的是10月_____日，达到_____万人． (2)请问西安城墙在这七天内一共接待了多少游客？ (3)如果你爸妈的朋友也打算明年国庆节来逛西安城墙，你对他们出行的日期有何建议？为什么这么建议？ 名师支招 根据问题中提供的信息，建立有理数减法模型，进而解决实际问题 【答案】(1) (2)万 (3)最好在十一后几天出行，人数较少（答案不唯一） 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查正数与负数，有理数的加减；准确理解题意，利用正数负数求出每天的人数是解题的关键． （1）分别求出每天的人数，即可求解； （2）求出每天人数，再求和得出结果； （3）最好在十一后几天出行，人数较少． 【详解】（1）解：10月1日游客：（万人）， 10月2日游客：（万人）， 10月3日游客：（万人）， 10月4日游客：（万人）， 10月5日游客：（万人）， 10月6日游客：（万人）， 10月7日游客：（万人）， 由此可知人数最多的是2号，万人， 人数最少的是7号，万人， 故答案为； （2）解：万人， ∴在这八天内一共接待了万游客； （3）解：最好在十一后几天出行，人数较少． 变式训练3 1．如图，这是太原市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（　　） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 【答案】B 【知识点】有理数大小比较、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用和有理数的比较大小等知识点，分别求出每天的温差，然后进行比较即可，熟练掌握有理数减法的运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：星期一的温差为：， 星期二的温差为：， 星期三的温差为：， 星期四的温差为：， ∵ ∴日温差最大的一天是星期二， 故选：B 2．流花河的警戒水位是米，下表记录的是今年某一周内的水位变化情况，取河流的警戒水位作为0点，并且上周末（星期日）的水位达到警戒水位，正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降 (1)请在下表中填写本周流花河每天的实际水位高度情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际高度/米 (2)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？ 【答案】(1)见解析 (2)星期二的河流的水位最高，星期一的河流的水位最低，它们都位于警戒水位之上，与警戒水位的距离分别是米 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查正负数的实际应用，有理数的减法法则； （1）根据正负数进行加减运算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际高度/米 74 （2）解：由（1）可知：星期二的河流的水位最高，星期一的河流的水位最低， ∵戒水位是米， ∴，， ∴它们都位于警戒水位之上， ∴，， ∴与警戒水位的距离分别是米． 3．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上； (2)25米； (3)4次，理由见解析． 【知识点】正负数的实际应用、有理数大小比较的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，若结果为0，则守门员回到了球门线上，否则没有； （2）求出每次离球门的距离即可得到答案； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：根据题意得：米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线（米）； 第三次跑距离开球门线（米）； 第四次跑距离开球门线（米）； 第五次跑距离开球门线（米）； 第六次跑距离开球门线（米）； 第七次跑距离开球门线（米）； 第八次跑距离开球门线（米）．                                ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）解：对方球员有4次挑射破门的机会，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 4．某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 38 188 458 (1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数． (2)说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？ (3)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少． 【答案】(1) (2)亏了，亏了8元 (3)盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，正负数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）用总数减去另外6天的盈亏情况，得出答案即可； （2）根据解析（1）的计算结果进行判断即可； （3）根据表格中数据列式计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴星期五的盈亏数为； （2）解：由于是负数，故星期五亏了，亏了8元． （3）解：（元）． 答：盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 5．财商教育有助于培养孩子的独立生活能力和积极向上的价值观、社会责任感．小昆在妈妈的协助下，通过售卖废报纸、饮料瓶，转卖二手书，义卖闲置物品等方式获得一定收入，并用于购买学习用具和一些日常所需品．为了更好的理财，他每周做一次收支记录，其中一个月的收入和支出记录如下（收入用“”，支出用“”，单位：元）： ，，，，，，，． (1)小昆这个月是超支了还是有结余？如果超支，超支了多少？如果结余，结余了多少？ (2)若规定：收入元，支出元，经手金额为元，则小昆这个月经手总金额离元超过或不足多少元？ 【答案】(1)小昆这个月有结余，结余了元； (2)不足元 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】（） 把各数相加，求出和，再根据正负数的意义即可判断求解； （）求出各数绝对值的和，再利用有理数的减法即可判断求解； 本题考查了有理数加法和减法的实际应用，正负数的意义的实际应用，绝对值的意义，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：小昆这个月有结余，结余了元； （2）解：， ∵， ∴小昆这个月经手总金额离元不足元． 易错易混诠释 1.法则运用错误：有理数减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a−b=a+(−b)。在转化时，要同时改变运算符号和减数的性质符号，若只改变运算符号，未改变减数性质符号就会出错。针对训练111111 1．数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的减法计算，根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为， 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】3 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据有理数的减法运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：3． 2.运算符号混淆：有理数减法中，被减数与减数位置不能随意交换，因为减法没有交换律。同时，不能将减法法则与加法法则类比，如0减任何数应按减法法则计算，不能错误认为0减任何数都得这个数本身针对训练2111111 1．下列计算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据有理数的加减运算进行计算即可求解． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意；     D． ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．比低的气温是（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据温度变化的含义，低即温度减少，进行减法运算即可求解． 【详解】解：． 故选：C． 3.运算律使用不当：在将减法统一成加法后，运用加法运算律简化计算时，可能会出现使用不当的情况。比如在省略括号的和的形式中，去括号时要注意符号，能省掉的“+”号要省掉，若不注意就会导致错误 。针对训练111111 1． ． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，解题关键是掌握有理数减法法则． 直接利用有理数的减法法则计算． 【详解】解：． 故答案为：． 2．如图为某市几天的每日最高气温与最低气温的变化趋势图，根据图中信息可知，温差最大的是 日． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了折线统计图的应用以及有理数的减法，熟练掌握有理数减法法则是解题的关键．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 求出每天的最高气温与最低气温的差，再比较大小即可． 【详解】解：∵由折线统计图可知， 15日的日温差； 16日的日温差； 17日的日温差； 18日的日温差； 19日的日温差； 20日的日温差； ∴温差最大的是16日． 故答案为：16． 创新拓展能力提升 1．下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． (1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． (2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 【答案】(1)五；39 (2)见解析 (3)米，下降了，下降了0.8米 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）找到表格中数据的最大数据，进行判断和求解即可； （2）根据题意，列出算式，填表即可； （3）利用周一的实际水位减去变化量求出上一星期日的水位，求出图（2）表格中数据的和，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，该水库这星期水位最高的一天是星期五，这一天的实际水位是米 （2），，， 填表如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （3）上一星期日的水位为（米）． （米）， 所以与上一星期日相比，这一星期日该水库水位是下降了，下降了0.8米． 2．数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)折叠纸面，使数轴上表示3的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ①表示5表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数是多少？ (3)如图2，在数轴上剪下表示和7的两点间的一段纸带，并把纸带两端朝纸带的正中间处折叠，使表示和7的两点重合，则两条折痕处对应的点所表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)①；②，； (3)和． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确①数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，②数轴上任意两点的距离为两点对应的数的绝对值． （1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出与重合； （2）根据对称性找到折痕的点为1，①设5表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②根据数轴上A、B两点之间距离为6可得A到折痕的点距离为3，由此得出A、B两点表示的数； （3）根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上表示3的点与表示的点重合， ∴折痕为原点O， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）∵折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ∴折痕表示的点为1， ①设5表示的点与数a表示的点重合， 则， 解得：； 故答案为：； ②∵数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合， 则A、B两点表示的数分别是和； （3）由题意可得，，， 即两条折痕处对应的点所表示的数分别是和． 3．“十一”黄金周期间，某乐园在7天假期中每天的游客人数变化如下表所示．以1万人为标准，多于1万人的记为“+”，不足1万人的记为“”，刚好1万人的记为“0” 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 0 (1)10月2日这一天的游客有_____万人． (2)请求出黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多多少万人． (3)若该乐园的门票是每人100元，请计算黄金周期间该乐园的门票收入． 【答案】(1)3.5 (2)万人 (3)1270万元 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数运算的应用． （1）用1万加上10月2号变化的人数即可； （2）用记录数据最多的一天减去最少的一天即可； （3）先求出所记录数据变化的人数，加上7天的标准人数，求出出总人数，再乘以100即可． 【详解】（1）解：万人， 故答案为：3.5； （2）解：由题意，得： （万人）， 答：黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多万人． （3）解： （万人）， （万人）， （万元）， 答：黄金周期间该乐园的门票收入是1270万元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新七年级人教版数学上暑假预习讲义 第八讲 有理数的减法 知识点梳理 知识点1 有理数减法的基本法则 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即：a - b = a + (-b) （将减法转化为加法，再利用加法法则计算） 要点诠释 1.变减为加：将减号（−）改为加号（+），同时把减数（b）变为它的相反数（-b）。 按加法法则计算：同号相加：绝对值相加，符号不变。异号相加：绝对值相减，符号取绝对值较大者的符号。 2. 符号处理：减号变加号后，减数的符号必须同时改变。 零的特殊性：a−0=a，0−a=−a。 3、总结口诀 “减号变加号，减数变相反；再按加法算，符号看大小。” 知识点2 有理数减法的实际应用 根据问题中提供的信息，建立有理数减法模型，进而解决实际问题 要点诠释： 有理数减法在现实生活中有广泛的应用，以下是几个典型的实际场景和对应的解析： 1.财务收支计算关键点：连续减法表示多次支出，结果为0说明收支平衡。 2.温度变化测量关键点：温度上升（加正数）、下降（加负数）均可视为有理数运算。 3.海拔高度差异关键点：减去负数等于加正数，体现“差值”的实际意义。 4.时间轴上的倒计时关键点：负数减法表示时间线上的反向调整。 5.商业利润与亏损关键点：不同计算方式对应不同业务解释。 例题精析 题型1 有理数的减法法则理解 例1．有理数 m，n 在数轴上的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 名师支招 减号变加号，减数变相反；再按加法算，符号看大小。 变式训练 1．有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，老师让四位同学用字母表示法则，则四位同学中表示完全正确的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 2．下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 3．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C．a D．ab 5．若，则a、b在数轴上表示的点的位置可能是（　　） A． B． C． D． 题型2 有理数的减法运算 例2．计算： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 名师支招 变减为加：将减号（−）改为加号（+），同时把减数（b）变为它的相反数（-b）。 按加法法则计算：同号相加：绝对值相加，符号不变。异号相加：绝对值相减，符号取绝对值较大者的符号。 变式训练2 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有A，B，C三个点，其中A到B的距离为3，B到C的距离为8． (1)若以B为原点，则数轴上点A所表示的数是______，点C所表示的数是______． (2)记A，B，C所对应的数的和为m，原点到B的距离为2，求m的值． 3．下面有、0，，四个有理数． (1)求最大数与最小数的差． (2)若再添上一个有理数，使得五个有理数的和为0，求的值． 4．已知，，且，求的值． 5．在数轴上，，两点所表示的数分别对应着有理数和． (1)对照数轴填写下表： ，两点间的距离 (2)若，两点间的距离记为，则与，之间有何数量关系？ (3)在数轴上标出所有符合条件的整数点，使它到表示的点和表示的点的距离之和为（不包括表示和的点），并求出所有这些整数的和． 题型3 有理数的减法的实际应用 例3.．2024国庆假期，全国从10月1日到7日放假7天，各地景区游人如织，西安文旅市场热度不减．据统计，西安位列国庆假日“热门目的地”第二、“高铁游热门目的地”第五、“入境游热门目的地”第八，世界人文之都魅力进一步彰显．在9月30日西安城墙的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)七天假期里，游客人数最多的是10月_____日，达到_____万人．游客人数最少的是10月_____日，达到_____万人． (2)请问西安城墙在这七天内一共接待了多少游客？ (3)如果你爸妈的朋友也打算明年国庆节来逛西安城墙，你对他们出行的日期有何建议？为什么这么建议？ 名师支招 根据问题中提供的信息，建立有理数减法模型，进而解决实际问题 变式训练3 1．如图，这是太原市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（　　） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 2．流花河的警戒水位是米，下表记录的是今年某一周内的水位变化情况，取河流的警戒水位作为0点，并且上周末（星期日）的水位达到警戒水位，正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降 (1)请在下表中填写本周流花河每天的实际水位高度情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际高度/米 (2)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？ 3．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 4．某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 38 188 458 (1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数． (2)说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？ (3)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少． 5．财商教育有助于培养孩子的独立生活能力和积极向上的价值观、社会责任感．小昆在妈妈的协助下，通过售卖废报纸、饮料瓶，转卖二手书，义卖闲置物品等方式获得一定收入，并用于购买学习用具和一些日常所需品．为了更好的理财，他每周做一次收支记录，其中一个月的收入和支出记录如下（收入用“”，支出用“”，单位：元）： ，，，，，，，． (1)小昆这个月是超支了还是有结余？如果超支，超支了多少？如果结余，结余了多少？ (2)若规定：收入元，支出元，经手金额为元，则小昆这个月经手总金额离元超过或不足多少元？ 易错易混诠释 1.法则运用错误：有理数减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a−b=a+(−b)。在转化时，要同时改变运算符号和减数的性质符号，若只改变运算符号，未改变减数性质符号就会出错。针对训练111111 1．数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为 ． 2．计算： ． 2.运算符号混淆：有理数减法中，被减数与减数位置不能随意交换，因为减法没有交换律。同时，不能将减法法则与加法法则类比，如0减任何数应按减法法则计算，不能错误认为0减任何数都得这个数本身针对训练2111111 1．下列计算中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．比低的气温是（ ） A．2 B． C． D．4 3.运算律使用不当：在将减法统一成加法后，运用加法运算律简化计算时，可能会出现使用不当的情况。比如在省略括号的和的形式中，去括号时要注意符号，能省掉的“+”号要省掉，若不注意就会导致错误 。针对训练111111 1． ． 2．如图为某市几天的每日最高气温与最低气温的变化趋势图，根据图中信息可知，温差最大的是 日． 创新拓展能力提升 1．下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． (1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． (2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 2．数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)折叠纸面，使数轴上表示3的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ①表示5表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数是多少？ (3)如图2，在数轴上剪下表示和7的两点间的一段纸带，并把纸带两端朝纸带的正中间处折叠，使表示和7的两点重合，则两条折痕处对应的点所表示的数是多少？ 3．“十一”黄金周期间，某乐园在7天假期中每天的游客人数变化如下表所示．以1万人为标准，多于1万人的记为“+”，不足1万人的记为“”，刚好1万人的记为“0” 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 0 (1)10月2日这一天的游客有_____万人． (2)请求出黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多多少万人． (3)若该乐园的门票是每人100元，请计算黄金周期间该乐园的门票收入． 学科网（北京）股份有限公司 $$