精品解析：江苏省淮安市开明集团校2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年度第二学期期末考试 初一数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分；请将答案填涂在答题纸上） 1. 苏科版新教材的编写非常注重数学史内容的融入．下列是我国古代数学研究中使用到的一些图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 割圆术示意图 B. 杨辉三角 C. 赵爽弦图 D. 河图 2. “平湖渺渺漾天光，泻入溪桥喷玉凉”，这是出生于淮安的明代小说家吴承恩描写大运河美景的诗句． 水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A B. C. D. 4. 三角形的两边长分别是2和3，则第三边的边长可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 5. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，沿直线翻折，使得点A与点B重合，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”可理解为：清明出去游园，所有人共乘坐了8条船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，38人刚好坐满．设大船有x只，小船有y只，则根据题意可列方程组为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为12，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分；请将答案写在答题纸上） 9. 计算：_______． 10. 正六边形的内角和为___度． 11. 代数式的值是正数，则的取值范围为_______． 12. 已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为______． 13. 命题“如果，那么”__________命题．（填“真”或“假”） 14. 如图，在中，是的角平分线，，垂足是．若，则的长_______． 15. 如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则_______． 16. 如图，在等边中，为边上的中线，．将沿着射线方向向下平移得，连接，，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共72分；请把解题过程写在答题纸上） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）解方程组：； （2）利用数轴解不等式组：． 19. 网格作图：在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都为1个单位．已知，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），直线l在格线上． （1）请画出向上平移5个单位后的； （2）请画出，使它与关于直线对称； （3）请在直线l上画出一点P，使得线段的长度和最小． 20. 如图，在中． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作边的垂直平分线交于点P； ②作角平分线交于点Q； （2）若，在（1）条件下，当____时，点P和点Q重合． 21. 已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，与相交于点．． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴①（垂直的定义）． 在和中， （已证）， （已知） ②（已知）， ∴． ∴（④）． ∴（⑤）． 又∵（已知）， ∴⑥（等式的性质）， 即． 22. 已知：如图，C是的中点，，且．求证：． 23. “小菜园”是淮阴中学开明分校设立的特色劳动课课程之一． 如图，初一（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． （1）求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含a，b的代数式表示）； （2）当，时，种植青椒区域的面积为 平方米． 24. 电视剧《北上》的热播，推动了淮安市花街的旅游热潮． 花街附近某家文创店发现《老淮安》和电视剧原著小说《北上》这两种书近来十分畅销，决定再次购进这两种书共100本．已知购买1本《北上》比购买1本《老淮安》贵5元；购买1本《北上》和2本《老淮安》共需80元． （1）请求出《北上》和《老淮安》每本的价格分别为多少元？（请列二元一次方程组解决） （2）若购买这两种书的总价不超过2900元，则该文创店至多购买多少本《北上》小说？ 25. 【阅读材料】： 解答＂已知，且，试确定的取值范围＂有如下解法： 解：解题思想一：＂消元＂ ∵（①（用含y的代数式表示）， ∴． ∵，即②． 又∵． 解题思想二：＂配凑＂ 上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． 【完善材料】材料中①为，②为，③为； 【方法应用】若，且，试确定的取值范围； 【拓展提升】若（是大于3的整数），且，当的取值范围内恰有个整数时，则的值为． 26. 在△ABC中，，于点D，点E为边上的中点，连接DE． 基本图形再认识】 如图1，的形状是 三角形； 【基本变换再探索】 如图2，点M为线段上一点，连接，将线段绕点D沿逆时针方向旋转，得线段，连接，求证：； 【基本变换再应用】 如图3，点P为线段上一点，连接，作，交延长线于点Q，线段与之间的数量关系为 ，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期末考试 初一数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分；请将答案填涂在答题纸上） 1. 苏科版新教材的编写非常注重数学史内容的融入．下列是我国古代数学研究中使用到的一些图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 割圆术示意图 B. 杨辉三角 C. 赵爽弦图 D. 河图 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2. “平湖渺渺漾天光，泻入溪桥喷玉凉”，这是出生于淮安的明代小说家吴承恩描写大运河美景的诗句． 水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、由，两边加1，不等号方向不变，得，故A不成立； B、由，两边减，得，故B不成立； C、由，两边乘，不等号方向改变，得，故C一定成立； D、若和同号，则；但若，则（例如，），故D不一定成立； 故选：C． 4. 三角形的两边长分别是2和3，则第三边的边长可以是（ ） A 1 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，即构成三角形的条件—“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值． 【详解】解：设这个三角形的第三边长为， 根据三角形的三边关系定理，得：， 解得， 在四个选项的数值中，只有数值3符合， 故选：B． 5. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 6. 如图，在中，，沿直线翻折，使得点A与点B重合，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，由三角形内角和定理求出，由折叠的性质可得，再由等边对等角可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵沿直线翻折，使得点A与点B重合， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”可理解为：清明出去游园，所有人共乘坐了8条船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，38人刚好坐满．设大船有x只，小船有y只，则根据题意可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的建立，根据题目中的数量关系列出正确的方程组即可． 【详解】解：设大船有条，小船有条， 根据题意： 总船数为8条，因此第一个方程为：， 总人数为38人，大船每船坐6人，小船每船坐4人，因此第二个方程为：， 即． 故选：B． 8. 如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为12，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则大正方形的面积为，小正方形的面积为，表示出阴影部分的面积，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， ∴， ∴， 故大正方形的面积与小正方形的面积之差为， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分；请将答案写在答题纸上） 9. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 10. 正六边形的内角和为___度． 【答案】720 【解析】 【详解】解：因为多边形的内角和公式：180°（n﹣2）， 所以正六边形的内角和：180°×（6﹣2）=180°×4=720°． 故答案为：720 11. 代数式的值是正数，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是根据题意得出关于的一元一次不等式．根据题意得出不等式，解不等式可得答案． 【详解】解：依题意， 解得：， 故答案为：． 12. 已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是将方程的解代入方程求解． 本题可将方程解代入二元一次方程，得到关于的一元一次方程，进而求解． 【详解】∵是关于的二元一次方程的一个解， ， 解得：， 故答案为：． 13. 命题“如果，那么”是__________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析题设是否能推出结论，可得答案． 【详解】如果，那么或故是假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题． 14. 如图，在中，是的角平分线，，垂足是．若，则的长_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的性质定理进行求解． 本题可根据角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等，来求解的长度． 【详解】 ∵是的角平分线，， 故答案为：3． 15. 如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转得，，而点落在边上的点处，由，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转到， ∴，， ∵点落在边上的点处， ∴， 故答案：． 16. 如图，在等边中，为边上的中线，．将沿着射线方向向下平移得，连接，，则的最小值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平移的性质，含度角直角三角形的性质等知识，关键是把求的最小值转化为求的最小值．过作于G，则，从而有，当三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长，从而取得最小值为长度的2倍；利用等边三角形的性质，得，则可求得的最小值． 【详解】解：由平移性质知：； 如图，过作于G， ∵是等边三角形，为边上的中线， ∴； ∵， ∴， ∴， 当三点共线时，此时，取得最小值，最小值为线段的长， ∴取得最小值，最小值为长度的2倍； ∵是等边三角形，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：6． 三、解答题（本大题共10小题，共72分；请把解题过程写在答题纸上） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式乘法混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以单项式，以及积的乘方进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）解方程组：； （2）利用数轴解不等式组：． 【答案】（1）；（2），数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）用加减消元法求解即可． （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再将两个不等式解集表示在数轴上，取公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） ，得： 解得： 将代入② 解得： ∴． （2） 解不等式①得： 解不等式②得： 解集表示在数轴上： ∴不等式组的解集为： 19. 网格作图：在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都为1个单位．已知，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），直线l在格线上． （1）请画出向上平移5个单位后的； （2）请画出，使它与关于直线对称； （3）请在直线l上画出一点P，使得线段的长度和最小． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移、轴对称以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握这些图形变换的性质进行作图． （1）根据平移的性质，将的每个顶点向上平移5个单位，再连接各顶点得到平移后的三角形． （2）根据轴对称的性质，找到各顶点关于直线l的对称点，再连接各对称点得到对称后的三角形． （3）作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点， 因为和关于直线对称，所以，则， 根据两点之间线段最短，的长度就是的最小值，与直线的交点即为所求． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 如图，连接，交直线于点，连接，此时，为最小值，则点即为所求． 20. 如图，中． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作边的垂直平分线交于点P； ②作的角平分线交于点Q； （2）若，在（1）的条件下，当____时，点P和点Q重合． 【答案】（1）①见解析②见解析 （2）50 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握这些性质和定理进行作图和求解． （1）①根据垂直平分线的尺规作图方法作图即可；②根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）可根据线段垂直平分线和角平分线的性质，结合三角形内角和定理来求解的度数． 【小问1详解】 解：①如图，直线即为所求； ②如图，射线即为所求； 【小问2详解】 当点和点重合时，为的平分线，为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：50． 21. 已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，与相交于点．． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴①（垂直的定义）． 在和中， （已证）， （已知） ②（已知）， ∴． ∴（④）． ∴（⑤）． 又∵（已知）， ∴⑥（等式的性质）， 即． 【答案】①；②；③1；④全等三角形的对应角相等（或全等三角形的性质）；⑤等角对等边；⑥ 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 依据“”判定和全等得，再根据等角对等边得，然后根据即可得出． 【详解】证明：∵（已知）， ∴①（垂直的定义）． 在和中， （已证）， （已知） ②（已知）， ∴． ∴1（④全等三角形的对应角相等（或全等三角形的性质））． ∴（⑤等角对等边）． 又∵（已知）， ∴⑥（等式的性质）， 即． 故答案为：（1）；（2）；（3）1；（4）全等三角形的对应角相等；（5）等角对等边；（6）． 22. 已知：如图，C是的中点，，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质，先由点C是的中点得到，再由得到，即可通过“”证明． 【详解】解：∵点C是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ 23. “小菜园”是淮阴中学开明分校设立的特色劳动课课程之一． 如图，初一（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． （1）求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含a，b的代数式表示）； （2）当，时，种植青椒区域的面积为 平方米． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法的实际应用，代数式求值． （1）种植青椒区域的面积等于长方形菜园面积减去正方形区域的面积，运用整式的乘法进行计算即可； （2）把a，b的值代入求值即可． 【小问1详解】 解：种植青椒区域的面积为 （平方米） 故答案为： 【小问2详解】 解：当，时， ， ∴种植青椒区域的面积为11平方米． 故答案为：11． 24. 电视剧《北上》的热播，推动了淮安市花街的旅游热潮． 花街附近某家文创店发现《老淮安》和电视剧原著小说《北上》这两种书近来十分畅销，决定再次购进这两种书共100本．已知购买1本《北上》比购买1本《老淮安》贵5元；购买1本《北上》和2本《老淮安》共需80元． （1）请求出《北上》和《老淮安》每本的价格分别为多少元？（请列二元一次方程组解决） （2）若购买这两种书的总价不超过2900元，则该文创店至多购买多少本《北上》小说？ 【答案】（1）每本《北上》的价格为30元，每本《老淮安》的价格为25元 （2）至多购买80本《北上》 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式解决实际问题，读懂题意，厘清数量关系是解题的关键． （1）设每本《北上》的价格为x元，每本《老淮安》的价格为y元，根据“购买1本《北上》比购买1本《老淮安》贵5元；购买1本《北上》和2本《老淮安》共需80元”列出方程组，求解即可； （2）设文创店购买m本《北上》小说，则购买本《老淮安》，根据“购买这两种书的总价不超过2900元”列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设每本《北上》的价格为x元，每本《老淮安》的价格为y元．根据题意，得 ， 解得． 答：每本《北上》的价格为30元，每本《老淮安》的价格为25元． 【小问2详解】 解：设文创店购买m本《北上》小说，则购买本《老淮安》，根据题意，得 ， 解得． 答：该文创店至多购买80本《北上》小说． 25. 【阅读材料】： 解答＂已知，且，试确定的取值范围＂有如下解法： 解：解题思想一：＂消元＂ ∵（①（用含y的代数式表示）， ∴． ∵，即②． 又∵． 解题思想二：＂配凑＂ 上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． 【完善材料】材料中①，②为，③为； 【方法应用】若，且，试确定的取值范围； 【拓展提升】若（是大于3的整数），且，当的取值范围内恰有个整数时，则的值为． 【答案】[完善材料]①，②，③；[方法应用]；[拓展提升]8 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质以及解不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质进行求解． （1）根据材料中的解题思路和不等式的性质来确定①、②、③的值； （2）根据材料中的解题思想，通过消元法、配凑法确定的取值范围； （3）根据已知条件，通过消元表示出，再根据的取值范围内恰有个整数来确定n的值． 【详解】解题思想一：“消元” ，（用含y的代数式表示）， ，即， 又∵， 解题思想二：：“配凑”上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． 故答案为：①；；③； [方法应用] ∵， ， ， ， 即， 又∵， ， ， ，即， ∴的取值范围是； [拓展提升] ∵， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ∴的取值范围是， ∵的取值范围内恰有个整数，且是大于3的整数， 故答案为：8． 26. 在△ABC中，，于点D，点E为边上的中点，连接DE． 【基本图形再认识】 如图1，的形状是 三角形； 【基本变换再探索】 如图2，点M为线段上一点，连接，将线段绕点D沿逆时针方向旋转，得线段，连接，求证：； 【基本变换再应用】 如图3，点P为线段上一点，连接，作，交延长线于点Q，线段与之间的数量关系为 ，请说明理由． 【答案】基本图形再认识：等边；基本变换再探索：见解析；基本变换再应用：，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 基本图形再认识：根据等腰三角形性质得，再根据直角三角形斜边中线的性质得，由此即可得出的形状； 基本变换再探索：由旋转性质得：，由是等边三角形得，由此得，由此可证明和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； 基本变换再应用：延长到H，使，连接，证明是等边三角形得，由此可证明，进而依据“”判定和全等得，则，由此即可得出线段与之间的数量关系． 【详解】基本图形再认识：的形状是等边三角形，理由如下： 解：在中，，，于点D， ∴， ∵点E为边上的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边； 基本变换再探索：证明：由旋转的性质得：，， 由基本图形再认识可知：是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； 基本变换再应用：解：线段、与之间的数量关系为：，理由如下： 延长到H，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由基本图形再认识可知：， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$