精品解析：江苏省淮安市清江浦区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

七年级质量调研数学试卷 （卷面总分：150分； 考试时间：120分钟） 【提示】：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效！ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一种碳纳米管直径为0.5纳米．0.5纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ） A B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 10 5. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　） A 10° B. 15° C. 20° D. 25° 7. 《孙子算经》记载： “今有木， 不知长短． 引绳度之， 余绳四尺五寸； 屈绳量之， 不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设绳长为尺，长木长为尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点D在边上（如图1），先将沿着翻折，使点A落在点处，交于点E（如图2），再将沿着翻折，点C恰好落在上的点处（如图3），则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，，若，则为_______°． 10. 若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是______________． 11. 计算：=_______． 12. 若，，则的值为________． 13. 命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”）． 14. 如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，， 则的平移距离为________． 15. 如图，将一张长方形纸板裁剪成十二块，其中有两块是边长都为m的大正方形，三块是边长都为n的小正方形，七块是长为m，宽为n的完全相同的小长方形．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为_______． 16. 如图，在中，，点E是的中点，交于点F，则四边形的面积的最大值是________． 三、解答题（本大题共11小题，共 102分．） 17. 计算或化简 （1）计算：； （2）化简： 18. 解方程组：． 19. 解不等式组：，并写出它的整数解． 20. 如图，，且，点E在线段上，连接， ．求 的度数． 21. 如图，，，，求证：．把下面的证明过程补充完整． 证明：∵，（已知） 又∵（平角的定义） 即 ∴（ ① ） ∴（ ② ） ∴（ ③ ） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴ ④ ∥ ⑤ （ ⑥ ） ∴（ ⑦ ） 22. 如图，，是线段上任意一点，在同一侧分别以，为边作正方形、正方形．设．解答下列问题（用含的代数式表示） （1）①正方形的边长为 ； ②求这两个正方形的面积之和S；（需化简） （2）若连接，求图中阴影部分的面积． 23. 三角形的中线、角平分线、高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．请应用这个结论解决以下问题： （1）如图1，中，，则三条高所在的直线交于点 ； （2）请仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． ① 如图2，中，， 已知两条高、， 请你画出 的第三条高； ② 如图3，在给定的正方形网格中，的三个顶点均为格点，请你画出 的高． 24. 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 根据上述规律解答下列问题： （1）任意写出一个有相同规律等式 ； （2）① 直接写出第n个 （，且n是整数） 等式 ； ② 请证明你在①中所写的等式成立． 25. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台600元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利600元，销售1台甲型自行车和3 台乙型自行车，可获利550元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过15000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 26. 【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”． 例如：不等式的解都不是不等式 的解， 则 是 的“相斥不等式”． 【应用】 （1）在不等式①，②， ③这三个一元一次不等式中， 是的“相斥不等式”的有 （填序号）； （2）若关于的不等式是的“相斥不等式”，同时也是 的“相斥不等式”， 求的取值范围； （3）若是关于的不等式是非零常数）的“相斥不等式”，求的取值范围． 27. 已知，，直线交于点 M，交于点 N，（点 E 是线段 上一点 （不与 M、N重合）， P、Q分别是射线、上异于端点的点，连接、， 平分交 于点F， 平分交直线于点 G． （1）如图1， ， ， 点 G在线段 上． ①求 的度数； ②求 的度数； （2）试探索与 之间的数量关系； （3）已知 ． 直线、交于点K， 直线从与直线重合的位置开始绕点N顺时针旋转，旋转速度为每秒，当首次与直线重合时，运动停止，在此运动过程中，经过t秒，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级质量调研数学试卷 （卷面总分：150分； 考试时间：120分钟） 【提示】：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效！ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一种碳纳米管直径为0.5纳米．0.5纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：D． 2. 下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴1处为实心圆点，且折线向右； ∵， ∴2处为空心圆点，且折线向左， ∴四个选项中只有D符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方．根据以上运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 第三边应大于，而小于， 故第三边的长度， 这个三角形的第三边长可以是3． 故选：B． 5. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解．根据因式分解的概念“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解”可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选：C． 6. 将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小． 【详解】由图可得,∠CDE=40° ,∠C=90°， ∴∠CED=50°， 又∵DE∥AF， ∴∠CAF=50°， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAF=60°−50°=10°， 故选A. 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键. 7. 《孙子算经》记载： “今有木， 不知长短． 引绳度之， 余绳四尺五寸； 屈绳量之， 不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设绳长为尺，长木长为尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设绳长为尺，长木长为尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可列方程组；从而可得答案． 【详解】解：设绳长为尺，长木长为尺，列方程组为， 故选C． 8. 如图，在中，，，点D在边上（如图1），先将沿着翻折，使点A落在点处，交于点E（如图2），再将沿着翻折，点C恰好落在上的点处（如图3），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查翻折后对应角相等，三角形的内角和等于，根据翻折后对应角相等得到，利用已知条件和三角形的内角和等于，建立等量关系可求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠可得， ∴， 故选B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，，若，则为_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的定义，根据两直线平行，同位角相等解题即可． 【详解】如图，∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是______________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，先求出该正多边形的一个外角等于，再根据正多边形外角和为360度进行求解即可． 【详解】解：∵正多边形的一个内角等于， ∴该正多边形的一个外角等于， ∴这个正多边形的边数是， 故答案为：6． 11. 计算：=_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方．先把原式变形为，再利用积的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，平方差公式．先将代数式根据平方差公式分解为：，再整体代入求解， 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13. 命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】举个反例，得出它是错误的即可． 【详解】解：假设，则满足， 但， 因此，这个命题是假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查判断命题的真假，掌握举反例得出一个命题为假命题是解题的关键．判断一个命题为真需要经过证明，但判断一个命题为假，只需要找到一个反例即可． 14. 如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，， 则的平移距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式时，将平移到， 故平移后点A与点D重合， 则的平移距离为， 故答案为：． 15. 如图，将一张长方形纸板裁剪成十二块，其中有两块是边长都为m的大正方形，三块是边长都为n的小正方形，七块是长为m，宽为n的完全相同的小长方形．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，因式分解．由图可知，是长方形纸板的面积，即可得出结论． 【详解】解：由图可知，长方形的两条邻边的长分别为：，， ∴长方形纸板的面积为：， 又长方形纸板的面积为：， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在中，，点E是的中点，交于点F，则四边形的面积的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形得面积及中线的性质，等高的三角形面积比等于它的底边的比，三角形得中线把三角形分成两个面积相等的两个三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键，连接，设，根据，点是的中点分别表示出和，根据时最大，即可得出答案． 【详解】解：如图， ， 连接，设，根据 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴边上的高最大值为， ∴时最大，即的值最大， ∴的最大值=， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共 102分．） 17. 计算或化简 （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的运算，零指数幂，负指数幂，积的乘方，单项式乘除法． （1）分别根据有理数绝对值和乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则化简各数，再进行加减运算即可得到答案； （2）先利用积的乘方运算，单项式的乘法和除法运算，最后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．根据题意，利用加减消元法解二元一次方程组，即可得到答案． 【详解】解：， 由，得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． 19. 解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】，整数解为，0，1． 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组解集的求法．先求出两个不等式的解集，再找到其公共部分即不等式组的解集，最后找到不等式组的整数解，即可得到结果． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为，0，1． 20. 如图，，且，点E在线段上，连接， ．求 的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后利用三角形的外角等于与他不相邻的内角的和解题即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 又∵ ， ∴． 21. 如图，，，，求证：．把下面的证明过程补充完整． 证明：∵，（已知） 又∵（平角的定义） 即 ∴（ ① ） ∴（ ② ） ∴（ ③ ） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴ ④ ∥ ⑤ （ ⑥ ） ∴（ ⑦ ） 【答案】同角的补角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质．先利用同角的补角相等证明，再证明，可证明，可得，再证明，从而可得答案． 【详解】证明：∵，（已知） 又∵（平角的定义） 即 ∴（同角的补角相等） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 22. 如图，，是线段上任意一点，在同一侧分别以，为边作正方形、正方形．设．解答下列问题（用含的代数式表示） （1）①正方形的边长为 ； ②求这两个正方形的面积之和S；（需化简） （2）若连接，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）①；②； （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景． （1）①直接求得；②根据正方形的面积公式进行计算即可； （2）利用阴影部分的面积，据此计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：①由于，，则， 故答案为：； ②所以两个正方形的面积之和为； 【小问2详解】 解：∵正方形、正方形，，， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 23. 三角形的中线、角平分线、高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．请应用这个结论解决以下问题： （1）如图1，中，，则的三条高所在的直线交于点 ； （2）请仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． ① 如图2，中，， 已知两条高、， 请你画出 的第三条高； ② 如图3，在给定的正方形网格中，的三个顶点均为格点，请你画出 的高． 【答案】（1） （2）①见解析 ②见解析 【解析】 【分析】本题考查无刻度直尺作图—作三角形的高，掌握三角形的3条高所在直线交于同一点是解题的关键． （1）根据直角三角形的两条高线交于点，即可得到第三条也经过点，即可解题； （2）①延长高线和反向延长交于点，然后连接交边的延长线于点，则即为所作；②取格点和，连接并延长交于点E，然后连接并延长交于点H，则即为所作． 小问1详解】 解：∵， ∴的三条高所在的直线交于点； 【小问2详解】 ①如图，即为所作； ② 如图，即为所作； 24. 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 根据上述规律解答下列问题： （1）任意写出一个有相同规律的等式 ； （2）① 直接写出第n个 （，且n是整数） 等式 ； ② 请证明你在①中所写的等式成立． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）① ②见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意找规律即可解答； （2）①将原题中的规律用含有字母n的等式表示出来即可 ②运用完全平方公式展开，然后利用提取公因数解题即可． 【小问1详解】 解：第4个等式： ； 【小问2详解】 ①第n个 （，且n是整数） 等式为：； ② ． 25. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台600元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利600元，销售1台甲型自行车和3 台乙型自行车，可获利550元． （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过15000元，最少需要购买甲型自行车多少台？ 【答案】（1）甲型自行车利润为100元，一台乙型自行车利润为150元； （2）最少需要购买5台甲型自行车． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式解实际应用题． （1）设一台甲型自行车利润为元，一台乙型自行车利润为元，读懂题意，找准等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设最少需要购买m台甲型自行车，则乙型自行车购买台，读懂题意，找到不等关系列不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设一台甲型自行车利润为元，一台乙型自行车利润为元， 由题意可得， 解得， 甲型自行车利润为100元，一台乙型自行车利润为150元； 小问2详解】 解：设最少需要购买m台甲型自行车，则乙型自行车购买台， 则由题意可得， 解得， 最少需要购买5台甲型自行车． 26. 【定义】 若一元一次不等式①解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”． 例如：不等式的解都不是不等式 的解， 则 是 的“相斥不等式”． 【应用】 （1）在不等式①，②， ③这三个一元一次不等式中， 是的“相斥不等式”的有 （填序号）； （2）若关于的不等式是的“相斥不等式”，同时也是 的“相斥不等式”， 求的取值范围； （3）若是关于的不等式是非零常数）的“相斥不等式”，求的取值范围． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式及不等式组，熟练掌握解一元一次不等式和不等式组的技能，理解“相斥不等式”的定义是解题的关键． （1）根据“相斥不等式”定义即可求解； （2）根据“相斥不等式”的定义可得，解不等式组即可求解； （3）先“相斥不等式”的定义可得，然后求出不等式的解集为，然后得到，解关于k的不等式即可． 【小问1详解】 解：∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”； ∵的解有可能是的解， ∴不是的“相斥不等式”； ∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”； 故选①③； 【小问2详解】 解：解不等式得， 解不等式得， 解不等式得， 根据“相斥不等式”的定义得， 解得：； 【小问3详解】 解：∵是关于的不等式的“相斥不等式”， ∴， 解不等式得， ∴， 解得：． 27. 已知，，直线交于点 M，交于点 N，（点 E 是线段 上一点 （不与 M、N重合）， P、Q分别是射线、上异于端点的点，连接、， 平分交 于点F， 平分交直线于点 G． （1）如图1， ， ， 点 G在线段 上． ①求 的度数； ②求 的度数； （2）试探索与 之间的数量关系； （3）已知 ． 直线、交于点K， 直线从与直线重合的位置开始绕点N顺时针旋转，旋转速度为每秒，当首次与直线重合时，运动停止，在此运动过程中，经过t秒，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】（1）① ② （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）①过点作，然后利用平行线的性质得到，，然后根据垂直的定义得到，然后解题即可； ②过点作，然后利用平行线的性质解题即可； （2）分为当点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况，利用平行线的性质解题即可； （3）分为，和三种情况，画图，利用平行线的性质和三角形的外角的性质解题即可． 【小问1详解】 解：①过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵平分交 于点F， 平分交直线于点 G， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，当点G线段上时，过点作， ∵， ∴， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分交 于点F， 平分交直线于点 G， ∴，， ∴； 如图，当点G在射线上时，过点G作， ∵， ∴， 则， ∴； 【小问3详解】 如图，当时， ∵，， ∵由（2）得：，， 又∵与平行， ∴， ∴旋转时间为：； 如图，当时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴旋转时间为； 当时， ， 又∵， ∴， ∴旋转时间为； 综上所述，满足条件的t的值为或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的有关计算，掌握平行线的性质、三角形外角性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$