《1.3全等三角形的判定（一）--SAS》导学案 暑假预习手册4-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册4-《1.3全等三角形的判定（一）--SAS》 ( 一、 预习 目标 1.理解并掌握全等三角形判定方法一（SAS），即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 2.能够运用SAS判定方法进行简单的推理和证明，判断两个三角形是否全等。 3.通过观察、猜想、操作、验证等过程，培养自己的逻辑思维能力和空间观念。 ) ( 一、 预习内容 （一） 知识回顾 1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等 。比如，若 △ ABC ≌△ DEF，那么AB = DE，BC = EF，AC = DF； ∠ A = ∠ D， ∠ B = ∠ E， ∠ C = ∠ F。 思考下，全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的角平分线有什么关系呢？ 【 答案 】 ：全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的角平分线也相等 为一个三角形茶几配一块能与桌面完全重合的玻璃，需要测量哪些量? 从数学的角度看，就是要作一个与给定的三角形全等的三角形. 三角形中有三条边、三个角，给定三角形中的哪些条件就可以作出一个与之全等的三角形呢? （二）探究SAS判定方法 【活动】 1.用一张长方形纸剪一个直角三角形，怎样剪才能使每个人得到的直角三角形都能够重合? 【解析】沿着长方形纸的一个角去剪，使得每次剪的时候，所得到的直角三角形的两条直角边分别相等。这样做的原因是，对于直角三角形来说，当两条直角边分别相等时，再加上直角都为90 o 。这两个三角形就能完全重合。 2.如图，给定 △ ABC，在透明纸上用直尺和圆规作 △ A'B' ℃’ ,使得 ∠ B'= ∠ B,A'B'=AB,B'C'=BC 这两个三角形全等吗? 【解析】我们已经知道如何用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角。利用这些经验，可以按下列作法作出所求的三角形: ) ( 作法： 1.作 ∠ MB'N= ∠ B; 2.在射线 B'M，B'N上分别截取 A'B'=AB, B'C'=BC: 3.连接A'C. △ A'B'C'即为所求. 在实践的基础上，人们得到了如下基本事实: 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(简写成 “ 边角边 ” 或 “ SAS ” ) 这个基本事实可以用来判定两个三角形全等. 几何语言： 在 △ ABC和 △ A'B'C'中 ∴△ ABC ≌△ A'B'C ‘ (SAS). 这是用符号语言来简洁地表达判定定理，在书写证明过程时会经常用到，要注意对应边的位置书写正确。 （三） 深入理解SAS中的夹角 【 思考 】 ：如果不是两边的夹角，而是两边中其中一边的对角对应相等，两个三角形还全等吗？ 【解析】 可以通过画图来验证，比如先画一个 △ ABC，AB = 4cm，AC = 5cm， ∠ B = 30 ° ，然后再画一个 △ DEF，DE = 4cm，DF = 5cm， ∠ E = 30 ° ，但这个30 ° 角不是DE与DF的夹角，观察两个三角形是否全等。通过实际画图会发现，这样的两个三角形不一定全等，从而明确SAS中夹角的重要性。 （四） 运用SAS判定方法进行简单证明 例1 如图1，A，B分别是线段OD，OC上的点，OC=OD，OA = OB， 求证: △ OAC △ OBD 证明 ： 在 △ OAC和 △ OBD中， ∴△ OAC ≌△ OBD (SAS) 例题 图中的图形是轴对称图形吗?如果是，你能画出对称轴吗? ) ( 例2 .点C是AE的中点， ∠ A = ∠ ECD，AB = CD，求证： △ ABC ≌△ CDE． 证明： ∵ 点C是AE的中点， ∴ AC = CE， 在 △ ACB和 △ CED中， ∴ △ABC≌△CDE( SAS ). 例3 .如图所示，AD ⊥ AE，AB ⊥ AC，AD = AE，AB = AC，求证： △ ABD ≌△ ACE. 证明：∵ AD⊥AE，AB⊥AC， ∴ ∠CAB =∠DAE = 90°， ∴ ∠CAB+∠CAD =∠DAE+∠CAD， 即∠BAD =∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴ △ABD≌△ACE( SAS ). 例4 .如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD = CA.连接BC并延长到点E，使CE = CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？ 证明：在 △ ABC和 △ DEC中， ∴ △ABC≌△DEC( SAS ). ∴ AB = DE. ) ( 【 总结与思考 】 总结SAS判定方法的内容、条件和应用时的注意事项。 （ 1） SAS判定方法的内容 SAS即边角边判定定理，内容为：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 。用符号语言表示为：在 △ ABC 和 △ DEF 中，若 AB = DE， ∠ A = ∠ D，AC = DF，那么 △ ABC ≌△ DEF。 （ 2） SAS判定方法的条件 ① 有两组边对应相等。例如在上述 △ ABC 和 △ DEF 中的 AB 与 DE，AC 与 DF 。 ② 这两组边所夹的角对应相等。像 △ ABC 中的 ∠ A 和 △ DEF 中的 ∠ D ，是 AB 与 AC 、DE 与 DF 分别所夹的角。 （ 3） 应用时的注意事项 ① 角必须是两边的夹角：不能是其中一边的对角。比如已知 AB = DE，AC = DF ，若给出的角是 ∠ B 和 ∠ E ，就不能用 SAS 判定两个三角形全等，因为 ∠ B 不是 AB 与 AC 的夹角， ∠ E 不是 DE 与 DF 的夹角 。 ② 对应边和对应角要找准：在书写两个三角形全等的条件时，要按照对应顶点的顺序来写。例如 △ ABC ≌△ DEF，A 与 D 、B 与 E 、C 与 F 是对应顶点，对应的边和角要一一对应书写，这样才能准确运用 SAS 判定定理。 ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1 . 如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（　　） A. ∠A=∠C B. ∠D=∠B C. AD∥BC D. DF∥BE 【答案】B 【解析】当∠D=∠B时， 在△ADF和△CBE中∵ ， ∴△ADF≌△CBE（SAS） 2 . 如图，已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则图中有多少对三角形全等（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】∵AC与BD相交于点O，∴∠AOD=∠COB，∠AOB=∠COD，又∵OA=OC，OB=OD， ∴△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，∴AD=CB，AB=CD，又∵AC=CA，BD=DB，∴△ACD≌△CAB，△ABD≌△CDB，即图中共有4对全等三角形.故选D. 3 . 如图所示， 表示两根长度相同的木条，若 是 的中点，经测量 ，则容器的内径 为（ ） A. B. C. D. ) ( 【答案】B 【解析】∵O是AA′、BB′的中点，AA′=BB′，∴OA=OA′，OB=OB′， 在△AOB和△A′OB′中， ，∴△AOB≌△A′OB′，∴A′B′=AB=9cm． 故选：B． （二）填空题 4 . 如图，若AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，则 ，全等的依据是_________． 【答案】SAS 【解析】∵ ∴ (SAS)．故答案为SAS． 5 . 如图，OA＝OB，OC＝OD，∠D＝35°，则∠C等于__________； 【答案】35° 【解析】∵在△AOD与△BOC中，OA=OB，∠O=∠O，OC=OD， ∴△AOD≌△BOC，故 故答案为 6. 如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则全等的三角形是___________________. 【答案】△ACB≌△DCE 【解析】 即 在 和 中 ≌ .故答案为 ≌ . （三）解答题 7 . 如图， 和 都是等腰三角形，且 ， ，点B、C、D在同一条直线上；试说明： ； 解 ： ， ， ， ) ( 即 ， 和 都是等腰三角形， ， ， 在 和 中， ，∴ ，∴ 8 . 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AO平分∠BAC，交CD于点O，E为AB上一点，且AE=AC． （1）求证：△AOC≌△AOE；（2）求证：OE∥BC． 解 ： （1）∵AO平分∠BAC，∴∠CAO=∠EAO．在△ACO和△AEO中： ， ∴△AOC≌△AOE． （2）∵△AOC≌△AOE，∴∠ACO=∠AEO，∵ CD⊥AB于点D，∴∠ODE=∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠DCB=90°，∠AEO+∠EOD=90°，∴∠DCB=∠DOE，∴OE∥BC. ) ( 四．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1 ．如图，已知 ∠ 1＝ ∠ 2，用 “ SAS ” 证 △ ABC ≌△ ABD，还需（　　） A．BC＝BD B．AC＝AD C． ∠ C＝ ∠ D D． ∠ ABC＝ ∠ ABD 【 答案 】 B 【 解析 】由图可知，AB＝AB， ∵∠ 1＝ ∠ 2， ∴ 用 “ SAS ” 证 △ ABC ≌△ ABD，还需AC＝AD， 故选：B． 2 ．如图，点E、点F在BC上，BE＝CF， ∠ B＝ ∠ C，添加一个条件，不能证明 △ ABF ≌△ DCE的是（　　） A． ∠ A＝ ∠ D B． ∠ AFB＝ ∠ DEC C．AB＝DC D．AF＝DE 【 答案 】 D 【 解析 】 ∵ BE＝CF， ∴ BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE， ∴ 当 ∠ A＝ ∠ D时，利用AAS可得 △ ABF ≌△ DCE，故A不符合题意；当 ∠ AFB＝ ∠ DEC时，利用ASA可得 △ ABF ≌△ DCE，故B不符合题意；当AB＝DC时，利用SAS可得 △ ABF ≌△ DCE，故C不符合题意；当AF＝DE时，无法证明 △ ABF ≌△ DCE，故D符合题意；故选：D． 3 ．如图，在 △ ABC中，D，E是BC边上的两点，AD＝AE，BE＝CD， ∠ 1＝ ∠ 2＝110 ° ， ∠ BAE＝60 ° ，则 ∠ BAC的度数为（　　） A．90 ° B．80 ° C．70 ° D．60 ° 【 答案 】 B 【 解析 】 ∵ AD＝AE， ∴∠ ADC＝ ∠ AEB，在 △ ACD和 △ ABE中， ， ∴△ ACD ≌△ ABE（SAS）， ∴ AC＝AB， ∠ CAD＝ ∠ BAE＝60 ° ， ∴∠ B＝ ∠ C， ∵∠ C＝ ∠ 1 ﹣∠ CAD＝110 °﹣ 60 ° ＝50 ° ， ∴∠ B＝50 ° ， ∴∠ BAC＝180 °﹣∠ B ﹣∠ C＝180 °﹣ 50 °﹣ 50 ° ＝80 ° ，故选：B． ) ( 4 ．如图，a，b，c分别表示 △ ABC的三边长，则下列选项中与 △ ABC一定全等的三角形是（　　） A． B． C． D． 【 答案 】 B 【 解析 】A、其中有一个角相等，两条边相等，但是其中的角不是两条边的夹角，不能证明三角形全等，故此选项不符合题意；B、180 °﹣ 72 °﹣ 50 ° ＝58 ° ，所以这两个三角形有一个角对应相等，且有两条边对应相等，这个角也是两条边的夹角，可以证明三角形全等，故此选项符合题意；C、虽然由一个角和两条边对应相等，且角是夹角，但是边不是对应相等的，不能证明三角形全等，故此选项不符合题意；D、有两个角相等，但不是对应相等的，不能证明三角形全等，故此选项不符合题意；故选：B． 5 ．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上， ∠ BAC＝ ∠ DAE， ∠ 1＝25 ° ， ∠ 2＝30 ° ，则 ∠ 3＝（　　） A．55 ° B．50 ° C．45 ° D．60 ° 【 答案 】 A 【 解析 】 ∵∠ BAC＝ ∠ DAE， ∴∠ BAC ﹣∠ DAC＝ ∠ DAE ﹣∠ DAC， ∴∠ 1＝ ∠ EAC， 在 △ BAD和 △ EAC中， ， ∴△ BAD ≌△ EAC（SAS）， ∴∠ 2＝ ∠ ABD＝30 ° ， ∵∠ 1＝25 ° ， ∴∠ 3＝ ∠ 1+ ∠ ABD＝25 ° +30 ° ＝55 ° ，故选：A． 6 ．如图，AC＝DC，BC＝EC， ∠ ACD＝ ∠ BCE，则下列结论错误的是（　　） A． ∠ A＝ ∠ D B． ∠ B＝ ∠ E C．AB＝DE D．CD＝CE 【 答案 】 D 【 解析 】 ∵∠ ACD＝ ∠ BCE， ∴∠ ACD+ ∠ ACE＝ ∠ BCE+ ∠ ACE，即 ∠ DCE＝ ∠ ACB，在 △ ACB和 △ DCE中， ， ∴△ ACB ≌△ DCE（SAS）， ∴∠ A＝ ∠ D，AB＝DE， ∠ B＝ ∠ E．故选：D． 7 .如图，下列两个三角形全等的是（　　） A． ③④ B． ②③ C． ①② D． ①④ 【 答案 】 C 【 解析 】 观察三角形 ① 和 ② 的边和角的对应关系对于三角形 ① ，有两条边分别为2cm和 ) ( 3cm，它们的夹角是50 o 。对于三角形 ② ，同样有两条边分别为2cm和3cm，这两条边的夹角也是50 o 。根据全等三角形判定定理中的 “ 边角边 ” （SAS），即如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。在这里，三角形 ① 和 ② 满足两条边及其夹角分别相等的条件，所以三角形 ① 和 ② 全等。观察三角形 ③ 和 ④ 与 ① 、 ② 的关系三角形 ③ 中2cm和3cm这两条边的夹角不是50 o ，不满足与 ① 、 ② 全等的 “ 边角边 ” 条件。三角形 ④ 中2cm和3cm这两条边的夹角也不是50 o ，同样不满足与 ① 、 ② 全等的 “ 边角边 ” 条件。并且 ③ 和 ④ 之间边和角的对应关系也不满足全等三角形的判定条件。总结两个三角形全等的是 ①② ，答案选C。 8 ．如图， △ ABC中，AB ⊥ BC，BE ⊥ AC， ∠ 1= ∠ 2，AD=AB，则下列结论不正确的是（　　） A．BF=DF B． ∠ 1= ∠ EFD C．BF ＞ EF D．FD ∥ BC 【 答案 】 B 【 解析 】 ： ∵ AB ⊥ BC，BE ⊥ AC， ∴∠ C + ∠ BAC= ∠ ABE + ∠ BAC=90°， ∴∠ C= ∠ ABE，在 △ ABF与 △ ADF中， ， ∴△ ABF ≌△ ADF， ∴ BF=DF，故A正确， ∴∠ ABE= ∠ ADF， ∴∠ ADF= ∠ C， ∴ DF ∥ BC，故D正确； ∵∠ FED=90°， ∴ DF ＞ EF， ∴ BF ＞ EF；故C正确； ∵∠ EFD= ∠ DBC= ∠ BAC=2 ∠ 1，故B错误．故选B． 9 ．如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明 △ AOB ≌△ DOC还需（　　） A．AB=DC B．OB=OC C． ∠ C= ∠ D D． ∠ AOB= ∠ DOC 【 答案 】 B 【 解析 】 A、AB=DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；B、 ∵ 在 △ AOB和 △ DOC中 ， ∴△ AOB ≌△ DOC（SAS），故本选项正确；C、两三角形相等的条件只有OA=OD和 ∠ AOB= ∠ DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；D、根据 ∠ AOB= ∠ DOC和OA=OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；故选B．　 10. 如图， △ ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若 ∠ A=40°，则 ∠ DEF的度数是（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 【 答案 】 B 【 解析 】 ∵ AB=AC， ∴∠ B= ∠ C= （180°﹣ ∠ A） =70°，在 △ BDE和 △ CEF中， ， ∴△ BDE ≌△ CEF（SAS）， ∴∠ BDE= ∠ CEF， ∵∠ CED= ∠ B + ∠ BDE，即 ∠ CEF + ∠ DEF= ∠ B + ∠ BDE， ∴∠ DEF= ∠ B=70°；故选：B． 二．填空题（30分） 11 ．如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝___． ) ( 【答案】120° 【 解析 】 在 与 中， 故答案为： 12 ．如图在 与 中， 与 相交于点M， ，在不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母的情况下，要证明 ．需添加的一个条件是_____． 【答案】AD＝BC（答案不唯一） 【 解析 】：添加条件：AD＝BC，∵BC＝AD，∠2＝∠1，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD（SAS），∴AC＝BD． 1 3 ．如图是由4个全等的小正方形组成的网格，点 、 、 、 、 都在格点上，则 与 的数量关系为__________． 【答案】互补 【 解析 】如图∵ ， ， ,∴ ，∴ ，∴ ，故答案为：互补． 1 4 ．如图，把两根钢条的中点连在一起，就做成了一个可以测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中要测量工件内槽宽 ，只要测量出线段______的长度即可． 【答案】 【解析】 ：只要测量CD．理由：连接AB，CD，如图，∴OA=OC，OB=OD．在△AOB和△COD中，OA=OC，∠AOB=∠COD（对顶角相等），OB=OD，∴△AOB≌△COD（SAS）．∴CD=AB．答：需要测量CD的长度，即为工件内槽宽AB，故答案为：CD． 1 5 ．如图，有一个池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接达到点A和B，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长度就是A，B的距离，这是根据全等三角形判定______证明______全等______，从而得出 的长就是A，B的距离． 【答案】SAS △ABC △DEC ) ( 【 解析】 在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE．∴ 的长就是A，B的距离．故答案为：SAS，△ABC，△DEC． 16 ．如图，已知：AC＝DF，AC∥FD，AE＝DB，判断△ABC≌△DEF的依据是 ________ 【答案】 SAS 【 解析 】： ，∴ ， ， ， ，在△ABC和△DEF中 ，故选 ． 1 7 ．如图，在 △ ABC和 △ DEF中，已知AB＝DE，BC＝EF，根据（SAS）判定 △ ABC ≌△ DEF，还需的条件是 　 　 ． 【答案】∠ B= ∠ E 【解析】在 △ ABC和 △ DEF中，已经知道AB = DE，BC = EF。根据（SAS）判定定理，我们需要AB与BC的夹角 ∠ B和DE与EF的夹角 ∠ E相等，即 ∠ B= ∠ E， 18 ．如图，在 △ ABC中AB＝6，BC＝7，AC＝5，AD平分 ∠ BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则 △ BDE的周长为 __________. 【答案】8 【解析】已知AD平分 ∠ BAC，根据角平分线的定义可知 ∠ EAD = ∠ CAD。 在 △ ADE和 △ ADC中，有AE = AC（题目中在AB上截取AE = AC）， ∠ EAD = ∠ CAD ，AD = AD（公共边）。根据全等三角形判定定理中的边角边（SAS），可以得出 △ ADE ≌ △ ADC。 根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以ED = CD。已知AE = AC = 5，AB = 6，由于BE = AB - AE，将AB = 6，AE = 5代入可得BE = 6 - 5 = 1。因为BC = BD + CD，又因为ED = CD，所以BC = BD + ED，已知BC = 7，即BD + ED = 7。根据三角形周长的定义，BDE的周长为BE + BD + ED，将BE = 1，BD + ED = 7代入可得\ △ BDE的周长为1 + 7 = 8。 19. 如图，在 △ ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD＝BE，BD＝CF．若 ∠ EDF＝42 ° ，则 ∠ BAC的度数是 　　 ． 【答案】96 ° 【解析】因为在 △ ABC中，AB = AC，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，所以可得 ∠ B = ∠ C。在 △ BDE与 △ CFD中，已知BD = CF，由步骤1得到 ∠ B = ∠ C，又已知BE = CD。根据全等三角形的判定定理（SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），所以 △ BDE ≌ △ CFD(SAS)。根据全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，所以 ∠ EDB = ∠ DFC， ∠ FDC = ∠ BED。又因为 ∠ EDF + ∠ EDB + ∠ FDC = 180 ° （平角的定义：平角为180 ° ）， ∠ B + ∠ BED + ∠ EDB = 180 ° （三角形内角和定理：三角形内角和为180 ° ），且 ∠ FDC = ∠ BED， ∠ EDB = ∠ EDB，所以可得 ∠ B = ∠ EDF。 已知 ∠ EDF = 42 ° ，由步骤3可知 ∠ B = ∠ EDF，所以 ∠ B = 42 ° 。又因为 ∠ B = ∠ C（步骤1已证），所以 ∠ C = 42 ° 。在 △ ABC中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为180 ° ，即 ∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180 ° 。已知 ∠ B = 42 ° ， ∠ C = 42 ° ，所以 ∠ BAC = 180 ° - ∠ B - ∠ C = 180 ° - 42 ° - 42 ° = 96 ° 。 三．解答题（60分） ) ( 20 ．如图所示AB=AC，AD=AE，∠BAC＝∠DAE，∠1=28°，∠2=30°，则∠3=_________． 【答案】58° 【 解析 】∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝28°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°，故答案为：58°． 三．解答题（60分） 21 ．如图所示，点 A ， F ， C ， D 在同一条直线上，已知 AB ∥ DE ， AB ＝ DE ， AF ＝ DC ，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明． 解：图中有三对全等三角形，分别是 △ ABF ≌△ DEC ， △ ABC ≌△ DEF ， △ BCF ≌△ EFC. 选取 △ ABF ≌△ DEC ，证明如下： ∵ AB ∥ DE ， ∴∠ A ＝ ∠ D. 在 △ ABF 和 △ DEC 中， ∵ ∴△ ABF ≌△ DEC.(SAS) 22 要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳， O 为卡钳两柄交点，且有 OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD. 若圆形工件恰好通过卡钳 AB ，则此工件的外径必是 CD 的长．你能说明其中的道理吗？ 解：如图，连接 AB ， CD. 在 △ ABO 和 △ DCO 中， ∵ ∴△ ABO ≌△ DCO.(SAS) ∴ AB ＝ CD. 23 ．如图在 △ ABC 中， ∠ B ＝ ∠ C ， M 为 BC 上的一点， BN ＝ CM ， CP ＝ BM. 求证： ∠ NMP ＝ 90 ° － ∠ A. 证明：在 △ MBN 和 △ PCM 中， ∵ ∴△ MBN ≌△ PCM.(SAS) ∴∠ BMN ＝ ∠ CPM. ∵∠ PMB ＝ ∠ NMP ＋ ∠ BMN ＝ ∠ C ＋ ∠ CPM ， ∴∠ NMP ＝ ∠ C ＝ (180 ° － ∠ A) ＝ 90 ° － ∠ A . ) ( 24 ． 如图 ， 在长方形ABCD中 ， AB＝4 ，AD ＝6 ， 延长BC到点E ， 使CE＝2 ， 连结DE ， 动点P从点B出发 ， 以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动 ， 设点P的运动时间为t(s) ， 当t为何值时 ， △ ABP 和△DCE全等？ 解 ： ∵AB＝CD ， ∠ A ＝∠B＝∠DCE＝90° ∴△ ABP ≌△ DCE 或△BAP≌△DCE.当△ABP≌△DCE时 ，BP ＝CE＝2 ， 此时2t＝2 ， 解得t ＝ 1.当△BAP≌△DCE时 ，AP ＝CE＝2 ， 此时BC＋CD＋DP＝BC＋CD＋(DA－AP)＝6＋4＋(6－2)＝14 ， 即2t＝14 ， 解得t＝7. ∴ 当t＝1或7时 ， △ ABP 和△DCE全等 25. 如图所示，要在 A ， B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量 A ， B 两点间的距离，请你用所学知识按以下要求设计一套测量方案． (1) 画出测量图； (2) 写出测量步骤 ( 测量数据用字母表示 ) ，并计算 A ， B 间的距离 ( 写出求解或推理过程，结果用字母表示 ) ． 解： (1) 如图所示． (2) 在陆地上找到可以直接到达 A ， B 的一点 O ，在 AO 的延长线上取一点 C ，并使 OC ＝ OA ，在 BO 的延长线上取一点 D ，并使 OD ＝ OB ，这时测出 CD 的长为 a ，则 AB 的长为 a. 由测法可得 OC ＝ OA ， OD ＝ OB. 在 △ AOB 和 △ COD 中，因为 所以 △ AOB ≌△ COD.(SAS) 所以 AB ＝ CD ＝ a. 26 ． 如图 ， 已知在△ABC中 ，AB ＞AC ，BE，CF 都是△ABC的高线 ，P 是BE上一点 ， 且BP＝AC ，Q是 CF延长线上一点 ， 且CQ＝AB ， 连结AP ，AQ，QP. 求证： (1)AQ＝PA. (2)AP⊥AQ. 解 ： (1)∵BE ，CF 是△ABC的高线 ， ∴ BE ⊥ AC， CF⊥AB ， ∴∠ ABP ＋∠BAC＝∠ACQ＋∠BAC＝90 ° ， ∴∠ ABP ＝∠ACQ.在△AQC和△PAB中 ， ∵ ∴△ AQC ≌△ PAB (SAS)．∴AQ＝PA. (2)∵△AQC≌△PAB ， ∴∠ BAP ＝∠CQA. ∵∠ CQA ＋∠BAQ＝90 ° ， ∴∠ BAP ＋∠BAQ＝90 ° ， ∴ AP ⊥ AQ. 27 ．如图，已知 △ ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后， △ BPD与 △ CQP是否全等，请说明理由； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 △ BPD与 △ CQP全等？ ) ( 解：（1） △ BPD ≌△ CQP，理由如下： ∵ t=1s， ∴ BP=CQ=3 × 1=3（cm）， ∵ AB=10cm，点D为AB的中点， ∴ BD=5cm．又 ∵ PC=BC﹣BP，BC=8cm， ∴ PC=8﹣3=5（cm）， ∴ PC=BD．又 ∵ AB=AC， ∴∠ B= ∠ C，在 △ BPD和 △ CQP中 ， ∴△ BPD ≌△ CQP（SAS）； （2） ∵ v P ≠ v Q ， ∴ BP ≠ CQ，又 ∵△ BPD ≌△ CQP， ∠ B= ∠ C，则BP=PC=4，CQ=BD=5， ∴ 点P，点Q运动的时间t= = （s）， ∴ v Q = = = （cm/s），答：当点Q的运动速度为 cm/s，能够使 △ BPD与 △ CQP全等． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册4-《1.3全等三角形的判定（一）--SAS》 ( 一、 预习 目标 1.理解并掌握全等三角形判定方法一（SAS），即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 2.能够运用SAS判定方法进行简单的推理和证明，判断两个三角形是否全等。 3.通过观察、猜想、操作、验证等过程，培养自己的逻辑思维能力和空间观念。 ) ( 一、 预习内容 （一） 知识回顾 1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等 。比如，若 △ ABC ≌△ DEF，那么AB = DE，BC = EF，AC = DF； ∠ A = ∠ D， ∠ B = ∠ E， ∠ C = ∠ F。 思考下，全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的角平分线有什么关系呢？ 为一个三角形茶几配一块能与桌面完全重合的玻璃，需要测量哪些量? 从数学的角度看，就是要作一个与给定的三角形全等的三角形. 三角形中有三条边、三个角，给定三角形中的哪些条件就可以作出一个与之全等的三角形呢? （二）探究SAS判定方法 【活动】 1.用一张长方形纸剪一个直角三角形，怎样剪才能使每个人得到的直角三角形都能够重合? 2.如图，给定 △ ABC，在透明纸上用直尺和圆规作 △ A'B' ℃’ ,使得 ∠ B'= ∠ B,A'B'=AB,B'C'=BC 这两个三角形全等吗? ) ( 作法： 1.作 ∠ MB'N= ∠ B; 2.在射线 B'M，B'N上分别截取 A'B'=AB, B'C'=BC: 3.连接A'C. △ A'B'C'即为所求. 在实践的基础上，人们得到了如下基本事实: 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(简写成 “ 边角边 ” 或 “ SAS ” ) 这个基本事实可以用来判定两个三角形全等. 几何语言： 在 △ ABC和 △ A'B'C'中 ∴△ ABC ≌△ A'B'C ‘ (SAS). 这是用符号语言来简洁地表达判定定理，在书写证明过程时会经常用到，要注意对应边的位置书写正确。 （三） 深入理解SAS中的夹角 【 思考 】 ：如果不是两边的夹角，而是两边中其中一边的对角对应相等，两个三角形还全等吗？ （四） 运用SAS判定方法进行简单证明 例1 如图1，A，B分别是线段OD，OC上的点，OC=OD，OA = OB， 求证: △ OAC △ OBD 例题 图中的图形是轴对称图形吗?如果是，你能画出对称轴吗? ) ( 例2 .点C是AE的中点， ∠ A = ∠ ECD，AB = CD，求证： △ ABC ≌△ CDE． 例3 .如图所示，AD ⊥ AE，AB ⊥ AC，AD = AE，AB = AC，求证： △ ABD ≌△ ACE. 例4 .如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD = CA.连接BC并延长到点E，使CE = CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？ 【 总结与思考 】 总结SAS判定方法的内容、条件和应用时的注意事项。 （ 1） SAS判定方法的内容 SAS即边角边判定定理，内容为：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 。用符号语言表示为：在 △ ABC 和 △ DEF 中，若 AB = DE， ∠ A = ∠ D，AC = DF，那么 △ ABC ≌△ DEF。 （ 2） SAS判定方法的条件 ① 有两组边对应相等。例如在上述 △ ABC 和 △ DEF 中的 AB 与 DE，AC 与 DF 。 ② 这两组边所夹的角对应相等。像 △ ABC 中的 ∠ A 和 △ DEF 中的 ∠ D ，是 AB 与 AC 、DE 与 DF 分别所夹的角。 （ 3） 应用时的注意事项 ① 角必须是两边的夹角：不能是其中一边的对角。比如已知 AB = DE，AC = DF ，若给出的角是 ∠ B 和 ∠ E ，就不能用 SAS 判定两个三角形全等，因为 ∠ B 不是 AB 与 AC 的夹角， ∠ E 不是 DE 与 DF 的夹角 。 ② 对应边和对应角要找准：在书写两个三角形全等的条件时，要按照对应顶点的顺序来写。例如 △ ABC ≌△ DEF，A 与 D 、B 与 E 、C 与 F 是对应顶点，对应的边和角要一一对应书写，这样才能准确运用 SAS 判定定理。 ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1 . 如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（　　） A. ∠A=∠C B. ∠D=∠B C. AD∥BC D. DF∥BE 2 . 如图，已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则图中有多少对三角形全等（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3 . 如图所示， 表示两根长度相同的木条，若 是 的中点，经测量 ，则容器的内径 为（ ） A. B. C. D. （二）填空题 4 . 如图，若AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，则 ，全等的依据是_________． 5 . 如图，OA＝OB，OC＝OD，∠D＝35°，则∠C等于__________； 6. 如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则全等的三角形是___________________. （三）解答题 7 . 如图， 和 都是等腰三角形，且 ， ，点B、C、D在同一条直线上；试说明： ； 8 . 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AO平分∠BAC，交CD于点O，E为AB上一点，且AE=AC． （1）求证：△AOC≌△AOE；（2）求证：OE∥BC． ) ( 四．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1 ．如图，已知 ∠ 1＝ ∠ 2，用 “ SAS ” 证 △ ABC ≌△ ABD，还需（　　） A．BC＝BD B．AC＝AD C． ∠ C＝ ∠ D D． ∠ ABC＝ ∠ ABD 2 ．如图，点E、点F在BC上，BE＝CF， ∠ B＝ ∠ C，添加一个条件，不能证明 △ ABF ≌△ DCE的是（　　） A． ∠ A＝ ∠ D B． ∠ AFB＝ ∠ DEC C．AB＝DC D．AF＝DE 3 ．如图，在 △ ABC中，D，E是BC边上的两点，AD＝AE，BE＝CD， ∠ 1＝ ∠ 2＝110 ° ， ∠ BAE＝60 ° ，则 ∠ BAC的度数为（　　） A．90 ° B．80 ° C．70 ° D．60 ° 4 ．如图，a，b，c分别表示 △ ABC的三边长，则下列选项中与 △ ABC一定全等的三角形是（　　） A． B． C． D． 5 ．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上， ∠ BAC＝ ∠ DAE， ∠ 1＝25 ° ， ∠ 2＝30 ° ，则 ∠ 3＝（　　） A．55 ° B．50 ° C．45 ° D．60 ° 6 ．如图，AC＝DC，BC＝EC， ∠ ACD＝ ∠ BCE，则下列结论错误的是（　　） A． ∠ A＝ ∠ D B． ∠ B＝ ∠ E C．AB＝DE D．CD＝CE 7 .如图，下列两个三角形全等的是（　　） A． ③④ B． ②③ C． ①② D． ①④ ) ( 8 ．如图， △ ABC中，AB ⊥ BC，BE ⊥ AC， ∠ 1= ∠ 2，AD=AB，则下列结论不正确的是（　　） A．BF=DF B． ∠ 1= ∠ EFD C．BF ＞ EF D．FD ∥ BC 9 ．如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明 △ AOB ≌△ DOC还需（　　） A．AB=DC B．OB=OC C． ∠ C= ∠ D D． ∠ AOB= ∠ DOC 10. 如图， △ ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若 ∠ A=40°，则 ∠ DEF的度数是（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 二．填空题（30分） 11 ．如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝___． ) ( 12 ．如图在 与 中， 与 相交于点M， ，在不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母的情况下，要证明 ．需添加的一个条件是_____． 1 3 ．如图是由4个全等的小正方形组成的网格，点 、 、 、 、 都在格点上，则 与 的数量关系为__________． 1 4 ．如图，把两根钢条的中点连在一起，就做成了一个可以测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中要测量工件内槽宽 ，只要测量出线段______的长度即可． 1 5 ．如图，有一个池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接达到点A和B，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长度就是A，B的距离，这是根据全等三角形判定______证明______全等______，从而得出 的长就是A，B的距离． 16 ．如图，已知：AC＝DF，AC∥FD，AE＝DB，判断△ABC≌△DEF的依据是 ________ 1 7 ．如图，在 △ ABC和 △ DEF中，已知AB＝DE，BC＝EF，根据（SAS）判定 △ ABC ≌△ DEF，还需的条件是 　 　 ． 18 ．如图，在 △ ABC中AB＝6，BC＝7，AC＝5，AD平分 ∠ BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则 △ BDE的周长为 __________. 19. 如图，在 △ ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且CD＝BE，BD＝CF．若 ∠ EDF＝42 ° ，则 ∠ BAC的度数是 　　 ． ) ( 20 ．如图所示AB=AC，AD=AE，∠BAC＝∠DAE，∠1=28°，∠2=30°，则∠3=_________． 三．解答题（60分） 21 ．如图所示，点 A ， F ， C ， D 在同一条直线上，已知 AB ∥ DE ， AB ＝ DE ， AF ＝ DC ，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明． 22 要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳， O 为卡钳两柄交点，且有 OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD. 若圆形工件恰好通过卡钳 AB ，则此工件的外径必是 CD 的长．你能说明其中的道理吗？ 23 ．如图在 △ ABC 中， ∠ B ＝ ∠ C ， M 为 BC 上的一点， BN ＝ CM ， CP ＝ BM. 求证： ∠ NMP ＝ 90 ° － ∠ A. . 24 ． 如图 ， 在长方形ABCD中 ， AB＝4 ，AD ＝6 ， 延长BC到点E ， 使CE＝2 ， 连结DE ， 动点P从点B出发 ， 以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动 ， 设点P的运动时间为t(s) ， 当t为何值时 ， △ ABP 和△DCE全等？ ) ( 25. 如图所示，要在 A ， B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量 A ， B 两点间的距离，请你用所学知识按以下要求设计一套测量方案． (1) 画出测量图； (2) 写出测量步骤 ( 测量数据用字母表示 ) ，并计算 A ， B 间的距离 ( 写出求解或推理过程，结果用字母表示 ) ． 26 ． 如图 ， 已知在△ABC中 ，AB ＞AC ，BE，CF 都是△ABC的高线 ，P 是BE上一点 ， 且BP＝AC ，Q是 CF延长线上一点 ， 且CQ＝AB ， 连结AP ，AQ，QP. 求证： (1)AQ＝PA. (2)AP⊥AQ. 27 ．如图，已知 △ ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后， △ BPD与 △ CQP是否全等，请说明理由； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 △ BPD与 △ CQP全等？ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$