专题提升3 UAB＝Ed的两个推论 电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题-【金版教程】2025-2026学年高中物理必修第三册创新导学案全书Word（人教版2019）

物理　必修 第三册 RJ 专题提升三　UAB＝Ed的两个推论　电场线、 等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 提升1　UAB＝Ed的两个推论 在匀强电场中，由于U＝Ed，则在沿电场线方向上，U∝d，可以得出以下两个推论。 推论1：匀强电场中沿任一方向上电势随距离均匀变化，对任一线段AB的中点C的电势均满足φC＝，如图甲所示。 推论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示。 例1　如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，该正方形所在平面平行于电场。已知A、B、C三点的电势分别为φA＝30 V，φB＝6 V，φC＝－6 V，由此可得D点电势φD为(　　) A．48 V B．－30 V C．18 V D．12 V [解析]　在匀强电场中，根据E＝可知，匀强电场中任意两条平行线段如果长度相同则线段两端点间的电势差相等，因此φA－φB＝φD－φC，所以φD＝18 V，C正确。 [答案]　C 例2　(多选)如图所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一直角三角形，AB＝1 m，电场线与三角形所在的平面平行，已知A点的电势为5 V，B点的电势为－5 V，C点的电势为15 V，据此可以判断(　　) A．D点的电势为5 V B．电场强度方向由B指向A C．电场强度大小为20 V/m D．电场强度大小为 V/m [解析]　匀强电场中任一方向上电势随距离均匀变化，则D点的电势为φD＝＝5 V＝φA，所以AD为该匀强电场的一个等势面，电场强度方向垂直AD连线指向B，由几何知识可知电场线与AB并不平行，A正确，B错误；由几何知识可知，△ABD为等边三角形，则该匀强电场的电场强度大小为E＝＝＝ V/m，C错误，D正确。 [答案]　AD 根据UAB＝Ed的推论求匀强电场电场强度的方法 (1)根据推论找出两个电势相等的点，画出等势线。 (2)根据电场线与等势线的关系，由上述两点及其他点的电势高低，确定电场线的方向。 (3)根据E＝求匀强电场电场强度的大小。 提升2　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 解决该类问题应熟练掌握以下知识及规律 (1)电场线或等差等势面密集的地方电场强度大。 (2)电场线垂直于等势面，从电势较高的等势面指向电势较低的等势面，即沿着电场线方向电势降低得最快。 (3)带电粒子所受合力(往往仅为静电力)指向轨迹曲线的内侧；所受静电力的方向沿电场线的切线方向或反方向，即垂直于等势面。 (4)带电粒子在某点的速度方向为轨迹切线方向。 (5)静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增大。 (6)涉及的其他力学知识：牛顿第二定律、动能定理等。 例3　(多选)某静电场的电场线如图中实线所示，一带电粒子仅受电场力作用在电场中从M点沿虚线MN运动到N点，以下说法中正确的有(　　) A．带电粒子在M点的加速度小于在N点的加速度 B．M点电势低于N点电势 C．带电粒子在M点的电势能小于在N点的电势能 D．带电粒子在M点的动能小于在N点的动能 [解析]　由题图可知，M处的电场线比N处稀疏，所以M点电场强度小于N点电场强度，由qE＝ma可知，带电粒子在M点的加速度小于在N点的加速度，故A正确；沿电场线的方向电势降低，由题图可知，M点电势高于N点电势，故B错误；根据带电粒子轨迹的弯曲方向可知，带电粒子所受电场力沿电场线的方向，则粒子带正电，由Ep＝qφ且φM>φN可知，带正电粒子在M点的电势能大于在N点的电势能，故C错误；带电粒子仅受电场力作用，则带电粒子的电势能与动能之和恒定，又带电粒子在M点的电势能大于在N点的电势能，则带电粒子在M点的动能小于在N点的动能，故D正确。 [答案]　AD 例4　(多选)一粒子从A点射入电场，从B点射出电场，电场的等差等势面和粒子的运动轨迹如图所示，图中左侧前三个等势面彼此平行且间隔均匀，不计粒子的重力。下列说法正确的有(　　) A．粒子带负电荷 B．粒子的加速度先不变，后变小 C．粒子的速度不断增大 D．粒子的电势能先减小，后增大 [解析]　电场线如图所示，由于受力总指向运动轨迹的凹侧，故粒子带负电荷，A正确；由电场线分布知静电力先不变，后越来越小，由a＝知B正确；静电力一直做负功，粒子速度一直减小，电势能一直增大，C、D错误。 [答案]　AB 带电粒子在电场中运动轨迹问题的易错点 (1)误认为电场线方向就是电荷受到静电力的方向。 (2)误认为电场线是电荷在电场中的运动轨迹。 (3)静电力随便画，以为只朝轨迹弯曲的一侧就可以。静电力只可能有两个方向：要么沿电场强度的方向(对应于正电荷)，要么沿电场强度的反方向(对应于负电荷)。 (4)错误地根据电场线方向来判断电场强度的大小，应根据电场线的疏密来判断电场强度的大小。 课后课时作业 题型一　UAB＝Ed的两个推论 1．如图所示，在匀强电场中有边长为10 cm的等边三角形ABC，已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为2 V、6 V和－2 V，则匀强电场的电场强度大小为(　　) A．20 V/m B．40 V/m C．60 V/m D．80 V/m 答案：D 解析：设BC的中点为D，因匀强电场中任一方向上电势随距离均匀变化，则D点的电势为φD＝＝ V＝2 V，可知AD连线为等势线，则电场方向由B指向C，电场强度大小为E＝＝ V/m＝80 V/m，故选D。 2．如图所示，在匀强电场中有a、b、c、d四点，它们处于同一圆周上，且ac、bd分别是圆的直径，已知a、b、c三点的电势分别为φa＝12 V、φb＝20 V、φc＝24 V，则此圆的圆心O与d点的电势差为(　　) A．2 V B．3 V C．4 V D．6 V 答案：A 解析：根据几何知识知，ab长度等于cd长度，且线段ab平行于线段cd，根据在匀强电场中平行等长两线段端点之间的电势差相等，有φb－φa＝φc－φd，代入数据可得φd＝16 V，O点的电势φO＝＝18 V，圆心O与d点的电势差UOd＝φO－φd＝2 V，故选A。 3．如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0 V，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　) A．200 V/m B．200 V/m C．100 V/m D．100 V/m 答案：A 解析：在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此BC为等势面，O点到BC的距离d＝OCsinα，而sinα＝＝，所以d＝OC＝1.5×10－2 m。根据E＝得，匀强电场的电场强度E＝＝ V/m＝200 V/m，故A正确，B、C、D错误。 4．(多选)如图所示，边长为a＝10 cm的正方形ABCD处在匀强电场中，且正方形平面与电场线平行。已知φA＝2 V，φB＝4 V，φC＝6 V，O是对角线AC、BD的交点，下列说法正确的是(　　) A．D点的电势φD＝8 V B．A、O两点的电势差UAO＝－2 V C．电场强度的方向由C指向A D．电场强度大小为10 V/m 答案：BC 解析：由匀强电场中任一方向上电势随距离均匀变化知，O点的电势为φO＝＝4 V＝φB，故对角线BD为等势线，则φD＝4 V，A错误；A、O两点的电势差UAO＝φA－φO＝2 V－4 V＝－2 V，B正确；电场强度由高电势处指向低电势处且与等势线垂直，故电场强度的方向由C指向A，大小为E＝＝＝20 V/m，C正确，D错误。 5．匀强电场中有A、B、C、D四点恰好位于一边长为1 cm的正方形的四个顶点上，如图所示。已知该匀强电场的方向与A、B、C、D四点所在的平面平行，A、B、D三点的电势分别为φA＝1 V，φB＝4 V，φD＝－1 V，则在CD连线上电势为1 V的点距离D点的距离为(　　) A． cm B． cm C． cm D． cm 答案：B 解析：在匀强电场中，平行线(相同方向)上相同距离的电势差相等，则φA－φD＝φB－φC，解得φC＝2 V，因为匀强电场中E＝，设在CD连线上电势为1 V的点为P，有＝，又UPD＝φP－φD，UCD＝φC－φD，φP＝1 V，dCD＝1 cm，联立并代入数据解得dPD＝ cm，故选B。 [名师点拨]　用“等分法”求电势 在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落(或升高)都是均匀的，故在同一直线上间距相同的两点间电势差相等。如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，采用这种等分间距求电势的方法，叫等分法。 题型二　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 6．(多选)如图所示，实线为某孤立点电荷产生的电场的几条电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受静电力的作用，下列说法中正确的是(　　) A．该电场是由负点电荷所激发的电场 B．电场中a点的电势比b点的电势高 C．带电粒子在a点的加速度比在b点的加速度大 D．带电粒子在a点的动能比在b点的动能大 答案：CD 解析：根据题图以及题干条件，无法判断场源电荷的正负，也不能判断出电场线的方向以及a点、b点电势的高低，A、B错误；根据电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小的特点，得出Ea>Eb，利用牛顿第二定律可知a＝＝，则带电粒子在a点的加速度比在b点的加速度大，C正确；若粒子从a点运动到b点，静电力做负功，带电粒子的动能减小，若粒子从b点运动到a点，静电力做正功，带电粒子的动能增大，D正确。 7．某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点，下列说法正确的是(　　) A．该电场的场源电荷是孤立正点电荷 B．该粒子带负电 C．粒子在M点的电势能小于在N点的电势能 D．粒子沿轨迹从M到N，静电力先做负功再做正功 答案：D 解析：由题图可知，离该电场的场源电荷越远电势越低，则该场源电荷带正电，又由孤立正点电荷形成的电场的等势面应该是同心圆可知，该电场的场源电荷不是孤立正点电荷，A错误；由轨迹弯曲方向可知，该粒子运动过程中受到带正电的场源电荷的斥力作用，可知该粒子带正电，B错误；M点电势高于N点电势，可知带正电的粒子在M点的电势能大于在N点的电势能，C错误；粒子沿轨迹从M到N，轨迹所在位置的电势先增大后减小，由Ep＝qφ可知粒子的电势能先增大后减小，则静电力先做负功再做正功，D正确。 8．(多选)如图所示，虚线a、b、c表示电场中的三个等势面与纸平面的交线，且相邻等势面之间的电势差相等。实线为一带正电荷的粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，M、N是这条轨迹上的两点，则下列说法中正确的是(　　) A．三个等势面中，a的电势最高 B．对于M、N两点，带电粒子通过M点时电势能较大 C．对于M、N两点，带电粒子通过M点时动能较大 D．带电粒子由M运动到N时，加速度增大 答案：CD 解析：由于带电粒子做曲线运动，所受静电力的方向必定指向轨迹的凹侧，且与等势面垂直，所以电场线方向是由c指向b再指向a。根据沿电场线的方向电势降低，可知φc>φb>φa，A错误。正电荷在电势高处电势能大，M点的电势比N点的电势低，故在M点时电势能较小，B错误。根据能量守恒定律，粒子的动能和电势能之和保持不变，故粒子在M点的动能较大，C正确。由于相邻等势面之间电势差相等，因N点等势面较密，则EM<EN，即qEM<qEN，由牛顿第二定律知，带电粒子由M点运动到N点时，加速度增大，D正确。 9．如图是某避雷针放电时空间电场线的分布图。a、b、c三点在同一电场线上，空间电场分布关于直线ac对称，图中的虚线是一带电粒子只在电场力作用下的运动轨迹。已知ab＝bc，下列说法正确的是(　　) A．a、b两点的电势差等于b、c两点的电势差 B．粒子一定带负电 C．粒子在图中A点的电势能一定小于在B点的电势能 D．粒子的速率一直在增加 答案：D 解析：由沿电场线方向电势降低可知，a、b两点的电势差和b、c两点的电势差均大于零，由电场线越密的地方电场强度越大可知，a、b两点间的平均电场强度小于b、c两点间的平均电场强度，根据U＝d得a、b两点间的电势差小于b、c两点间的电势差，故A错误；带电粒子仅在电场力作用下运动，带电粒子受到电场力指向其轨迹的凹侧，可得电场力方向与电场线方向相同，故粒子带正电，B错误；粒子从A点向B点运动过程中，所受电场力与速度方向始终成锐角，电场力一直做正功，则粒子的电势能减小，动能增加，速率一直在增加，故C错误，D正确。 10．如图所示，直角三角形ABC处在某匀强电场中，电场线与三角形平面平行，∠A＝90°，∠B＝30°，AC边长为10 cm。将一个带电量为q＝2×10－8 C的正点电荷从A点沿直线移到C点，电场力做功为2×10－7 J，从C点沿直线移到B点，克服电场力做功为4×10－7 J，则匀强电场的电场强度大小为(　　) A．50 V/m B． V/m C． V/m D． V/m 答案：D 解析：由题意可知UAC＝＝＝10 V，UCB＝＝＝－20 V，若取C点的电势φC＝0，由UAC＝φA－φC，UCB＝φC－φB，可得φA＝10 V，φB＝20 V，CB中点D的电势φD＝＝10 V＝φA，如图所示，A与CB中点D的连线为等势线，由几何知识可知，△ACD为等边三角形，C点到过A点的等势线的最短距离d＝ cos30°＝5 cm，则匀强电场的电场强度大小为E＝＝ V/m，故选D。 11．静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图所示为该透镜工作原理示意图，虚线表示这个静电场在xOy平面内的一簇等势线，等势线形状相对于x轴、y轴对称，且相邻两等势线的电势差相等。图中实线为某个电子通过电场区域时的轨迹示意图，关于此电子从a点运动到b点过程中，下列说法正确的是(　　) A．a点的电势高于b点的电势 B．电子在a点的加速度大于在b点的加速度 C．电子在a点的动能大于在b点的动能 D．电子在a点的电势能大于在b点的电势能 答案：D 解析：根据合力指向轨迹内侧和电场线与等势线垂直可知，电子在y轴左侧受到一个斜向右下方的静电力，所以在y轴左侧电场线指向左上方，故a点的电势低于b点的电势，A错误；根据等差等势线的疏密知道b处的电场线密，场强大，电子的加速度大，故B错误；根据负电荷在电势低处电势能大，可知电子在a点的电势能大于在b点的电势能，从a到b电子的电势能减小，则静电力做正功，动能增大，故C错误，D正确。 12．如图所示，在两等量异种点电荷连线上有D、E、F三点，且DE＝EF。K、M、L分别为过D、E、F三点的等势面。一不计重力的带负电粒子，从a点射入电场，运动轨迹如图中实线所示，以|Wab|表示该粒子从a点到b点静电力做功的绝对值，以|Wbc|表示该粒子从b点到c点静电力做功的绝对值，则(　　) A．|Wab|＝|Wbc| B．|Wab|<|Wbc| C．粒子由a点到b点，动能减少 D．a点的电势较b点的电势低 答案：C 解析：由等量异种点电荷的电场线分布特点可知靠近电荷处电场强度大，由公式U＝Ed知|Uab|>|Ubc|，而W＝qU，所以|Wab|>|Wbc|，则A、B均错误；从带负电粒子的运动轨迹可知该粒子从a点到c点受到大体向左的作用力，故左侧为正电荷，从左向右电势降低，则D错误；粒子由a点到b点，静电力做负功，电势能增加，动能减少，则C正确。 13．(2023·天津高考)(多选)如图所示，在一固定的正点电荷产生的电场中，另一正点电荷q先后以大小相等、方向不同的初速度从P点出发，仅在电场力作用下运动，形成了直线PM和曲线PN两条轨迹，经过M、N两点时q的速度大小相等。则(　　) A．M点比P点的电势低 B．M、N两点电势不同 C．q从P点到M点始终做减速运动 D．q在M、N两点的加速度大小相等 答案：AD 解析：由题图可知，正点电荷q从P点到M点沿直线运动，则其受到的电场力方向一定与运动方向共线，故固定的正点电荷一定与P、M两点在同一条直线上，正点电荷q从P点到N点沿曲线运动，其受到的电场力方向指向轨迹凹侧，即指向右侧，故固定的正点电荷一定在P点左侧，而离固定的正点电荷越远电势越低，则M点比P点的电势低，因正点电荷q从P点到M点所受电场力方向与运动方向始终相同，则其始终做加速运动，A正确，C错误；正点电荷q在电场中的运动过程，由动能定理得qU＝ΔEk，q两次运动在P点时速度大小相同，在M、N两点时速度大小也相同，所以动能变化量ΔEk相同，则UPM＝UPN，故M、N两点电势相同，由固定的正点电荷产生的电场中电势的分布情况可知，M、N两点到固定的正点电荷的距离相同，则由库仑定律可知，q在M、N两点所受的电场力大小相等，故在M、N两点的加速度大小相等，故B错误，D正确。 14．(多选)如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，下列说法正确的是(　　) A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行 B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为 C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为 D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差 答案：BD 解析：根据题意无法判断电场方向，故A错误；由于电场为匀强电场，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点，所以φM＝，φN＝。若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为W＝qUMN＝q(φM－φN)＝q－q＝＝，故B正确；因为不知道匀强电场方向，所以场强大小不一定是，故C错误；若W1＝W2，说明Ucd＝Uab，UaM－UbN＝(φa－φM)－(φb－φN)。又因为φM＝，φN＝，解得UaM－UbN＝0，故D正确。 13 学科网（北京）股份有限公司 $$