专题提升2 电场的拓展问题-【金版教程】2025-2026学年高中物理必修第三册创新导学案全书Word（人教版2019）

物理　必修 第三册 RJ 专题提升二　电场的拓展问题 提升1　非点电荷的电场强度 带电体比较大时，不能看作点电荷，计算它的电场强度最基本的方法是：把它分成若干点电荷，然后用点电荷电场强度叠加的方法计算整个带电体的电场。除此之外，还有一些其他分析计算非点电荷的电场强度的方法。 1．微元累积法 将带电体分成许多电荷元，每个电荷元可看成点电荷，先根据E＝求出每个电荷元的电场强度，再结合带电体的对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度。 微元法是直接求电场强度的方法。从理论上讲，利用微元法可以计算一切带电体的电场强度。但由于大多数情况数学计算复杂，所以微元法通常用于求解均匀带电的规则几何体(如直杆、圆环、平面、球面等)在某点产生的电场强度。 2．对称法 若带电体电荷分布均匀，且外形具有对称性，则带电体产生的电场具有对称性，根据对称性可以巧妙分析求解电场强度。例如均匀带电圆盘轴线上关于圆心对称的任意两点的电场强度大小相等、方向相反。 3．割补法 必修第二册第七章章末习题在分析残缺空心球对质点的万有引力时，用到了割补法，割补法的本质是等效思想。类似地，可以根据等效思想用割补法分析某些带电体在某点的电场强度(一般还会用到带电体的几何对称性)。 割补法是间接求电场强度的方法。它只适用能通过“割”或“补”的措施凑成对称几何体的带电体。 例1　如图所示，水平面上有一半径为r的均匀带电圆环，所带电荷量为＋Q，其圆心为O点，圆环轴线上有一P点，P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角都为θ，求：P点电场强度的大小、方向。 [解析]　将圆环分为n等份(n很大，每一份可以认为是一个点电荷)，则每份的电荷量为 q0＝ 根据点电荷电场强度公式，每份在P点的电场强度大小为E0＝ 根据几何关系可知，每份到P点的距离为 l＝ 根据对称性及电场强度叠加原理可知，圆环在P点水平方向的合电场强度为零，所以P点的电场强度方向竖直向上 根据电场强度的叠加原理可知，P点的电场强度大小为E＝nE0cosθ 解得E＝，方向竖直向上。 [答案]　　方向竖直向上 例2　(多选)如图所示，两根完全相同的均匀带电绝缘长棒对称放置在长方形的两条长边上，a带正电，b带负电，电荷量大小相同。已知a在长方形几何中心O点处的电场强度大小为E，方向为从a垂直指向O。下列说法正确的是(　　) A．b在长方形几何中心O点处的电场强度的方向为从a垂直指向O B．b在长方形几何中心O点处的电场强度的方向为从b垂直指向O C．O点处合电场强度大小为0 D．O点处合电场强度大小为2E，方向为从a垂直指向O [解析]　a带正电，b带负电，电荷量大小相同，根据对称性可知，b在长方形几何中心O点处的电场强度大小为E，方向为从a垂直指向O，再根据电场强度的叠加原理可知，O点处合电场强度大小为2E，方向为从a垂直指向O，故A、D正确，B、C错误。 [答案]　AD 例3　如图所示，一带正电的绝缘球体A(球心为O1)半径为2R，所带电荷量为＋Q且均匀分布，现将其中半径为R、与A相切的小球体B(球心为O2)部分的电荷变为等量负电荷(球A其他部分电荷分布情况不变)，静电力常量为k，则在O1、O2连线上，与O1距离为4R的P点的电场强度大小为(　　) A． B． C． D． [解析]　球体A均匀带正电Q时，其在P点产生的电场强度大小为E2＝k，方向向右，小球体B的带电量为Q1＝Q＝Q，这部分电荷在P点产生的电场强度大小为E2′＝，方向向右，则A剩余部分在P点产生的电场强度大小为E′＝E2－E2′，方向向右；当小球体B中的电荷变为等量负电荷时，其在P点产生的电场强度大小为E1＝k，方向向左。所以将小球体B部分的电荷变为等量负电荷时，整个绝缘球在P点产生的电场强度大小为E＝E′－E1＝，故选A。 [答案]　A 提升2　电场线与带电粒子轨迹的综合分析 1．物体做曲线运动的特点：合力指向轨迹曲线的内侧，速度方向沿轨迹的切线方向。 2．分析方法 (1)由轨迹的弯曲情况结合电场线确定静电力的方向。 (2)由静电力和电场线的方向判断电荷的正负(或由静电力的方向和电荷的正负判断电场线的方向)。 (3)由电场线的疏密程度确定静电力的大小，再根据牛顿第二定律F＝ma可判断运动电荷加速度的大小。 (4)根据合力和速度的夹角可以判断粒子速度的变化情况。 例4　某电场的电场线分布如图所示，一带电粒子仅在静电力作用下沿图中虚线所示路径运动，先后通过M点和N点，以下说法正确的是(　　) A．M、N点的电场强度：EM>EN B．粒子在M、N点的加速度：aM>aN C．粒子在M、N点的速度：vM>vN D．粒子带正电 [解析]　粒子所受静电力指向轨迹内侧，所以粒子带正电，D正确；电场线密处电场强度大，故EM<EN，A错误；由F＝Eq知FM<FN，故aM<aN，B错误；粒子从M到N，静电力与速度夹角为锐角，粒子做加速运动，故vM<vN，C错误。 [答案]　D (1)电场线并不是粒子运动的轨迹。带电粒子在电场中的运动轨迹由带电粒子所受合力与初速度共同决定。电场线上各点的切线方向是电场强度方向，决定着粒子所受静电力的方向。轨迹上每一点的切线方向为粒子在该点的速度方向。 (2)带电粒子只受静电力作用时，电场线与带电粒子运动轨迹重合必须同时满足以下两个条件： ①电场线是直线。 ②带电粒子初速度的大小为零或初速度的方向与电场线方向在同一条直线上。 [跟进训练]　如图所示，实线为电场线(方向未画出)，虚线是一带电的粒子只在静电力的作用下由a到b的运动轨迹。下列判断正确的是(　　) A．电场线MN的方向一定是由N指向M B．带电粒子由a运动到b的过程中速度一定逐渐减小 C．带电粒子在a点的速度一定小于在b点的速度 D．带电粒子在a点的加速度一定大于在b点的加速度 答案：C 解析：由于该粒子只受静电力作用且做曲线运动，所以粒子所受静电力指向轨迹内侧，即粒子在运动轨迹与电场线MN相交位置所受静电力一定是由M指向N，但是由于粒子的电荷性质不清楚，所以电场线的方向无法确定，故A错误；粒子从a运动到b的过程中，所受静电力与速度夹角为锐角，粒子做加速运动，速度逐渐增大，故B错误，C正确；b点的电场线比a点的密，所以带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度，故D错误。 提升3　电场中的力学问题 1．电场中的平衡问题 带电体在多个力作用下处于平衡状态，带电体所受合力为零，因此可用共点力平衡的知识分析，常用的方法有正交分解法、合成法等。对于多物体系统，经常需要用到隔离法与整体法。 2．电场中的加速问题 与力学中的分析方法完全相同，带电体的运动仍然满足牛顿运动定律，在进行受力分析时不要漏掉静电力。 例5　如图所示，一个质量为30 g、电荷量为－×10－8 C的半径极小的小球用丝线悬挂在某匀强电场中，电场线与水平面平行，当小球静止时，测得丝线与竖直方向夹角为30°。(取g＝10 m/s2) (1)求匀强电场的大小和方向； (2)改变电场强度的大小和方向，为使小球仍在原位置保持静止，求电场强度的最小值。 [解析]　(1)对小球受力分析，可知小球受重力、丝线的拉力和水平向右的电场力，因小球带负电，则电场方向为水平向左 对小球，根据平衡条件有Eq＝mgtan30° 代入数据解得E＝1×107 N/C。 (2)根据矢量的合成法则可知，当电场力的方向垂直丝线向上时，电场力最小，电场强度最小，设为E′，此时电场的方向为垂直丝线向下，根据平衡条件有E′q＝mgsin30° 解得E′＝5×106 N/C。 [答案]　(1)1×107 N/C　水平向左 (2)5×106 N/C 例6　如图，上下放置的两带电金属板，相距为3l，板间有竖直向下的匀强电场E。距上板l处有一电荷量为＋q的小球B，在B上方有一电荷量为－6q的小球A，它们质量均为m，用长度为l的绝缘轻杆相连。已知E＝。让两小球从静止释放，小球可以通过上板的小孔进入电场中(重力加速度为g)。 (1)求B球刚进入电场时的速度大小v1； (2)求A球刚进入电场时的速度大小v2； (3)B球是否能碰到下金属板？如能，求刚碰到时的速度大小v3，如不能，请通过计算说明理由。 [解析]　(1)进入电场前，两球做自由落体运动，可得v＝2gl 解得v1＝。 (2)从B球进入电场到A球进入电场的过程，设整体的加速度大小为a1，由牛顿第二定律可得2mg＋qE＝2ma1 由匀变速直线运动速度与位移的关系式可得 v－v＝2a1l 联立解得v2＝。 (3)当A球进入电场后，设整体的加速度大小为a2，以向下为正方向，由牛顿第二定律可得2mg＋qE－6qE＝2ma2 解得a2＝－ 假设B球无法碰到下金属板，且从A球进入电场到整体减速至速度为零时的位移为s，则有 0－v＝2a2s 联立解得s＝<2l，假设成立，故B球不能碰到下金属板。 [答案]　(1)　(2)　(3)不能，见解析 课后课时作业 题型一　分析计算电场强度的特殊思维方法 1．如图所示，是一个半径为r的带正电的圆环，电荷量为Q，电荷分布均匀，关于圆环在圆心O点的电场强度，下列判断正确的是(　　) A．大小为k B．大小为0 C．方向垂直纸面向里 D．方向垂直纸面向外 答案：B 解析：将带正电的圆环均匀分割成n等份(n很大，每一份都可以看作是一个点电荷)，则每份的电荷量为q0＝，根据点电荷电场强度公式，每份在O点的电场强度大小均为E0＝，方向从该点电荷指向O，根据对称性及电场强度的叠加原理可知，O点的合电场强度为0，B正确。 2．如图所示，电荷量为q的正点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中A点的电场强度为0，则带电薄板在图中B点产生的电场强度(　　) A．大小为k，方向水平向左 B．大小为k，方向水平向右 C．大小为k，方向水平向左 D．大小为k，方向水平向右 答案：C 解析：正点电荷在A点产生的电场强度大小为EA＝k＝，方向向左，因A点合电场强度为0，故带电薄板在A点产生的电场强度方向向右，大小也为，所以带电薄板带负电；根据对称性可知，带电薄板在图中B点产生的电场强度大小也为，方向水平向左，故选C。 3．均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布着正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的直线，在直线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。已知M点的电场强度大小为E，则N点的电场强度大小为(　　) A．－E B． C．－E D．＋E 答案：A 解析：设想球壳是一完整的球面，则M、N两点的电场强度大小为E0＝k，去掉左侧半球面，右侧半球面在N点产生的电场强度大小与只有左侧半球面时在M点产生的电场强度大小相同，因此N点的电场强度大小E′＝E0－E＝－E，A正确。 4．如图所示，三根均匀带电的等长绝缘棒组成等边三角形ABC，P为三角形的中心，当AB、AC棒所带电荷量均为＋q，BC棒所带电荷量为－2q时，P点的电场强度大小为E，现将BC棒取走，AB、AC棒的电荷分布不变，则取走BC棒后，P点的电场强度大小为(　　) A． B． C．E D．2E 答案：A 解析：由于三个带电绝缘棒的垂直平分线均过P点，因此带正电荷的AB、AC棒在P点的电场方向都沿着各自的垂直平分线斜向下，设AB、AC棒在P点产生的电场强度大小均为E0，且由几何知识可知这两个电场强度方向互成120°角，则AB、AC棒在P点产生的合电场强度大小E合＝2E0cos60°＝E0，方向竖直向下；BC棒在P点产生的电场强度方向竖直向下，又因其可等效为两根电荷量为－q的绝缘棒，故BC棒在P点的电场强度大小是2E0，由电场的叠加原理可知E合＋2E0＝E，联立解得E合＝，则取走BC棒后，P点的电场强度大小为，故选A。 题型二　电场线与带电粒子轨迹的综合分析 5．(多选)一带电粒子从电场中的A点运动到B点，轨迹如图中虚线所示。不计粒子所受重力，则(　　) A．粒子带正电荷 B．粒子的加速度逐渐减小 C．粒子在A点的速度大于在B点的速度 D．粒子的初速度不为零 答案：BCD 解析：由带电粒子所受合力(即静电力)指向轨迹凹侧，知静电力方向向左，粒子带负电荷，A错误；根据电场线的疏密表示电场强度大小知，粒子从A运动到B的过程中，电场强度逐渐减小，由a＝＝知，粒子的加速度逐渐减小，B正确；粒子从A到B受到的静电力与速度方向的夹角一直为钝角，做减速运动，故粒子在A点的速度大于在B点的速度，C正确；由于电场线为直线，而粒子的运动轨迹为曲线，故粒子的初速度不为零，D正确。 6．如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M点以相同速度垂直于电场线方向飞出a、b两个带电粒子，仅在静电力作用下的运动轨迹如图中虚线所示，则(　　) A．a一定带正电，b一定带负电 B．a的速度将减小，b的速度将增大 C．a的加速度将减小，b的加速度将增大 D．两个粒子的动能，一个增大一个减小 答案：C 解析：带电粒子做曲线运动，所受静电力的方向指向轨迹曲线的内侧，由于电场线的方向未知，所以粒子带电性质不确定，故A错误；从题图轨迹来看，带电粒子速度与静电力方向的夹角都小于90°，所以所受静电力都做正功，动能都增大，速度都增大，故B、D错误；电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，所以a所受静电力减小，加速度减小，b所受静电力增大，加速度增大，故C正确。 题型三　电场中的力学问题 7．如图所示，在水平匀强电场中，用一根绝缘的柔软细线悬挂一带电小球，小球静止时细线与竖直方向夹角为θ，下列判断正确的是(　　) A．小球带负电 B．小球带正电 C．增大匀强电场的电场强度，则θ角减小 D．减小匀强电场的电场强度，则θ角不变 答案：B 解析：对小球受力分析，如图所示，可知小球受到竖直向下的重力mg、细线的拉力T以及水平方向的静电力Eq。由平衡条件可知，静电力方向水平向右，由于电场强度方向与小球所受静电力的方向相同，可知小球带正电，故A错误，B正确。根据平衡条件有Eq＝mgtanθ，则增大匀强电场的电场强度，tanθ增大，θ角也增大；减小匀强电场的电场强度，tanθ减小，θ角也减小，故C、D错误。 8．(多选)如图所示，水平面绝缘且光滑，一绝缘的轻弹簧左端固定，右端有一带正电荷的小球，小球与弹簧不相连，空间存在着水平向左的匀强电场，带电小球在静电力和弹簧弹力的作用下静止，现保持电场强度的大小不变，突然将电场反向，若将此时作为计时起点，则下列描述小球的速度与时间、加速度与位移之间变化关系的图像正确的是(　　) 答案：AC 解析：将电场反向，小球在水平方向上受到向右的静电力和弹簧的弹力，小球离开弹簧前，根据牛顿第二定律得小球的加速度为a＝，其中x0为小球静止时弹簧的压缩量，可知a随x的增大而均匀减小，当脱离弹簧后，小球的加速度为a＝，保持不变。可知小球先做加速度逐渐减小的加速运动，然后做匀加速运动。故A、C正确，B、D错误。 9．如图，甲、乙两带电小球的质量均为m，所带电荷量分别为2q和－q，两球间用绝缘线2连接，甲球又用等长的绝缘线1悬挂在天花板上，在两球所在空间有方向水平向左的匀强电场，电场强度为E，平衡时绝缘线都被拉紧，两球间的库仑力可忽略。则平衡时甲、乙小球的可能位置是图中的(　　) 答案：C 解析：以甲、乙两带电小球整体为研究对象，分析受力，由于水平方向上两个小球所受静电力的矢量和为F电＝2qE－qE＝qE，方向向左，所以绝缘线1向左偏转；设绝缘线1与竖直方向的夹角为α，则由平衡条件得tanα＝。以乙球为研究对象，分析受力，由于乙球受到的静电力水平向右，所以绝缘线2向右偏转；设绝缘线2与竖直方向的夹角为β，则由平衡条件得tanβ＝，可得到α＜β。故C正确，A、B、D错误。 10．(多选)如图所示，A、B两个带电小球均可以看成点电荷，用两等长绝缘细线悬挂起来，在水平方向的匀强电场(图中未标出)中，A、B均静止，且悬线都保持竖直。已知A、B相距4 cm，A的电荷量为qA＝＋4.0×10－9 C，静电力常量k＝9×109 N·m2/C2。下列判断正确的是(　　) A．匀强电场水平向右 B．匀强电场的电场强度大小为2.25×104 N/C C．小球B的电荷量为4.0×10－9 C D．小球B的电荷量为－4.0×10－9 C 答案：BD 解析：假设小球B带正电，若电场方向水平向右，则小球B受到小球A向右的库仑力和匀强电场向右的作用力，其悬线无法保持竖直，同理，若电场方向水平向左，则小球A的悬线无法保持竖直，故假设不成立，因此小球B带负电。带负电的小球B受小球A水平向左的库仑力作用，要使其悬线保持竖直，则所受匀强电场的作用力水平向右，即匀强电场水平向左，A错误；设匀强电场的电场强度大小为E，小球B的电荷量为qB，小球A、B的间距为dAB，对小球B，根据平衡条件有E|qB|＝k，解得E＝2.25×104 N/C，故B正确；对小球A进行受力分析有EqA＝k，解得|qB|＝4.0×10－9 C，因小球B带负电，故qB＝－4.0×10－9 C，C错误，D正确。 11．如图所示，有一水平向左的匀强电场，电场强度大小为E＝1.25×104 N/C，一根长L＝1.5 m、与水平方向的夹角θ＝37°的光滑绝缘细直杆MN固定在电场中，杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q＝＋4.5×10－6 C；另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，电荷量q＝＋1.0×10－6 C，质量m＝1.0×10－2 kg。将小球B从杆的上端N由静止释放，小球B开始运动。(静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求： (1)小球B开始运动时的加速度为多大？ (2)小球B的速度最大时，与M端的距离r为多大？ 答案：(1)3.2 m/s2　(2)0.9 m 解析：(1)如图所示，小球B开始运动时受重力、小球A对它的库仑力、杆的弹力和匀强电场对它的静电力，沿杆方向运动，由牛顿第二定律得 mgsinθ－－qEcosθ＝ma， 代入数据解得小球B开始运动时的加速度为a＝3.2 m/s2。 (2)小球B速度最大时所受合力为零， 即mgsinθ－－qEcosθ＝0， 代入数据解得r＝0.9 m。 12．(2023·全国甲卷)在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是(　　) 答案：A 解析：电子在电场中仅受电场力作用，且电子在某点所受电场力方向沿电场线在该点的切线方向，并且与电场线在该点的方向相反。由曲线运动的条件和规律知，曲线运动轨迹上任一点对应的速度方向和受力方向应分居之后一段轨迹的两侧，则在电子轨迹与电场线的任意交点处，虚线轨迹在该点向右的切线方向和实线在该点向右的切线方向应分居该点右侧一段轨迹的两侧，分析可知，A项中的所有交点全部满足，B、C、D项中则有不满足的交点，如图甲、乙、丙所示，故A正确，B、C、D错误。 13．(多选)ab是长为L的均匀带电细杆，P1、P2是位于ab所在直线上的两点，位置如图所示。ab上电荷产生的静电场在P1处的电场强度大小为E1，在P2处的电场强度大小为E2。则以下说法正确的是(　　) A．两处的电场方向相同 B．两处的电场方向相反 C．E1＜E2 D．E1＞E2 答案：BC 解析：设细杆所带电荷为正电荷，在细杆上取a关于P1的对称点a′，由对称性可知a′P1＝＝bP2，a′b段细杆上的电荷在P1、P2两处的电场强度大小相等、方向相反；aa′段细杆上的电荷在P1处的电场强度为0，在P2处的电场强度方向与a′b段细杆上的电荷在P2处的电场强度方向相同。由电场强度叠加原理可知，P1、P2两处的电场方向相反，且E1<E2，若细杆所带电荷为负电荷，同理分析，可得相同结论，故A、D错误，B、C正确。 14．物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的分析就可以判断结论是否正确。如图所示，一段圆心角为2θ0、半径为R、所带电荷量为＋Q的圆弧(其宽度不计)在圆心O产生的电场强度大小为E。已知当自变量x趋近于零时，sinx≈x，cosx≈1。下列四个关于电场强度E的表达式中，你认为可能正确的表达式是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：当θ0趋近于0时，圆弧可看成点电荷，则O点电场强度符合点电荷电场强度公式，为E＝，由题意，当θ0趋近于0时，sinθ0≈θ0，cosθ0≈1，则≈，≈，≈＝，≈，故A、D错误；若θ0等于2π，意味着圆弧变为圆环，由对称性可知带电圆环在圆心处产生的电场的电场强度为0，又＝≠0，＝0，故B错误，C可能正确。故选C。 [名师点拨]　根据点电荷的电场强度公式，任何形状有限体积的带电体在无穷远处的电场强度都为零，这个结论利用了极限思维。利用极限思维分析电场强度时，一般是分析无穷远处或特殊位置处的电场强度。极限思维一般只能定性分析带电物体的电场强度，但在有的情况下，会得出定量结果。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$