课时跟踪检测（九）函数的奇偶性、对称性与周期性（练习）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

课时跟踪检测（九） 函数的奇偶性、对称性与周期性 1.若f(x)=为奇函数，则a= (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析：选C　因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(x)为奇函数，所以f(x)+f(-x)=+=24-4a=0，解得a=6. 2.(2025·南昌模拟)函数f(x)=的图象 (　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于坐标原点对称 D.关于直线y=x对称 解析：选B　由题意知f(x)的定义域为R，且f(x)==3x+3-x，f(-x)=3-x+3x，∴f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称. 3.设f(x)是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，f(x+3)=f(x)恒成立，如图表示该函数在区间(-2，1]上的图象，则 f(2 024)+f(2 025)= (　　) A.0 B.1 C.-1 D.2 解析：选D　由题图知f(0)=0，f(-1)=2，又对任意的x∈R，f(x+3)=f(x)恒成立，即f(x)是周期为3的周期函数，所以f(2 024)+f(2 025)=f(3×675-1)+f(3×675)=f(-1)+f(0)=2. 4.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，若当0<x≤1时，f(x)=x2-2x+9，则f(2 025)= (　　) A.-6 B.6 C.-8 D.8 解析：选D　因为f(1+x)=f(1-x)，所以f(2+x)=f(-x).又f(-x)=-f(x)，所以f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数.因此f(2 025)=f(506×4+1)=f(1)=8.故选D. 5.(2025·哈尔滨模拟)[多选]下列函数具有奇偶性的是 (　　) A.f(x)=x+sin x B.f(x)=(x-1) C.f(x)=ln(-x) D.f(x)=2x+ 解析：选ACD　A项，f(x)的定义域为R，由f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x)知，f(x)为奇函数；B项，令≥0，解得x≤-1或x>1，即函数f(x)的定义域为(-∞，-1]∪(1，+∞)，不关于原点对称，即f(x)为非奇非偶函数；C项，因为x2+1>x2，所以-x>0恒成立，即f(x)的定义域为R，又f(-x)+f(x)=ln(+x)+ln(-x)=0，故f(x)为奇函数；D项，f(x)的定义域为R，由f(-x)=f(x)知，f(x)为偶函数. 6.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)是偶函数，f(2x+1)是奇函数，则 (　　) A.f=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 解析：选B　法一：常规推导　∵f(x+2)是偶函数，∴f(-x+2)=f(x+2).∵f(2x+1)是奇函数，∴f(-2x+1)=-f(2x+1).由F(x)=f(2x+1)是奇函数，可得F(0)=f(1)=0，∴f(-1)=-f(3)=-f(1)=0，其他几个选项不一定成立，故选B. 法二：特殊函数秒杀　由f(x+2)是偶函数，f(2x+1)是奇函数，可取f(x)=cos，可得f(-1)=0，其他几个选项均不成立，故选B. 7.(2025·九江开学考试)[多选]已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，且对任意的x∈R都有f(-x)+f(x+2)=2，f(0)=-1，则下列结论正确的是 (　　) A.f(x)为偶函数 　　B.f(-1)=-1 C.2是f(x)的一个周期 　　D. f(k)=2 025 解析：选AD　因为函数f(x)的定义域为R，y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)关于y轴对称，即f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；因为f(-x)+f(x+2)=2，f(0)=-1，令x=-1，可得f(1)+f(1)=2，则f(1)=1，因为f(x)为偶函数，所以f(-1)=f(1)=1，故B错误；由f(-x)+f(x+2)=2，f(0)=-1，令x=0，可得f(2)=3，f(0)≠f(2)，2不是f(x)的一个周期，故C错误；因为f(-x)=f(x)，f(-x)+f(x+2)=2，所以f(x)+f(x+2)=2，所以f(x+2)+f(x+4)=2，则f(x)=f(x+4)，即f(x)是以4为周期的周期函数.所以f(k)=506[f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)]+f(1)=506×4+1=2 025，故D正确.故选AD. 8.(2025·大连质检)[多选]若定义在R上的减函数y=f(x-2)的图象关于点(2，0)对称，且g(x)=f(x)+1，则下列结论一定成立的是 (　　) A.g(2)=1 B.g(0)=1 C.不等式f(x+1)>f(1-2x)的解集为(-∞，0) D.g(-1)+g(2)<2 解析：选BCD　将y=f(x-2)的图象向左平移两个单位长度即可得到函数y=f(x)的图象，∴函数y=f(x)的图象关于点(0，0)对称，即f(x)为奇函数，∴f(0)=0，∵g(x)=f(x)+1，∴g(0)=f(0)+1=1，故B正确；∵y=f(x-2)单调递减，∴f(x)单调递减，∴g(x)=f(x)+1单调递减，又g(0)=1，则g(2)≠1，故A错误；∵f(x+1)>f(1-2x)，且f(x)单调递减，∴x+1<1-2x，解得x<0，故C正确；g(-1)+g(2)=f(-1)+f(2)+2=-f(1)+f(2)+2，∵f(1)>f(2)，∴g(-1)+g(2)<2，故D正确. 9.已知函数f(x)=x2-2ax+b是定义在区间[-2b，3b-1]上的偶函数，则函数f(x)的值域为　　　　.  解析：∵f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x)，即a=0.又f(x)的定义域为[-2b，3b-1]，∴-2b+3b-1=0，解得b=1.∴f(x)=x2+1，x∈[-2，2]，∴函数f(x)的值域为[1，5]. 答案：[1，5] 10.(1)设f(x)=x3-3x2，则此函数图象的对称中心为　　　　；  (2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a轴对称的充要条件是函数　　　　为偶函数.  解析：(1)设函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)=f(x+a)-b，则g(x)为奇函数，故g(-x)=-g(x)，故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，即f(-x+a)+f(x+a)=2b，即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b，整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0，故解得所以函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为(1，-2). (2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数. 答案：(1)(1，-2)　(2)y=f(x+a) 11.设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为　　　　　　　　.  解析：根据题意，设x∈[2，4]，则x-4∈[-2，0]，则有4-x∈[0，2].当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则f(4-x)=log2[(4-x)+1]=log2(5-x).又f(x)是周期为4的偶函数，所以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x)，x∈[2，4]，则有f(x)=log2(5-x)，x∈[2，4]. 答案：f(x)=log2(5-x)，x∈[2，4] 12.已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x+4)=-f(x)，若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称，f(-1)=2，则f(2 025)=　　　　.  解析：由函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数.又由f(x+4)=-f(x)，得f(x+4+4)=-f(x+4)=f(x)，∴f(x)是周期为8的偶函数，∴f(2 025)=f(1+253×8)=f(1)=f(-1)=2. 答案：2 13.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f=-f成立. (1)证明y=f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若f(1)=2，求f(2)+f(3)的值. 解：(1)证明：由f=-f，且f(-x)=-f(x)，知f(3+x)=f=-f=-f(-x)=f(x)，所以y=f(x)是周期函数，且T=3是其一个周期. (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，且f(-1)=-f(1)=-2.又T=3是y=f(x)的一个周期，所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2. 14.已知定义在全体实数上的函数f(x)满足：①f(x)是偶函数；②f(x)不是常值函数；③对于任何实数x，y，都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(1-x)f(1-y). (1)求f(1)和f(0)的值； (2)证明：对于任何实数x，都有f(x+4)=f(x)； (3)若f(x)还满足对0<x<1有f(x)>0，求f+f+…+f的值. 解：(1)由f(x+y)=f(x)f(y)-f(1-x)f(1-y)， 取x=1，y=0得到f(1)=f(1)f(0)-f(0)f(1)=0，即f(1)=0. 取y=0得到f(x)=f(x)f(0)-f(1-x)f(1)=f(x)f(0)，又f(x)不是常值函数，故f(0)=1. (2)证明：由f(x+y)=f(x)f(y)-f(1-x)f(1-y)， 取y=1得到f(x+1)=f(x)f(1)-f(1-x)·f(0)=-f(1-x)， 又f(x)是偶函数，故f(x+1)=-f(x-1)，即f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=f(x). (3)由f(x+2)+f(x)=0，f(x)为偶函数， 取x=-，则f+f=0， 即f+f=0. 取x=-，则f+f=0， 即f+f=0. 故f+f+f+f=-f-f-f-f=0， f(2)=-f(0)=-1，f(3)=f(-1)=f(1)=0，f(4)=f(0)=1，故f+f+…+f=0. 15.已知函数f(x)=+a(x∈R)，a为实数. (1)证明函数f(x)的单调性； (2)若f(x)为奇函数，求实数a的值； (3)在条件(2)下，若对任意的x∈R，不等式f(x2-2x)+f(2x2-k)>0恒成立，求k的取值范围. 解：(1)证明：∵f(x)=+a=+a=a+1-，在R上任取x1<x2，则f(x1)-f(x2)=a+1-- =-=. ∵x1<x2，∴0<<， ∴-<0，+1>0，+1>0， ∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)为R上的增函数. (2)∵f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)， 即+a=-， ∴-2a=+=+=1， ∴a=-. (3)∵f(x)是奇函数，从而不等式f(x2-2x)+f(2x2-k)>0，等价于f(x2-2x)>-f(2x2-k)，即f(x2-2x)>f(-2x2+k).又f(x)是R上的增函数，由上式得x2-2x>-2x2+k， 即对一切x∈R都有3x2-2x-k>0， 从而Δ=4+12k<0，解得k<-， ∴k的取值范围为. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$