四川省成都某中学2025-2026学年高一下学期人教A版数学作业（一）

高2025级高一下五一假期作业（一） 一、单选题 1．在复平面内，复数和分别对应点M，N，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．如图，一张残损的纸条上写着：“在中，，，______（隐约可见数字‘6’），满足条件的有两个，”则残损处可能是（   ） A． B． C． D． 4．设，是两个非零向量，则的充要条件是（   ） A． B． C． D． 5．设向量，，则（   ） A． B． C． D．2 6．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（    ） A．–2 B．–1 C．1 D．2 7．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．点是图象的一个对称中心 C．若，则的值域为 D．的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 8．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设a，b分别是的内角A，B所对的边，且，则（   ） A． B． C． D． 10．欧拉公式巧妙地将复数、指数函数与三角函数联系起来，揭示了它们之间的深刻关联，在复变函数论中占据核心地位，被誉为“数学中的天桥”．下列结论中正确的有（   ） A．，使得 B．当且仅当时成立 C．与互为共轭复数 D．，， 11．下面四个结论正确的是（   ） A．点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的垂心． B．若对平面中任意一点O，有，则P，A，B三点共线． C．在△ABC中，已知，则． D．如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧BC上运动，，则的最大值是2． 三、填空题 12．湖心有两座小岛C，岸边有一条南北走向的观景路．某游客在观景路上的A处测得C在北偏东；沿观景路行走800米后到达B处，此时测得C在南偏东，则从观景路到小岛C的最近距离为______米． 13．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________． 14．已知的外心满足，若，且，则面积的最大值为__________. 四、解答题 15．在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，且，求的面积． 16．已知，，是平面内的三个向量，其中，为单位向量，且． (1)求与夹角的大小； (2)设，求； (3)设，求的取值范围． 17．如图，函数（，，）的图象经过点和，且与y轴交于点P． (1)求P的坐标； (2)设，，求． 18．如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点. (1)若为中点，分别将和用和表示； (2)求的取值范围. 19．如果三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称它为倍角三角形．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)判断是否为倍角三角形，并说明理由； (2)已知． ①证明：是锐角三角形； ②若，求面积的取值范围 高2025级高一下假期作业（一）答案 1．【答案】A. 【详解】由题意可知,那么对应复数为. 2．【答案】A 【详解】，， 因为，所以，解得. 3． 【答案】D 【详解】选项A，当时，此时三角形的三边确定，此时三角形唯一，不符合题意. 选项B，当时，在中，由余弦定理：， 所以，此时三角形唯一，不符合题意. 对于C，当时，设，在中，由余弦定理：， 即，整理得，解得或， 此时三角形唯一，不符合题意. 对于D，当时，设，在中，由余弦定理：， 即，整理得，解得或. 经检验和均可以构成三角形，满足条件. 4．【答案】D 【详解】设向量的夹角为，等价于或，即，逐一分析选项： 对于A：仅当同向平行时成立，若反向平行，等式不成立，不是充要条件，A错误； 对于B：化简等式得，即，与无关，例如满足等式但不平行，B错误； 对于C：推出，仅说明反向平行，同向平行时等式不成立，不是充要条件，C错误； 对于D： 左式为， 右式为， 等式等价于，即，正好是的充要条件，D正确. 5．【答案】B 【详解】 . 6．【答案】D 【详解】，， 令，则，整理得，解得，即. 故选：D. 7．【答案】D 【详解】设函数的最小正周期为， 由题图及五点作图法得，，则，又， 所以，所以， 又，即，又，则，故. 对于C，当时，的值域为，故C错误； 对于A，由知在上不单调递增，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于D，，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D正确. 8．【答案】D 【详解】由题意得，设两个向量的夹角为， 则， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 9．【答案】ABD 【详解】选项A.由大边对大角和正弦定理，可得，且，A正确. 选项B.在上单调递减，，B正确. 选项C.取，，满足，此时， ，得，C错误. 选项D.因为，故，因此， 即，D正确. 10．【答案】ACD 【详解】选项A.当时，则，A正确. 选项B.若，可得且，即，B错误. 选项C.，， 二者实部相等、虚部互为相反数，因此互为共轭复数，C正确. 选项D.对任意， . 11．【答案】BD 【详解】对于A，向量，分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量， 当，即时，则点在的角平分线上， 同理，由，知点在的角平分线上， 故为的内心，A错误； 对于B，因为，即， 所以，即， 又因为有公共点，故点P，A，B三点共线，B正确； 对于C，在中，，则， 又，所以. 又，则，所以，则， 所以，C错误； 对于D，以为轴，以为原点，建立坐标系，如图， 设，，则，，， 因为，所以， 所以，，所以，， 所以， 因为，所以，所以当时，， 即的最大值是2，D正确. 12．【答案】200 【详解】 根据题意知，，因此. 过作于，即为所求的最近距离. 因为，，由三角形面积相等， 则. 因为，因此. 13．【答案】 【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值， 所以， 因为，所以当时，取最小值为. 14． 【答案】 【详解】设，， 因为为外心，所以，， 所以，即，整理得 代入已知条件得，约去非零得 由余弦定理，，代入得 面积，则 又、 ，所以，当时，取最大值，即 15．【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以由正弦定理得, ， 又，所以， 又， 所以. （2）由，则， 故，，所以， 所以， 又，整理得， 则， 解得， 所以的面积为． 16．【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）已知，为单位向量，且， 则，解得. 因为，所以. （2）已知，则， 化简， 又，， 所以， 解得或. （3）已知等式，展开得， 代入，整理得. ，， 代入得，设，不等式化为，解得. 17．【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意，最高点，，得； 最高点到下一个零点的水平距离为， 即，则，因此； 将代入，得， 即，又，则. 因此函数解析式为， 令，得，所以的坐标为. （2）已知，，， 设直线的倾斜角分别为. 则，. 则 . 又，斜率为，故. 则. 所以. 又，，因此， 所以. 18．【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由于为中点，，， 则， ， 设， 因为三点共线，则，即，则. （2）由（1）知，， 设，则，而， 则 ， 函数开口向下，对称轴为，又， 则时，取得最大值， 时，取得最小值， 所以的取值范围为. 19．【答案】(1)是；理由见解析 (2)①证明见解析；② 【详解】（1）△ABC是倍角三角形，理由如下： 由正弦定理得，结合已知条件可得，交叉相乘得： ， 由余弦定理，联立两式化简得， 由正弦定理可得， 又，， 代入整理得因为，所以或， 若得，不符合三角形内角和，舍去； 故，即，符合倍角三角形定义，因此是倍角三角形. （2）① 证明是锐角三角形： 由，得， 由正弦定理， 已知，故，又，得，即， 因为，，， 因此三个内角均为锐角，是锐角三角形. ②因为，所以， 由正弦定理及得，所以， 所以，又，所以， 所以， 又，所以， 因为函数在单调递增，， 所以，所以. 答案第12页，共13页 答案第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $