第九章 专题微课 解三角形及其综合问题 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

第九章 专题微课 解三角形及其综合问题 [课时跟踪检测] 1.在非等边三角形中，a是最大的边，若a2<b2+c2，则角A的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　∵a2<b2+c2，∴b2+c2-a2>0，∴cos A>0，A<.∵a是最大的边，∴A是最大的角，∴A>，∴<A<. 2.在△ABC中，A=105°，B=30°，a=，则B的角平分线的长是 (　　) A. B.2 C.1 D. 解析:选C　设B的角平分线的长为BD.易知∠ACB=180°-105°-30°=45°，∠BDC=180°-15°-45°=120°.在△CBD中，有=，可得BD=1. 3.锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则的取值范围是 (　　) A.(0，2) B.() C.(，2) D.(1，) 解析:选B　由正弦定理得=，又C=2B，所以====2cos B.因为A+B+C=π，所以3B+A=π，即A=π-3B.因为A为锐角，所以<B<.又0<C=2B<，所以<B<，所以<cos B<，即<2cos B<，故的取值范围是(). 4.如图，在四边形ABCD中，B=C=120°，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积为 (　　) A. B.5 C.6 D.7 解析:选B　连接BD(图略)，在△BCD中，由已知条件知∠DBC==30°，∴∠ABD=90°.在△BCD中，由余弦定理知BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=22+22-2×2×2cos 120°=12，∴BD=2，∴=S△ABD+S△BCD=×4×2+×2×2×sin 120°=5. 5.(多选)已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，A=2B，则下列结论正确的是 (　　) A.a2=b(b+c) B.+的最小值为3 C.若△ABC为锐角三角形，则∈(1，2) D.若a=2，b=3，则c=3 解析:选ABC　对于A，由A=2B，得sin A=sin 2B=2sin Bcos B，由正弦定理得a=2bcos B，由余弦定理得a=2b·，则(c-b)(a2-b2-bc)=0.当b≠c时，a2-b2-bc=0，即a2=b(b+c)；当b=c时，B=C，又A=2B，则A=90°，B=C=45°，a=b，于是a2-b2-bc=(b)2-b2-b·b=0，因此a2=b(b+c)，A正确；对于B，由a2=b(b+c)，得+=+=++1≥3，当且仅当b=c时取等号，B正确；对于C，由正弦定理== = ==4cos2B-1.由△ABC为锐角三角形，A=2B，得B∈，C=π-3B<，则B∈，cos B∈，因此4cos2B-1∈(1，2)，C正确；对于D，由a2=b(b+c)，a=2，b=3，得c=5，D错误. 6.(5分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b-c=2，cos A=-，则a的值为　　　　，sin B=　　　　.  解析:在△ABC中，cos A=-，∴sin A=. 又S△ABC=bcsin A=3，∴bc=24，又b-c=2，由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+bc=64，∴a=8，b=6，c=4，由正弦定理，得sin B===. 答案:8　 7.(5分)在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为　　　　.  解析:在△ABC中，由==，得AB=·sin C=sin C=2sin C，同理BC=2sin A，所以AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin C+4sin(120°-C)=4sin C+2cos C=2sin(C+φ).又因为0°<C<120°，所以AB+2BC的最大值为2. 答案:2 8.(5分)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，B=60°，则b的取值范围为　　　　.  解析:在△ABC中，由正弦定理得==，所以=，即b=.因为锐角△ABC，所以0°<A<90°，0°<C<90°，即0°<A<90°，0°<120°-A<90°，解得30°<A<90°，所以<sin A<1，所以1<<2，故<<，即b∈. 答案: 9.(5分)如图，在△ABC中，B=，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足. (1)若△BCD的面积为，则AB的长为　　　　.  (2)若DE=，则角A的大小为　　　　.  解析:(1)∵△BCD的面积为，B=，BC=2， ∴×2×BD×sin=， ∴BD=.在△BCD中，由余弦定理可得 CD= ==， ∴AB=AD+BD=CD+BD=+=. (2)∵DE=，∴CD=AD==.在△BCD中，由正弦定理可得=. ∵∠BDC=2A，∴=， ∴cos A=.又∵A∈，∴A=. 答案:(1)　(2) 10.(15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2acos Acos C+2ccos2A. (1)求角A；(6分) (2)若a=4，求c-2b的取值范围.(9分) 解:(1)因为b=2acos Acos C+2ccos2A，由正弦定理得sin B=2sin Acos Acos C+2sin Ccos2A =2cos A(sin Acos C+sin Ccos A) =2cos Asin(A+C). 因为A+B+C=π，所以A+C=π-B， 所以sin B=2cos Asin B. 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0， 所以cos A=.因为A∈(0，π)，所以A=. (2)由正弦定理得=，所以c-2b=(sin C-2sin B)= ==8=8cos. 因为B∈，所以B+∈，所以cos∈，所以c-2b∈(-8，4). 11.(15分)在四边形ABCD中，AB=2，A=60°，∠ABC=∠BCD=90°，设∠CBD=α. (1)当α=15°时，求线段AD的长度；(5分) (2)求△BCD面积的最大值.(10分) 解:(1)当α=15°时，在△ABD中，AB=2，∠ABD=75°，∠ADB=45°， 由正弦定理=，得AD===+1. (2)在△ABD中，∠ABD=90°-α，∠ADB=180°-60°-(90°-α)=α+30°， 由正弦定理=， 得BD=. 在Rt△BCD中，BC=BDcos α=， CD=BDsin α=， 此时S△BCD=BC·CD==· ==≤=.当且仅当tan α=时等号成立，故△BCD面积的最大值为. 12.(15分)(2025·天津高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B=bcos A，c-2b=1，a=. (1)求A的值；(5分) (2)求c的值；(5分) (3)求sin(A+2B)的值.(5分) 解:(1)已知asin B=bcos A， 由正弦定理=， 得asin B=bsin A=bcos A，显然cos A≠0， 得tan A=，由0<A<π，故A=. (2)由(1)知cos A=，且c=2b+1，a=， 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A， 则7=b2+(2b+1)2-2×b(2b+1)=3b2+3b+1， 解得b=1(b=-2舍去)，故c=3. (3)由正弦定理=， 且b=1，a=，sin A=， 得sin B==，且a>b，则B为锐角， 故cos B=，故sin 2B=2sin Bcos B=， 且cos 2B=1-2sin2B=1-2×=， 故sin(A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B=×+×=. 学科网（北京）股份有限公司 $