第九章 统计与成对数据的统计分析（教师用书）-【创新方案】2026年高考数学一轮复习

第九章　统计与成对数据的统计分析 第一节　随机抽样与统计图表 课标要求 1.知道获取数据的基本途径，了解总体、样本、样本量的概念及数据的随机性. 2.了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法，了解样本与总体的关系. 3.了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题. 4.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述.体会合理利用统计图表的重要性. 　　　　　　　　　　　　　　　　 [系统主干知识] 1.总体与样本 (1)总体与样本的概念:统计的研究对象是数据，获取数据的方法有全面调查和抽样调查，调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体，从总体中抽取的部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量. (2)总体与样本的均值：总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则总体均值==Yi，从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则样本均值==yi. 2.简单随机抽样 (1)抽取方式：逐个不放回地抽取. (2)每个个体被抽到的概率相等. (3)常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数法. (4)适用条件：个体间差异不大，抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于个体数较多的情况. (5)实施注意点：抽签法的关键是将号签充分搅拌；随机数法要注意剔除重复的编号. 3.分层随机抽样 (1)概念：按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体(层)，每个个体属于且仅属于一个子总体(层)，在每个子总体(层)中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体(层)中抽取的样本合在一起作为总样本. (2)适用条件：从某一个变量的角度看，个体间差异大，根据该变量分层后，每一层内个体差异不大. (3)实施注意点：为保证样本的代表性，常用比例分配的分层随机抽样：=. (4)比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差：利用比例分配的分层(两层)随机抽样获得的样本中，第一层的样本量为n1，均值为，方差为；第二层的样本量为n2，均值为，方差为，则总的样本均值=+，总的样本方差s2=[+(-)2]+[+(-)2]. 4.作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差). (2)决定组距与组数. (3)将数据分组. (4)列频率分布表. (5)画频率分布直方图. 5.其他统计图表 统计图表 主要应用 扇形图 直观描述各类数据占总数的比例 条形图和 直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率 折线图 描述数据随时间的变化趋势 [细作教材小题] 1.(苏教必修②P271·T8改编)某企业2024年年度营业费用情况如图所示，则下面说法正确的是 (　　) A.基本工资占比最高 　　B.奖金高于基本工资 C.加班费与包装费相同 　　D.以上都不对 答案：C 2.(人A必修②P189·T5改编)一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽的人数为 (　　) A.16 B.14 C.28 D.12 解析：选A　因为每个个体被抽到的概率等于=，所以根据分层随机抽样方法原理可得样本中男运动员的人数为56×=16. 3.(北师大必修①P172·例5改编)某校高一年级有女生504人，男生596人.学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50个女生的平均体重为49 kg，60个男生的平均体重为57 kg，依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为 (　　) A. B.×49+×57 C.×49+×57 D.×49+×57 解析：选D　高一年级有女生504人，男生596人，总人数为504+596=1 100，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，没有按照比例分配的方式进行抽样，不能直接用样本平均数估计总体平均数，需要按照女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重，即×49+×57，即D选项最合理. 4.(人A必修②P198·T1)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出如图所示的频率分布直方图. (1)直方图中x的值为　　　　；  (2)在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为　　　　.  答案：(1)0.004 4　(2)70 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点清(一)　抽样方法 题点1　简单随机抽样 [例1]　下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是 (　　) A.某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本 B.从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查 C.从全班30名学生中，任意选取5名进行家访 D.为了解某地区某传染病的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计 解析：选C　A项，总体容量较大，有明显的层次性，如男女生在身高、体重等方面有较大差异，宜采用分层随机抽样方法；B项，总体容量较大，且各村庄人口、地域、发展等方面有差异，收入可能有明显的差异，不宜采用简单随机抽样方法；C项，总体个数少，家访活动学生个体平等，且无明显差异，宜采用简单随机抽样方法；D项，总体容量大，不同年龄的人传染病发病情况不同，有明显的差异，不宜采用简单随机抽样方法.综上比较，最适合用简单随机抽样方法的是C. [例2]　某学校为调查学生参加课外体育锻炼的时间，将该校某班的40名学生进行编号，分别为00，01，02，…，39，现从中抽取一个容量为10的样本进行调查，选取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取数据，直到取足样本，则抽取样本的第6个号码为 (　　) 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 75 36 A.07 B.40 C.35 D.23 解析：选D　重复的号码只能算作一个，抽取样本号码是24，36，38，07，35，23，18，05，20，15，所以抽取样本的第6个号码为23. |个性点拨|　 (1)简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况). (2)简单随机抽样中每个个体被抽中的可能性是相等的. 　　　　　　　　　　　　　　　　 题点2　分层随机抽样 [例3]　(2025·汉中模拟)中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会试分南卷、北卷、中卷，按11∶7∶2的比例录取.若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为 (　　) A.150 B.110 C.70 D.20 解析：选D　由于分层随机抽样比为11∶7∶2，则200个人中，中卷录取人数为200×=20. [例4]　某学校高一男生、女生的人数之比为4∶5，现采用比例分配的分层随机抽样方法抽取90人，若样本中男生的平均身高为171 cm，女生的平均身高为160.2 cm，则该校高一学生平均身高的估计值为　　　　cm.  解析：依题意，设样本中高一男生人数为4x，则样本中高一女生的人数为5x，故4x+5x=90，解得x=10，则样本中高一男生人数为40，高一女生的人数为50，所以样本中高一学生平均身高为=165 cm，故该校高一学生平均身高的估计值为165 cm. 答案：165 |个性点拨|　分层随机抽样中有关计算的方法 (1)抽样比==. (2)在比例分配的分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为. 逐点清(二)　扇形图、折线图、条形图 [例5]　(2025·朔州模拟)如图是一个病人在5月1日和5月2日48小时内的体温记录折线图，根据此图，下列叙述不正确的是 (　　) A.每六小时为病人测量一次体温 B.病人在5月1日6—12时体温下降最快 C.病人在5月2日18时体温是37.2 ℃ D.病人在5月1日18时至5月2日18时体温一直在下降 解析：选D　根据折线统计图，对于A，每六小时为病人测量一次体温，故A正确；对于B，病人在5月1日6—12时体温下降最快，故B正确；对于C，病人在5月2日18时体温是37.2 ℃，故C正确；对于D，病人在5月2日12—18时体温略有上升，故D不正确. [例6]　(多选)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下扇形图： 则下面结论正确的是 (　　) A.新农村建设后，种植收入减少 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析：选BCD　设新农村建设前的收入为M，则新农村建设后的收入为2M，新农村建设前种植收入为0.6M，新农村建设后种植收入为0.74M，故种植收入增加了，所以A不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B正确；新农村建设前养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，增加了一倍，所以C正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%+28%=58%>50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确. |点拨·建模| 　　常见的能够反映实际情况的统计图有条形图、折线图、扇形图等.扇形图中每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比；折线图能够很直观地体现数据随时间的变化情况；条形图可以直观地体现各数据之间的数量关系.具体的应用中要能够准确掌握各个统计图的功能，同时要能够准确理解试题的环境含义. 逐点清(三)　频率分布直方图及其应用 [例7]　(2025·天津模拟)要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在[120，140)之间的学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，应从[120，130)间抽取人数为b，则 (　　) A.a=0.025，b=2 B.a=0.025，b=3 C.a=0.030，b=4 D.a=0.030，b=3 解析：选D　由题得10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1，所以a=0.030.在[120，130)之间的学生有100×10×0.030=30人，在[130，140)之间的学生有100×10×0.020=20人，在[120，140)之间的学生有50人，又用分层随机抽样的方法在[120，140)之间的学生50人中抽取5人，则抽样比为，所以成绩在[120，130)之间的学生中抽取的人数应为30×=3，即b=3.故选D. [例8]　(多选)民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是 (　　) A.样本数据落在区间[300，500)内的频率为0.45 B.若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型民营企业能享受到减免税政策 C.若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家 D.根据频率分布直方图估计样本的中位数为500万元 解析：选AB　对于A，由(0.001+0.001 5+0.002+0.000 5+2a)×100=1，得a=0.002 5，所以数据落在区间[300，500)内的频率为(0.002+0.002 5)×100=0.45，A正确；对于B，数据落在区间[200，500)内的频率为(0.001+0.002+0.002 5)×100=0.55，B正确；对于C，n=100，年收入大于或等于400万元的有四组，其频率和是100×(0.002 5+0.002 5+0.001 5+0.000 5)=0.7，所以符合条件的民营企业有0.7×100=70家，C错误；对于D，数据落在区间[200，400)内的频率为(0.001+0.002)×100=0.3，数据落在区间[200，500)内的频率为(0.001+0.002+0.002 5)×100=0.55，估计中位数为400+×100=480，D错误. |点拨·建模|　 从频率分布直方图中得出有关数据的方法 频率 频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示，频率=组距×，即各小长方形的面积表示相应各组的频率 性质 应用 若纵轴上存在待求参数值，则根据“所有小长方形的高之和×组距=1”列方程即可求得 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点验收(一)　抽样方法 1.利用简单随机抽样，不放回地从n(n>10)个个体中抽取一个样本量为10的样本，每次抽取1个，第一次抽取后，余下的每个个体被抽到的概率均为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率均为 (　　) A. B. C. D. 解析：选C　由题意知=，解得n=28.由简单随机抽样中每个个体被抽到的概率相等，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率均为=. 2.(2025·南通模拟)某单位有管理人员、业务人员、后勤人员共m人，其中业务人员有120人，现采用分层随机抽样的方法从管理人员、业务人员、后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况，若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1∶4，抽取的后勤人员比业务人员少20人，则m的值为　　　　.  解析：若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1∶4，则抽取的业务人员有24人.又抽取的后勤人员比业务人员少20人，所以抽取的后勤人员有4人，所以=，解得m=170. 答案：170 3.某学校高一年级共有3个班，1班有30人，优秀率为30%，2班有35人，优秀率为60%，3班有35人，优秀率为40%，则该校高一年级学生的优秀率为　　　　.  解析：由题意知，该校高一年级学生的优秀率为=44%. 答案：44% 逐点验收(二)　扇形图、折线图、条形图 4.(2025·长沙模拟)2023年袁隆平“超级稻”突破亩产1 200 kg，再次刷新了杂交水稻单季亩产世界纪录.已知甲、乙两种杂交水稻在面积相等的两块试验田中连续6年的产量如图所示，则 (　　) A.甲的平均产量高于乙的平均产量 B.甲的最高产量高于乙的最高产量 C.甲的产量更稳定 D.乙的产量更稳定 解析：选D　甲的平均产量为×(1 020+958+980+1 150+910+1 200)=≈1 036 kg，乙的平均产量为×(1 116+1 090+1 120+1 058+1 132+1 251)=≈1 128 kg>1 036 kg，A错误；甲的最高产量为1 200 kg，乙的最高产量为1 251 kg，B错误；由折线图可知甲的波动更大，所以乙的产量更稳定，C错误，D正确. 5.[多选]某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式. 并将收集的数据整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中信息，下列说法正确的是 (　　) A.扇形图中D的占比最小 B.条形图中A和C一样高 C.无法计算扇形图中A的占比 D.估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送 解析：选ABD　由条形图知，自行乘车上学的有42人，家人接送上学的有30人，其他方式上学的有18人，采用B，C，D三种方式上学的共90人.设结伴步行上学的有x人，由扇形图知，结伴步行上学与自行乘车上学的学生共占60%，所以=，解得x=30，故条形图中A，C一样高；扇形图中A的占比与C一样，都为25%；A和C共占50%，即估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送；扇形图中D的占比最小. 逐点验收(三)　频率分布直方图及其应用 6.采用简单随机抽样抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70] 频数 2 3 x 5 y 2 已知样本数据在区间[20，40)内的频率为0.35，则样本数据在区间[50，60)内的频率为 (　　) A.0.70 B.0.50 C.0.25 D.0.20 解析：选D　由题意得，=0.35，解得x=4，则y=20-2-3-4-5-2=4，故所求频率为=0.20. 7.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 则下面结论不正确的是 (　　) A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 解析：选C　由频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率约为0.02+0.04=0.06，所以A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为0.02+0.02+0.02+0.04=0.10，所以B正确；由频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+ 8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5，所以C不正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率约为0.1+0.14+0.2+0.2=0.64>0.5，所以D正确.故选C. [课时跟踪检测] 1.(2025·连云港模拟)从某地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男、女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 (　　) A.抽签法 　B.按性别分层随机抽样 C.按学段分层随机抽样 　D.随机数法 解析：选C　∵小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，∴学段对统计结果影响较大.∵同一学段男、女生肺活量差异不大，∴性别对统计结果无明显影响.∴最合理的抽样方法是按学段分层随机抽样，故选C. 2.(2025·南通模拟)某校高三年级的700名学生中，男生有385名，女生有315名.从中抽取一个容量为60的样本，则抽取男生和女生的人数分别为 (　　) A.31，29 B.32，28 C.33，27 D.34，26 解析：选C　设样本中的男生和女生的人数分别为m，n，由分层随机抽样可得==，解得故选C. 3.某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取5位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从下面随机数表的第1行的第5列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5位同学的编号为 (　　) 41 79 27 35 16 86 08 16 21 57 95 62 39 41 59 49 54 27 49 55 12 83 59 83 78 83 51 34 78 70 20 79 93 21 22 41 A.20 B.21 C.27 D.12 解析：选D　依次从数表中读出的有效编号为27，16，08，21，12，得到选出来的第5位同学的编号为12. 4.(2025·哈尔滨模拟)已知某学校有1 800名学生，现在采用系统抽样的方法抽取40人，调查他们对学校食堂的满意程度，将1 800人按1，2，3，…，1 800随机编号，则在抽取的40人中，编号落在[271，450]内的人数为 (　　) A.6 B.5 C.4 D.3 解析：选C　使用系统抽样方法，从1 800人中抽取40人，1 800÷40=45，即从45人抽取1人，∴从编号[271，450]共抽取=4人. 5.(2025·株洲模拟)某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了100头仔猪的体重(单位：斤)，经数据处理得到如图①的频率分布直方图，其中体重最轻的14头仔猪的体重的频数分布表如图②，为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直方图中的一些数据，其中a+b的值为 (　　) 体重 22 24 26 27 28 29 31 频数 1 1 2 3 3 2 2 图② A.0.144 B.0.152 C.0.76 D.0.076 解析：选B　由题意得c+d=×=0.024，且[2(c+d)+a+b]×5=1，所以2×0.024+a+b=0.2，所以a+b=0.152. 6.某企业两个分厂生产同一种电子产品，产量之比为3∶2，现采用分层随机抽样方法，从两个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，由所得样品的测试结果计算出该产品的平均使用寿命分别为1 000小时，1 020小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为 (　　) A.1 012小时 B.1 010小时 C.1 008小时 D.1 006小时 解析：选C　由题意可知该产品的平均使用寿命为×1 000+×1 020=1 008(小时). 7.[多选]下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是 (　　) A.超过的大学生更爱使用购物类APP B.超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C.使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是23% D.APP使用目的中6个占比数字的40%分位数是34.3% 解析：选AC　根据图表知，大学生使用购物类APP占比为25.7%，所以A正确；根据图表知，大学生使用APP是为了学习与生活需要的占比为34.3%+14.0%=48.3%，所以B错误；根据图表知，使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是25.7%-2.7%=23%，所以C正确；根据图表知，APP使用目的中6个占比数字从小排到大分别为0.6%，8.4%，14.0%，16.3%，26.4%，34.3%，又6×40%=2.4，所以40%分位数是14.0%，故D错误. 8.[多选]某市为了更好的支持小微企业的发展，对全市小微企业的年税收进行适当的减免，为了解该地小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业减免前和减免后的年收入进行了抽样调查，将调查数据整理， 得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是 (　　) A.推行减免政策后，该市小微企业的年收入都有了明显的提高 B.推行减免政策后，该市小微企业的平均年收入有了明显的提高 C.推行减免政策后，该市小微企业的年收入更加均衡 D.推行减免政策后，该市小微企业的年收入没有变化 解析：选BC　从题图中无法确定推行减免政策后，该市小微企业的年收入是否都有了明显的提高，所以A错误；从题图中可以看出，减免前占比最多的平均年收入为45~50万元，其次是40~45万元及50~55万元，减免后占比最多的为50~55万元，其次是55~60万元及45~50万元，明显增多，所以平均年收入也有明显提高，所以B正确；从题图中看出，推行减免政策后，年收入更加集中，所以减免后年收入更加均衡，所以C正确；从题图中看出，该市小微企业的年收入有明显变化，所以D错误.故选BC. 9.(2025·大连模拟)某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来，并将小矩形擦去，得到频率分布折线图(如图所示).已知该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10，据此估计此次考试成绩的平均数是　　　　.  解析：因为该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10，结合频率分布折线图可得各组的中点数据分别为85，95，105，115，125，135，所以此次考试成绩的平均数大约为(0.010×85+0.015×95+0.015×105+0.025×115+0.020×125+0.015×135)×10=112.5. 答案：112.5 10.(2025·北京专题练习)动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常核心的部件.如图是刀片电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷达图，则下列正确结论的序号是　　　　　.  ①刀片电池的安全性更高，价格优势更突出； ②三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低； ③对于这7项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池； ④磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好. 解析：由雷达图易知刀片电池的安全性更高，价格优势更突出，①正确；三元锂电池的循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低，②正确；对于这7项指标，刀片电池的平均得分为×(4+4+5+4+5+5+4)=，三元锂电池的平均得分为×(5+5+3+5+4+3+5)=，所以③错误；磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能差，④错误. 答案：①② 11.某校高一、高二、高三三个年级的学生人数之比为3∶3∶2，现采用分层随机抽样法抽取一个容量为16的样本，若高一学生甲和高二学生乙同时被抽到的概率为，则三个年级学生的总人数为　　　　　　.  解析：由题意，设高一年级有n个人，则高二年级有n个人，高三年级有n个人，因为采用分层随机抽样法抽取的样本的容量为16，所以在高一年级中抽取6个人，在高二年级中抽取6个人，所以甲被抽到的概率p1=，乙被抽到的概率p2=，则p1p2==，解得n=600，所以三个年级学生的总人数为600+600+400=1 600. 答案：1 600 12.某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长(单位：分钟).现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：(0，100]，(100，200]，(200，300]，(300，400]，(400，500]，(500，600]，并整理得到如下频率分布直方图(顾客的停车时长均不超过600分钟). (1)求a； (2)若某天该商场到访顾客的车辆数为500，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间(300，500]内的车辆数； (3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议(数据取整数). 解：(1)根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，可得(0.000 2+0.001 3+0.001 6+0.003 2+0.003 4+a)×100=1， 所以a=0.000 3. (2)样本中停车时长在区间(300，500]内的频率为(0.001 6+0.000 3)×100=0.19， 所以估计该天停车时长在区间(300，500]内的车辆数是500×0.19=95. (3)设免费停车时长不超过y分钟，又因为(0，100]的频率为0.13<30%，并且(0，200]的频率为0.45>30%，所以y位于(100，200]之间， 则0.13+(y-100)×0.003 2=0.3，所以y≈153， 所以确定免费停车时长为153分钟. 第二节　用样本估计总体 课标要求 1.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)与离散程度参数(标准差、方差、极差). 2.理解集中趋势参数与离散程度参数的统计含义. 3.能用样本估计总体的取值规律，理解百分位数的统计含义. 　　　　　　　　　　　　　　　　 [系统主干知识] 1.中位数、众数、平均数、百分位数 (1)中位数 将样本数据按从小到大排序，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (2)众数 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. (3)平均数 一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn的平均数=(x1+x2+…+xn).简记为=xi. (4)百分位数 ①第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. ②计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. ③四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数. 2.样本的数字特征 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么： 平均数为=(x1+x2+…+xn)，标准差为 s=， 方差为s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. [细作教材小题] 1.(人A必修②P224·T3改编)如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是 (　　) A.数据中可能有异常值 B.这组数据是近似对称的 C.数据中可能有极端大的值 D.数据中众数可能和中位数相同 答案：B 2.(北师大必修①P170·例3改编)为了判断甲、乙两名同学本学期几次数学考试成绩哪个较稳定，通常需要知道这两人的 (　　) A.平均数 B.众数 C.方差 D.频率分布 答案：C 3.(苏教必修②P257·T1)已知一组数据1，3，2，5，4，则这组数据的标准差为　　　　.  解析：这组数据的平均数为×(1+3+2+5+4)=3，故这组数据的标准差为 =. 答案： 4.(人A必修②P203·例2改编)某机构调查了10种食品的卡路里含量，其结果如下：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是　　　　　　.  答案：138，160.5 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点清(一)　样本的数字特征和百分位数的计算 题点1　百分位数的计算 [例1]　(2025·长沙模拟)某台机器每天生产10 000个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数依次为8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，则这组样本数据的中位数与第60百分位数之和是 (　　) A.29 B.30 C.30.5 D.31 解析：选B　将这12个数据从小到大排列为8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，60%×12=7.2，所以排列后的第8个数16即为第60百分位数，中位数为=14，故所求和为14+16=30. [例2]　某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是　　　　.  解析：根据题意，将20个数据从小到大排列，其中75分1个，80分5个，85分3个，90分5个，95分4个，100分2个，由20×70%=14，所以第70百分位数是第14和15个数据的平均数，所以第70百分位数为=92.5. 答案：92.5 题点2　样本的数字特征 [例3]　为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分(10分制)的频数分布表如下表： 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 设得分的中位数为me，众数为m0，平均数为，则 (　　) A.me=m0= B.me=m0< C.me<m0< D.m0<me< 解析：选D　由频数分布表知，众数m0=5，中位数是从小到大排列的第15个数与第16个数的平均数，由表知第15个数是5，第16个数是6，所以中位数me==5.5，平均数=×(2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10)=，所以m0<me<.故选D. [例4]　(2023·新课标Ⅰ卷)[多选]有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则 (　　) A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 解析：选BD　取x1=1，x2=x3=x4=x5=2，x6=9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为，故A、C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是最中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后最中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确.故选BD. 逐点清(二)　频率分布直方图中的数字特征 [例5]　某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间(单位：小时)，并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图. (1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数、中位数、平均数； (2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的第75百分位数(结果保留两位小数). 解：(1)由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20. 由(0.02+0.06+0.075+a+0.025)×4=1， 解得a=0.07， ∵(0.02+0.06)×4=0.32，且(0.02+0.06+0.075)×4=0.62， ∴中位数位于18~22之间，设中位数为x， 则=， 解得x=20.4，故中位数是20.4. 平均数为(0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28)×4=20.32. (2)∵(0.02+0.06+0.075)×4=0.62， (0.02+0.06+0.075+0.07)×4=0.9， ∴第75百分位数位于22~26之间，设为y， 则=，解得y≈23.86. |点拨·建模|　频率分布直方图中数字特征的计算 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. (4)通过频率分布直方图计算第p百分位数落在区间[m，n)内(具体由前几个小长方形面积即频率确定，小于m的频率记为fm，小于n的频率记为fn，p∈[fm，fn))；计算百分位数：m+(n-m)·(特殊地，若p=fm也适合上式). 逐点清(三)　总体离散程度的估计 [例6]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种 工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i=1，2，…，10)，试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi=xi-yi(i=1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2. (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高. 解：(1)由题意，求出zi的值如表所示， 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12 则=×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11，s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61. (2)因为2=2==11=>， 所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点验收(一)　样本的数字特征和百分位数 1.(2025·重庆模拟)一组数据按从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若75%分位数是20，则x+y= (　　) A.33 B.34 C.35 D.36 解析：选D　一共有9个数，故从小到大的第5个数为中位数，即x=16，9×75%=6.75，故选取第7个数为75%分位数，故y=20，所以x+y=16+20=36.故选D. 2.[多选]已知数据x1，x2，x3，…，x10的平均数为a，中位数为b，方差为c，极差为d，由这组数据得到新数据y1，y2，y3，…，y10，其中yi=3xi+2(i=1，2，3，…，10)，则所得新数据的 (　　) A.平均数是3a B.中位数是3b C.方差是9c D.极差是3d 解析：选CD　y1，y2，y3，…，y10的平均数是3a+2，中位数是3b+2，方差是9c，极差是3d. 3.(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理下表： 亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200] 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是 (　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 解析：选C　对于A，根据频数分布表可知，6+12+18=36<50，所以亩产量的中位数不小于1 050 kg，故A错误； 对于B，亩产量不低于1 100 kg的频数为24+10=34，所以低于1 100 kg的稻田占比为=66%，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大约为1 200-900=300，最小约为1 150-950=200，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，100块稻田亩产量的平均值为×(6×925+12×975+18×1 025+30×1 075+24×1 125+10×1 175)=1 067，故D错误. 逐点验收(二)　频率分布直方图中的数字特征 4.(2025·泉州模拟)[多选]某校在开展“弘扬中华传统文化，深植文化自信之根”主题教育的系列活动中，举办了“诵读国学经典，传承中华文明”知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是 (　　) A.估计高一年级抽测成绩的众数为75 B.高二年级抽测成绩低于60分的比率为2.5% C.估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分 D.估计高一年级学生成绩的中位数低于高二年级学生成绩的中位数 解析：选ACD　估计高一年级学生成绩的众数为区间[70，80]的中点横坐标，故A正确；高二年级学生成绩在区间[40，60)的学生人数频率为(0.002 5+0.002 5)×10=0.05，所以低于60分的比率为5%，故B错误；高一年级学生成绩的平均分约为45×0.04+55×0.11+65×0.18+75×0.35+85×0.22+95×0.1=74分；高二年级学生成绩的平均分约为45×0.025+55×0.025+65×0.1+75×0.25+85×0.4+95×0.2=80.75分，因为74<80.75，故C正确；高一年级学生成绩的中位数位于[70，80)，高二年级学生成绩的中位数位于[80，90)，故D正确. 5.(2025·江西联考)某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计(若该校全体学生的成绩均在[60，140)分)，按照[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)的分组作出频率分布直方图如图所示，若用分层随机抽样的方法从分数在[70，90)内抽取8人，则抽得分数在[70，80)的人数为3人. (1)求频率分布直方图中的x，y的值，并估计本次考试成绩的平均数(以每一组的中间值为估算值)； (2)该高三数学组准备选取数学成绩在前5%的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132，请你估算他能被选取吗? 解：(1)设由分层随机抽样可得分数在[70，80)的人数与分数在[80，90)的人数之比为3∶5，所以3∶5=0.006∶x，则x=0.01，y==0.014.又由频率分布直方图可知分数在[60，70)的频率为0.04，分数在[70，80)的频率为0.06，分数在[80，90)的频率为0.1，分数在[90，100)的频率为0.2，分数在[100，110)的频率为0.3，分数在[110，120)的频率为0.14，分数在[120，130)的频率为0.1，分数在[130，140)的频率为0.06.则平均数为0.04×65+0.06×75+0.1×85+0.2×95+0.3×105+0.14×115+0.1×125+ 0.06×135=102.8(分). (2)由题意可知分数在[130，140)的频率为6%，所以前5%在该组内，不妨设第5%名的分数为x0，则(140-x0)·0.006=5%，解得x0≈131.667， 因为131.667<132，故小明能被选取. 逐点验收(三)　总体离散程度的估计 6.(2025·新余模拟)[多选]已知对11个数据x1，x2，x3，…，x11做如下变换：当i为奇数时，对应的xi变为xi+1；当i为偶数时，对应的xi变为xi-2，则对于该组数据的变化，下列情况可能发生的是 (　　) A.平均数增大 B.方差不变 C.25%分位数减小 D.众数减小 解析：选BCD　由题意易知数据中奇数项均加1，偶数项均减2，则改变后数据和减小，即平均数减小，故A错误；由方差的实际意义(数据的波动程度)与在统计图中几何特征分析，不妨令i为奇数时xi=，i为偶数时xi=2，则原方差为=，新方差为，两数据相等，故B正确；易知第25%分位数为从小到大的第三个数据，而对应的i可奇可偶，故C正确；不妨取数据2，1，3，1，3，1，3，1，3，1，2，众数为1，新数据的偶数项均从1变为-1，众数减小，故D正确. 7.某职业学校的甲、乙两名学生到某工厂实习加工某种零件，并且每天甲、乙两人都进行比赛，规定一天内平均每小时加工的合格零件数多者胜出.如图是甲、乙两人在5天的比赛中，每天平均每小时加工的合格零件数的统计表.已知甲、乙两人在这5天的比赛中，每天平均每小时加工的合格零件数的平均数都是10. 甲 7 m 10 12 12 乙 8 8 9 n 12 (1)求m，n的值； (2)用，s分别表示一天内平均每小时加工的合格零件数的平均值和标准差，规定：一天内平均每小时加工的合格零件数为x，若满足x>+s，则当天的工作状态视为超常发挥；若满足-s≤x≤+s，则当天的工作状态视为稳定发挥；若满足x<-s，则当天的工作状态视为失常发挥.计划从甲、乙两人中选一人参加技术比赛，现有两个方案： 方案一：根据甲、乙两人加工的合格零件数的平均数和方差，选择参加技术比赛的选手； 方案二：根据甲、乙两人在5天的比赛中超常发挥的天数，选择参加技术比赛的选手. 当选用两个不同方案时，分别判断应选择谁参加技术比赛.参考数据：≈1.05， ≈0.32. 解：(1)由题设知，可得 (2)方案一：由题设知甲、乙的平均数为10，甲的方差=×[(7-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(12-10)2+(12-10)2]=， 乙的方差=×[(8-10)2+(8-10)2+(9-10)2+(13-10)2+(12-10)2]=， 所以<，故应选择甲参加技术比赛. 方案二：由上知s1=6≈1.92，s2=2≈2.1，对于甲大于+s1=11.92的天数为2天； 对于乙大于+s2=12.1的天数为1天. 所以应选择甲参加技术比赛. 细节、微点提醒 1.平均数的性质 (1)若给定一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，则ax1，ax2，…，axn的平均数为a；ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b. (2)若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这(M+N)个数的平均数是. (3)若两组数据x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别是和，则x1+y1，x2+y2，…，xn+yn的平均数是+. 2.方差的性质 若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2；ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差为a2s2.特别地，当a=1时，有x1+b，x2+b，…，xn+b的方差为s2，这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即不影响数据的波动性. [课时跟踪检测] 1.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 (　　) A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差 C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数 解析：选B　评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差. 2.(2025·牡丹江模拟)[多选]若2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数为3，方差为4，则x1，x2，…，xn的 (　　) A.平均数为1 B.方差为1 C.平均数为 D.方差为2 解析：选AB　若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数为2+1，方差为4s2，令2+1=3，4s2=4，解得=1，s2=1.故选AB. 3.(2025·资阳模拟)某产品的标准质量是50克/袋，抽取8袋该产品，称出各袋的质量(单位：克)如下：48，49，50，50，50，50，51，52.这8袋产品中，质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有 (　　) A.4袋 B.6袋 C.7袋 D.8袋 解析：选B　这8袋产品的平均质量=×(48+49+50+50+50+50+51+52)=50，方差s2=×[(48-50)2+(49-50)2+4×(50-50)2+(51-50)2+(52-50)2]=1.25，标准差s=.质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内，即在(50-，50+)内的产品有6袋. 4.(2025·十堰模拟)为了解某地高三学生的期末数学考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这100名学生期末数学成绩的中位数约为 (　　) A.92.5 B.95 C.97.5 D.100 解析：选B　因为(0.006+0.014)×20=0.4<0.5，(0.006+0.014+0.02)×20=0.8>0.5，所以这100名学生期末数学成绩的中位数m∈[90，110)，则(m-90)×0.02+0.4=0.5，得m=95.故选B. 5.(2025·合肥模拟)[多选]为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学10周课外阅读的时长，经过整理得到男生、女生这10周课外阅读的平均时长(单位：h)的数据如下表： 女生 7.0 7.3 7.5 7.8 8.4 8.6 8.9 9.0 9.2 9.3 男生 6.1 6.5 6.9 7.5 7.7 8.0 8.1 8.2 8.6 9.4 以下判断正确的是 (　　) A.该班男生每周课外阅读的平均时长的平均值为7.85 B.该班女生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是9.0 C.该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小 D.由该班估计该校男生每周课外阅读的平均时长不低于8 h的概率为0.5 解析：选CD　由题表可知，该班男生每周课外阅读的平均时长的平均值为×(6.1+6.5+6.9+7.5+7.7+8.0+8.1+8.2+8.6+9.4)=7.7，故A错误；因为10×80%=8，则该班女生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是=9.1，故B错误；由题表可知，该班女生每周课外阅读的平均时长的极差为9.3-7.0=2.3，该班男生每周课外阅读的平均时长的极差为9.4-6.1=3.3，所以该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小，故C正确；由题表可知，估计该校男生每周课外阅读的平均时长不低于8 h的概率为=0.5，故D正确.故选CD. 6.(2025·周口模拟)如图，图(1)和图(2)均为“单峰”频率分布直方图，图(1)的中位数和平均数分别为a，b，图(2)的中位数和平均数分别为c，d，则 (　　) A.a>b B.c<d C.a+d<b+c D.a+d>b+c 解析：选C　对于A，图(1)中，众数靠近0这一侧，因此平均数会受到较大值的影响而表现为平均数在中位数的右侧，因此a<b，故A错误；对于B，图(2)中，众数靠近最大的数这一侧，因此平均数会受到较小值的影响而表现为平均数在中位数的左侧，因此c>d，故B错误；对于C、D，因为a<b，c>d，由不等式的性质有a+d<b+c，故C正确，D错误. 7.(2025·沧州模拟)[多选]某市高三年级第二次统考结束后，李老师为了了解本班学生的本次数学考试情况，将全班50名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图.已知该班级学生的数学成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将数学成绩按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，…，第八组[135，145].按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图，则下列结论正确的是 (　　) A.第七组的频率为0.008 B.该班级数学成绩的中位数的估计值为101分 C.该班级数学成绩的平均分的估计值大于95分 D.该班级数学成绩的标准差的估计值大于6 解析：选BCD　利用频率之和为1，可得第七组的频率为1-(0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004)×10=0.08，A错误；成绩在第一组到第八组的人数分别为2，6，8，15，10，3，4，2，所以中位数在第四组[95，105)内，设中位数为x，因为(0.004+0.012+0.016)×10=0.32<0.5，所以0.32+0.030×(x-95)=0.5，解得x=101，所以该班级数学成绩的中位数的估计值为101分，B正确；该班级数学成绩的平均分的估计值为70×0.04+80×0.12+90×0.16+100×0.3+110×0.2+120×0.06+130×0.08+140×0.04=102(分)，C正确；×[2×(70-102)2+6×(80-102)2+…]>×2×(70-102)2=40.96>36，所以标准差的估计值大于6，D正确.故选BCD. 8.[多选]某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制(满分100分)，统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中b=3a.则下列结论正确的是 (　　) A.a=0.01 B.满意度计分的众数为80分 C.满意度计分的75%分位数是85分 D.满意度计分的平均分是76.5分 解析：选ACD　由频率分布直方图可知(a+0.015+0.035+b+a)×10=1，即b+2a=0.05，又b=3a，所以a=0.01，A正确；满意度计分的众数为75分，B错误；前三组的频率之和为0.1+0.15+0.35=0.6<0.75，前四组的频率之和为0.6+0.3=0.9>0.75，则75%分位数m∈[80，90)，故m=80+×10=85，满意度计分的75%分位数为85分，C正确；满意度计分的平均分为=55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5分，D正确. 9.(2025·秦皇岛模拟)五名学生每人投篮15次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据，若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次数的总和最大是　　　　.  解析：假设五个数据按照由小到大排列为a，b，c，d，e，因为这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，所以c=6，d=e=7，所以最大的三个数的和为6+7+7=20.因为两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，最大为4和5，所以这五个数的和一定大于20且小于等于29，故答案为29. 答案：29 10.(2025·云南师大附中模拟)某班级为了了解本班学生的身高情况，根据男、女学生的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生5名和女生3名，测量他们的身高所得的数据(单位：cm)如下表所示，根据表中数据，可计算出该校高中学生身高的总样本平均数=　　　　；总样本方差s2=　　　　.  性别 人数 平均数 方差 男生 5 172 18 女生 3 164 30 解析：由题意知==169. 设男生的身高为x1，x2，x3，x4，x5，身高的平均数为，方差为， 设女生的身高为y1，y2，y3，身高的平均数为，方差为， 由=[++++]， 得++++=5(+)，同理++=3(+)， 则s2=[++…++++] =(++…+++++8-10-6 ) =[5+5+3+3(-)2] =[5×18+5×(172-169)2+3×30+3×(164-169)2]=37.5. 答案：169　37.5 11.(2025·汉中模拟)粮食安全是国家安全的重要基础.从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下(单位：cm)： 甲：29，31，30，32，28； 乙：27，44，40，31，43. 请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题. (1)哪种玉米苗长得高? (2)哪种玉米苗长得齐? 解：(1)甲的平均值=×(29+31+30+32+28)=30(cm)， 乙的平均值=×(27+44+40+31+43)=37(cm)， 因为<，故乙种玉米苗长得高. (2)甲的方差=×[(29-30)2+(31-30)2+(30-30)2+(32-30)2+(28-30)2]=2， 乙的方差=×[(27-37)2+(44-37)2+(40-37)2+(31-37)2+(43-37)2]=46， 因为<，故甲种玉米苗长得齐. 12.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数； (2)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数. 解：(1)由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6， 则样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 又由频率分布直方图，得样本中分数小于80的频率为0.8，所以样本数据的70%分位数必定位于[70，80)之间.计算为70+10×=77.5， 所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5. (2)由题知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60， 则样本中分数不小于70的男生人数为60×=30，所以样本中的男生人数为30×2=60，女生人数为100-60=40，所以总体中女生人数为400×=160. 13.某电子产品制造企业为了提升生产质量，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1 000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件). 质量 指标值 [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75) [75，85) [85，95) 产品 60 100 160 300 200 100 80 (1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)； (2)设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，s精确到个位，an=5·，bn=5·，n∈N*，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[a1，b1]内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在[a2，b2]内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的? 解：(1)由题可知， =30×0.06+40×0.1+50×0.16+60×0.3+70×0.2+80×0.1+90×0.08=61. s2=(30-61)2×0.06+(40-61)2×0.1+(50-61)2×0.16+(60-61)2×0.3+(70-61)2×0.2+(80-61)2×0.1+(90-61)2×0.08=241. (2)由s2=241知，s≈16， 则a1=5×=45，b1=5×=75， 该抽样数据落在[45，75]内的频率约为 0.16+0.3+0.2=66%>65%； 又a2=5×=30， b2=5×=90， 该抽样数据落在[30，90]内的频率约为1-0.03-0.04=0.93=93%<95%， 所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功. 第三节　成对数据的统计分析 课标要求 1.了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.会通过样本相关系数比较多组成对数据的相关性. 2.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. 3.会用一元线性回归模型进行预测. 4.理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 [系统主干知识] 1.变量的相关关系 定义 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系 正相关、 负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关 线性 相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线性相关 2.样本相关系数 计算 公式 r=.r为变量x和变量y的样本相关系数 样本 相关 系数 r的 特征 ①r∈[-1，1]. ②当r>0时，称成对样本数据正相关； 当r<0时，称成对样本数据负相关. ③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱 3.一元线性回归模型 (1)经验回归方程：利用最小二乘法求得=x+，其中 (2)评价回归模型的优劣： ①利用残差平方和：(yi-)2，残差平方和越小，拟合效果越好. ②利用残差图：残差点分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好. ③利用决定系数：R2=1-，决定系数越大，拟合效果越好. 4.独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 则χ2=. (2)利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. (3)χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 [细作教材小题] 1.(人A选必修③P103·T1改编)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是 (　　) 答案：C 2.(人A选必修③P139·T3)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2=2.974.依据α=0.05的独立性检验，结论为 (　　) A.变量x与y不独立 B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C.变量x与y独立 D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 答案：C 3.(人B选必修②P121·T3)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是 (　　) A.x与y负相关，x与z负相关 B.x与y正相关，x与z正相关 C.x与y正相关，x与z负相关 D.x与y负相关，x与z正相关 解析：选A　因为y=-0.1x+1的斜率小于0，故x与y负相关.因为y与z正相关，可设z=y+>0，则z=y+=-0.1x++，故x与z负相关. 4.(苏教选必修②P169·T1)某小吃店的日盈利y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：℃)之间有如下数据： x/℃ -2 -1 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 甲、乙、丙3位同学对上述数据进行了分析，发现y与x之间具有线性相关关系，他们通过计算分别得到3个线性回归方程：①=-x+2.8；②=-x+3；③=-1.2x+2.6.其中正确的是　　　　.(填序号)  解析：根据表格数据可知，=×(-2-1+0+1+2)=0，=×(5+4+2+2+1)=2.8.因为线性回归方程过这组数据的样本中心点，故点()满足线性回归方程，代入检验可得，只有①符合. 答案：① 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点清(一)　成对数据的统计相关性 [例1]　(2025·湘潭模拟)已知变量xi，yi具有相关关系，其散点图如图所示，则它们分别对应的样本相关系数ri(i=1，2，3，4)的大小关系是 (　　) A.r1>r3>r4>r2 B.r3>r1>r2>r4 C.r3>r1>r4>r2 D.r1>r3>r2>r4 解析：选A　观察散点图知，第一、三图是正相关，且第一图中点的集中程度高于第三图，r1接近于1，即r1>r3>0，第二、四图是负相关，且第二图中点的集中程度高于第四图，r2接近于-1，即r2<r4<0，所以有r1>r3>r4>r2.故选A. [例2]　(2025·重庆高三校联考)[多选]为研究女儿身高y与母亲身高x的关系，现经过随机抽样获得成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，下列说法正确的是 (　　) A.落在回归直线上的样本点越多，回归直线方程的拟合效果越好 B.样本相关系数|r|越大，变量x，y线性相关程度越强 C.决定系数R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越好 D.决定系数R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 解析：选BD　回归直线方程拟合效果的好坏是由决定系数R2来判断的，故A错误；因为|r|≤1，且样本相关系数|r|越接近1，变量x，y线性相关程度越强，故B正确；决定系数R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差；决定系数R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故C错误，D正确.故选BD. |点拨·建模|　判断相关关系的两种方法 散点 图法 如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系 决定 系数法 利用决定系数判定，R2越趋近1，拟合效果越好，相关性越强 逐点清(二)　一元线性回归模型及其应用 题点1　线性回归模型 [例3]　(2025·榆林模拟)为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导.根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量y(千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据如下. x(千克) 2 4 5 6 8 y(千克) 300 400 400 400 500 (1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算样本相关系数r并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)； (2)求y关于x的经验回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为20千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克? 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为==-， 样本相关系数r=. 参考数据：≈3.16. 解：(1)由已知数据可得==5，==400， (xi-)(yi-)=600，=20， =20 000， ∴样本相关系数r==≈0.95. ∵|r|>0.75， ∴可用线性回归模型拟合y与x的关系. (2)===30，=-=400-30×5=250，∴经验回归方程为=30x+250. 当x=20时，=30×20+250=850. 即当液体肥料每亩使用量为20千克时，西红柿亩产量的增加量约为850千克. |个性点拨|　求经验回归方程的步骤 题点2　非线性回归模型 [例4]　(2025·成都模拟)一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x(单位：千万元)对每件产品成本y(单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi(i=1，2，3，…，10)的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得=6.8，=70，=3，=1.6，=350. (1)根据散点图可知，可用函数模型y=+a拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程； (2)已知该产品的年销售额m(单位：千万元)与每件产品成本y的关系为m=-+++100.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大?(注：年利润=年销售额-年投入成本) 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为==-. 解：(1)令u=，则y关于u的经验回归方程为=+u， 由题意可得===200， =-=70-200×0.3=10，则=10+200u， 所以y关于x的回归方程为=10+. (2)由y=10+可得x=， 年利润M=m-x-10=-+++100--10=-(y-20)2+90.8， 当y=20时，年利润M取得最大值， 此时x===20， 所以当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值. |个性点拨|　 1.非线性回归问题的求解步骤 (1)作出散点图或利用已知散点图； (2)根据散点图选择恰当的拟合函数； (3)作恰当变换，将其化成线性函数，求经验回归方程； (4)在(3)的基础上通过变换，可得非线性回归方程. 2.非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程的方法 (1)若=a+b，设t=，则=a+bt； (2)若满足对数式：=a+bln x，设t=ln x，则=a+bt； (3)若满足指数式：=c1，两边取对数得ln =ln c1+c2x，设z=ln ，a=ln c1，b=c2，则z=a+bx. 逐点清(三)　独立性检验 [例5]　(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 项目 优级品 合格品 不合格品 合计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 合计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 项目 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果>p+1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了?(≈12.247) 附：χ2=，n=a+b+c+d. P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：(1)填写如下列联表： 项目 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 则完整的2×2列联表如下： 项目 优级品 非优级品 合计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 合计 96 54 150 χ2==4.687 5. 因为χ2=4.687 5>3.841，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异； 因为χ2=4.687 5<6.635，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. (2)由题意可知==0.64. 又p+1.65=0.5+1.65×≈0.5+1.65×≈0.57， 所以>p+1.65，所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. |点拨·建模|　独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表. (2)根据公式χ2=计算χ2. (3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断. 　　　　　　　　　　　　　　　　 逐点验收(一)　成对数据的统计相关性 1.(2024·上海高考)已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是 (　　) A.气候温度高，海水表层温度就高 B.气候温度高，海水表层温度就低 C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 解析：选C　对于A、B，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故A、B错误.对于C、D，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误. 2.某校数学兴趣小组在某座山测得海拔高度x(单位：千米)与气压y(单位：千帕)的六组数据(xi，yi)(i=1，2，…，6)绘制成如图散点图，分析研究发现B点相关数据不符合实际，删除B点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是 (　　) A.删除点B后，样本数据的两变量x，y正相关 B.删除点B后，样本相关系数r的绝对值更接近于1 C.删除点B后，新样本的残差平方和变大 D.删除点B后，解释变量x与响应变量y相关性变弱 解析：选B　由题意，从散点图中可知，删除点B后，样本数据的两变量x，y负相关，所以A错误；由于B点较其他点偏离程度大，故去掉B点后，回归效果更好，从而样本相关系数r的绝对值更接近于1，所以B正确；同理决定系数R2越接近于1，所以新样本的残差平方和变小，所以C错误；从而解释变量x与响应变量y相关性增强，所以D错误. 3.关于(x，y)的一组样本数据(1，-1)，(2，-3)，(3.5，-6)，(5，-9)，(6，-11)，(7.5，-14)，(9，-17)，…，(29，-57)，(30.5，-60)的散点图中，所有样本点均在直线y=-2x+1上，则这组样本数据的样本相关系数r为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.-2 解析：选A　因为所有样本点都在直线y=-2x+1上，所以回归直线方程是y=-2x+1，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点都在直线上，则有=1，所以样本相关系数r=-1. 逐点验收(二)　一元线性回归模型及其应用 4.(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得=0.038，=1.615 8，xiyi=0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附：样本相关系数r=≈1.377. 解：(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积===0.06，估计该林区这种树木平均一棵的材积量===0.39. (2)(xi-)(yi-)=xiyi-10=0.013 4， (xi-)2=-10()2=0.002， (yi-)2=-10()2=0.094 8， 所以==≈0.01×1.377=0.013 77， 所以样本相关系数r==≈0.97. (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，由题意可知，该种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以=， 所以Y==1 209，即该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3. 5.(2025·邵阳模拟)某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数y与天数x的情况，对统计得到的样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，10)作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. xiyi xiYi 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中Yi=ln yi，=Yi. (1)依据散点图推断，y=bx+a与y=ebx+a哪一个更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的经验回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由) (2)依据(1)的结果和上表中的数据求出y关于x的经验回归方程. 解：(1)依据散点图可以判断，y=ebx+a更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的经验回归方程类型. (2)由Yi=ln yi，得Y=ln(ebx+a)=bx+a， 依题意得= ==-=-0.3， =-=1.9-(-0.3)×5.5=3.55， 所以=-0.3x+3.55，即=e-0.3x+3.55. 逐点验收(三)　独立性检验 6.某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了40n(n∈N*)个人，得到如下列联表.已知x0.05=3.841，若根据α=0.05的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则n的最小值为　　　　　.  是社交电商用户 不是社交电商用户 合计 男性 8n 12n 20n 女性 12n 8n 20n 合计 20n 20n 40n 解析：由题设，零假设H0：社交电商用户不存在性别差异，由χ2==n>x0.05=3.841，则n>3.841×=2.400 625，所以根据α=0.05的独立性检验认为社交电商用户存在性别差异，则n的最小值为3. 答案：3 7.微生物生态学的研究表明，水生生物中存在大量的有益微生物，这些有益水生微生物对于维持水质平衡具有非常重要的作用.研究人员为了研究某种有益水生微生物在特定营养物质浓度下的增长速率与水体类型(淡水或咸水)的关系，对100个水体环境样本中的有益水生微生物在一段时间内的数量进行了观察，经统计得到如下的列联表： 水体环境 类型 增长情况 合计 快速增长 未快速增长 淡水环境 a 25 咸水环境 10 b 合计 100 已知从这100个水体环境样本中随机抽取1个，该水体环境中的有益水生微生物属于“快速增长”的概率为. (1)求a，b； (2)根据小概率值α=0.01的独立性检验，判断该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型是否有关?根据小概率值α=0.001的独立性检验，判断该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型是否有关? 解：(1)因为从这100个样本中随机抽取1个，该有益水生微生物属于“快速增长”的概率为，则=，解得a=30，又a+10+25+b=100，解得b=35，所以a=30，b=35. (2)由(1)得，2×2列联表如下： 水体环境 类型 增长情况 合计 快速增长 未快速增长 淡水环境 30 25 55 咸水环境 10 35 45 合计 40 60 100 设零假设为H0：该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型无关， 由χ2=≈10.774>6.635=x0.01， 根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型有关，此推断犯错误的概率不超过0.01. 因为χ2≈10.774<10.828=x0.001， 根据小概率值α=0.001的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为H0成立，即认为该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型无关. [课时跟踪检测] 1.(2025·南昌模拟)如图对两组数据x，y和v，u分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得经验回归方程分别是y=b1x+a1和u=b2v+a2，并对变量x，y进行线性相关检验，得到样本相关系数r1，对变量v，u进行线性相关检验，得到样本相关系数r2，则下列判断正确的是 (　　) A.b1>0 B.b2<0 C.|r1|<|r2| D.r1+r2<0 解析：选D　由散点图可知，x与y负相关，v与u正相关，则b1<0，b2>0，故A、B错误；且图形中点(x，y)比(v，u)更加集中在一条直线附近，则|r1|>|r2|，又r1<0，r2>0，得r1+r2<0，故C错误，D正确. 2.(2025·马鞍山模拟)某植物的生长高度y(单位：厘米)和栽培时间x(单位：周)的统计数据如下，采用最小二乘估计得到的经验回归方程为=5x+，若x=3时，残差y-=1，则n= (　　) x 1 2 3 4 5 y 9 16 n 24 30 A.21 B.20 C.19 D.18 解析：选A　=×(1+2+3+4+5)=3，=×(9+16+n+24+30)=，又因为经验回归方程为=5x+，所以=15+，又残差y-等于1，所以n-15-=1，解得n=21. 3.以模型y=cekx(c>0)去拟合一组数据时，设z=ln y，将其变换后得到线性回归方程z=2x-1，则c= (　　) A. B.e-2 C.e-1 D.e 解析：选C　因为y=cekx(c>0)，所以ln y=ln(cekx)=ln c+ln ekx=ln c+kx，令z=ln y，所以z=ln c+kx=2x-1，即c=e-1.故选C. 4.(2025·重庆模拟)[多选]两个具有相关关系的变量x，y的一组数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，求得样本中心点为()，回归直线方程为=x+，决定系数为R2.若将数据调整为(x1，y1+1)，(x2，y2+1)，…，(xn，yn+1)，求得新的样本中心点为('，')，回归直线方程为'='x+'，决定系数为R'2，则以下说法正确的是 (　　) 附：==-，R2=1-. A.=' B.=' C.<' D.R2<R'2 解析：选BC　'=×(y1+1+y2+1+y3+1+…+yn+1)=×(y1+y2+y3+…+yn)+1=+1，A错误；的计算中，xi数据不变，yi-=(yi+1)-'也不变，所以不变，B正确；'='-=+1-=+1>，C正确；由于R2=1-，yi变成了yi+1，'=+1，'='xi+'=xi++1=+1，从而yi-，yi-都不变，所以R2=R'2，D错误.故选BC. 5.(2025·青岛模拟)现在很多人喜欢“自助游”，某调查机构为了了解赞成“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表： 赞成“自助游” 不赞成“自助游” 合计 男性 30 15 45 女性 45 10 55 合计 75 25 100 附： α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参照公式，得到的正确结论是 (　　) A.有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别无关” B.有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别有关” C.在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别无关” D.在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别有关” 解析：选D　由2×2列联表中的数据得χ2=≈3.030，∵2.706<3.030<3.841，∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为“赞成‘自助游’与性别有关”. 6.(2025·广州模拟)[多选]中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措.在中欧班列带动下，某外贸企业出口额逐年提升，以下为该企业近6个月的出口额情况统计，若已求得y关于x的经验回归方程为=28x+，则 (　　) 月份编号x 1 2 3 4 5 6 出口额y/万元 16 25 43 77 102 159 A.y与x成正相关 B.样本数据y的第40百分位数为34 C.当x=3时，残差的绝对值最小 D.用模型y=enx+m描述y与x的关系更合适 解析：选AD　由题中表格数据可知，当x的值增加时，y的相应值也呈现增加的趋势，又由经验回归方程y=28x+中，x项的系数28>0，也可以看出y与x成正相关，故A正确；样本数据y的6个取值从小到大依次是16，25，43，77，102，159，由6×40%=2.4，则第40百分位数为第3个数据43，故B错误；=×(1+2+3+4+5+6)==×(16+25+43+77+102+159)=，将()代入=28x+，得=-，即=28x-，令x=3，得=84-，所以相应残差的绝对值为=，令x=2，得=56-，所以相应残差的绝对值为=<，故C错误；如图作出散点图， 可以看到相较“样本点分布在某一条直线模型y=bx+a的周围”，“样本点分布在某一条指数函数y=enx+m曲线的周围”这样的描述更贴切，所以用模型y=enx+m描述y与x的关系更合适些，故D正确. 7.(2025·西安校联考)某数学兴趣小组对具有线性相关关系的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表： x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 并由表中数据求得y关于x的经验回归方程为=0.65x-1.8，若a，b，c成等差数列，则b=　　　　.  解析：由题意得=×(4+6+8+10+12)=8，代入经验回归方程=0.65x-1.8得=3.4，则×(a+b+c+2+6)=3.4，所以a+b+c=9，又2b=a+c，所以b=3. 答案：3 8.在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)： 学生的编号i 1 2 3 4 5 数学成绩x 80 75 70 65 60 物理成绩y 70 66 68 64 62 现已知其经验回归方程为=0.36x+，则根据此经验回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为　　　　　分.(四舍五入取整数)  解析：=×(60+65+70+75+80)=70，=×(62+64+66+68+70)=66，所以66=0.36×70+，解得=40.8，即经验回归方程为=0.36x+40.8.当x=90时，=0.36×90+40.8=73.2≈73(分). 答案：73 9.(2025·济南模拟)第五代移动通信技术(简称5G)是最新一代蜂窝移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施.某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意情况，随机抽取了本市200名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下： 满意情况 年龄 合计 50岁以下 50岁或50岁以上 满意 95 不满意 25 合计 120 200 (1)完成上述2×2列联表，并估计本市5G手机用户对5G网络满意的概率； (2)依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下是否有关. 解：(1)2×2列联表如下： 满意情况 年龄 合计 50岁以下 50岁或50岁以上 满意 95 55 150 不满意 25 25 50 合计 120 80 200 所以本市5G手机用户对5G网络满意的概率约为=. (2)零假设为H0：本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关. 根据列联表中的数据，计算可得χ2=≈2.778<3.841=x0.05. 根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验原则，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关. 10.为了解温度对物质A参与的某种化学反应的影响，研究小组在不同温度条件下做了四次实验，实验中测得的温度x(单位：℃)与A的转化率y% 的数据如下表所示： x 45 55 65 75 y 23 38 65 74 (1)求y与x的样本相关系数(结果精确到0.01)； (2)该研究小组随后又进行了一次该实验，其中A的起始量为50 g，反应结束时还剩余2.5 g，若已知y关于x的线性回归方程为=x-58，估计这次实验是在多少摄氏度的温度条件下进行的. 参考数据： xiyi=12 900，=14 900，=11 674，≈91.5. 参考公式：样本相关系数r=. 解：(1)==60， ==50， 所以r= = ==≈≈0.98. (2)根据线性回归方程的性质，=-58，即50=60-58，得=1.8. 由条件可知=×100=95， 令1.8x-58=95，得x=85，因此估计这次实验是在85 ℃的温度条件下进行的. 11.某校为了弘扬中国诗词文化，现要求全校学生参加诗词大赛，随机抽取了100名学生的测试成绩(单位：分)，将数据分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]并整理得到如图的频率分布直方图. (1)估计该校学生的测试成绩的中位数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)若规定成绩不低于80分的记为“诗词达人”，已知被抽取的男生中的“诗词达人”人数占被抽取男生总数的一半，且本次调查得出“在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否为诗词达人与性别有关”的结论，则被调查的100名学生中男生至少有多少人? 解：(1)由频率分布直方图得10(2a+3a+7a+6a+2a)=1，解得a=0.005. 设中位数和平均数分别为x0，， 因为前三个矩形的面积和为10(2a+3a+7a)=0.6， 前两个矩形的面积和为10(2a+3a)=0.25，故易知x0∈[70，80)， 所以0.25+(x0-70)×7a=0.5，解得x0=. 所以=10(55×2a+65×3a+75×7a+85×6a+95×2a)=76.5. (2)由题意知，诗词达人总数为10(2a+6a)×100=40， 设样本中男生人数为m，则列联表如下： 诗词达人 非诗词达人 合计 男生 m 女生 40- 60- 100-m 合计 40 60 100 所以χ2==≥3.841，解得m≥47.97. 又易知m为偶数，所以m的最小值为48， 即被调查的100名学生中男生至少有48人. 12.某企业生产一种热销产品，产品日产量为x(x≥1)吨，日销售额为y万元(每日生产的产品当日可销售完毕)，且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量xi(i=1，2，…，5)(单位：吨)和日销售额yi(i=1，2，…，5)(单位：万元)的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表： xi yi ui (xi-)2 (yi-)2 (ui-)2 (xi-)·(yi-) (ui-)·(yi-) 15 73 4.8 10 161.2 1.6 39 15.9 其中，ui=ln xi(i=1，2，…，5)，分别为数据xi，yi，ui(i=1，2，…，5)的平均数. (1)请从样本相关系数的角度，判断=x+与=ln x+哪一个模型更适合刻画日销售额y关于日产量x的关系? (2)根据(1)的结果解决下列问题： ①建立y关于x的经验回归方程(斜率的结果四舍五入保留整数)； ②如果日产量x(单位：吨)与日生产总成本c(x)(单位：万元)满足关系c(x)=x+3，根据①中建立的经验回归方程估计日产量x为何值时，日利润r(x)最大? 参考数据：≈40，≈16，≈25. 解：(1)设=x+模型的样本相关系数为r1，=ln x+模型的样本相关系数为r2， 所以r1==≈0.975， r2==≈0.994， 由于0<r1<r2，所以=ln x+模型拟合效果更好，即=ln x+模型更适合刻画日销售额y关于日产量x的关系. (2)①由(1)知y关于x的经验回归方程为=ln x+，由题可得===9.937 5≈10，=-=-10×=5， 所以=10 ln x+5. ②由题可得r(x)=10 ln x+5-x-3=10 ln x-x+2(x≥1)， 所以r'(x)=-=，令r'(x)==0，解得x=20. 当1≤x<20时，r'(x)>0，当x>20时，r'(x)<0，则r(x)的单调递增区间为(1，20)，单调递减区间为(20，+∞)，所以当x=20时，日利润r(x)最大. 学科网（北京）股份有限公司 $$