3.3.2 抛物线的简单几何性质-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第三章圆锥曲线的方程_誰 3.3.2 抛物线的简单几何性质 重点和难点 课标要求 重点：抛物线的几何特征，以及它的简单几何性质。 1.了解抛物线的简单几何性质. 难点：抛物线几何特征的发现. 2.理解直线与抛物线的位置关系. 必备知识梳理 ......................................... 基础梳理 知识点（抛物线的简单几何性质◆髓黑题 敲黑板⊙ 已知抛物线的焦点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中 1.焦半径公式有两种形式， 分别为坐标型和角度型，公式的 点坐标为(xo,yo),则抛物线的几何性质如下表所示. 推导见前一节的“重难拓展” 2.角度型坐标公式中的角 度α可以结合图形，既可以取与 图象 x轴的夹角，也可以取与y轴的 夹角或弦所在直线的倾斜角，取 不同的角，形式上有所不同，但 标准 y2=2px y2=-2px x2=2y x2=-2py 实质是一样的.具体的形式及推 方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 导过程见前一节的“重难拓展” 顶点 O(0,0) 离心率 e-1 对称轴 x轴 y轴 x的取 值范围 x≥0 x≤0 R 焦点 (2o) (-o) (o,) (o,-) 准线 方程 2 y-名 IAFI=+2 IAF1=号-xAF=n+ 焦半径 1-cos a 1+cos a 1-cos a 1-cos a 焦点弦 ABI=x1+x AB=p-(x1 |AB|=y1+y2 AB=-(y1 IABI 2p 2p 十p= 2p 十x2)= 十p= +y2)= 2p sina sin a sin a sin a 通径 过焦点与抛物线对称轴垂直的弦叫抛物线的通径，通径长为2p 141 :用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 知识点(2直线与抛物线的位置关系◆提个醒。 提个醒回 以抛物线y2=2x(p>0)为例，直线与抛物线的位置关系的 1.直线与抛物线只有一个 交，点是直线与抛物线相切的必 可能情况如下表： 要不充分条件，讨论直线与抛物 位置关系 相离 相切 相交 线的位置关系时，要根据直线斜 率是否存在，以及直线是否与抛 物线对称轴平行或重合等进行 图示 讨论 2.用判别式△时，二次项 系数必须不为0，当二次项系数 在判断直线与抛物线的公共点个数时，常联立直线与抛物线 为0时，此直线与抛物线y2 的方程。 2px(p>0)(或y2=-2px, 1.直线的斜率存在 p>0)相交，只有一个公共点. 设直线1：y=kx十m,抛物线：y2=2px(p>0),将直线方程 3.当抛物线的对称轴为x 轴时，直线方程常设为x=ty十 与抛物线方程联立，整理成关于x的方程：k2x2十(2km一2p)x十 m,不需要单独讨论斜率不存在 m2=0. 的情况，此时弦长公式为 (1)若k≠0， 当△>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 中-支，1+ 当△=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； x1-x2|,注意与√1十k。 当△<0时，直线与抛物线相离，无交点， x1-x2或，1+y1-y (2)若k=0,直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛 的区别与联系」 物线的对称轴或与对称轴重合. 2.直线的斜率不存在 设直线l:x=m,抛物线：y2=2px(p>0),显然： 当m<0时，直线与抛物线相离，无交点； 当m=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当m>0时，直线与抛物线相交，有两个交点. 3.抛物线的切线 (1)抛物线y2=2px(p>0)上一点(xo,y)处的切线方程为 yy=p(x十xo). (2)过抛物线y2=2x(p>0)外一点M(xo,yo)引抛物线的 两条切线，切点所在直线的方程为yoy=p(x十xo). 记方法@ 重难拓展 1.若抛物线的方程为x2 重难点①抛物线焦点弦性质的探究及拓展◆匣方选 2y(p>0),则有x1x2=-p2, 1.焦点弦的常用性质 iy:=2? 41 如图，AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦（焦 142 第三章圆锥曲线的方程通 点弦)，设A(x1,y1),B(x2,y2),过A,B分 2.(回归教材P136例5)结 别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1, A(x1,y1) 论(2)的逆命题： 如左图，连接AO并延长， B.对于抛物线的焦点弦，有如下结论： 交准线于点B1,则B1B∥x轴. a29= Bx2,y2） 3.结论(3)的推导 直线AN的方程为y1y (2)A,O,B1三点共线 p(x1十x),直线BN的方程为 (3)如图，过点A,B分别作抛物线的切线，切线交于点N,则 y2y=p(x2十x), 点N在准线上，且N为A1B1的中点， 联立得x=y2,y1匹2 y1一y2 例1已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A在抛物线上，且 yayi yiy AF|=5,过点F的动直线L与抛物线交于B,C两点，O为坐标 2p2p=yy2=- 原点，抛物线的准线与x轴的交点为M.给出下列四个命题： y1-y2 2p 2 ①在抛物线上满足条件的点A仅有一个； y=+x) 第) ②若P是抛物线准线上一动点，则|PA|+|PO的最小值为 y y =yI =为 一y1y2 2√/13； 2-2y1=2 2y1 ③无论过点F的直线l在什么位置，总有∠OMB=∠OMC; y1+y2 2 ④若点C在抛物线准线上的射影为D,则B,O,D三点在同 一条直线上 N(台)， 其中正确命题的个数为(). 即N为AB1的中点。 A.1 B.2 C.3 D.4 解析对于①，设A(a,b),由抛物线的方程得F(1,0),则|AF「=a十 1=5,故a=4,所以A的坐标为(4,4)或(4，一4)，所以满足条件的点A有2 个，故①不正确；对于②，不妨设A(4,4),则A关于准线x=一1的对称，点 为A'(-6,4),故|PA|+1OP|=|PA'|+|OP≥A'O=w52=213, 当且仅当A',P,O三点共线时等号成立，故②正确；对于③④，根据前一节 和这一节“重难拓展”中的内容可知，③④都正确】 答案C 2.与焦点弦有关的切线性质 如图，AB是抛物线x2=2y(p>0)过焦点的一条弦，分别过 点A,B作抛物线的切线，两切线交于点P,连接P℉，则有以下结论： (1)点P的轨迹是一条直线，即抛物线的准线1：y=一 143 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA (2)两切线互相垂直，即PA⊥PB. 记方法@ (3)PF⊥AB 代数法解焦点弦问题的技巧 1.巧设直线方程.如直线 (0点P的坐标为士，一》 AB经过点F(2,0),若设直线 例2过抛物线x2=4y的焦点F作直线1交抛物线于 方程为y=a(x-号)，则斜率 P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点，若y1十y2=6,则|P1P2=( 不存在的情况需单独讨论.所以 A.5 B.6 可将直线方程设为x=m心十号 C.8 D.10 2.巧消未知数.解与抛物线 解析抛物线x2=4y的准线为y=-1,因为P1(x1,y1),P2(x2,y2) 有关的问题用代数法消元时，消 两，点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1(x1,y1),P2(x2, 去抛物线方程中的一次项计算 y2)两，点到准线的距离分别是y1十1，y2十1.所以P1P2=y1十y2+2=8. 量更小，若抛物线方程为y2 ◆记方法回 2px,则消去x的计算量更小 3.巧用结论解决问题， 答案C 关键能力提升 题型(1 根据几何性质求抛物线的标 所以1 2。 2 ·2p|=4,所以p=士22， 准方程 故所求抛物线的标准方程为y2=4√2x或y2= 求抛物线的标准方程的一般步骤是先定 -4√2x」 位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置； (2)依题意，可设所求抛物线的方程为y2=2y 后定量，即求出方程中卫的值，从而求出方程。 （p>0)或y2=-2x(p>0),抛物线与圆的交点 例③(1)已知抛物线的焦点F在x轴上， A(x1y1),B(x2y2)(y1>0,y2<0), 直线1过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于 由对称性知x1=x2y1=y2, A,B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等 则|y1+y2|=2W3, 于4，求此抛物线的标准方程； 即y1-y2=2y1=23,得y1=3 (2)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称 将y1=√3代入x2+y2=4,解得x1=士1. 轴为x轴，且与圆x2+y2=4相交的公共弦长 所以点(1，√3)在抛物线y2=2x(p>0)上，点 为2√3，求抛物线的方程。 （一1w5)在抛物线)°=-2r(>0)上，求得力=》 解析(1)依题意，可设抛物线的方程为y2=2px 故抛物线方程为y2=3x或y2=一3x. (p≠0，则焦点为F(号，0)，直线1的方程为x=合， 题型②直线与抛物线的位置关系 所以直线1与抛物线的交点坐标分别为(？，p, 1.弦长问题 (1)直线与抛物线相交且有两个公共点 (3,-p), 时，弦长|AB|=√1十k2|x1一x2|或AB= 所以AB=2|p. 因为△OAB的面积为4， 1+是：-为1.这里我们经常用设而不求 144 第三章圆锥曲线的方程通 的技巧，借助根与系数的关系整体代入.解题：程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解。 时应注意△>0这一隐含条件的作用 (2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点（弦 (2)若抛物线方程为y2=2px(p>0),则 的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将这两 过焦点F的弦长为|AB|=x1十x2十p或 点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两 AB=2,(解答题应写出推导过程). 式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB sin20 的斜率有关的式子 例④已知点A(2,2)在抛物线C:y2= 例⑤(2026·浙江温州瑞安中学检测)已 2px(p>0)上，过点A的直线l与抛物线交于 知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交 另一点B,若△AOB的面积为4，其中O为原 抛物线于A,B两点，试求弦AB的中点的轨 点，则直线1的方程为 迹方程 解析设直线1的方程为x一2=t(y一2)， 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为 即x=ty+2-2t,代入y2=2x中， M(x,y),则y1+y2=2y. 消去x整理得y2一2ty+4t-4=0. 当直线AB的斜率存在时，kB=y1—2=y一」 yA十yB=2t,yB=2t-2, x1-x2x-2 ∴.|AB|=√/1+t21yA-yB=√1十t|4-2t|, kQ y1=2x1,① 又点0到直线1的距离d=2t-2 易知 √1+t y2=2x2,② Sm=7AB1·d=21+i.14-2 ①-②，得(y1十y2)(y1一y2)=2(x1一x2), 12t-2=22-6t+4=4, 所以y2,甲2含2。 x1一x2 √/1+t2 (y-》=x-子 .2t2-6t+4=4或212-6t+4=-4, 当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB 解得t=0或3. 故直线1的方程为x=2或x一3y十4=0. 的中点为(2,0)，适合上式，故所求轨迹方程为(y 答案x=2或x-3y十+4=0. 2》--子 变冠①（经典·新课标Ⅱ卷）设抛物线 3.与焦点有关的弦长问题 C:y2=2x(p>0)的焦点为F,点M在C上， 若抛物线的方程为y2=2px(p>0),则过 |MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2)，则 焦点F的弦长为AB=x1十x2十力或AB C的方程为(). 2p 坐标式) (角度式)之 A.y2=4x或y2=8x sin20 (0为倾斜角). B.y2=2x或y2=8x [说明] (1)AB|= 2p 2p C.y2=4x或y2=16x sin20 sin20 D.y2=2x或y2=16x sin20+cos20 2.弦中点问题 2p 2(1+k2 (k为直线的斜率). tanθ 62 解决圆锥曲线中点弦问题的思路： 1+tan20 《斜奉式) (1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥 (2)在解答题中用结论AB=2中，时需 曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方 sin20 145 :用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 写出公式的推导过程. (2)代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为 例⑥（经典·新课标I卷）已知F为抛物 二次函数或三角函数的最值，然后利用基本不等 线C:y2=4x的焦点，过点F作两条互相垂直 式、函数单调性或三角函数的有界性等求最值， 的直线L1,l2,直线L1与C交于A,B两点，直 题型(3与焦点有关的综合问题 线l2与C交于D,E两点，则|AB|+|DE|的 最小值为( 例⑦(2026·江苏兴化中学调研)（多选） A.16 B.14 C.12 D.10 如图，已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点 解析方法一因为直线11过点F,且F(1,0), 下与椭圆：菁+芳-1的右焦点重合，抛物线 所以设直线l1的方程为x=my十1， C的动弦AB过点F,过点F且垂直于弦AB 联立 y2=4x,得y2-4my-4=0. x=my+1, 的直线交抛物线的准线于点M,则下列结论正 设A(x1y1),B(x2y2), 确的是(). 故y1十y2=4m,y1y2=-4, A.抛物线的标准方程为y2=4x 则|AB|=√m2+1√16m2+16=4(m2+1). ABI BMF的最小值为2 同理可得DE到=4+小， C.过A,B两点分别作AA',BB'与准线 (用-二代誉1AB1中的7m) 垂直，则△A'FB为直角三角形 所以AB+1DE=4(2+m+)≥16，事且 D.△ABM的面积为定值 仅当m=士1时取等号. 方法二（公式法）不妨设直线AB的倾斜角为日 (0°<0<90)，则直线CD的倾斜角为0+90°. 由ABB得1AB/、 sin20' 则ICD= 2p 4 解析椭圆的右焦，点坐标为(1,0)，即抛物线C的 in2(0+90)cos20' 焦点为(1,0)，可得p=2,所以抛物线的标准方程为 所以AB|+|DE=4 4 sin20 cos20 y2=4x,故A正确」 因为∠A'FB'=90°，且M为A'B'的中点，所以 MF 合Ag F2sin∠FAA'- 1 IABI ABI 2sin∠AFx≤ =4(2+cos0+sin20 sin20'cos20) ≥4×(2+2)=16， 子所以品的最小值为2，战B三商 当且仅当cos20=sin0,即tan0=1时等号成立. 由抛物线定义知，AA'=AF,BB'=BF,则 答案A ∠AA'F=∠AFA',∠BB'F=∠BFB'. 归纳总结 因为AA'∥OF∥BB',所以∠AA'F=∠A'FO, 圆锥曲线中最值问题的两种解决方法 ∠BBF=∠B'FO,可得∠A'FB'=号（∠AFA'+ (1)几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面 几何的有关结论来求最值； ∠A'FO+∠BFB'+∠B'FO)=90°，则△A'FB'为直 角三角形，故C正确. 146 第三章圆锥曲线的方程通 设∠AFx=0,则SAAv=号|ABI·IMF1 当A,P,H三点共线时，|PA|十|PF|取得最小 值4，故B正确. 21AB1·号A'B=子|AB1·ABIsin∠AFx 设过点D(一2,0)的切线方程为x=my-2,由 |x=my-2, AB1sin0=是· 2 2 消去x并化简，得y2-8my十16=0，所 \sin20/ ·sin0= sin0 y2=8x 以△=64m2一64=0，解得m=士1，所以抛物线C过 sin0,不为定值，故D错误」 点D得切线方程为x一y十2=0或x十y十2=0，故C 答案ABC 错误 例⑧（多选）已知抛物线C:y2=8x,焦点 设高P(,9,由角卡分线的性质得阳 为F,点P为抛物线C上的动点，且点A(2,1), NF =t,则t= √(x-2)2+y /x2+4x+4 点D(一2,0)，∠DPF的平分线与x轴交于点 IND √(x+2)2+y2 -Wx2+12x+4 N,则(. 8x A.设点M是线段PF的中点，则点M的 x2+12x+4 轨迹方程为y2=4x一4 当x=0时，t=1; 8 B.IPA|+|PF|的最小值为4 当x>0时，t= 1 x+4+12 由x+4≥24 C.抛物线C过点D的切线方程为x一2y +2=0或x+2y十2=0 =4(当且仅当x=2时取等号)，得0<1 x+4+12 D.若NF=tDN,则t的取值范围为 竖 16从而 2≤t<1. 解析抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),设，点 综上，≤1，故D正确 M的坐标为(a,b),则点P的坐标为(2a一2,2b),代 答案ABD 入y2=8x中，得(2b)2=8(2a-2),整理得b2=4a 变式2（多选）已知抛物线C:y=4x2的 4,所以点M的轨迹方程为y2=4x一4，故A正确. 焦点为F,A,B为C上的两点，过A,B作C 如图，过点P作PH垂直准线于点H,则由抛物 的两条切线交于点P,设两条切线的斜率分别 线的定义可知PF|=|PH|,则|PA+|PFI=PA 为k1,k2,直线AB的斜率为k3,则(). +|PH. A.C的准线方程为y=一1 B.2k3=k1十k2 C.若点P在C的准线上，则k1k2=一1 D.若点P在C的准线上，则AF|+4BF 的最小值为。 147 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 目1121111H11H 核心素养聚焦 111111110101011101111110110111101111111001110131101311011111111111011101003111 考向（①抛物线简单几何性质的应用 点，过点P作的垂线，垂足为B,则(). 例⑨(2023·全国Ⅱ卷)（多选）设O为坐 A.l与⊙A相切 标原点，直线y=一√3(x一1)过抛物线C: B.当P,A,B三点共线时，|PQ|=√15 y2=2x(p>0)的焦点，且与C交于M,N两 C.当|PB|=2时，PA⊥AB 点，1为C的准线，则( D.满足|PA「=PB|的点P有且仅有 A.力=2 2个 R IANI- 解析抛物线y2=4x的准线为x=一1，⊙A的 圆心(0,4)到直线x=一1的距离显然是1，等于圆的 C.以MN为直径的圆与1相切 半径，故准线L和⊙A相切，故A正确. D.△OMN为等腰三角形 当P,A,B三点共线时，即PA⊥I,则点P的纵 解析因为y=一3(x一1)与x轴的交点(1,0)为抛 坐标yp=4,由y3=4xp,得到xp=4,故P(4,4),此 y=一3(x-1), 物线的焦点，所以p=2,故A正确.联立 时切线长|PQ=√PA?-r2=√42-1下=√/15，故 y2=4x, B正确， 消去y得3x2-10x十3=0，解得x= 3或x=3,所以 当|PB|=2时，xp=1,此时y2=4xp=4,故 不坊令直线与别物线的变点为M(兮，2)，N(8, P(1,2)或P(1,-2) -2,),则MN1-,故B错昆易知线段MN的 当P1,2》时，A04-B-120m 4-2 中点Q(停，2)到准线1：x=-1的距离为 一2，kAB=0-（二-2，不满足kpAk An=-1: 当P(1,-2)时，A(0,4),B(-1,2),kA= 合MN,所以以MN为直径的国与1湘切，放C正 4-(-2) 4-(-2) 0-1 =一6，kAB 0-(-1) =6,不满足kakAn= 魂.易知1OM1=,1ON=,又MN1= 16 31 -1. 则OM≠|ON|≠|MNl,故D错误. 于是PA⊥AB不成立，故C错误， 答案AC 方法一（利用抛物线定义转化）根据抛物线的 考查内容 核心素养 试题难度 定义得PB=PF|,这里F(1,0),于是当|PA |PB|时点P的存在性问题，转化成当|PA=PF 抛物线的定义和标准方 逻辑推理、数学 时点P的存在性问题，A(0,4),F(1,0),AF的中点 程以及抛物线的焦点弦 ★★☆☆☆ 运算 的几何性质 (侵小AP中垂统的饼率为-子 考向(2直线与抛物线的综合问题 于是AF的中垂线方程为y=2红15，与抛物线 8 例10(2024·新课标Ⅱ卷)（多选）抛物线y2=4x联立可得y2-16y十30=0，△=162-4× C:y2=4x的准线为1，P为C上的动点，过P 30=136>0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点， 作⊙A:x2+(y一4)2=1的一条切线，Q为切 即存在两个P,点，使得|PA=|PF|,故D正确. 148 第三章圆锥曲线的方程通 方法二（设点直接求解） 设P(匠，小，由PBL1 y1 又直线MA的方程为y一十红+ID, 可得B(-1,t),又A(0,4),|PA=|PB|,根据两点 +1 y1 y= 2(n+1)y1 同的距离公式得，后6+-4-+1，禁理得 2+n 可得yp=2x1+2-y1 I= 16t+30=0,△=162-4×30=136>0，则关于t的方 2(n+1)y2 程有两个解，即存在两个这样的P点，故D正确。 同理yQ一2x2十2-y2 答案ABD x=ty十1， 例1I(经典·浙江卷)已知F是抛物线 由 可得yR=26n-1) 2t-1 y2=2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与 x轴的交点，且|MF|=2. 以[- 2(m+1)y2,2(n+1Dy1 2x2+2-y22x1十2-y1 (1)求抛物线的方程； (2)设过点F的直线交抛物线于A,B两 荟理得（只》 点，斜率为2的直线L与直线MA,MB,AB,x轴 =(2t-1)2 yiy2 (2x2+2-y2)(2x1+2-y1) 依次交于点P,Q,R,N,且|RN|2=|PN|· 4(2t-1)2 QN|,求直线L在x轴上截距的取值范围. (停+2-(+2-) 解析(1)因为MF|= 2,故p=2,所以抛物线的方 =2t-1)2 3+4t2, 程为y2=4x. (2)如图，设直线AB的 故(》-2+品 (2t-1)2 方程为x=ty十1，A(x1, 令s=2t-1,则= 2且5≠0， y1),B(x2y2),N(n,0), 所以直线L的方程为x= 52 多十，由题意可得n子1且 + (x=ty+1, n≠1， n≠1， 由 可得y2-4ty-4=0, y2=4x 解得n≤-7-4√3或-7+4√3≤n<1或n>1. 故y1y2=-4,y1十y2=4t. 故直线l在x轴上的截距的范围为n≤一7- 因为RN|2=|PNIQNI, 45或-7+43≤n<1或n>1. 所以(1+子1)'-1+1pl,1+日 考查内容 核心素养 试题难度 直线与抛物线的位置关系 逻辑推理、数 ★★★★☆ 学运算 所以y员=|yp|lya. 1498.(1)M(M,yM),N(EN,yN), 由抛物线的定义得|AM+|AN|=xM十xN十2a. 又圆的方程为[x-(a十+4)]+y2=16, 将y2=4a.x代入得x2-2(4-a)x十a2+8a=0, ∴xM+xN=2(4-a),∴.|AM+|AN|=8. (2)不存在 假设存在这样的a,使得2AP|=AM+|AN|. 过点P作PP垂直于抛物线的准线，垂足为P' .AMI+IANI=2PP'I,..AP=PP'I. 由抛物线的定义可知点P必在抛物线上，这与点P是线段 MN的中点矛盾，∴这样的a不存在. 培优突破练 1.D[AB为定线段，∠BAP=Y为定值，P在以AB 为轴的圆锥上运动，其中圆锥的轴截面半顶角为Y,β与圆锥 轴AB的夹角为P. 对于A,p<y,.平面B截圆锥得双曲线，故A错误. 对于B,P>Y,·平面B截圆锥得椭圆，故B错误 对于C,p=Y,.平面β截圆锥得抛物线，故C错误. 对于D,9>Y,.平面B截圆锥得椭圆，故D正确.] 3.3.2抛物线的简单几何性质 变式孤练 [变式1]C[方法一（题千所给的两个条件都容易用M的坐标来 翻译，故考虑设M的坐标，建立方程组求力.方便起见，我们利用抛 物线的方程把M的坐标设为单变量形式) 由题意得P(号小，记T0,2》.设4（第），则MF ⊙ 如图，因为以MF为直径的圆过点T(0,2),所以TF⊥TM, 故kTF·kM= 0-2,y0-2_8(y0-2) =-1, ② -08-0 y 2p 由②解得y。=4,代入①解得p=2或8，所以抛物线C的方 程为y2=4x或y2=16x. 方法二（条件涉及以焦半径MF为直径的圆，想到该圆与y轴相 切，故可由此进行分析) 如图，以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径MF为直径的圆 与y轴相切，T(0,2)为切点， 设圆心为S,则ST⊥y轴，所以圆心S的纵坐标为2. 结合S为FM中点得yM=2yr=4,所以xM=2p= yi 8 ,故 MF=8+ 54 又因为MF=5,所以受十号-5，解得力=2或8， 故抛物线C的方程为y2=4x或y2=16.x.] [变式2BCD[抛物线C:x2=,抛物线C的准线方程为 y=一品6放A错误设A1,B,过点A的切 线方程为当义=4红1x, 2 反k3-2义三4z8十z,1=81,同理，=8x2 .1十2=2k3,故B正确. 当点P在准线上时，点A,B过焦点F,且∠BPA=90°，故C 正确. 122 “AF+BF时p日 =16 8 AF+4LBF(AF+4BF+)X (6++)≥×+0-品 1 故D正E验太AF产 基础过关练 1.A AFc10601c0 60 品-*一品-8] 1 2D[设Axy),Bg,由22消去得 y=x十b, 2x-2b=0. 4=4计6>0,6>2g=-2%,1+=2, 由0i10店得x十y10=十i·合号=0， -2b+是·b=0,6=0或6=2 又当b=0时，A或B与0重合，.b≠0，即b=2.] |y=kx-2, 3.C[设A(x1,y1),B(x2,y2).由 消去y得 y2=8x, 2x2-4(k+2)x+4=0,故△=16(k+2)2-16k2=64(1+ k)>0,解得>1，且x1+x2=b2.由AF=x1+ 名=Z1+2,BF1=x+名=x:十2，且AF+BF=8, 得x1十2+x2十2=8，得1十x,=4,所以4牛2=4，解得 k2 =-1或k=2,又>-1，所以k=2.] 4.BCD[因为焦点F到准线的距离为p,所以p=2,所以抛 物线C的准线方程为x=一1，故选项A错误；当PQ垂直于 x轴时1PQ最小，不妨设P在x轴上方，则此时P(1,2), Q(1,-2),所以|PQ=4,故选项B正确；设P(x1,y1),