3.1.1 椭圆及其标准方程-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第三章 圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.1椭圆及其标准方程 重点和难点) 课标要求 重点：椭圆的定义、几何特征以及标准方程 1.掌握椭圆的定义 难点：椭圆标准方程的推导。 2.掌握椭圆的标准方程。 11t111 食必备知识梳理 14111i 基础梳理 知识点(1 椭圆的定义 明概念) 椭圆的第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于 (1)只有当2a>F1F2时， (当点F1与点F2重合时，相应点的集合构成一个圆) 动点的轨迹才是椭圆.而当2a< 常数（大于|F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫作椭圆的 F1Fz时，动点的轨迹不存在； 焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距， 当2a=F1F2时，动点的轨迹 是线段FF2 设M(x,y)是椭圆上任意一点，点M与焦点F1,F2的距离 (2)定义的双向运用：一方 的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M|MF1 面，符合定义中条件的动点的轨 十|MF2=2a}.明概念 迹为椭圆；另一方面，椭圆上的 知识点(2 椭圆的标准方程◆记方法© 点一定满足定义的条件，即到两 焦，点的距离之和为2a.如：方程 标准方程 y y2 x2 a2+ 2 =1(a>b>0) +62=1(a>b>0) √(x+3)2+y+√x-3)2+y =10表示点M(x,y)到F(-3, 0)和F2(3,0)的距离之和为10， 又FF,=6<10,所以该方程 图形 表示的曲线是以F1,F2为焦点 的椭圆. 记方法网 焦点位置 x轴上 y轴上 (1)标准方程的左边是“平 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,c),F2(0,-c) 方和”，右边是“1”. (2)在标准方程中，x2和y2 焦距 FF2=2c 谁的分母大，焦点就在对应的坐 相同点：大小、形状相同，a,b,c>0,且a最大，满足a2三b十 标轴上，且分母较大者为a2. 异同点 c2,都是轴对称与中心对称图形 不同点：位置和焦点坐标不同 94 第三章圆锥曲线的方程通 知识点③点与椭圆位置关系的判断◆重点 梳重点 设点P(x3y),椭圆方程为，十 62 =1(a>b>0),两焦点为 点P与椭圆位置关系的两 种特征可以互相转化，即PF,十 F1(一c,0),F2(c,0).则： 1PF2|<2a台√(x+c)2+y 1)PE十PF<2a点P在椭圆内台+9 (八何特征) 十G牛y<a6净 (代数特征)习 (2)PF+PF,=2a台点P在椭圆上与+9 a2b2 1 (3)川PF1|+PF2|>2a台点P在椭圆外台 x61y6、 a2t6>1. 重难拓展 重难点（①与椭圆焦点有关的性质◆敲熏题心 敲黑板⊙ 1.设P()为梢圆芳=1a>>0上任底-点，则： +y2 (1)PF1=√(xo+c)2+y √a+c)+6(- (1)(坐标型焦半径公式)PF=a十Cx,PF2=a- a To. √ax6+2cxo+b2+c (2)lPF1∈[a-c,a+c],|PFz∈[a-c,a+c]. (3)如图，设∠F1PF2=0,PF1=m,PF2=n, =√后+a) 由余弦定理得|F1F2|2=m2+n2-2 nn cos0, .ta-2 xo十a 则4c2=(m十n)2-2mn(1+cos0), 2b2 (2PF- axo十a, 所以4b2=2mn1+cos),所以m=1十cos9,mm∈[b2,a2], 又x∈[-a,a], ∴.|PFl∈[a-c,a+c]. 所以SAm,=2msin0=b2·in0 1 1+cos0=62 2sin 2cos 2 2b2 2cos20 (3)由m=1十os0得cos0 2 2b2 1. =b2·tan2' :m十n=2a, 01 .∴.mn=m(2a-m)= 即S△F,=btan2=2 mnsin0=c·lyol. 2am-m2=-(m-a)2+a2. lP℉l=m∈[a-c,a十c], .mn∈[b2,a2], 6 n F, A B ∴0∈[0°，∠F1B,F2] (4)当点P在短轴端点时，∠F1PF2为最大角，即0∈[0°， ∠F1B2F2];当点P在短轴端点时，∠A1PA2为最大角. 95 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 2.设直线1过椭圆的焦点F2且与椭圆交于A,B两点（如 敲黑板⊙ 图)，设直线1的倾斜角为0，则： (1)设AF1=m,AF2=n, 在△AF1F2中， cos∠AFzF1=cos(π-0) =-c0s0=n2+(2c)2-m2 2n·2c 将m=2a-n代入上式，得 b2=n(a+ccos 0), (1)△ABF1的周长为4a. b2 .n=AF2= a++ccos 0' (2)(角度型焦半径公式)|AF2|= a+ccos 0'BF2= 同理得BF2= b2 a-ccos 0 b2 1 1 丘二ccos9则AE,TBE,62为定值，限。 (2)当CD过点F,时，设 ∠CF1F2=a(如左栏图)， AB1=A+1BF,-。oO当ABLx辅时， 2ab2 则ICF1|= Go a-ccos a' 2b2 b2 DF-a+ccos a' (4)若|AF2=ABF2|,则， b2 Ab? a+ccos 0 a-ccos 0' ∴cos0= -入 1+λ1 令=：（后面要讲的离心率，则：oms0-号景， 即直线1的倾斜角0，离心率e,焦比入知二求一 2026,湖南长沙雅礼中学检测已知P是椭圆名 9 1 1上的点，F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，若 PF1·PF2 PFPF2 2 则△F1PF2的面积为(). A.3√3 B.93 C.√3 D.9 解析（由PE·PF P方P元南二2守得cos∠FPP3,结合m+n=2a,利用余孩定 理可求出mm的值) PF1·PF 由PF,PF2 号得o∠r,PF:=日 ∴∠F,PF= 由题意知a=5,b=3,c=√a2-b=4. 记PF1l=m,PF2=n, 96 第三章圆锥曲线的方程通 m2+n2-mn=4c2=64,① 则 m+n=2a=10,② 由①②可得mn=12, 1 2123 所以Sa偶，一2mm晋- =33. 答案A 例2(2026·浙江部分学校联考)如图， 温旧知@ 已如橘侧片十 3=1的左、右焦点分别为 张角定理：如图，在△ABC OA F 中，∠BAD=a,∠CAD=B,则 F1,F2,点P在椭圆上，且点P在第一象限， sin(a+β)sinβsina AD ABT AC as∠P,PF,-若∠PPF,的平分线与x 轴交于点A,则|PA|=( A.3 B.2√5 C30 D36 D 4 4 推导：：'S△AC=S△ABD十 解析（因为a,b,c及∠F,PF2都已知，所以联想到S△=btam2=立 01 ·2c S△ADc' yp,可以求出yp,从而求出点P的坐标) ∴AB·ACsin(a+) 设∠F1PF2=20,由cos20=cos0-sin0_1-tan20 或cos20= 1 1 sin20+cos20 1+tan20 2AB·ADsin a+zAC: 2cnr0-1,求出cos0,an0）-号，得tan9=号 ADsin B, 2’ 两边同时除以AB·AC· Sam=bam0=c·y7,3yp-多， xp=1, AD,得sina十2_sina AD AC PF1-IPF.l- sinB AB' gA-E-县ao （由PA为∠F1PF2的角平分线，联想到角平分线定理求出，点A的坐标，或用张角 定理in26 sin 0 sin 0 PAPF 十PF2 ◆温旧知疤 PA=-+(- 4 答案D BABAIIIBIABIIIAIIBIBBABIIAIIABIIAIABBA2IB101 关键能力提升 AIIIINIIIB1110011B111B011110B1100010111111111011110110103111 题型① 求椭圆的标准方程 解析（此题可用待定系数法得到两个方程，也可用共焦 ,点的椭圆系方程来求解)】 例目与椭圆多十y 25+9 =1有相同的焦点， x4 由题意，可设椭圆的方程 y2 25+a+g+a=1a> 且过点(3，√15)的椭圆的标准方程为 9). 97 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 因为所求椭圆过点(3，√15)， 联立①②得a=3, 所以将(3，√15)代入椭圆方程，得25十入十g十入 9 15 ·椭圆C的标准方程为 31. =1,解得入=11（负值舍去. 答案 故所求的椭圆方程为 +y2 +苦-1 =1. 620 题型（②与椭圆有关的轨迹问题 答案y =1 3620 例⑤[回归教材P108例3改编]点A,B 方法总结 的坐标分别为(0,3)，(0，一3)，直线AM,BM 与猫圆之 y2 6=1(a>b>0)有公共焦，点的精 相交于点M,且它们的斜率之和为一6，求点 圆系方程为 y? a2+λb2+λ =1(a>b>0,b2>-λ)， M的轨迹方程. 与横圆少 6得二3. 9 2三1《一石—。有公共集台的隋國系 解析设M(x,y),由kM·k地= y+3 9 x 方程 a2+b2+λ =1(a>b>0,b2>-λ). 16x≠0)， 装理得16y+-16X9Cx≠0.即后+苦-1 x 例④如图，EE2分别为椭圆C:?十 (x≠0)， 1(a>√3)的左、右焦点，若C上存在一点A,使 深挖教材 得AF1⊥AF2,B是AF2的中点，∠F1AF2的 椭圆的第三定义 1.与两定点连线的斜率之积为常数入（入<0且 平分线交直线OB于点D,OD|=√3，则椭圆 入≠一1)的动点轨迹是一个椭圆（除去两个点），这 C的标准方程为 可以看成椭圆的第三定义（第二定义见教材P116 的“信息技术应用”). 2.由第三定义可得椭圆中的斜率积定理：如 图，P,Q是椭圆上关于原点对称的两点，M为椭圆 b2 解析，OB为△AF1F2的中位线， 上任意一点，则kPM·koM=一 (在PM与QM的 .OB∥AF1,∠DBA=90°，AF1=2(OD+DB). 斜率都存在的前提下) ,AD平分∠F1AF2,∠DAB=45°， .'.DB=AB=BF2. 设BF2=m,则AF2=2m,AF1=2a-2m. 又AF1=2(W3+m), .2a-2m=2(V3+m),.a=2m+√3. ① (现在怎么办？还需得出关于a,c的一个等式) 例6已知动圆C与圆A:(x一2)2+y2= 在Rt△AFF2中，|F1F212=|AF112+|AF212, 25内切，同时与圆B:(x+2)2+y2=1外切， ∴.4(a2-3)=[2(W3+m)]+(2m)2. ②：求动圆C的圆心的轨迹方程. 98 第三章圆锥曲线的方程 解析由题意得A(2,0),圆A的半径r1=5, 法有直译法、定义法、相关点法（见教材P108例2）、 B(一2,0)，圆B的半径r2=1,设圆C的半径为r 参数法、交轨法，等等，后面两种方法在圆中有所介 如图，因为圆C与圆A内切，与圆B外切， 绍，也可见变式1. 变式①如图，已知点B的坐标为(2,0)， P是以点O为圆心的单位圆上的动点（不与点 C,D重合)，∠POB的平分线交直线PB于点 Q,求点Q的轨迹方程， lCA=r1-r=5-r,① y 所以 ICB|=r2十r=1+r.② (要求的是点C的轨迹方程，故考虑消去上述两式中的r, 得到点C满足的关系式，观察发现，直接将两式相加聊可) 由①+②，得|CA+|CB|=5-r+1+r=6, 所以，点C到A,B的距离之和为6，且6>|AB| 题型3与椭圆定义有关的最值问题 4, 例7(2026·四川宜宾一中单元检测)已 故点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，可设其 、 匆椭圆C:专+苦-1的左焦点为R,P为c a: 方程为 +6=1(a>b>0),则2a=6,c=2, 上一点，若Q(-1,3),则|PF1|-|PQ|的最大 所以a=3,b=√a2-c2=√32-22=√5，故，点C 值为 的轨迹方程为+y 解析由题意得a=2√2，b=2,则c=2,故F1(-2, 9F5 =1. 0),设右焦点为F2,则F2(2,0), (结束了吗？规察图形发现圆A与圆B相切于，点（一3， 1QF2|=√(2+1)2+(-3)2=3√2，由椭圆的定 0),该，点也在上述椭圆上，当点C运动至（一3,0）时，圆C的半 径为0，此时圆C不存在，所以这个点要剔除) 义可得|PF1|十|PF2|=4√2，则|PF1|=42 当x=一3时，圆C不存在，不合题意，所以，点C PF2, 易得，点Q(-1,3)在椭圆C外， 的轨迹方程为。士5=1z≠一3》 所以PF1I-PQ=4√2-(IPF2|+|PQI)≤ 归纳总结 4√2-|QF2|=4W2-3√2=√2， 若动点满足的条件符合某种曲线（直线、圆、椭 当且仅当Q,P,F2三点共线且，点P在线段QF2 圆、双曲线、抛物线)的定义，并由此出发求出其轨 上时等号成立，所以PF一|PQ|的最大值为√2. 迹方程的方法称为“定义法”.求轨迹方程常用的方 答案√2. 核心素养聚焦 考向(1椭圆定义的应用 ,则|P01=( 3 上一点，cos∠F1PF2= 例8(2023·全国甲卷)已知椭圆 6 2 A.5 B30 D35 =1,F1,F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆 2 2 99 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 解析方法-设∠P,PF,=20,0<0<受，所以 =30 2· SA=62an∠，PE=6am. 答案B 2 考查内容 核心素养 试题难度 由cos∠F,PF2=cos20=cos0-sin20 cos20+sin20 椭圆的定义及几何 数学运算、逻辑推理 ★★★☆☆ 名号条鲜m9分 性质 考向(2 求椭圆的标准方程 由椭圆的方程可知，a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3, 例⑨(2024·全国Ⅱ卷)已知曲线C:x2 所以Sam,-2×IF.F:lXlypl=号×25X +y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴 1p=6×2,解得2=3， 作垂线段PP',P'为垂足，则线段PP'的中点 M的轨迹方程为( ) 即8=9x1-）=2, A后+学-10) 同光OP-8+号 B后+号-1>0) 方法二因为PF1|+|PF2=2a=6, ① PF2+PF212-2 PFPF2 cos/FPF2 c+号 =1(y>0) =|FF22, 即PF,+|PF,P-9PF,IPF2=12,② D.16+8=1y>0) 解析方法一设M(x,y),P(xo,yo)(yo>0), 由0@得PR,lPF,-,PE,+PF, 则P'(x0,0). 因为M为PP'的中点， =21. x=x0十xo 因为Pd-Pm+PF, =x0 所以 |x0=x, 所以 y yo+0 yo yo=2y. 2=2 所以OP1=PO1=)1PF+PF,1, 因为点P在曲线C:x2+y2=16(y>0)上， 即PO=2PF+PFl 所以r2+②=16g≥0，中后+￥-10≥0》 =√Pm+2Pm·PF+pm 方法二因为，点P在曲线C:x2+y2=16(y> 0)上，不妨取P(0,4),则P'(0,0),所以中点M(0, =221+2x号×- 2).因为，点M(0,2)满足所求轨迹方程，代入四个选项 X2=2 验证，只有A符合题意. 方法三因为PF1I+|PF2=2a=6, ① 方法三由题意可知，将位于x轴上方的半圆压 PF2+PF212-2PFPF2 |cos/F PF2 缩，即各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，则 =|F1F22, x+(2y)=16(y>0), 16 =1(y>0). 即PF,+|PF,-9PFPF,=I2,® 答案A 由①②得|PF1I2+|PF2|2=21. 考查内容 核心素养 试题难度 由中线定理可知，(2OP|)2+|F1F2|2=2(PF12 椭圆的定义及相关点法求 数学运算、 ★★★☆☆ 十|PF2|2)=42,易知|F1F2|=23,解得|OP| 轨迹方程 逻辑推理 100即点P的轨迹方程为2x十2y一5=0. ②设C关于直线2x+2y一5=0的对称点为C(m,n), m+iX(-1)=-1, n-1 则 2x"2+2×”号-5=0， 2 3 m= 2 解得 7 即c(受） n=2' 故IIPC-|PAII=IIPC'I-|PAI|≤ICA 当P点位于CC'上时，等号成立 故PC-PA的最大值为号 19.(1)由题意，设圆心C(a,0),半径为r(r>0). 因为圆C经过点D(3,0)和E(2,√3)，可得1CD|=|CE|, 即√(a-2)2+(3)2=|a-3,解得a=1, 所以x=|CE=2, 所以圆C的方程为(x一1)2+y2=4. (2)当直线l的斜率不存在时，此时1的方程为x=0, 可得AB|=2√3， 此时△ABD的面积为Sam=号×25X3=3,不符合 题意，舍去 当直线l的斜率存在时，设直线1的方程为y=x,其中 k≠0，即kx一y=0, 可得圆心C(1,0)到直线1的距离为d1= √k2+1 由圆的弦长公式可得 1AB1=2F-d=2,/4- /kl 2 /3k2+4 √2+1/ =2√2+1 由OD|=3OC1,可设点D(3,0)到直线l的距离为d2= 3d,=3k1 √2+I 所以△ABD的面积为SAAm=2X2,√2+1 1 /3k2+4、 3 k2十1 =√I, 整理得16k4+142-11=0, 解得及“=弓或及= 11 一8（舍去）， 所以=士号所以直线能方程为y=士号 (3)当直线1的斜率不存在时，此时直线的方程为x=0, 可得A(0,√3)，B(0,一√3)， 此时△AOB为等腰直角三角形，可得|AB|=√6； 当直线I的斜率存在时，设直线1的方程为y=kx,≠0， 且A(x1y1),B(x2y2), [y=kx, 联立方程组 (x-1)2+y2=4, 整理得(k2+1)x2-2x-3=0, 由一元二次方程根与系数的关系可得△>0，且x1十x2= -3 2+1x1x2中1 如图，过点A作AM⊥x轴，垂足为M,过点B作BN⊥ x轴，垂足为N, 则|AB|2=|AM|2+|MN|2+|BN|2=(x1-x2)2+y+y =(x1-x2)2+k2x+k2x号 =(k2+1)(x号十x)-2x1x2 =(k2+1)[(x1十x2)2-2x1x2]-2x1x2 -4+3X9+0-6+5-6+4 k2+1 k2+1 因为+1>1，所以6+与∈(6,16， 所以|AB|∈(6,4). 综上可得，折叠后引AB的取值范围为[V6,4). 第三章圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.1椭圆及其标准方程 变式训练 [变式1门由三角形的角平分线性质知BQ OB OPOP =2, ..BQ=2QP BQ 设点Q(x,),P(x0)(≠0)，QP=2这个等式不毫用 距离公式来翩译，而应利用 则(x一2，y)=2(x0一x,y0一y)，三点共线转化为向量的形式 3x-2 x-2=2x0-2x, [o= 2, y=2y0-2y, 3y yo=21 y0≠0，y≠0 又点P在圆O上， (32)‘+(）)°-1， 即(2-号)'+y°=告y≠0，此即点Q的轨迹方程 基础过关练 1.B 2.A[在△ABC中，因为2sinB=sinA+sinC,所以2b= 39