精品解析：山东省济南市天桥区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年第二学期八年级学业质量监测数学试题 注意事项： 本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与时代已经来临，科技全面融入日常生活，推动社会各领域智能化变革，深刻改变人们起的生活与工作方式，下列设计的人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A 2. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质．根据不等式两边加减同一个数或乘除同一个正数不等号方向不变，乘除同一个负数不等号方向改变，逐项判断即可． 【详解】解：A． 若，两边同时减2，得，故不成立，错误； B． 若，两边同时除以正数4，得，故不成立，错误； C． 若，两边同时乘以负数，不等号方向改变，得，故不成立，错误； D． 若，两边同时加1，得，成立，正确． 故选D． 3. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，即把多项式转化为几个整式乘积的形式．逐一分析各选项是否符合这一特征即可． 【详解】解：A． ：右边为单项式与多项式的组合再减4，未形成乘积形式，不是因式分解，不符合题意． B． ：左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意． C． ：左边为平方差形式，右边分解为两个二项式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意． D． ：右边通过配方改写为平方与常数的差，仍为多项式加减形式，未形成乘积，不符合题意． 综上，只有选项C是因式分解， 故选C． 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移．根据点平移的坐标变换规律：左减右加，上加下减解答可得． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点的坐标是，即， 故选：B． 5. 如图，在中，，，和的角平分线分别交于点E和点F，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 2.5 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、等角对等边等知识．由平行四边形的两组对边互相平行，又平分，由此可以推出，则；同理可得，，而，由此可以求出长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， 故选：D． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根据一元二次方程根的判别式，当判别式非负时，方程有实数根．计算判别式并解不等式即可确定m的取值范围，进而判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴． 当时，方程有实数根， 即，解得． 选项中，只有（选项B）不满足，因此m的值不可能是2． 故选：B 7. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得：， 故选：A． 8. 如图，在菱形中，点E，点F分别是，的中点，，且，则的长为（ ） A. 不确定 B. C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是解题的关键．利用菱形的性质求得是等边三角形，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E，点F分别是，的中点， ∴， 故选：D． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形，菱形，正方形的判定，根据矩形、菱形、正方形的判定定理，逐一分析选项是否正确即可． 【详解】解：A． 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形．必须是对角线相等的平行四边形才是矩形，故A错误． B． 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，例如筝形对角线垂直，但并非菱形．必须是对角线垂直的平行四边形才是菱形，故B错误． C． 对角线互相平分的四边形是平行四边形，且对角线相等的平行四边形是矩形，故C正确． D． 对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，需同时满足垂直、相等且平分，故D错误． 故选：C 10. 如图，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6…，，顶点，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心（等边三角形各内角角平分线的交点），点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，等边三角形的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识点．由等边三角形的顶点规律得出“点是第个等边三角形的第2个顶点，且点在第四象限内”是解题的关键． 观察图形可知，等边三角形的顶点每3个为一个循环，由可知，点是第个等边三角形的第2个顶点，且点在第四象限内，该等边三角形的边长为1350，连接，设由等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理即可求出点的坐标． 【详解】解：观察图形可知，等边三角形的顶点每3个为一个循环， ， ∴点是第675个等边三角形的第2个顶点， ∴点在第四象限内，该等边三角形的边长为， 如图，连接， 由等边三角形的对称性可知， ∵O点是的中心， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， ∴， 解得， ∵点在第四象限， ∴的坐标为． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5mm黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带、不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式法因式分解． 【详解】． 【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法是关键． 12. 计算：的结果是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．直接根据分式的减法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：1． 13. 如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的定义和性质，正多边形的内角和定理，正多边形的外角和定理，正确理解正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的每个外角都相等求出，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：是正六边形的外角， 是正五边形的外角， ， ， 故答案为：． 14. 近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握题目中的等量关系，是解题的关键．根据某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，列出方程即可． 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列出方程为： ． 故答案为：． 15. 如图，点E是矩形内部一个动点，满足，F为AE上一点且，当，时，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，先证，得到，从而得出，当且仅当C、E、G三点共线时取等，再根据题干条件求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， 在和中， ， ， ，当且仅当C、E、G三点共线时取等， ，且， ， ， 四边形是矩形，， 在中，， 即， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等内容，构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题是解题的关键． 三、解答题（本大题10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解不等式组，并写出不等式组的整数解． 【答案】，整数解是 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），求出每个不等式解集是解题的关键．先求出每个不等式的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等组的解集为， 此不等式组的整数解为． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内通分作和，再将除法化为乘法约分化简，再代入计算求值即可． 【详解】解： 当时， 原式． 18. 如图，E，F是平行四边形的对角线上两点，且，与相交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 由平行四边形的性质推出，，得到，判定，推出． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. （1）因式分解：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解及解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）先观察能否提公因式，再看可以用哪个公式法因式分解．分析发现可以先提公因式，再根据完全平方公式因式分解即可． （2）发现本题利用因式分解法解方程更简单，故先分解方程左边的整式，再求解即可得出方程的两个根． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵， ∴， 则或， 解得，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）把向上平移5个单位长度得（A，B，C的对应点分别是，，），请画出； （2）以点O为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（A，B，C的对应点分别是，，）； （3）连接与，求的面积； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】本题考查了作图——平移作图、旋转作图，割补法求面积，掌握平移和旋转的性质是解题关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：． 21. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 22. 年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． （1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； （2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】（1）小时，小时 （2）小时 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确找出等量关系或不等关系是解题的关键． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为小时，则甲数据中心的数据迁移速度为小时，根据“甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时”列式求解即可； （2）设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，根据“共用小时至少完成的数据迁移” 列式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时， 则甲数据中心的数据迁移速度为小时， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时； 【小问2详解】 解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时， 根据题意，得， 解得：， 即甲数据中心至少需要工作小时． 23. 我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．小明同学在学习了因式分解后，对用图形拼接验证因式分解的方法非常感兴趣，他利用了此方法做了以下研究． （1）如图1，大正方形的边长为a，小明将大正方形拆分为边长为b的小正方形A和两个长方形B，C，然后将长方形C拼接在了的位置，请写出小明验证的因式分解的公式是_____； （2）在经过了一些尝试后小明同学又利用图形的拆分和拼接方法验证了多项式：的因式分解；那么他是如何验证的呢？在下面的图2中画出他拆分和拼接的示意图；并借此因式分解：； （3）在对多项式因式分解后，小明还发现了它可以用于巧算这样的计算题：，小明是怎样巧算的这道题，请写出计算过程． 【答案】（1） （2）见解析， （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意可得大正方形面积减去正方形A的面积等于长方形B加上长方形的面积，据此列式求解即可； （2）画一个长为，宽为的大长方形，再在这个大长方形中画一个长为，宽为的长方形，再仿照题意拼接图形即可得到答案； （3）根据（2）所求令据此代值计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得大正方形面积减去正方形A的面积等于长方形B加上长方形的面积， ∴ 【小问2详解】 解：如图所示， 【小问3详解】 解： ． 24. 旋转是几何中的一种重要变换，学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行了如下探究：是等腰直角三角形，其中，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． 【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，和的数量关系是______，位置关系是______； 【探索证明】（2）如图2，当点E在恰巧落在线段上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 【拓展探究】（3）连接，若，，且直线与直线相交所成的锐角为时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3）或． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的旋转，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及分类讨论思想．关键注意对D的位置要分类讨论是关键． （1）利用旋转的性质即可解答； （2）根据旋转的性质，得，，可进一步用“”证得，得到，并得到； （3）根据直线与直线相交所成的锐角为，得出或，结合D点的位置分四种情况分情况分别画图解答即可． 【详解】（1）解：线段绕点C顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ，即， 故答案为：，； （2）成立， 证明：线段绕点C顺时针旋转得到线段， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ； （3）解：∵直线与直线相交所成的锐角为， ∴或， 当，且点D在左侧时，如图， ∵， ∴， ∴， 即点D在延长线上， 同（2）可证， ，， 在中， ， ， 在中， ， ， ； ②当，且点D在右侧时，如图， 同理， ∴， 即， 同（2）可证， ，， ∴点D在上， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ； ③当，且点D在左侧时，如图， 同理， ∴， 即， 同（2）可证， ，， ∴点D在延长线上， 在中， ， ， ， ， 在中， ； ④当，且点D在右侧时，如图， ∵， ∴， ∴， 即点D在上， 同理可证， ， ， 在中， ， ， 在中， ， ， ； 综上所述，或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）线段的长度为_____； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）求点E的坐标； （4）若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10 （2） （3） （4）存在， 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得出点的坐标及，的长，利用勾股定理可求出的长； （2）设，则，，，利用勾股定理可求出值，进而可得出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式； （3）过点作轴于点，由，可得出，利用面积法可求出的长，在中，利用勾股定理可求出的长，进而可得出点的坐标； （4）根据，求出直线的解析式，根据点的纵坐标求出其横坐标即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：点的坐标为，，， ， 故答案为：10； 【小问2详解】 解：设，则，，， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 设直线所对应的函数表达式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线所对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：过点E作轴于点F，如图所示． ∵， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴点E的坐标为． 【小问4详解】 解：存在， 如图所示，由，设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， 解得：， ∴存在，点P的坐标为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级学业质量监测数学试题 注意事项： 本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 与时代已经来临，科技全面融入日常生活，推动社会各领域智能化变革，深刻改变人们起的生活与工作方式，下列设计的人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，和的角平分线分别交于点E和点F，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 2.5 D. 1 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图，在菱形中，点E，点F分别是，的中点，，且，则的长为（ ） A. 不确定 B. C. 6 D. 3 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 10. 如图，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6…，，顶点，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心（等边三角形各内角角平分线的交点），点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5mm黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带、不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 分解因式：_______． 12. 计算：的结果是_____． 13. 如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为______________． 14. 近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程___________． 15. 如图，点E是矩形内部一个动点，满足，F为AE上一点且，当，时，则的最小值为______． 三、解答题（本大题10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解不等式组，并写出不等式组的整数解． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，E，F是平行四边形的对角线上两点，且，与相交于点．求证：． 19. （1）因式分解：． （2）解方程：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）把向上平移5个单位长度得（A，B，C的对应点分别是，，），请画出； （2）以点O为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（A，B，C的对应点分别是，，）； （3）连接与，求的面积； 21. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 22. 年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． （1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； （2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 23. 我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．小明同学在学习了因式分解后，对用图形拼接验证因式分解的方法非常感兴趣，他利用了此方法做了以下研究． （1）如图1，大正方形的边长为a，小明将大正方形拆分为边长为b的小正方形A和两个长方形B，C，然后将长方形C拼接在了的位置，请写出小明验证的因式分解的公式是_____； （2）在经过了一些尝试后小明同学又利用图形的拆分和拼接方法验证了多项式：的因式分解；那么他是如何验证的呢？在下面的图2中画出他拆分和拼接的示意图；并借此因式分解：； （3）在对多项式因式分解后，小明还发现了它可以用于巧算这样的计算题：，小明是怎样巧算的这道题，请写出计算过程． 24. 旋转是几何中的一种重要变换，学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行了如下探究：是等腰直角三角形，其中，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． 【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，和的数量关系是______，位置关系是______； 【探索证明】（2）如图2，当点E在恰巧落在线段上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 【拓展探究】（3）连接，若，，且直线与直线相交所成的锐角为时，请直接写出线段的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． （1）线段的长度为_____； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）求点E的坐标； （4）若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $