精品解析：四川省眉山市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

眉山市高2026届第四学期期末教学质量检测 数学试题卷 2025.07 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1. 已知等差数列的公差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的定义求解即可. 【详解】因为等差数列的公差为，所以. 故选：C. 2. 某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取3 000人，计算发现k2＝6．023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是(　　) P(K2≥k) … 0．25 0．15 0．10 0．025 0．010 0．005 … k … 1．323 2．072 2．706 5．024 6．635 7．879 … A. 90% B. 95% C. 97．5% D. 99．5% 【答案】C 【解析】 【详解】∵ ∴可断言市民收入增减与旅游欲望有关的把握为97.5%. 故选C. 点睛：本题主要考查独立性检验的实际应用.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式，计算出的值；（3）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断. 3. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C 4. 的二项式展开式中的系数为（ ） A. 560 B. 35 C. -35 D. -560 【答案】D 【解析】 【分析】中利用二项式定理可求得的系数，从而求解. 【详解】由题意知的展开式为， 令，得，所以的系数为，故D项正确. 故选：D. 5. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：万台）为AI电脑的月销量. 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代号 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则2025年3月的残差为（ ）（实际值与预计值之差） A. B. C. 0.02 D. 0.04 【答案】B 【解析】 【分析】求出样本中心点，带入回归方程求出，在求出对应的月销量预测值，结合月销量求出残差 【详解】因为， 所以，所以关于的线性回归方程为， 2025年3月对应的，故此时残差为. 故选：B. 6. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 300种 B. 210种 C. 120种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】甲场馆安排2名志愿者可以知有种，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法第一种是乙馆安排1名志愿者丙安排3名有种情况，第二种是乙、丙各安排2名有，第三种是乙安排3名丙安排1名，根据分步计算可得答案. 【详解】根据题意可知，甲场馆安排2名志愿者可以知有种， 乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法 第一种是乙馆安排1名志愿者丙安排3名有种情况， 第二种是乙、丙各安排2名有， 第三种是乙安排3名丙安排1名， 所以根据分步算法可得种. 故选：B 7. 为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可求得该产品能销售的概率，写出的取值，设表示一箱产品中可以销售的件数，则服从二项分布，分别求出的取值对于得概率，从而可得答案. 【详解】由题意得该产品能销售的概率为， 易知的取值范围为， 设表示一箱产品中可以销售的件数，则， 所以，， 所以， ， ， 故. 故选：C. 8. 已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用同构将函数进行化简，在利用单调性与交点个数转化成切线处理问题. 【详解】令f(x)=0，得 即 令 则 (1-e)t-1=0， 令 则 令 在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增； 令 在区间 上单调递减，又 1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1. 当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于 的图象与直线y=0和y=1共有2个交点. 令p(x)= lnx+ ax，则 则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意. 当a<0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切. 如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为 则相应切线方程为 如图2，当y=1-ax与y= lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为 则 综上 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令即可判断A；令即可判断B；根据二项式展开式的通项公式计算即可判断C；令即可判断D. 【详解】A项：令，则，故A正确； B项：令，则①， 所以，故B错误； C项：，所以， ，所以，所以，故C正确； D项：令，则②， ①+②可得：，故D正确． 故选：ACD 10. 某批水稻种子有5%的是变异种，变异种当中有90%的是长不大的．在正常的种子中，90%的都能长大．下列说法正确的有（ ） A. 这批水稻长不大的占比超过10% B. 这批水稻种子既是变异种又是长不大的概率低于1% C. 如果有种子长不大，那么它是变异种的概率高于30% D. 如果有种子长大了，那么它是变异种的概率高于0.3% 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全概率公式以及贝叶斯公式，即可结合选项逐一求解. 【详解】这批水稻长不大的占比为，故A正确， 这批水稻种子既是变异种又是长不大的概率为，故B错误， 种子长不大的概率为，则是变异种的概率为，故C正确， 种子长大的概率为，它是变异种的概率为，故D正确， 故选：ACD 11. 假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为（万辆），其中年份对应的代码为，如表， 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万辆） 4 9 14 18 25 根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述 令变量，且变量与变量满足一元线性回归模型则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 2025年的年销售量约为34.4万辆 【答案】AC 【解析】 【分析】利用线性回归方程待定系数公式，再由变量的线性代换关系进行计算，最后恒过样本点，就可得到线性回归方程. 【详解】由可得：， 同理由，可得， 根据公式，故A正确；B错误； 由表格中数据可得：， ， ， 所以， 由于，所以与的回归方程必过原点，， 又由于，代入得： ，整理得：，故C正确； 当，即表示2025年，此时， 所以2025年的年销售量约为万辆，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列满足，（），则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】通过计算出等的值可以发现数列是一个三个一循环的循环数列，然后通过计算，得出的值． 【详解】 由以上可知，数列是一个循环数列，每三个一循环， 所以 【点睛】在计算数列中的某一项的时候，可以先通过观察发现数列的规律，在进行计算． 13. 袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式列方程求得黑球个数，从而可根据超几何分布的数学期望公式进行求解. 【详解】若黑球数小于，则至少得到一个白球的概率为1，矛盾， 设有个黑球，则，解得满足题意， 由题意白球的个数为X服从超几何分布， 所以随机变量X的数学期望为. 故答案为：. 14. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数分析可知在内单调递增，结合恒成立问题可得，构建，求导判断其单调性，根据单调性解不等式即可. 【详解】由题意可得：， 因为，则有： 若，则，可得，则； 若，则，可得； 综上所述：，可知在内单调递增， 则， 若对任意的，恒成立，则， 构建，则， 可知在内单调递增， 由可得， 且，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据的关系由：求解即可； （2）根据通项分奇偶分别计算求和，结合裂项相消和等比数列求和公式即可. 【小问1详解】 当时，. 当时，， 当时，也符合. 综上，. 【小问2详解】 由 则 ， 故的前项和. 16. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若函数在上恒小于，求的取值范围. 【答案】（1）当时，函数单调递减，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2） 【解析】 【分析】（1）求导得到，讨论和两种情况，计算得到答案. （2）讨论，，，四种情况，根据单调性得到函数最值得到答案. 【详解】（1），则，， 当时，恒成立，函数单调递减； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，函数单调递减，故恒成立，故； 当时，若，即，函数在上单调递减，故，成立，故； 若，即，函数在上单调递增，在上单调递减，故，解得，故； 若，即，函数在上单调递增，故，故， 故无解. 综上所述：. 【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键. 17. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （2）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【答案】（1）分布列： X 1 2 3 P ，． （2）应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 【解析】 【分析】（1）得出的所有可能取值并求出其对应概率即可得分布列，借助分布列计算即可得期望与方差； （2）设学生乙答对的题数为，则，结合二项分布的期望公式与方差公式计算可得学生乙答对的题数的期望与方差，与X的期望与方差比较即可得. 【小问1详解】 的所有可能取值为1，2，3， ， ， ， 的分布列为： X 1 2 3 P 所以， ； 【小问2详解】 设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3， 则． 所以，． 因为，， 即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 18. 已知：． （1）设，求数列的通项公式： （2）在（1）的条件下，数列满足． ①设数列，求数列的前项和； ②是否存在，对于任意满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据向量模的计算公式以及已知条件推导出数列的递推关系，进而求出通项公式； （2）①先求出的表达式，再得到的表达式，然后利用错位相减法求出数列的前项和；②通过分析的单调性来判断是否存在满足条件的. 【小问1详解】 当时，由已知可得： ． 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，则： 【小问2详解】 由（1）可得，则． ①由题设可得 ∵ ． ∴以上两式相减得： ， 化简得：． ②因为， 所以， 易得， 当时，，则； 当时，， 又随的增大而增大， 所以当时，，即； 则数列的最小值为，则存在，使得对于任意满足． 19. 已经函数，其中． （1）若，求的极值； （2）讨论的零点个数，求的取值范围； （3）当时，证明：不等式恒成立． 【答案】（1）极大值为1，无极小值 （2）当时，有没有零点； 当或时，有1个零点； 当时，有两个零点． （3）证明：当时，要证明不等式恒成立， 即证明恒成立； 令，∴， 当，∴，即在上单调递增， ∴，即． 令，∴， ∵，∴，即在上单调递增， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴成立， 即当时，不等式恒成立． 【解析】 【分析】（1）对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，得出的单调区间，再利用极值的定义，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成与的图象有两个交点，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得其图象，数形结合，即可求解； （3）构造函数，利用导数与函数单调性，可得，构造函数，利用导数与函数单调性，可得，即可求解. 【小问1详解】 当时，，所以， 又的定义域为， 令，得到，由，解得，由，解得， 所以当时，的增区间为，的减区间为， 则的极大值为，无极小值． 【小问2详解】 因为有两个零点，即方程有两个解， 等价于方程有两个解；等价于与的图象有两个交点， 因为，令，解得， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 则当时，取到最大值，且， 又当时，且时，， 当时，，且时，， 的图象如图所示， 所以当时，有没有零点； 当或时，有1个零点； 当时，有两个零点． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 眉山市高2026届第四学期期末教学质量检测 数学试题卷 2025.07 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1. 已知等差数列的公差为，则（ ） A. B. C. D. 2. 某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取3 000人，计算发现k2＝6．023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是(　　) P(K2≥k) … 0．25 0．15 0．10 0．025 0．010 0．005 … k … 1．323 2．072 2．706 5．024 6．635 7．879 … A. 90% B. 95% C. 97．5% D. 99．5% 3. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 的二项式展开式中的系数为（ ） A. 560 B. 35 C. -35 D. -560 5. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：万台）为AI电脑的月销量. 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代号 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则2025年3月的残差为（ ）（实际值与预计值之差） A. B. C. 0.02 D. 0.04 6. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 300种 B. 210种 C. 120种 D. 60种 7. 为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 10. 某批水稻种子有5%的是变异种，变异种当中有90%的是长不大的．在正常的种子中，90%的都能长大．下列说法正确的有（ ） A. 这批水稻长不大的占比超过10% B. 这批水稻种子既是变异种又是长不大的概率低于1% C. 如果有种子长不大，那么它是变异种的概率高于30% D. 如果有种子长大了，那么它是变异种的概率高于0.3% 11. 假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为（万辆），其中年份对应的代码为，如表， 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万辆） 4 9 14 18 25 根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述 令变量，且变量与变量满足一元线性回归模型则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 2025年的年销售量约为34.4万辆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列满足，（），则_____________． 13. 袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望__________． 14. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 16. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若函数在上恒小于，求的取值范围. 17. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （2）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 18. 已知：． （1）设，求数列的通项公式： （2）在（1）的条件下，数列满足． ①设数列，求数列的前项和； ②是否存在，对于任意满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 19. 已经函数，其中． （1）若，求的极值； （2）讨论的零点个数，求的取值范围； （3）当时，证明：不等式恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $