第19讲 曲线运动 运动的合成与分解（举一反三讲义）（全国通用）

第19讲 曲线运动 运动的合成与分解 一、 考点精讲练本讲要点 考点01：曲线运动（必备知识+1例+2变式+能力提升） 考点02：运动的合成与分解（必备知识+2例+2变式+能力提升） 考点03：小船渡河问题（必备知识+2例+3变式+能力提升） 考点04：绳（杆）关联速度问题（必备知识+2例+2变式+能力提升） 二、 巩固提升（精选15道题） 曲线运动 考点一 1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。 2.曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。 (1)a恒定：匀变速曲线运动； (2)a变化：非匀变速曲线运动。 3．曲线运动的条件 (1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。 (2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。 【例1】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）书法课上，某同学临摹“力”字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由a点经b点回到a点，则（   ） A．该过程位移为0 B．该过程路程为0 C．两次过a点时速度方向相同 D．两次过a点时摩擦力方向相同 【变式1-1】（2023·辽宁·高考真题）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是（　　）    A．  B．  C．   D．   【变式1-2】（2025·四川·模拟预测）为使汽车快速平稳转弯，驾驶员经常采用“入弯减速，出弯加速”的技巧。汽车采用该技巧在单向路面水平弯道入、出弯道时，其所受水平合力为、速率为。则下列方向关系图中，可能正确的是（　　） A．B．C． D． 【解题能力提升】 1．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 (1)速度方向与运动轨迹相切； (2)合力方向指向曲线的“凹”侧； (3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。 2．曲线运动中速率变化的判断 运动的合成与分解 考点二 1．合运动与分运动概念 (1)运动的合成：已知分运动求合运动。 (2)运动的分解：已知合运动求分运动。 2．遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则　。 3．运动分解的原则 根据运动的效果分解，也可采用正交分解法。 4．合运动与分运动的关系 (1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。 (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动相互独立，不受其他分运动的影响。 (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果　。 【例2-1】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（   ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【例2-2】（2025·湖南·高考真题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、、表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·湖南·模拟预测）在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图。摩托车后轮离开地面后失去动力，最终摩托车后轮落到壕沟对面安全通过，认为摩托车在空中运动过程中受到水平向后的恒定风力，忽略空气阻力及其它外界对摩托车的影响。x、y分别表示水平和竖直位移，、分别表示水平和竖直速度，t表示时间，下列描述摩托车运动过程中的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·江苏·高考真题）达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（　　） A．   B．   C．   D．   【解题能力提升】 1．合运动性质的判断 加速度(或合外力) 加速度(或合外力)方向与合速度方向 2．两个直线运动的合运动性质的判断 (不共线)分运动 合运动 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 若v0合与a合共线，则合运动为匀变速直线运动 若v0合与a合不共线，则合运动为匀变速曲线运动 小船渡河问题 考点三年 1．船的实际运动：是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2．三种速度：船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。 3．三类问题、四种情境 情境 说明 渡河时 间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位 移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，合速度垂直河岸，则渡河位移最短(等于河宽d) 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，则渡河位移最短，最短渡河位移smin＝ 渡河船 速最小 在水流速度v水和船的航行方向(即v合方向)一定的前提下，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，有满足条件的最小船速，即v船min＝v水sin θ 【例3-1】（2021·辽宁·高考真题）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（　　） A．75s B．95s C．100s D．300s 【例3-2】前不久河北石家庄京津冀第五届澽沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽的澽沱河，运动员在静水中的速度为，水流速度为，则（　　） A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸 B．该运动员渡河的时间可能小于200s C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为600m D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为800m 【变式3-1】（多选）河水的流速随离河岸一侧的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示。若要使船以最短时间渡河，则下列说法正确的是（    ） A．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 B．船渡河的最短时间是40s C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中航行的最大速度是3m/s 【变式3-2】（2025·湖北·二模）现代宇航服自带推力系统，航天员进行太空出舱活动离开飞船，即使没有安全绳，也能通过宇航服的自带推力系统喷射气体获得的反冲速度，使宇航员回到飞船。如图所示，某宇航员通过宇航服的推力系统以的初速度平行于舱壁匀速运动。舱门在舱壁上A点，初速度方向上B点与离A点最近，A、B两点间距离。宇航员在平行舱壁匀速运动到某位置再通过宇航服的推力系统获得大小为u的反冲速度后，运动位移x回到舱门A点。将宇航员视为质点。下列说法正确的是（　　） A．宇航员在B点向下喷气，能到达A点 B．宇航员最快能1s回到舱门 C．当反冲速度大小时，x的最小值为5m D．当反冲速度大小时，x的最小值为10m 【解题能力提升】 小船渡河问题分析思路 绳(杆)端的关联速度问题 考点四 1. 模型特点 与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。 2．关联速度常见模型 情境图示 分解图示 定量结论 vB＝vAcosθ vAcosθ＝v0 vAcosβ＝vBcosα vBsinα＝vAcosα 【例4-1】（多选）（2025·福建厦门·三模）如图所示，一渔民（图中未画出）站在岸上，利用绳和定滑轮以恒定的速率v=0.6m/s拉质量m=50kg的小船靠岸，某时刻绳与水面夹角为θ=37°，该时刻渔民的拉力大小为F=250N，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s2，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，下列说法正确的是（　　） A．该时刻小船的速度大小为0.75m/s B．该时刻小船受到三个力的作用 C．该时刻小船的浮力大小为300N D．小船是加速靠近河岸 【例4-2】如图所示，一根长为的杆，端用铰链固定在水平地面上，杆靠在一个高度为的立方体物体上，物体以速度水平向左匀速运动，杆与物体都在同一竖直面上运动。当杆与水平方向夹角为时，杆转动的角速度为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图所示是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆支撑在楼面平台上，端在水平地面上向右以匀速运动，被救助的人员紧抱在端随轻杆一起向平台端靠近，平台高为，当时，被救人员向点运动的速率是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，可视为质点的光滑定滑轮P与竖直墙面上的点等高，为的中点，距离为。一根轻质不可伸长的细绳一端系在点，穿过质量为m的光滑圆环A再绕过定滑轮，另一端吊着质量也为m的重物。将圆环A由点静止释放，设与水平方向夹角为。已知重力加速度为g，整个过程中未与滑轮相撞，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法中正确的是（ 　） A．和的速度关系为 B．可以下降的最大高度为 C．和总动能最大时， D．和总动能最大时，B的动能为 【解题能力提升】 绳(杆)端的关联速度问题解题思路 巩固提升 1．（2025·辽宁丹东·二模）如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。关于小圆柱体R的运动轨迹可能正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2025·福建南平·模拟预测）2025年元宵节晚上，闽江延平段进行无人机表演，给节日氛围增添了几许惊艳。某参演的无人机在x、y方向的，图像如图（a）（b）所示。则在时间内，该无人机运动的轨迹可能为（　　） A． B． C． D． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（2025·河南漯河·模拟预测）漯河红枫广场无人机灯光表演给广大市民带来了科技的惊艳，同时也很好的烘托了节日的氛围并给漯河的文化、经济等做了极大的宣传。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为轴、轴的正方向，某架参演的无人机在方向的图像分别如图甲、乙所示，则在时间内，该无人机的运动轨迹为（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，拖车A在水平路面上以速度，向左匀速运动，拖车通过不可伸长的水平绳跨过定滑轮后去拖动船B，船B离开水面后，在绳子拉力作用下沿着倾角为的斜坡上的直线滑道向上滑行，当连接船B的绳子与水平方向夹角为时，船B的速度大小为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示为神舟18号返回舱顺利返回地球的示意图，返回舱先与轨道舱分离再进行减速，调整姿态后从A点进入大气层，最后降落在地球上B点处，关于返回舱在A点受到的合外力F的示意图，下列可能正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2011·上海·高考真题）如图，人沿平直的河岸以速度行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行，当绳与河岸的夹角为，船的速率为（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，轻质不可伸长的细绳，绕过光滑定滑轮，与质量为的物体连接，放在倾角为的光滑固定斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体连接。现、间细绳恰沿水平方向，从当前位置开始，在外力作用下以速度匀速下滑。设绳子的张力为，在此后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．物体A做匀加速运动 B．物体A做匀速运动 C．可能小于 D．一定大于 9．（2025·河南郑州·三模）图甲为某砖坯切割机，原理如图乙所示。工作时，砖坯随水平传送带一起沿直线运动，钢丝在长为R的力臂作用下绕O点转动切割，两者配合保证砖坯的切割面竖直。已知某切割瞬间，传送带的速度为v，钢丝转动的角速度为，力臂与竖直方向的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 10．某教师在上课时，走到教室中间，用激光笔指向黑板上某位置处的板书，过程简化的俯视图如图所示。该教师站立处S与黑板间距为d，该教师移动激光笔，使光点P在黑板上以速度v匀速向右运动，SP连线与黑板面之间的夹角为，SP始终在同一水平面内，则该教师此时转动激光笔的角速度为（　　） A． B． C． D． 11．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示为我国空间站利用机械臂转运飞船的示意图，机械臂可近似视为由两根长度分别为和的轻杆AB和BC以及三个含内置电机的关节组成，机械臂控制飞船空间站对接的过程中，飞船的中心始终沿空间站的轴线并以恒定的速度靠近空间站。当两杆与轴线方向的夹角分别为和时，AB杆绕A处关节转动的角速度为（　　） A． B． C． D． 12．如图甲，某同学需要通过小木筏渡过一条河，已知小木筏在静水中的速度大小为。受地形等因素影响，不同位置河水流速会有变化。出发点A下游某位置的水流速度与该位置到A点的沿河距离关系如图乙所示，已知小木筏前端始终垂直河岸，最终到达对岸偏离正对面的B处，则以下说法正确的是（　　） A．小木筏在河水中的轨迹是直线 B．河的宽度为 C．若水流速度恒为，小木筏过河时间将变短 D．若水流速度恒为，小木筏可调节前端指向使轨迹垂直河岸渡河 13．如图所示，甲、乙两个小组分乘两只小船渡一条宽度为的河，各处水流速度均向右且等大恒定，船在静水中的速率均为，渡河时船头朝向与河岸夹角均为，其中甲船恰好抵达正对岸的A点，则（　　） A．甲船渡河时间比乙船短 B．乙船渡河时间为 C．两船都抵达对岸时，间距增大了 D．如果河水流速增大，甲船调整航向一定还能到达A点 14．（2025·安徽·模拟预测）如图所示。风洞中没风时，将一个小球以初速度竖直向上抛出，小球能上升的最大高度为h，加了水平风力后，将小球仍以初速度竖直向上抛出，小球落到与抛出点等高的位置时，该位置与抛出点间的水平距离为2 h，风对小球的作用力大小恒定，不计阻力，则风力与小球重力之比为（　　） A． B． C． D． 15．（多选）（2025·广东·模拟预测）足球比赛中，运动员发任意球时，踢出的足球有时会在行进中绕过“人墙”转弯进入球门（如图甲），这就是所谓的“香蕉球”。踢出“香蕉球”是因为运动员踢出球时，足球向前运动的同时还在绕轴自转（如图乙所示）；自上向下观察（如图丙所示）由于足球的自转使贴着足球表面的一层薄空气被球带动做同一旋向的转动，导致足球、两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差，使得足球发生偏转。则（　　） A．甲图中足球受到空气压力向左 B．甲图中足球受到空气压力向右 C．空气流速大的一侧压力大 D．空气流速小的一侧压力大 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 曲线运动 运动的合成与分解 一、 考点精讲练本讲要点 考点01：曲线运动（必备知识+1例+2变式+能力提升） 考点02：运动的合成与分解（必备知识+2例+2变式+能力提升） 考点03：小船渡河问题（必备知识+2例+3变式+能力提升） 考点04：绳（杆）关联速度问题（必备知识+2例+2变式+能力提升） 二、 巩固提升（精选15道题） 曲线运动 考点一 1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。 2.曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。 (1)a恒定：匀变速曲线运动； (2)a变化：非匀变速曲线运动。 3．曲线运动的条件 (1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。 (2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。 【例1】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）书法课上，某同学临摹“力”字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由a点经b点回到a点，则（   ） A．该过程位移为0 B．该过程路程为0 C．两次过a点时速度方向相同 D．两次过a点时摩擦力方向相同 【答案】A 【详解】A．笔尖由a点经b点回到a点过程，初位置和末位置相同，位移为零，故A正确； B．笔尖由a点经b点回到a点过程，轨迹长度不为零，则路程不为零，故B错误； C．两次过a点时轨迹的切线方向不同，则速度方向不同，故C错误； D．摩擦力方向与笔尖的速度方向相反，则两次过a点时摩擦力方向不同，故D错误。故选A 。 【变式1-1】（2023·辽宁·高考真题）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是（　　）    A．  B．  C．   D．   【答案】A 【详解】篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧。故选A。 【变式1-2】（2025·四川·模拟预测）为使汽车快速平稳转弯，驾驶员经常采用“入弯减速，出弯加速”的技巧。汽车采用该技巧在单向路面水平弯道入、出弯道时，其所受水平合力为、速率为。则下列方向关系图中，可能正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】速度沿轨迹的切线方向，“减速入弯”时力和速度的夹角是钝角，“加速出弯”时力和速度的夹角是锐角，故C正确，ABD错误。 故选C。 【解题能力提升】 1．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 (1)速度方向与运动轨迹相切； (2)合力方向指向曲线的“凹”侧； (3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。 2．曲线运动中速率变化的判断 运动的合成与分解 考点二 1．合运动与分运动概念 (1)运动的合成：已知分运动求合运动。 (2)运动的分解：已知合运动求分运动。 2．遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则　。 3．运动分解的原则 根据运动的效果分解，也可采用正交分解法。 4．合运动与分运动的关系 (1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。 (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动相互独立，不受其他分运动的影响。 (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果　。 【例2-1】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（   ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【详解】设两边绳与竖直方向的夹角为，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为，将沿绳方向和垂直绳方向分解，将沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得 ，解得 由于塔块匀速下落时在减小，故可知v一直增大。故选B。 【例2-2】（2025·湖南·高考真题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、、表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为，加速度为大小，斜面倾角为。AB．物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度为，加速度大小为，则有，整理可得 可知，图像为类似抛物线的一部分，故AB错误； CD．物块在竖直方向上做匀减速直线运动，速度为，加速度大小为，则有，整理可得 可知，图像为类似抛物线的一部分，故C正确，D错误。故选C。 【变式2-1】（2025·湖南·模拟预测）在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图。摩托车后轮离开地面后失去动力，最终摩托车后轮落到壕沟对面安全通过，认为摩托车在空中运动过程中受到水平向后的恒定风力，忽略空气阻力及其它外界对摩托车的影响。x、y分别表示水平和竖直位移，、分别表示水平和竖直速度，t表示时间，下列描述摩托车运动过程中的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AC．由题可知，摩托车在水平方向上做匀减速直线运动，AC错误； BD．摩托车在竖直方向上做自由落体运动，B错误，D正确；故选D。 【变式2-2】（2023·江苏·高考真题）达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间内水平方向增加量，竖直方向做在自由落体运动，在时间增加；说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定，则连线的倾角就是一定的。故选D。 【解题能力提升】 1．合运动性质的判断 加速度(或合外力) 加速度(或合外力)方向与合速度方向 2．两个直线运动的合运动性质的判断 (不共线)分运动 合运动 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 若v0合与a合共线，则合运动为匀变速直线运动 若v0合与a合不共线，则合运动为匀变速曲线运动 小船渡河问题 考点三年 1．船的实际运动：是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2．三种速度：船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。 3．三类问题、四种情境 情境 说明 渡河时 间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位 移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，合速度垂直河岸，则渡河位移最短(等于河宽d) 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，则渡河位移最短，最短渡河位移smin＝ 渡河船 速最小 在水流速度v水和船的航行方向(即v合方向)一定的前提下，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，有满足条件的最小船速，即v船min＝v水sin θ 【例3-1】（2021·辽宁·高考真题）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（　　） A．75s B．95s C．100s D．300s 【答案】D 【详解】河宽一定，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，即木船相对静水的速度，渡河时间最短为，故选D。 【例3-2】前不久河北石家庄京津冀第五届澽沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽的澽沱河，运动员在静水中的速度为，水流速度为，则（　　） A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸 B．该运动员渡河的时间可能小于200s C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为600m D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为800m 【答案】D 【详解】A．运动员在静水中的速度小于水流速度，合速度方向不可能垂直河岸，所以该运动员不可能垂直河岸到达正对岸，故A错误； B．运动员在静水中的速度始终垂直河岸时渡河时间最短，最短渡河时间为 ，该运动员渡河的时间不可能小于200s，故B错误； C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为，故C错误； D．运动员在静水中的速度小于水流速度，合速度方向不可能垂直河岸，该运动员以最短位移渡河时，合速度方向应与运动员在静水中的速度方向垂直，则位移大小为，故D正确。 故选D。 【变式3-1】（多选）河水的流速随离河岸一侧的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示。若要使船以最短时间渡河，则下列说法正确的是（    ） A．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 B．船渡河的最短时间是40s C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中航行的最大速度是3m/s 【答案】AB 【详解】A．当船头垂直河岸渡河时，过河时间为最短，所以船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直，故A正确； B．船渡河的最短时间为，故B正确； CD．因河水的速度是变化的，故船相对于岸的速度的大小和方向均是变化的，船在河水中航行的轨迹不是一条直线，当船在河中心时，船速最大，则 故C错误，D错误。故选AB。 【变式3-2】（2025·湖北·二模）现代宇航服自带推力系统，航天员进行太空出舱活动离开飞船，即使没有安全绳，也能通过宇航服的自带推力系统喷射气体获得的反冲速度，使宇航员回到飞船。如图所示，某宇航员通过宇航服的推力系统以的初速度平行于舱壁匀速运动。舱门在舱壁上A点，初速度方向上B点与离A点最近，A、B两点间距离。宇航员在平行舱壁匀速运动到某位置再通过宇航服的推力系统获得大小为u的反冲速度后，运动位移x回到舱门A点。将宇航员视为质点。下列说法正确的是（　　） A．宇航员在B点向下喷气，能到达A点 B．宇航员最快能1s回到舱门 C．当反冲速度大小时，x的最小值为5m D．当反冲速度大小时，x的最小值为10m 【答案】D 【详解】A．由分析可知宇航员在B点向下喷气获得向上的分速度，因为同时还有平行于舱壁的速度，故合速度方向不沿BA方向，所以不能到达A点，故A错误； B．回到舱门的时间由垂直舱壁方向的运动决定，设反冲速度方向与初速度方向夹角为，所以回到舱门的时间为 所以当，时，宇航员回到舱门时间最短，最短时间为，故B错误； C．当时，由于，此时宇航员无法垂直舱壁运动到达舱门A点，所以位移最小值应大于，即x的最小值应大于5m，故C错误； D．当时，由分析可知当与垂直时，位移有最小值。设反冲速度方向与初速度方向夹角为，如图所示 根据三角函数关系有 所以位移的最小值为，故D正确。故选D。 【解题能力提升】 小船渡河问题分析思路 绳(杆)端的关联速度问题 考点四 1. 模型特点 与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。 2．关联速度常见模型 情境图示 分解图示 定量结论 vB＝vAcosθ vAcosθ＝v0 vAcosβ＝vBcosα vBsinα＝vAcosα 【例4-1】（多选）（2025·福建厦门·三模）如图所示，一渔民（图中未画出）站在岸上，利用绳和定滑轮以恒定的速率v=0.6m/s拉质量m=50kg的小船靠岸，某时刻绳与水面夹角为θ=37°，该时刻渔民的拉力大小为F=250N，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s2，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，下列说法正确的是（　　） A．该时刻小船的速度大小为0.75m/s B．该时刻小船受到三个力的作用 C．该时刻小船的浮力大小为300N D．小船是加速靠近河岸 【答案】AD 【详解】A．设小船的速度为v0，把小船的速度分解成沿着绳的速度v和垂直于绳子的速度v1，如图 则，解得，故A正确； D．小船靠近河岸，绳与水面夹角θ逐渐变大，小船的速度v0增大，小船是加速靠近河岸，故D正确； BC．该时刻小船受到重力、浮力、拉力、阻力四个力的作用，小船在竖直方向上受力 解得 故BC错误。 故选AD。 【例4-2】如图所示，一根长为的杆，端用铰链固定在水平地面上，杆靠在一个高度为的立方体物体上，物体以速度水平向左匀速运动，杆与物体都在同一竖直面上运动。当杆与水平方向夹角为时，杆转动的角速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将物体的速度沿杆方向和垂直杆方向分解，其分速度大小分别为，其中，根据几何关系可得 根据角速度与线速度关系，有 联立以上解得杆转动的角速度 故选A。 【变式4-1】火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图所示是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆支撑在楼面平台上，端在水平地面上向右以匀速运动，被救助的人员紧抱在端随轻杆一起向平台端靠近，平台高为，当时，被救人员向点运动的速率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将N端的速度进行分解，设此时与水平方向的夹角为，如图所示 则人的速度大小等于沿杆的分量，即 根据几何关系可得 解得，故选A。 【变式4-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，可视为质点的光滑定滑轮P与竖直墙面上的点等高，为的中点，距离为。一根轻质不可伸长的细绳一端系在点，穿过质量为m的光滑圆环A再绕过定滑轮，另一端吊着质量也为m的重物。将圆环A由点静止释放，设与水平方向夹角为。已知重力加速度为g，整个过程中未与滑轮相撞，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法中正确的是（ 　） A．和的速度关系为 B．可以下降的最大高度为 C．和总动能最大时， D．和总动能最大时，B的动能为 【答案】D 【详解】A．B上升的速度等于左侧绳伸长的速度，A沿QA方向的速度分量为vAsinθ，沿PA方向的速度分量也为vAsinθ，故有，故A错误； B．由能量守恒 解得可以下降的最大高度为，故B错误； CD．AB总动能最大时，即总重力势能最小，此刻重力势能变化率为0，即 结合关联速度可知，即θ=30° 由能量守恒知， 解得B的动能为 故C错误，D正确。故选D。 【解题能力提升】 绳(杆)端的关联速度问题解题思路 巩固提升 1．（2025·辽宁丹东·二模）如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。关于小圆柱体R的运动轨迹可能正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【详解】小圆柱体R竖直方向做匀速运动，沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，合外力沿x轴正方向，根据曲线运动的轨迹向合力的方向弯曲但永远不会重合，故小圆柱体R的运动轨迹只可能是①。 故选A。 2．（2025·福建南平·模拟预测）2025年元宵节晚上，闽江延平段进行无人机表演，给节日氛围增添了几许惊艳。某参演的无人机在x、y方向的，图像如图（a）（b）所示。则在时间内，该无人机运动的轨迹可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】0-内，无人机具有沿轴正方向的速度，加速度沿x轴正方向，则合外力沿轴正方向，则轨迹向轴正方向偏，时间内，x轴方向加速度为0，图像的斜率表示加速度，即加速度沿y轴正方向，则合外力沿轴正方向，则轨迹向轴正方向偏，可知，只有第一个选择项满足要求。 故选A。 3．（2023·全国乙卷·高考真题）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】AB．小车做曲线运动，所受合外力指向曲线的凹侧，故AB错误； CD．小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合外力与运动方向夹角为锐角，C错误，D正确。 故选D。 4．（2025·河南漯河·模拟预测）漯河红枫广场无人机灯光表演给广大市民带来了科技的惊艳，同时也很好的烘托了节日的氛围并给漯河的文化、经济等做了极大的宣传。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为轴、轴的正方向，某架参演的无人机在方向的图像分别如图甲、乙所示，则在时间内，该无人机的运动轨迹为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，在时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水平方向向右做匀减速直线运动，可知在时间内无人机受到的合外力方向水平向左，根据合外力指向轨迹凹处，可知时间内无人机运动的轨迹向左弯曲；在时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在时间内无人机的合外力竖直向下，根据合外力指向轨迹凹处，可知在时间内无人机运动的轨迹向下弯曲。 故选A。 5．如图所示，拖车A在水平路面上以速度，向左匀速运动，拖车通过不可伸长的水平绳跨过定滑轮后去拖动船B，船B离开水面后，在绳子拉力作用下沿着倾角为的斜坡上的直线滑道向上滑行，当连接船B的绳子与水平方向夹角为时，船B的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将B的速度分解为沿绳子方向的速度和垂直绳子方向的速度，则 解得 故选C。 6．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示为神舟18号返回舱顺利返回地球的示意图，返回舱先与轨道舱分离再进行减速，调整姿态后从A点进入大气层，最后降落在地球上B点处，关于返回舱在A点受到的合外力F的示意图，下列可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】神舟18号返回舱在A点进入大气层，受到的空气阻力与速度方向相反，此时还受到地球对其指向地心的引力（重力），这两个力的合力方向应介于这两力的夹角之间，故ABC错误，D正确。 故选D。 7．（2011·上海·高考真题）如图，人沿平直的河岸以速度行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行，当绳与河岸的夹角为，船的速率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将人的运动速度v沿着绳子方向和垂直绳子方向正交分解，如图，由于绳子始终处于绷紧状态，因而小船的速度等于人沿着绳子方向的分速度 根据此图得 v船=vcosα 故选C。 8．如图所示，轻质不可伸长的细绳，绕过光滑定滑轮，与质量为的物体连接，放在倾角为的光滑固定斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体连接。现、间细绳恰沿水平方向，从当前位置开始，在外力作用下以速度匀速下滑。设绳子的张力为，在此后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．物体A做匀加速运动 B．物体A做匀速运动 C．可能小于 D．一定大于 【答案】D 【详解】由题意可知，将B的实际运动分解成两个分运动，如图所示 根据平行四边形定则，可知；因B以速度匀速下滑，又增大，所以增大，则物体A做变加速运动；对A进行受力分析，结合牛顿第二定律，则有。 故选D。 9．（2025·河南郑州·三模）图甲为某砖坯切割机，原理如图乙所示。工作时，砖坯随水平传送带一起沿直线运动，钢丝在长为R的力臂作用下绕O点转动切割，两者配合保证砖坯的切割面竖直。已知某切割瞬间，传送带的速度为v，钢丝转动的角速度为，力臂与竖直方向的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 力臂末端钢丝的线速度为ωR为合速度，将该速度分解为水平向右的分速度,该速度与砖坯运动的速度相同,均为v,和相对砖坯向下的分速度,由图可知。 故选A。 10．某教师在上课时，走到教室中间，用激光笔指向黑板上某位置处的板书，过程简化的俯视图如图所示。该教师站立处S与黑板间距为d，该教师移动激光笔，使光点P在黑板上以速度v匀速向右运动，SP连线与黑板面之间的夹角为，SP始终在同一水平面内，则该教师此时转动激光笔的角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】P的实际运动为沿墙壁水平向右的运动，其运动效果是一方面绕S点转动，另一方面沿光线方向缩短，因此应将水平向右的速度分解为沿光线和垂直于光线的分速度。垂直光线方向的速度为 根据几何知识可得 联立解得 故选C。 11．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示为我国空间站利用机械臂转运飞船的示意图，机械臂可近似视为由两根长度分别为和的轻杆AB和BC以及三个含内置电机的关节组成，机械臂控制飞船空间站对接的过程中，飞船的中心始终沿空间站的轴线并以恒定的速度靠近空间站。当两杆与轴线方向的夹角分别为和时，AB杆绕A处关节转动的角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由几何关系可得 代入数据可得 故选C。 12．如图甲，某同学需要通过小木筏渡过一条河，已知小木筏在静水中的速度大小为。受地形等因素影响，不同位置河水流速会有变化。出发点A下游某位置的水流速度与该位置到A点的沿河距离关系如图乙所示，已知小木筏前端始终垂直河岸，最终到达对岸偏离正对面的B处，则以下说法正确的是（　　） A．小木筏在河水中的轨迹是直线 B．河的宽度为 C．若水流速度恒为，小木筏过河时间将变短 D．若水流速度恒为，小木筏可调节前端指向使轨迹垂直河岸渡河 【答案】B 【详解】A．由题图乙可知，小木筏在沿水流方向上做变减速运动，垂直河岸方向上做匀速直线运动，合外力与合速度不共线，轨迹一定为曲线，故A错误； B．设在沿河方向运动极短距离耗时，根据瞬时速度定义，则有 渡河总时间 河宽 故B正确； C．过河时间取决于河宽和小木筏垂直河岸的分速度，由题可知小木筏前端始终垂直，则小木筏垂直河岸的分速度始终为，小木筏过河时间不受水流速度影响，故C错误； D．当水流速度恒为时，无论如何调节小木筏前端指向，水速和木筏速度都无法合成垂直河岸的速度，故此时无法使轨迹垂直河岸渡河，故D错误。 故选B。 13．如图所示，甲、乙两个小组分乘两只小船渡一条宽度为的河，各处水流速度均向右且等大恒定，船在静水中的速率均为，渡河时船头朝向与河岸夹角均为，其中甲船恰好抵达正对岸的A点，则（　　） A．甲船渡河时间比乙船短 B．乙船渡河时间为 C．两船都抵达对岸时，间距增大了 D．如果河水流速增大，甲船调整航向一定还能到达A点 【答案】C 【详解】A．渡河时船头朝向与河岸夹角均为，则船沿船头所指方向分运动的分位移相等，由于船在静水中的速率均为，根据分运动的等时性可知，甲船渡河时间等于乙船渡河时间，故A错误； B．结合上述可知 故B错误； C．甲船恰好抵达正对岸的A点，乙船沿河岸的分速度 对甲船进行分析有 两船都抵达对岸时，间距增大值为 解得 故C正确； D．如果河水流速增大，当水流速度大于或等于船在静水中的速率时，根据平行四边形定则可知，此时甲船的合速度方向不可能垂直于河岸，即此时即使调整甲船航向，甲船也一定不能到达A点，故D错误。 故选C。 14．（2025·安徽·模拟预测）如图所示。风洞中没风时，将一个小球以初速度竖直向上抛出，小球能上升的最大高度为h，加了水平风力后，将小球仍以初速度竖直向上抛出，小球落到与抛出点等高的位置时，该位置与抛出点间的水平距离为2 h，风对小球的作用力大小恒定，不计阻力，则风力与小球重力之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，竖直方向有 有风时竖直方向运动情况不变，落到与抛出点等高的位置所用时间 水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，有 联立解得，故选C。 15．（多选）（2025·广东·模拟预测）足球比赛中，运动员发任意球时，踢出的足球有时会在行进中绕过“人墙”转弯进入球门（如图甲），这就是所谓的“香蕉球”。踢出“香蕉球”是因为运动员踢出球时，足球向前运动的同时还在绕轴自转（如图乙所示）；自上向下观察（如图丙所示）由于足球的自转使贴着足球表面的一层薄空气被球带动做同一旋向的转动，导致足球、两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差，使得足球发生偏转。则（　　） A．甲图中足球受到空气压力向左 B．甲图中足球受到空气压力向右 C．空气流速大的一侧压力大 D．空气流速小的一侧压力大 【答案】BD 【详解】AB.甲图中足球受到空气的压力，而绕过“人墙”转弯进入球门，根据曲线运动的特点，可知足球受到的空气压力指向运动轨迹的凹侧，根据甲图中足球的运动轨迹可判断，足球受到的空气压力向右。A错误，B正确； CD.踢出“香蕉球”是因为足球两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差，压力较大的一侧会推动足球向压力较小的一侧偏转。从丙图可知，压力差指向空气流速快的一侧，即空气流速大的一侧压力小，空气流速小的一侧压力大。C错误，D正确。 故选BD。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$