精品解析：四川省/达州市万源市2024--2025学年下学期教师教学质量调查问卷-八年级数学

2025年春季教师教学质量调查问卷 八年级数学 （考试时长：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 在代数式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值，下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. 故宫博物院 B. 四川博物院 C. 金沙遗址博物馆 D. 达州博物馆 3. 2025年5月13日，万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，点在的内部，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，，．要使四边形为平行四边形，则可以添加的一个条件为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两地相距，张叔叔、王叔叔分别从甲地乘坐早上7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是，两车的平均速度分别是多少？设豪华客车的平均速度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 10. 如图，中，于平分于，与相交于点是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 小华是一个科学迷，他在查阅资料时了解到苯环是苯分子的结构，为平面正多边形，且该正多边形的每个外角都为，则该正多边形有_____条边． 12. 若，，则_____．（填“”或“”） 13. 如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部到墙角的距离为．若梯子底部沿水平方向向右滑动至点，梯子顶部落在竖直墙体的点处，此时梯子与水平地面的夹角，点到墙角的距离为，则的度数为_________． 14. 如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，为方便游客观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中空白部分），小路的宽均为．若，，小明沿着小路的中间从入口处走到出口处，则他所走的路线（图中虚线）的长为_____． 15. 若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）因式分解：； （2）解方程：． 17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 先化简，再求值：，其中，选取一个合适的整数代入计算． 19. 如图是正五边形，连接，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求的度数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）将平移后，点的对应点的坐标为，点，的对应点分别为点，，画出； （2）将绕原点顺时针旋转得到，画出； （3）已知点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为 ． 21. 如图，在中，是边上一点，连接． （1）用尺规完成以下基本作图：作，交于点，连接，交于点，连接，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． （1）若，的周长为19，则的长为 ； （2）若，求的度数； （3）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 23. 某园艺基地研制了两种不同配方的营养土用于多肉植物的栽培，两种营养土均为每包，其中甲型营养土中颗粒土含量为，乙型营养土中颗粒土含量为．每包乙型营养土中有机质含量是每包甲型营养土中有机质含量的1.5倍． （1）以下是两位工人在种植一株大型植物时的对话： 请根据对话中的信息，求甲、乙两种型号的营养土每包中有机质的含量； （2）某校开展了一次多肉养殖综合实践活动，园艺基地受邀为活动准备营养土，要求配置好的营养土中颗粒土含量不低于，如果用甲乙两种型号的营养土共10包配置这种营养土，同时保证有机质含量最大，应选用甲乙两种营养土各多少包？ 24. 【阅读材料】 常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法，但有的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子，会发现前两项可以用平方差公式因式分解，后两项可提取公因式，且前后两部分分别因式分解后两部分含有公因式，提取这个公因式就可以完成整个式子的因式分解，具体过程如下：，像这种将一个多项式适当分组后，再进行因式分解的方法叫做分组分解法． 【实践应用】 （1）因式分解：； （2）已知等腰三角形的三边长，，均为整数，且，则满足该条件的等腰三角形共有 个； （3）已知的三边长，，满足，试判断的形状，并说明理由． 25. 在平行四边形中，于，于，为上一动点，连接，交于，且． （1）如图1，若，求、的长； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，若，点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，请直接写出的最小值_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季教师教学质量调查问卷 八年级数学 （考试时长：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 在代数式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查分式的定义：形如的式子，其中A，B是整式，且B中含有字母，这样的式子是分式，根据定义解答即可． 【详解】解：在代数式，，，中，分式有，共2个， 故选：B 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值，下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. 故宫博物院 B. 四川博物院 C. 金沙遗址博物馆 D. 达州博物馆 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形； 故选：C． 3. 2025年5月13日，万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出不等式组，解题的关键是抓住关键词，正确理解最高和最低的含义． 万源市的最高气温为，最低气温为，即气温大于或等于，小于或等于，据此写出答案即可． 【详解】解：万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是：． 故选：D． 4. 如图，在中，，，点在的内部，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．根据，，判断是的角平分线，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴点O到、的距离相等， ∴是的角平分线， ∴． 故选：D． 5. 如图，在四边形中，，，．要使四边形为平行四边形，则可以添加的一个条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，选择条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 添加，则 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴四边形为平行四边形， 故选：B． 6. 如图，已知直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，先求出的值，根据图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， ∵， ∴， 由图象可知：； 故选A． 7. 甲、乙两地相距，张叔叔、王叔叔分别从甲地乘坐早上7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是，两车的平均速度分别是多少？设豪华客车的平均速度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，准确理解题意并根据题意正确列出分式方程是解题的关键．设豪华客车的平均速度是，则普通客车的平均速度是，张叔叔、王叔叔分别从甲地乘坐早上7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达，据此列出方程即可． 【详解】解：设豪华客车的平均速度是，则普通客车的平均速度是， 由题意可得：， 故选：A． 8. 通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，图1中，阴影部分的面积大长方形的面积长是宽是的长方形的面积长是宽是的长方形的面积边长是的正方形的面积，图2中，阴影部分的长为，宽为，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：图1中，阴影部分的面积大长方形的面积长是宽是的长方形的面积长是宽是的长方形的面积边长是的正方形的面积， ∴图1中阴影部分的面积， 图2中，阴影部分的长为，宽为， ∴图2中阴影部分的面积， ∴， 故选：D． 9. 如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的定义和性质，勾股定理， 先根据中位线的定义和性质可得，再根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，然后根据平行四边形的性质和直角三角形的性质求出，最后根据勾股定理求出，则答案可得. 【详解】解：如图所示，连接， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 可知最小时，最小， 根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴的最小值为． 故选：D． 10. 如图，中，于平分于，与相交于点是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①根据平分，得，再根据得，由此可对结论①进行判断； ②证明和全等，则，再证明得，由此可对结论②进行判断； ③利用三角形内角和定理可求出，由此可对结论③进行判断； ④过点作于点，则，，由此得，再根据得，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①平分，， ， ， 在中，， 故结论①正确； ②，， 是等腰直角三角形，， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ； 故结论②正确； ③是等腰直角三角形，是边的中点， ，， 在中，， ， ， 是等腰三角形， 故结论③正确； ④过点作于点，如图所示： 平分，， ， 在中，， ， 又，， ， ， ， ， ， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 小华是一个科学迷，他在查阅资料时了解到苯环是苯分子的结构，为平面正多边形，且该正多边形的每个外角都为，则该正多边形有_____条边． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角和性质，根据多边形的外角和为进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵该正多边形的每个外角都为， ∴， 即该正多边形是正六边形， ∴该正多边形有6条边， 故答案为：6． 12. 若，，则_____．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部到墙角的距离为．若梯子底部沿水平方向向右滑动至点，梯子顶部落在竖直墙体的点处，此时梯子与水平地面的夹角，点到墙角的距离为，则的度数为_________． 【答案】##26度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意证明，得到，根据直角三角形的性质得到，得到， 【详解】解：根据题意得，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，为方便游客观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中空白部分），小路的宽均为．若，，小明沿着小路的中间从入口处走到出口处，则他所走的路线（图中虚线）的长为_____． 【答案】54 【解析】 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键． 根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，求出即可． 【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于， 图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米， 所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故答案为：54． 15. 若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义和已知条件分别设，，再根据定义进行计算，由为整数，以及的最大值，得出符合条件的取值为或，进而解题． 【详解】解：∵数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3， 故数p的十位数是，数q的十位数是， 设数p，q的百位数分别m、n，则数p的千位数是，数q的千位数是，而且，， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴， ∴ ∵为整数， ∴为的约数，而要使的最大值则有 ∴或， 当时，即，， 此时，当，时，的最大值为， 当时，即，， 此时，当，时，的最大值为， 综上所述：当，时，的最大值为， 故答案为： 【点睛】本题考查新定义运算，数的整除、分式的化简，整式的加减运算等，有一定难度，解题的关键是通过为整数推出为的约数． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）因式分解：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解分式方程． （1）用平方差公式分解即可； （2）两边都乘，化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）移项，得， 即， 方程两边都乘，得． 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根， ∴． 17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 故原不等式组的解集为． 该解集在数轴上表示为 18. 先化简，再求值：，其中，选取一个合适的整数代入计算． 【答案】，时值为（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法，直至化为最简分式，然后根据分式有意义的条件确定的值，再代入求解即可． 【详解】解：原式 . ，， ，. 又，且为整数， 可选或. ，此时（答案不唯一）． 19. 如图是正五边形，连接，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，全等三角形判定与性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据正多边形的定义证明，即可得到； （2）先求出该五边形的每个内角的度数为，再由等边对等角以及三角形内角和求出，再由全等三角形的性质得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：五边形是正五边形， ，. 在和中， ，，， ， ， 是等腰三角形． 【小问2详解】 解：五边形是正五边形， 该五边形的每个内角的度数为， ， 是等腰三角形， ， ， ， . 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）将平移后，点的对应点的坐标为，点，的对应点分别为点，，画出； （2）将绕原点顺时针旋转得到，画出； （3）已知点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为 ． 【答案】（1）见详解 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，平移作图，旋转作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先确定平移方式，再根据平移的性质分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据旋转的性质分别找出点，再依次连接，即可作答． （3）先得出，结合点与点关于原点成中心对称，即可作答． 【小问1详解】 解：∵点的对应点的坐标为， ∴图形是向右平移6个单位长度，向下平移3个单位长度， 则如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：由（2）得出， ∵点与点关于原点成中心对称， 则点的坐标为， 故答案为：． 21. 如图，在中，是边上一点，连接． （1）用尺规完成以下基本作图：作，交于点，连接，交于点，连接，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作作一个角等于已知角即可； （2）先利用平行四边形的性质证明四边形、是平行四边形，即可得，，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明结论即可． 推导出从而得到结论． 【小问1详解】 解：尺规作图如图： 【小问2详解】 证明：在中，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， . ， ，即. ， 四边形是平行四边形， . ，， 四边形是平行四边形． 22. 如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． （1）若，的周长为19，则的长为 ； （2）若，求的度数； （3）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）10 （2）45° （3）点在边的垂直平分线上，见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【小问1详解】 解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 直线垂直平分边， ， ； 【小问3详解】 解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 23. 某园艺基地研制了两种不同配方的营养土用于多肉植物的栽培，两种营养土均为每包，其中甲型营养土中颗粒土含量为，乙型营养土中颗粒土含量为．每包乙型营养土中有机质含量是每包甲型营养土中有机质含量的1.5倍． （1）以下是两位工人在种植一株大型植物时的对话： 请根据对话中的信息，求甲、乙两种型号的营养土每包中有机质的含量； （2）某校开展了一次多肉养殖综合实践活动，园艺基地受邀为活动准备营养土，要求配置好的营养土中颗粒土含量不低于，如果用甲乙两种型号的营养土共10包配置这种营养土，同时保证有机质含量最大，应选用甲乙两种营养土各多少包？ 【答案】（1）每包甲型营养土含有机质，每包乙型营养土含有机质 （2）准备甲乙两种型号营养土各5包 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确列出分式方程、一次函数的解析式和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每包甲型营养土含有机质 ，则每包乙型营养土含有机质，根据每包乙型营养土中有机质含量是每包甲型营养土中有机质含量的1.5倍，列出方程求解即可； （2）设准备甲型营养土m 包，则准备乙型营养土包，根据配置好的营养土中颗粒土含量不低于，列出不等式，求出m取值范围；再设配成营养土中有机质总含量为，根据营养土中有机质总含量=甲种型号营养土中有机质总含量+乙种型号营养土中有机质总含量，列出函数关系式，然后根据函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每包甲型营养土含有机质 ，则每包乙型营养土含有机质，根据题意可得： ， 解得：， 经检验得，是原方程的解， ． 答：每包甲型营养土含有机质，每包乙型营养土含有机质分 【小问2详解】 解：设准备甲型营养土m 包，则准备乙型营养土包， 根据题意得， 解得：， 设配成营养土中有机质总含量为，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当 时， y 值最大，此时， 答：应准备甲乙两种型号营养土各5包． 24. 【阅读材料】 常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法，但有的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子，会发现前两项可以用平方差公式因式分解，后两项可提取公因式，且前后两部分分别因式分解后两部分含有公因式，提取这个公因式就可以完成整个式子的因式分解，具体过程如下：，像这种将一个多项式适当分组后，再进行因式分解的方法叫做分组分解法． 【实践应用】 （1）因式分解：； （2）已知等腰三角形的三边长，，均为整数，且，则满足该条件的等腰三角形共有 个； （3）已知的三边长，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3）是直角三角形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的定义，勾股逆定理，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分组分解，再提公因式进行因式分解，即可作答． （2）先整理，根据整数，，是等腰三角形的三边长，进行分类讨论，结合三角形三边关系进行分析，即可作答． （3）整理得，则，故（舍）或，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 整数，，是等腰三角形的三边长， ，，则，，不符合三角形三边关系，舍去； 或，，则，，不符合三角形三边关系，舍去； 或，，则，，不符合三角形三边关系，舍去； 或，，则，，符合条件； 或，，则，，符合条件； 或，，则，，，不符合三角形三边关系，舍去； 或，，则，不存在三角形，舍去； 综上，满足该条件的等腰三角形共有2个． 【小问3详解】 解：是直角三角形，理由如下： 理由：的三边长，，满足， ， ， ， ， （舍）或， 是直角三角形． 25. 在平行四边形中，于，于，为上一动点，连接，交于，且． （1）如图1，若，求、的长； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，若，点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，请直接写出的最小值_____． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形性质可得，利用30°直角三角形性质开得，根据勾股定理，设，则，根据勾股定理，解得即可； （2）方法1补短：如图3，延长到使，连接、，由平行四边形ABCD性质，可得AB∥CD，AB=CD，可证（SAS），可得，，由垂直平分，，可证，再证即可；方法2截长：如图4，过点作于点，连接，先证（SAS），再证（AAS），最后证（HL），可得即可， （3）在上截取，连接、，先证是等边三角形，可得，，可证（SAS），可证，设PH′交AE与Q，点H′在射线PQ上运动，当点H′运动到点Q是AH′最短由，先求，由勾股定理即可． 【详解】（1）由平行四边形性质可得， 在中，，，， ∴， 根据勾股定理， 在中，，，， 设，则， 根据勾股定理，即， 解得， ∴，； （2）方法1补短：如图3，延长到使，连接、， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵ ∴AE⊥AB， ∴， 在△ADE和△BMA中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 方法2截长：如图4，过点作于点，连接， ∵CF⊥AD， ∴， 在△CFH和△CFD中， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， 在△BNC和△AED中， ∴（AAS）， ∴，， ∵， ∴， ∵，于， ∴=∠BNG， 在Rt△ABG和Rt△NBG中 ∴（HL）， ∴， ∴． （3）在上截取，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在△CDH和△CPH′中， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设PH′交AE与Q，点H′在射线PQ上运动，当点H′运动到点Q是AH′最短 ∵ 由（1）得：，，， ∴， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短，掌握平行四边形性质，30度直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，等边三角形判定与性质，垂线段最短是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $