精品解析：江苏省南京市玄武区2024-2025学年七年级下学期期末数学卷

江苏省南京市玄武区2024-2025学年七年级下学期 期末数学卷 满分：100分 时间100分钟 一、选择（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四对数值，是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是真命题是 （ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 5. 如图是型卡片（边长为的正方形）、型卡片（长为，宽为的长方形）、型卡片（边长为的正方形）．现有3张卡片，10张卡片，7张卡片，从中选择卡片无缝隙、无重叠地拼接．下列说法错误的是（ ） A. 可拼成边长为的正方形 B. 可拼成长为、宽为的长方形 C. 可拼成边长为的正方形 D. 可拼成长为、宽为的长方形 6. 用9个大小相同等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值分别是（ ） A. 5，6 B. 5，8 C. 6，6 D. 6，8 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 中国科学院自主研发的一款机器人可将宽度小于的柔性微电极植入实验动物的大脑皮层，，用科学记数法表示是________． 8. 若一个正多边形的一个内角为，则该多边形的边数为_______． 9. 若，则的值为________． 10. 某学校组织学生乘汽车到距离学校50千米的植物园春游，早晨8：00从学校出发，汽车匀速行驶，计划不能迟于8：30到达植物园．设汽车的速度为千米/小时，则列一元一次不等式为_______． 11. 已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例：_________，说明该命题是假命题． 12. 如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，则的度数为______． 13. 若关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是_______． 14. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝________度． 15. 如图，在中，，是边上一点，延长至点，连接，，，则的度数为_______． 16. 已知两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．将第一组中的每一个数与第二组中的每一个数相乘，则所有乘积的和是________． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）解方程组； （2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 解不等式组，并写出这个不等式组的整数解． 20. 已知点是正六边形对称中心，仅用无刻度的直尺完成下列画图． （1）如图①，是正六边形边上一点，画出点关于点的对称点； （2）如图②，是正六边形内部一点，画出点关于点的对称点． 21. 证明：三个连续奇数的平方和加1能被12整除． 22. 如图所示的四边形． （1）写出之间的数量关系是_______； （2）若，平分，平分，利用（1）的结论证明：． 23. 证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 24. 某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费______元； （2）为节约用水，小明家计划3月份的水费不超过92元，3月份最多能用多少水？ （3）已知小红家2月份和3月份共缴纳水费176元，这两个月的用水量一共是，且2月份用水量少于3月份．求小红家2月份、3月份用水量分别是多少？ 25. 【探索发现】 （1）已知满足； ①求的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗？请根据智能机器人的提示，先求的值，再求的值． 【解决问题】 （2）若满足，为常数且，则取值范围是_______． 26. 图形的变换 （1）如图①，线段经过一次轴对称得到线段的对应点分别是．求作：点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）已知先经过1次轴对称，再经过1次平移得到． （I）如图②，还可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论： ①2次旋转； ②2次轴对称； ③1次平移和1次旋转； ④1次轴对称和1次旋转． 其中正确结论的序号是_______． （II）如图③，求作：经过点的对称轴．（要求：尺规作图，保留作用痕迹，写出必要的文字说明） （III）如图④，已知，若，且平移的距离为4，则点到对称轴的距离的取值范围为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省南京市玄武区2024-2025学年七年级下学期 期末数学卷 满分：100分 时间100分钟 一、选择（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘除、幂的乘方及积的乘方．根据以上运算逐一验证各选项是否符合运算法则． 【详解】选项A：，故错误． 选项B：，故错误． 选项C：，故错误． 选项D：，故正确． 故选：D． 2. 下列四对数值，是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 将各选项的x和y值代入方程，验证等式是否成立． 【详解】A． 当时，左边，不满足方程； B． 当时，左边，不满足方程； C． 当时，左边，满足方程； D． 当时，左边，不满足方程． 故选：C． 3. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式， 根据平方差公式的结构特征，判断各选项是否符合“一项相同，另一项互为相反数”的形式． 【详解】选项A： 将第二个括号提取负号，得： 属于完全平方公式，不能用平方差公式计算． 选项B：，属于完全平方公式，不能用平方差公式计算． 选项C： 将第二个括号提取负号并调整顺序，得： 其中符合平方差公式，结果为，再乘以负号得，故能用平方差公式计算． 选项D： 将第一个括号改写，得： 属于完全平方公式，不能用平方差公式计算． 故选：C． 4. 下列命题中，是真命题的是 （ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，命题的真假，根据不等式的性质逐一分析各选项是否成立． 【详解】A．若，则不成立．反例：，时，但； B．若，则不成立．反例：，时，但． C．若，，则成立．根据不等式加法性质，同向不等式相加方向不变． D．若，，则不成立．反例：，，，时，，不满足． 故选：C． 5. 如图是型卡片（边长为的正方形）、型卡片（长为，宽为的长方形）、型卡片（边长为的正方形）．现有3张卡片，10张卡片，7张卡片，从中选择卡片无缝隙、无重叠地拼接．下列说法错误的是（ ） A. 可拼成边长为的正方形 B. 可拼成长为、宽为的长方形 C. 可拼成边长为的正方形 D. 可拼成长为、宽为的长方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，完全平方公式与几何图形的面积，分别求出各选项中的面积，进行判断即可． 【详解】解：A、，需要1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片，正确，不符合题意； B、，需要2张A卡片，7张B卡片，6张C卡片，正确，不符合题意； C、，需要1张A卡片，4张B卡片，4张C卡片，正确，不符合题意； D、，需要3张A卡片，11张B卡片，6张C卡片，但只有10张卡片，故错误，符合题意． 故选：D． 6. 用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值分别是（ ） A. 5，6 B. 5，8 C. 6，6 D. 6，8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称变换和旋转变换，根据轴对称变换和旋转变换的性质求解即可． 【详解】如图所示，标1的三角形可以通过一次轴对称变换得到，图中标2的三角形可以通过旋转变换得到， ∴，． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 中国科学院自主研发的一款机器人可将宽度小于的柔性微电极植入实验动物的大脑皮层，，用科学记数法表示是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．先将单位换算成，再根据科学记数法表示出来即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8. 若一个正多边形的一个内角为，则该多边形的边数为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和为是解题的关键．由正多边形的一个内角为，可得该正多边形的一个外角为，再根据多边形的外角和为，即可求出该多边形的边数． 【详解】解：正多边形的一个内角为， 正多边形的一个外角为， 多边形的外角和为， 该多边形的边数为． 故答案为：8． 9. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆用，幂乘方的逆用，利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10. 某学校组织学生乘汽车到距离学校50千米的植物园春游，早晨8：00从学校出发，汽车匀速行驶，计划不能迟于8：30到达植物园．设汽车的速度为千米/小时，则列一元一次不等式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式的能力，分析题意，找到关键描述语，得到合适的不等关系是解决问题的关键．抓住关键语句“不能迟于8：30到达”转换出行驶时间范围，已知速度，路程，可根据“时间＝路程速度”表示出时间再列出不等式，注意最后要转化成一元一次不等式． 【详解】解：根据题意时间不超过， 即， 为正数， 转化成一元一次不等式为： 故答案为：． 11. 已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例：_________，说明该命题是假命题． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解实数的性质，难度不大．写出一个正数a的值，不满足即可． 【详解】解：当时，，所以命题“任何正数的平方都大于这个数本身．”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，则的度数为______． 【答案】##24度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识进行倒角，属于中考常考题型．根据三角形内角和定理得，再根据折叠的性质得，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 沿折叠得到， ， 是的一个外角， ． 故答案为：． 13. 若关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．先求出不等式组的解集，再根据不等式组有3个整数解，可以写出这三个整数解，然后即可得到的取值范围． 【详解】解：解不等式组得： 关于的不等式组有3个整数解，为2，3，4 ． 故答案为：． 14. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝________度． 【答案】540 【解析】 【分析】连接DG、AC，在四边形EFGD中，根据四边形内角和为360°，三角形内角和为180°，可得∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠B＝180°，进而即可求解． 【详解】解：连接DG、AC． 在四边形EFGD中，得∠E＋∠F＋∠EDG＋∠DGF＝360°， 又∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠B＝180°， ∴∠GAB＋∠B＋∠BCD＋∠EDC＋∠E＋∠F＋∠AGF＝540°． 故答案为540． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理与三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图，在中，，是边上一点，延长至点，连接，，，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形外角定理，熟练运用三角形外角定理：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．”进行倒角是解题的关键．题目中有两组相等的角，根据三角形外角定理找到这两组角之间的关系，再结合即可求出的度数． 【详解】解；， ， 即 故答案为：． 16. 已知两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．将第一组中的每一个数与第二组中的每一个数相乘，则所有乘积的和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握混合运算的顺序和法则是解题的关键，注意结果的符号．根据题意列出算式，再逆运用乘法分配律进行计算，那么所有这样的乘积总和即为两组数分别求和再相乘． 【详解】解：由题意得所有乘积的和是： 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了零次幂、负整数指数幂，乘方，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂，负整数指数幂，乘方，再运算除法，最后运算加法，即可作答． （2）先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）解方程组； （2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握运算方法是解此题的关键，在数轴上表示解集时应注意有等号取实心，无等号取空心． （1）先整理未知数或的系数，利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求出不等式的解集． 【小问1详解】 解： 由得： 由得： 解得：， 把代入得： 解得： 此方程组的解为： 【小问2详解】 解： 去分母得： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得： 未知数系数化为1得：； 在数轴上表示不等式组的解集为： 19. 解不等式组，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】；，0，1，2． 【解析】 【分析】此题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．首先解两个一元一次不等式，然后求两个不等式解集的公共部分，最后写出不等式组的整数解． 【详解】解：， 解①式得：， 解②式得：， 则不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解：，0，1，2． 20. 已知点是正六边形的对称中心，仅用无刻度的直尺完成下列画图． （1）如图①，是正六边形边上一点，画出点关于点的对称点； （2）如图②，是正六边形内部一点，画出点关于点的对称点． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 【解析】 【分析】本题考查中心对称的性质，准确识别出正六边形的对称性是解题的关键，在作图过程做要善于利用正六边形对称中心点． （1）连接并延长，交正六边形的边于点，点即为所求； （2）取正六边形顶点，找到点关于点对称的顶点，连接并延长交正六边形的边于点，连接并延长交正六边形的边于点，连接，连接并延长交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求． 【小问2详解】 如图，点即为所求． 21. 证明：三个连续奇数的平方和加1能被12整除． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式的运算，先设三个连续奇数分别是，再列式，得证能被12整除，即可作答． 【详解】证明：依题意，设三个连续奇数分别是， ∴ ， 即能被12整除， ∴三个连续奇数的平方和加1能被12整除， 22. 如图所示的四边形． （1）写出之间的数量关系是_______； （2）若，平分，平分，利用（1）的结论证明：． 【答案】（1），理由见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的判定混合角平分线的性质， （1）连接，根据三角形外角性质得和，结合和，即可得； （2）由角平分线得和，结合（1）知，进一步得，则有，即可判定平行． 【小问1详解】 解：连接，如图， 则，， ∵ ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵平分，平分， ∴，， 由（1）知，则， 那么，， ∵， ∴， ∵， ∴， 则． 23. 证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 【答案】三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【解析】 【分析】本题运用反证法证明三角形中至少有一个内角小于或等于，需先假设结论不成立，再根据假设推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而证明原结论成立． 详解】证明：假设①三角形中所有角都大于， 所以，②． 这与“③三角形的内角和为”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于 故答案为：三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 24. 某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费______元； （2）为节约用水，小明家计划3月份的水费不超过92元，3月份最多能用多少水？ （3）已知小红家2月份和3月份共缴纳水费176元，这两个月的用水量一共是，且2月份用水量少于3月份．求小红家2月份、3月份用水量分别是多少？ 【答案】（1）65 （2）小明家3月份最多能用水 （3）小红家2月份的用水量是，3月份用水量是 【解析】 【点睛】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的应用；能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程、代数式或不等式是解题的关键． （1）根据用水量，代入不同的单价，计算出应缴纳的水费； （2）根据应缴纳的水费范围列出不等式，求解用水量的范围，即可找出用水量的最大值； （3）分类进行讨论计算． 【小问1详解】 解：根据题意得：（元）， 应缴纳水费65元． 故答案为：65． 【小问2详解】 设小明家3月份能用水， （元），， ． 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：小明家3月份最多能用水; 【小问3详解】 设小红家2月份的用水量为，则小红家3月份的用水量为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：， （）． 答：小红家2月份的用水量是，3月份用水量是． 25. 探索发现】 （1）已知满足； ①求的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗？请根据智能机器人的提示，先求的值，再求的值． 【解决问题】 （2）若满足，为常数且，则的取值范围是_______． 【答案】（1）①见详解，②；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查加减消元法解一元二次方程组，整体代入法求代数式的值，以及不等式的性质，解题的关键是熟悉整体代入的应用． （1）①小明的解法首先利用加减消元法求得x和y，再代入求得 代数式的值；小红采取整体代入法求解即可； ②根据题意化简得，列出方程组求得n和m，再代入代数式计算即可； （2）设，列出方程组求解得到n和m，将，结合不等式性质求得，即可知的取值范围． 【详解】解：（1）①小明，解得， 则； 小红得， 则得； ②设， 则，解得， 那么，； （2）， 则，解得， 那么，， ∵， ∴， 则的取值范围是． 26. 图形的变换 （1）如图①，线段经过一次轴对称得到线段的对应点分别是．求作：点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）已知先经过1次轴对称，再经过1次平移得到． （I）如图②，还可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论： ①2次旋转； ②2次轴对称； ③1次平移和1次旋转； ④1次轴对称和1次旋转． 其中正确结论的序号是_______． （II）如图③，求作：经过点的对称轴．（要求：尺规作图，保留作用痕迹，写出必要的文字说明） （III）如图④，已知，若，且平移的距离为4，则点到对称轴的距离的取值范围为_________． 【答案】（1）见详解 （2）（I）④（II）见详解（III） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，平移作图，轴对称图形，平移性质，轴对称性质，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先连接，利用二者连线的垂直平分线作出对称轴，再作关于该对称轴的对称点； （2）（I）分析先轴对称再平移与其他变换的等效性，依据轴对称性、平移的特征判断； （II）对称轴是对应点连线的垂直平分线，通过做对应点连线的垂直平分线，结合点确定对称轴； （III）利用轴对称和平移性质，结合三角形三边关系列不等式求解； 【小问1详解】 解：如图，连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过两个交点作直线，以点B为圆心画弧交于直线于点M、N，再分别以点M、N为圆心,以大于长为半径画弧，作出线段的垂直平分线，交于点P，以P为圆心，以为半径U画弧交于点，该点即为B点的对称点； 【小问2详解】 解：（I）①2次旋转得不到； ②2次轴对称相当于一次平移，缺少一次对称； ③旋转无法代替轴对称； ④可以得到，④为正确结论 故答案为：④； （II）连接，以点为圆心，以为半径画弧，与以点为圆心，以为半径画弧交于一点，即为点，连接，以点为圆心，以适当长为半径画弧，与交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，上下分别交于点，连接，即为所求对称轴l． （III）设A对称点为， 则，平移距离为4， 又， 当三点共线，且在的延长线时，则，此时（最大）； 当三点共线，且在线段上时，则，此时（最小）； 如果不共线，则由三边关系得， ∴且 解得 综上： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$