专题01 与直线有关的对称、最值问题（7重难点题型）（题型专练）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019选修一）

专题01 与直线有关的对称、最值问题 题型梳理 题型方法 题型一 点与点对称 题型二 点关于线对称 题型三 线关于点对称 题型四 线关于线对称 题型五 两点间距离的最值问题 题型六 与距离之和（差）有关的最值问题 题型七 与面积有关的最值问题 题型方法 【题型一】点与点对称 【例1】（24-25高二上·北京·期中）点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由中点的坐标公式求解即可. 【详解】点与点的对称中心是的中点， 所以对称中心的坐标为， 故选：C 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏宿迁）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称点的性质确定参数，即得答案. 【详解】由与关于坐标原点对称，则， 所以. 故选：B 【变式2】（22-23高二·全国）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【答案】C 【分析】根据中点公式，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】因为两点与关于点对称， 可得，即，解得， 所以. 故选：C. 【变式3】（2020高三·全国·专题练习）点关于点的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则由中点坐标公式可得，，解出，从而可得点的坐标 【详解】设，则，，∴，， ∴点， 故选：D. 【题型二】点关于线对称 【例2】（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点. 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，再利用反射光线过点，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，化简得，解得， 故反射光线过点， 则反射光线所在直线的方程为. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·江苏苏州·期中）点关于直线的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据对称点的求法求得正确答案. 【详解】设对称点的坐标为， 则， 解得，所以对称点的坐标为. 故答案为： 【变式3】（21-22高二·江苏）已知点，直线，求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】 【分析】设点，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】设点，直线的斜率为，线段的中点为， 由题意可得，解得，即点. 【题型三】线关于点对称 【例3】（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 【举一反三】【变式1】（21-22高二上·四川绵阳·阶段练习）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得和平行，设出方程，根据点P到两直线距离相等即可求出. 【详解】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（）， 点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去）， 所以直线的方程是. 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【分析】在直线上取点、，求出这两点关于点的对称点的坐标，并求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【详解】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在对称直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 【题型四】线关于线对称 【例4】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 【举一反三】【变式1】（23-24高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，找出一个对称点和直线与直线的交点，即可求出对称直线的方程. 【详解】由题意， 在直线中，作出图象如下图所示， 由图可知，点关于直线对称的点为, 直线与直线的交点为, ∴关于直线对称的直线方程为：，即， ∴关于直线对称的直线方程是：. 故选：B. 【变式2】（21-22高一下·陕西西安·期末）直线关于直线的对称直线方程为 ． 【答案】 【分析】先求得两直线的交点坐标，然后在任取一点，求得其关于直线的对称点，即可求得答案. 【详解】联立和直线， 求得它们的交点为, 在直线取点，设其关于的对称点为， 则 ，解得， 故直线关于直线的对称的直线为AC, 其斜率为 ，直线方程为，即， 故答案为： 【变式3】（20-21高二·全国）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 【题型五】两点间距离的最值问题 【例5】（24-25高二上·广东·期末）已知成等差数列，过点作直线的垂线，垂足为，则点到点的距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据成等差数列得出直线过定点，再求出点的轨迹方程，根据平面几何知识得出最值. 【详解】因为成等差数列，所以，所以直线恒过定点， 点的轨迹是以为直径的圆，的中点坐标为，， 所以点的轨迹方程为， 所以点到点的最大值为. 故选：D 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】首先求出直线过定点，则到直线的最远距离为，此时直线垂直于，求出，即可得解. 【详解】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点，不妨设为， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于． 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故选：B 【变式2】（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】可知圆的圆心为原点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值. 【详解】设点的坐标为，由圆的圆心坐标为，有， 由圆的几何性质可得， 又由， 所以当时，取得最小值． 故选：C. 【变式3】（23-24高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 【题型六】与距离之和（差）有关的最值问题 【例6】（23-24高二上·浙江湖州·阶段练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由两点间距离公式，结合圆的方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为表示圆心为，半径为的圆， 则表示圆上的点到点的距离的平方， 所以的最大值为. 故选：D 【举一反三】【变式1】（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）已知点在圆上，A（，0），，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设且，解出点的坐标，问题转化为，只需当、、三点共线时取得最小值即可求解. 【详解】设，，，则， 整理后， 与已知轨迹方程展开整理得：， 对照，得，解得，所以. 则当、、三点共线时取得最小值 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知为圆上任意一点，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，得到，将转换成，即动点到两定点的距离和，即可求解. 【详解】设，则， 则 而表示到，两点距离和， 所以． 所以 所以的最小值为． 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知直线，点，点，点在直线上移动， (1)求的最小值： (2)求的最大值，以及最大值时点的坐标 【答案】(1) (2)最大值为6， 【分析】（1）先把原式转化为两点间距离，再把两点间距离最小值转化为点到直线距离； （2）先求的对称点为，再写出直线与直线联立求点，把最值转化为两点间距离求解. 【详解】（1）因为， 令则原式为， 点到直线距离是的最小值， 即 所以原式最小值为. （2）设关于直线的对称点为 则解得 所以的最大值为， 并且取最小值时，即得，联立，此时 所以最大值为6，此时. 【题型七】与面积有关的最值问题 【例7】（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知点，在直线：上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（    ） A． B．5 C．2 D．1 【答案】B 【分析】找到动点到直线距离的最大值，再求面积即可. 【详解】设圆心到直线的距离为，到直线的距离为，易得， 易知当最大时，，此时面积也最大，. 故选：B 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知，直线：与轴的交点为，：与轴的交点为，与的交点为，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B．16 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求得的坐标，从而根据可求得四边形的面积，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为直线：，：都过点， 所以点的坐标是. 在中，令，得，所以， 在中，令，得，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以当时，四边形的面积取最小值为. 故选：A. 【变式2】（20-21高二·全国）已知，直线和与坐标轴围成一个四边形，则当 时，四边形的面积有最小值，该四边形的面积的最小值为 . 【答案】 /0.5 /3.75 【分析】由已知条件可得直线和都过定点，与y轴交于点，与轴交于点，从而可表示出四边形的面积，配方后可得答案 【详解】直线，则过定点． 直线，由和得也过定点． 因为与y轴交于点，与轴交于点， 所以， 所以当时，S取最小值. 故答案为：，    【变式3】（24-25高二上·湖北·期中）已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程． (2)若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分类讨论直线是否经过原点，代入求出参数，由此可求结果； （2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值. 【详解】（1）当经过时，设，代入，所以，即， 当不经过时，设，代入，解得，即， 所以直线的方程为或. （2）由题意设， 令，则，所以，令，则，所以， 所以，， 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即(舍)时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形面积的最小值为.    好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知点，点在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的最小即点到直线的距离，代入公式即可. 【详解】由题意，的最小值是点到直线的距离， 即. 故选：A. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：B 3．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知，，动点在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．10 【答案】B 【分析】首先求出点关于直线的对称点，将目标式子转换为，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示，易知点关于直线的对称点， 由对称性即三角形三边关系可得： . 故选：B. 4．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点点距离，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】表示点到点的距离， 故的最小值为点到直线的距离 故选：C 5．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线关于点的对称直线平行，设出所求直线，利用点到直线距离求解. 【详解】因为不在直线l：上， 所以可设直线l：关于点对称的直线方程为， 则，解得或（舍去）， 故所求直线方程为：. 故选：A 二、填空题 6．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）直线关于x轴对称的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得直线与坐标轴的交点为和，得出关于的对称点为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线，令，可得，即直线与轴的交点为， 再令，可得，即直线过点， 则点关于的对称点为， 又由，所以直线关于轴的对称直线为，即. 故答案为：. 7．（24-25高三下·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】当与直线垂直时，点与动点P之间距离|AP|有最小值，通过计算点A到直线的距离即可求解. 【详解】已知直线方程为，点， 根据点到直线的距离公式，代入得到： 因此，点到直线的最短距离即|AP|的最小值为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 9．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为 ；直线关于直线对称的直线方程为 ． 【答案】 【分析】设对称点坐标，根据对称性建立方程计算可得第一空，取上一点得出对称点结合对称性及点斜式计算即可. 【详解】设点关于的对称点为，则的中点，且， 所以，解方程得，即； 取上一点，易知关于对称的点为， 设直线关于直线对称的直线斜率为，则， 所以该直线过点，其方程为，整理得. 故答案为： 10．（21-22高二·全国）过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，则四边形PRSQ面积的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设出直线 l的方程，即可分别求出点、的坐标，进而求出直线PR和QS的方程，接着可求出点和点到直线的距离以及直线和直线的距离，最后利用梯形的面积公式即可得到四边形PRSQ面积的表达式，利用基本不等式即可求最值. 【详解】由已知得直线 l的方程为，则，， 由此可得直线PR和QS的方程分别为和， 点到直线的距离为，同理， 直线和直线的距离为， 故 , 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 三、解答题 11．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程. (1)过点且与直线平行； (2)过点且到原点的距离等于2； (3)直线关于直线对称的直线. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）联立方程解交点坐标，由平行关系设直线方程，代入点坐标待定系数可得； （2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设出点斜式直线方程，结合点到直线的距离公式求解即可； （3）根据对称性质，在其中一条直线上取不同于两直线交点的任一点，利用垂直关系与中点坐标公式建立方程组求解其对称点坐标，再结合交点由两点式方程可得. 【详解】（1）联立方程，解得，． 设与直线平行的直线为， 由题意得：，， 故满足要求的直线方程为：． （2）①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2； ②当所求直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 原点到该直线的距离为， 解得， 直线方程为，                       综上所述，符合题意的直线方程为或． （3）在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则 ，解得，，      又，则直线的方程即所求直线方程，为， 化简得，. 故所求的直线方程为：． 12．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）设对称点为，由与直线垂直，中点在直线上列方程组求解； （2）求出与的交点坐标，再求出直线上一点关于直线的对称点的坐标，由这两点可得直线方程； （3）设直线关于点对称的直线方程为，由点到这两条平行线间距离相等求解． 【详解】（1）设点P的对称点为， 则，解得， 所以对称点坐标为； （2）由，解得，即直线与的交点为， 点是直线上的一点，设它关于直线的对称点为， 则，解得，即， ，所以直线的方程为，即； （3）设直线关于点对称的直线方程为， 由，解得（舍去）或， 所以对称直线方程为． 13．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线 (1)证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； (2)求点到直线l距离的最大值； (3)若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）化简直线，得到的必过点，得证； （2）根据直线过点可得点到直线距离的最大值为即可； （3）设，由（1）得，列出三角形面积公式，利用基本不等式即可求得三角形面积最小值. 【详解】（1）对于，化简得， 令，得到， 对于点，直线与直线都是必过点， 所以，无论为何值，直线与直线总相交. （2）由（1）可得直线过点， 故点到直线l距离的最大值为， 当直线取到. （3）设，由（1）得， ，整理得， 因为，则，得，（当且仅当时，即时，等号成立）， ，面积的最小值为. 14．（24-25高二上·上海·期末）设直线：，：，点的坐标为过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，的纵坐标均为正数． (1)点是，中点，求斜率； (2)求为坐标原点面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线的点斜式方程求出直线的方程，解得两交点坐标，再由中点坐标公式可求出； （2）写出的面积表达式，再利用换元法和基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）由题意可得直线的方程为，如下图所示： 联立，解得； 联立，解得； 又点是，中点，可得，且； 解得； （2）因为的纵坐标均为正数， 所以，解得； 易知的面积为， 令，则； 因此； 当且仅当时，即时，等号成立，此时； 所以的最小值为，即的面积的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 与直线有关的对称、最值问题 题型梳理 题型方法 题型一 点与点对称 题型二 点关于线对称 题型三 线关于点对称 题型四 线关于线对称 题型五 两点间距离的最值问题 题型六 与距离之和（差）有关的最值问题 题型七 与面积有关的最值问题 题型方法 【题型一】点与点对称 【例1】（24-25高二上·北京·期中）点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·江苏宿迁）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【变式2】（22-23高二·全国）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【变式3】（2020高三·全国·专题练习）点关于点的对称点为（    ） A． B． C． D． 【题型二】点关于线对称 【例2】（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏苏州·期中）点关于直线的对称点的坐标为 ． 【变式3】（21-22高二·江苏）已知点，直线，求点关于直线的对称点的坐标． 【题型三】线关于点对称 【例3】（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【举一反三】【变式1】（21-22高二上·四川绵阳·阶段练习）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 【变式3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 【题型四】线关于线对称 【例4】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一下·陕西西安·期末）直线关于直线的对称直线方程为 ． 【变式3】（20-21高二·全国）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【题型五】两点间距离的最值问题 【例5】（24-25高二上·广东·期末）已知成等差数列，过点作直线的垂线，垂足为，则点到点的距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【变式2】（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3】（23-24高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 【题型六】与距离之和（差）有关的最值问题 【例6】（23-24高二上·浙江湖州·阶段练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）已知点在圆上，A（，0），，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知为圆上任意一点，，则的最小值为 . 【变式3】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知直线，点，点，点在直线上移动， (1)求的最小值： (2)求的最大值，以及最大值时点的坐标 【题型七】与面积有关的最值问题 【例7】（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知点，在直线：上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（    ） A． B．5 C．2 D．1 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知，直线：与轴的交点为，：与轴的交点为，与的交点为，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B．16 C． D． 【变式2】（20-21高二·全国）已知，直线和与坐标轴围成一个四边形，则当 时，四边形的面积有最小值，该四边形的面积的最小值为 . 【变式3】（24-25高二上·湖北·期中）已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程． (2)若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知点，点在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知，，动点在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．10 4．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）直线关于x轴对称的直线方程为 . 7．（24-25高三下·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为 ． 8．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 9．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为 ；直线关于直线对称的直线方程为 ． 10．（21-22高二·全国）过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，则四边形PRSQ面积的最小值为 ． 三、解答题 11．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程. (1)过点且与直线平行； (2)过点且到原点的距离等于2； (3)直线关于直线对称的直线. 12．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 13．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线 (1)证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； (2)求点到直线l距离的最大值； (3)若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 14．（24-25高二上·上海·期末）设直线：，：，点的坐标为过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，的纵坐标均为正数． (1)点是，中点，求斜率； (2)求为坐标原点面积的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$