精品解析：广西玉林市容县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 -

2025年春季期八年级期末教学质量检测 数学 （考试时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 6 2. 玉林市某5天的最低气温（单位：）分别为22，20，19，20，23，这5天最低气温的众数是（ ） A. 19 B. 20 C. 22 D. 23 3. 正比例函数的图象必经过点（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. 2 D. 5. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 若三角形的三边长分别为1，，2，则这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 杨伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其四边形院子各边的中点上，若在四边形内种上小草，则这块草地的形状是(　　) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 8. 将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 为积极适应智能时代发展趋势，响应国家“人工智能”行动战略部署，某校开展了以“人工智能在教育场景中的融合应用”为主题的比赛，比赛结果出来后，张老师说：“有一半选手的得分是90分以上．”张老师描述的角度是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 10. 如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若，，则小正方形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 某周末，亮亮全家上午时自驾小汽车从家里出发，到某网红地游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象提供的有关信息，判断下列说法错误的是（ ） A. 景点离亮亮的家 B. ，小汽车匀速行驶 C. 小汽车返程的速度为 D. 亮亮到家的时间为 12. 如图，中，，，分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，若，则边的长度等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 一组数据1，3，5，2，4的平均数是________． 14. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 15. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为________． 16. 2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为________米． 三、解答题（本大题共7题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）已知：，，求的值． 18. 如图，已知四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC， （1）求证：； （2）求四边形ABCD的面积． 19. 如图，为的对角线． （1）作对角线的垂直平分线，分别交，，于点，，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，．求证：四边形为菱形． 20. 某公司研发了A，B两款智能早教机器人．有关人员对A，B两款智能早教机器人的使用满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款智能早教机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款智能早教机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款智能早教机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “满意”所占百分比 A 88 88.5 96 B 88 a 98 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述统计表中________，________； （2）上述扇形统计图中，“不满意”所在扇形的圆心角的度数是________； （3）在此次测验中，若有280人对A款智能早教机器人进行评分、320人对B款智能早教机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对A、B两款智能早教机器人“不满意”的共有多少人？ 21. 玉林有一种传承了八百余年的传统美食——玉林牛巴，它以其独特的制作工艺和绝妙的口感，赢得了“玉林一绝”的美誉，更是玉林文化的一张亮丽名片．为满足消费者需求，某超市购进甲、乙两种品牌小袋包装的玉林牛巴并全部销售．两种品牌的玉林牛巴的进价和售价如表： 类别 价格 甲品牌玉林牛巴 乙品牌玉林牛巴 进价（元/袋） 售价（元/袋） （1）若该超市购进甲、乙两种品牌玉林牛巴共袋，共需资金元，求甲、乙两种品牌玉林牛巴各购进多少袋？ （2）若该超市计划购进甲、乙两种品牌玉林牛巴共袋，且甲品牌玉林牛巴进货数量不超过乙品牌玉林牛巴进货数量的一半，该超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 22. 综合与实践 【问题情境】水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务．小辉同学阅读了教材中的《第十九章一次函数》的数学活动2，决定探究水龙头关闭不严造成漏水的问题，为了调查漏水量与漏水时间的关系，进行了以下的试验与研究． 【实践发现】如图1，在一个滴水的水龙头下放置一个能显示盛水量的容器，设该容器的盛水量为，滴水时间为．该容器未放置到水龙头前已盛有水，每记录一次容器中的盛水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题探究】 （1）请根据表中信息在图2的坐标系中描点、连线，画出w关于t的函数图象，根据图象发现w与t符合学习过的________函数关系（选填“正比例”或“一次”）； （2）根据以上判断，求w关于t的函数解析式； 【问题解决】 （3）假设有10个与【实践发现】中情况相同的水龙头，一个成年人一天大约饮用水，请你估算这10个水龙头一天（24小时）的漏水量可供一个成年人饮用多少天？ 23. 数学活动课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接、、．若点P的位置恰好使得． 【探究提炼】 （1）________； （2）求的长； 【类比迁移】 （3）如图2，某学校有一块边长为的菱形空地，其中．现打算在空地中修建步道，，，，使得点M在上，点N在上，且．请问步道，，所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季期八年级期末教学质量检测 数学 （考试时间120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：B． 2. 玉林市某5天的最低气温（单位：）分别为22，20，19，20，23，这5天最低气温的众数是（ ） A. 19 B. 20 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数的概念，即一组数据中出现次数最多的数。根据众数的定义求解即可. 【详解】解：将数据按顺序排列：19，20，20，22，23.统计各数值出现的次数：19出现1次，20出现2次，22出现1次，23出现1次， 其中20出现的次数最多，因此这组数据的众数为20， 故选：B. 3. 正比例函数的图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象． 分别代入计算即可． 【详解】解：选项A：当时，，故不经过该点； 选项B：当时，，故不经过该点； 选项C：当时，，与点的纵坐标相等，故经过该点； 选项D：当时，，故不经过该点； 故选：C 4. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了平面直角坐标系中点到原点的距离公式． 根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式，利用勾股定理直接计算即可． 【分析】解：点到原点的距离为：， 故选：D． 5. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】检查最简二次根式的条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、，不是最简二次根式； 故选B． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念，本题属于基础题型． 6. 若三角形的三边长分别为1，，2，则这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三边长度均不相等，故非等腰或等边三角形，根据勾股定理判断三角形是否为直角三角形即可． 【详解】解：三边长度均不相等，故非等腰或等边三角形； ∵， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：C． 7. 杨伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其四边形院子各边的中点上，若在四边形内种上小草，则这块草地的形状是(　　) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 【答案】A 【解析】 【分析】连接BD、AC，根据中位线定理可得四边形是平行四边形，即可得到结果． 【详解】解：如图所示，连接AC、BD， ∵E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点， ∴，， ∴四边形EFGH是平行四边形， 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了中点四边形的知识点，准确构造三角形，借助中位线求解是解题的关键． 8. 将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移规律．根据一次函数的平移规律作答即可． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移3个单位长度后得： ， 故选：D． 9. 为积极适应智能时代发展趋势，响应国家“人工智能”行动战略部署，某校开展了以“人工智能在教育场景中的融合应用”为主题的比赛，比赛结果出来后，张老师说：“有一半选手的得分是90分以上．”张老师描述的角度是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了统计量的基本概念，理解“有一半选手的得分是 90分以上”这一表述的含义是解题的关键．解题时，根据题干描述判断对应的统计量类型即可． 【详解】解：A．平均数，反映数据的整体平均水平，无法直接说明“一半”的分布情况，故不符合题意； B．众数，表示出现次数最多的数值，与数据分布的集中点相关，但不涉及数据的中点位置，故不符合题意； C．方差，衡量数据的离散程度，与数据的波动范围有关，而非中间位置，故不符合题意； D．中位数，将数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．当数据个数为偶数时，中位数为中间两数的平均值，中位数的定义天然对应“一半数据不超过它，另一半不低于它”的特性，与原题干描述匹配，故符合题意． 故选：D． 10. 如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若，，则小正方形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理等，先求出大正方形的面积为，由勾股定理得，求出小正方形的面积，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：正方形的面积为：， ， ， 小正方形的面积是， 故选：A． 11. 某周末，亮亮全家上午时自驾小汽车从家里出发，到某网红地游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象提供的有关信息，判断下列说法错误的是（ ） A. 景点离亮亮的家 B. ，小汽车匀速行驶 C. 小汽车返程的速度为 D. 亮亮到家的时间为 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象的纵坐标，可判断、；根据函数图象的纵坐标，可得返回的路程，根据函数图象的横坐标，可得返回的时间，根据路程与时间的关系，可判断；根据函数值与自变量的对应关系，可判断． 【详解】解：、由纵坐标看出景点离小明家千米，故正确； 、由纵坐标看出点至点，路程不变，汽车没行驶，故错误； 、由纵坐标看出返回时小时行驶了千米，故正确； 、由纵坐标看出返回时小时行驶了千米，，由横坐标看出，故正确； 故选：． 【点睛】此题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间是解题的关键． 12. 如图，中，，，分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，若，则边的长度等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的性质，关键是判定是等腰三角形，由等腰三角形的性质推出，判定是的中位线．判定是等腰三角形，推出，得到是的中位线，推出，求出，即可得到的长． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的中线， ， 是的中位线， ， ， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 一组数据1，3，5，2，4的平均数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查求平均数，根据平均数的求解公式计算即可． 【详解】解：一组数据1，3，5，2，4的平均数是， 故答案为：3． 14. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 15. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据图象利用一次函数与一元一次不等式的关系即可求解． 【详解】解：由图象知：关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 16. 2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为________米． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题、勾股定理，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，由与型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，进而求解即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图，则的长为滑行最短距离， （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为50（米）． 故答案为：50． 三、解答题（本大题共7题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）已知：，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据指数幂、算术平方根和绝对值意义进行计算即可； （2）原式代入，计算即可． 【详解】解：（1） ； （2），， ． 18. 如图，已知四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC， （1）求证：； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析 （2）四边形ABCD的面积为1+． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出AC，求出，根据勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，即； （2）根据图形得出四边形ABCD的面积，再求出答案即可． 【小问1详解】 证明：∵AB⊥BC， ∴∠B=90°， ∵AB=1，BC=2， ∴AC=， ∵CD=2，AD=3， ∴，， ∴， ∴△ACD是直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：四边形ABCD的面积 =×AB×BC+×AC×DC =×1×2+××2 =1+， 故答案为：1+． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 19. 如图，为的对角线． （1）作对角线的垂直平分线，分别交，，于点，，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，．求证：四边形为菱形． 【答案】 （1）直线即为所求（作图如图所示）； （2）证明：∵垂直平分． ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴，． ∴． ∴ ∴． ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）按照垂直平分线的作法作图即可； （2）证，得到，根据垂直平分线的性质证四边相等即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了尺规作图和平行四边形的性质，菱形的判定，解题关键是准确画出图形，利用垂直平分线的性质和全等三角形的性质与判定证明四边相等． 20. 某公司研发了A，B两款智能早教机器人．有关人员对A，B两款智能早教机器人的使用满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款智能早教机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款智能早教机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款智能早教机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “满意”所占百分比 A 88 88.5 96 B 88 a 98 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述统计表中________，________； （2）上述扇形统计图中，“不满意”所在扇形的圆心角的度数是________； （3）在此次测验中，若有280人对A款智能早教机器人进行评分、320人对B款智能早教机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对A、B两款智能早教机器人“不满意”的共有多少人？ 【答案】（1）87.5，30 （2）36 （3）估计此次测验中对A、B两款智能早教机器人“不满意”的共有76人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数意义，熟练掌握中位数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得a的值，根据对A设备“满意”的数据数除以总数可得结论； （2）用乘以“不满意”的占比可得结论； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：B款智能早教机器人的评分数据中，按大小顺序排列第10、11个数据为87，88， 所以，中位数； 又， ∴； 故答案为：87.5；30； 【小问2详解】 解：， 即：“不满意”所在扇形的圆心角的度数是， 故答案为：36； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的人数共有76人． 21. 玉林有一种传承了八百余年的传统美食——玉林牛巴，它以其独特的制作工艺和绝妙的口感，赢得了“玉林一绝”的美誉，更是玉林文化的一张亮丽名片．为满足消费者需求，某超市购进甲、乙两种品牌小袋包装的玉林牛巴并全部销售．两种品牌的玉林牛巴的进价和售价如表： 类别 价格 甲品牌玉林牛巴 乙品牌玉林牛巴 进价（元/袋） 售价（元/袋） （1）若该超市购进甲、乙两种品牌玉林牛巴共袋，共需资金元，求甲、乙两种品牌玉林牛巴各购进多少袋？ （2）若该超市计划购进甲、乙两种品牌玉林牛巴共袋，且甲品牌玉林牛巴进货数量不超过乙品牌玉林牛巴进货数量的一半，该超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）购进甲品牌玉林牛巴200袋，购进乙品牌玉林牛巴100袋 （2）购进甲品牌玉林牛巴200袋、乙品牌玉林牛巴400袋才能获得最大利润，最大利润是3200元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设购进甲品牌玉林牛巴袋，则购进乙品牌玉林牛巴袋．根据题意正确列出方程求解即可； （2）设购进甲品牌玉林牛巴袋，则购进乙品牌玉林牛巴袋．先根据题意列不等式求得m的取值，再设销售利润为元，得到，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设购进甲品牌玉林牛巴袋，则购进乙品牌玉林牛巴袋． 根据题意，得， 解得， （袋）， 购进甲品牌玉林牛巴袋，购进乙品牌玉林牛巴袋； 【小问2详解】 解：设购进甲品牌玉林牛巴袋，则购进乙品牌玉林牛巴袋． 根据题意，得， 解得，则， 设销售利润为元，则， ， 随的增大而增大， ， 当时，的值最大，， （袋）， 购进甲品牌玉林牛巴袋、乙品牌玉林牛巴袋才能获得最大利润，最大利润是元． 22. 综合与实践 【问题情境】水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务．小辉同学阅读了教材中的《第十九章一次函数》的数学活动2，决定探究水龙头关闭不严造成漏水的问题，为了调查漏水量与漏水时间的关系，进行了以下的试验与研究． 【实践发现】如图1，在一个滴水的水龙头下放置一个能显示盛水量的容器，设该容器的盛水量为，滴水时间为．该容器未放置到水龙头前已盛有水，每记录一次容器中的盛水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题探究】 （1）请根据表中信息在图2的坐标系中描点、连线，画出w关于t的函数图象，根据图象发现w与t符合学习过的________函数关系（选填“正比例”或“一次”）； （2）根据以上判断，求w关于t的函数解析式； 【问题解决】 （3）假设有10个与【实践发现】中情况相同的水龙头，一个成年人一天大约饮用水，请你估算这10个水龙头一天（24小时）的漏水量可供一个成年人饮用多少天？ 【答案】（1）见解析，一次；（2）；（3）这10个水龙头一天（24小时）的漏水量可供一个成年人饮用27天 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）根据表格数据，描点、连线即可得到函数关系式，根据图象是一条直线，结合一次函数的图象特点可得结论； （2）利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）根据（2）中解析式求得1个容器一天的盛水量，进而求得1个水龙头一天的漏水量，则可得10个水龙头一天的漏水量，再结合已知可得结论． 【详解】解：（1）关于的函数图象如图所示： 根据图象及表格数据，w与t符合学习过的一次函数关系， 故答案为：一次； （2）设一次函数解析式为，将点，代入解析式得： ，解得， 一次函数解析式为； （3）， 个容器一天的盛水量， 个水龙头一天的漏水量为， 个水龙头一天的漏水量为， 可供一个成年人饮用（天）， 答：这10个水龙头一天（24小时）的漏水量可供一个成年人饮用27天． 23. 数学活动课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接、、．若点P的位置恰好使得． 【探究提炼】 （1）________； （2）求的长； 【类比迁移】 （3）如图2，某学校有一块边长为的菱形空地，其中．现打算在空地中修建步道，，，，使得点M在上，点N在上，且．请问步道，，所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）45；（2）；（3）存在，面积的最小值为 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据垂直定义和三角形的内角和定理求解即可； （2）连接，由折叠可知：，，，再求得，设与相交于点，证明是的垂直平分线，得到，则，根据等腰三角形的判定与性质可得结论； （3）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则根据四边形的内角和为求得，根据菱形的性质和角平分线的性质定理得到，进而证明，进而根据全等三角形的性质得到，过点作于点，然后根据等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，当最小时，面积最小，即时，面积最小，进而利用菱形的性质和直角三角形的性质求得即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； 故答案为：45； （2）如图，连接，由折叠可知：，，， 由（1）得 设与相交于点， ，， ∴是等腰直角三角形，又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ； （3）存在， 理由：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ， 在菱形中，是的角平分线，， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， ， 当最小时，面积最小，即时，面积最小， ， ， 菱形草坪的边长为， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、三角形和四边形的内角和定理、折叠性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $