专题 2.2 圆的对称性（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（苏科版 ）

专题 2.2 圆的对称性 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心 1 【题型1】圆是中心对称图形 1 知识点（二）在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等 2 【题型2】利用弧、弦、圆心角的关系求解 3 【题型3】利用弧、弦、圆心角的关系证明 4 知识点（三）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 5 【题型4】圆心角度数与圆的度数 5 知识点（四）圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴 6 【题型5】圆的轴对称性 6 知识点（五）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 6 【题型6】利用垂径定理求值 7 【题型7】利用垂径定理证明 7 知识点（六）垂径定理推论 8 【题型8】利用垂径定理推论求值证明 9 二．同步练习 9 【基础巩固（16题）】 9 【能力提升（16题）】 14 【中考真题8题】 18 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心 【题型1】圆是中心对称图形 【例题 1】 （2023九年级上·江苏·专题练习）下面是由半径相同的圆组成的花瓣，观察图形，回答下列问题： （1）是轴对称图形的有 　 　，是中心对称图形的有 　 　（分别用图形的代码填空）． （2）若“花瓣”在圆中是均匀分布的，试根据（1）小题的结果总结“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性（轴对称或中心对称）之间的规律． 【变式1】 （2023九年级上·江苏·专题练习）画一画： 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性． （1）请问图中三个图形中是轴对称图形的有 　　 ，是中心对称图形的有 　 　（分别用三个图的代号、、填空）． （2）请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形． 【变式2】 （2021·河南洛阳·三模）如图，半圆O的直径AB＝4cm，，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为 cm2 知识点（二）在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等; 数学语言：如图1，在☉o中， ， . 拓展延伸：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 即：如图1，在☉o中， 【解题技巧点拨】在同圆或等圆中，要证明弧、弦、圆心角中一组量相等，通常将其转化到证明另外两组量中的任意一组量相等，一般方法有多种，而“连接半径或作垂直于弦的直径”构造等弧、等弦、相等圆心角是常用来作辅助线的方法. 【题型2】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例题 2】 （24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，交于点B，． （1）求的度数； （2）求弧的度数． 【变式1】（21-22九年级上·江苏·期中）如图，中，，截三条边所得弦长相等，则 ． 【变式2】（2025·山东聊城·三模）如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（　　） A． B． C． D． 【题型3】利用弧、弦、圆心角的关系证明 【例题 3】 （24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，正方形内接于，为弧中点，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求点到的距离． 【变式1】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·北京·期中）如图，是的直径，弦，分别过、作的垂线，垂足为、，以下结论 ①； ②； ③若四边形是正方形，则； ④若为弧的中点，则为中点． 所有正确结论的序号是 ． 知识点（三）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 【题型4】圆心角度数与圆的度数 【例题 4】 （24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的直径，半径，点D在弧上，，，垂足分别为E、F，若点E为的中点，弧的度数为 ． 【变式1】（24-25九年级上·江西南昌·期中）在圆中，若圆心到一条弦的距离与该弦长的比为1：2，则这条弦所分成的两条弧的度数比为 （   ） A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧所对的圆心角度数为 ． 知识点（四）圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴; 【题型5】圆的轴对称性 【例题 5】 （23-24八年级上·山东聊城·期中）在“角、线段、直角梯形、锐角三角形、圆”中，一定是轴对称图形的是（   ） A．角、圆 B．角、直角梯形、圆 C．角、线段、圆 D．角、线段、锐角三角形 【变式1】（21-22九年级上·浙江温州·期中）如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的轴对称图形，叫做两心尖拱．如图2，已知P，Q分别是和所在圆的圆心，且均在AB上，若PQ＝2m，AB＝6m，则拱高CD的长为 m． 【变式2】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）在线段、等边三角形、平行四边形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 知识点（五）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 数学语言：如图2，在☉o中， ， . 【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定理求值或证明. 【题型6】利用垂径定理求值 【例题 6】．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． （1）若，，求的长； （2）连接，如图2，若，求的度数． 【变式1】 （2025·湖北十堰·模拟预测）如图，弦垂直于的直径，垂足为H，且，则的长是（  ）． A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】（2025·山西晋城·三模）在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为 ． 【题型7】利用垂径定理证明 【例题 7】 （23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，． （1）求证：直线；（2）求证：． 【变式1】（2025·河南新乡·三模）如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东日照·一模）如图，已知锐角，按下列要求作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不成立的是（   ）    A． B． C． D．若，则 知识点（六）垂径定理推论 （1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 【题型8】利用垂径定理推论求值证明 【例题 8】 （22-23九年级上·湖北荆州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． （1）求证：． （2）若，的半径为1，求弦的长． 【变式1】（2025·河南新乡·三模）如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁鞍山·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C在上，垂直平分于点．现测得，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 3．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径是小圆半径的2倍，点D，E，B均在圆上，若，连接，和，则下列说法不正确的是（   ） A．O到弦距离等于O到弦距离 B． C． D． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图1为某酒店的圆形旋转门，可看成如图2由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图2位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为（　　）    A．30° B．60° C．90° D．120° 二、填空题 7．（24-25九年级下·福建厦门·期中）如图，在中，弦，O到的距离，则的半径为 ． 8．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 9．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆心坐标是 ． 11．（2025·安徽合肥·二模）如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 12．（2025·广西南宁·三模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为 寸． 三、解答题 13．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 14．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． （1）求证：； （2）若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，交于点是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 16．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． （1）求证：点为的中点； （2）若，求． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·全国·期中）已知为的直径，弦于点E，，，则的直径为（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，是的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·三模）如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为（   ）    A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，是的直径，点、在上，且，垂足为．若，，则 ．    8．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 9．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ． 10．（2025·北京大兴·二模）如图，是的直径，弦于点，若，则的长为 ． 11．（2025·青海·二模）如图，是的外接圆，，，，垂足分为，，，连接，，．若，的周长为20，则的长为 ． 12．（22-23九年级上·四川绵阳·期末）如图，M为x轴正半轴上一点，与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接，将绕顶点B逆时针旋转得到，此时点C恰在上，若半径为4，则点D的坐标是 ． 三、解答题 13．（2025·安徽淮北·二模）如图，为直径，E为弦的中点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接，若，四边形的面积为40，求的长． 14．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． （1）求证：． （2）若，的半径为1，求弦的长． 15．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． （1）连接，求证：垂直平分； （2）若，，求的半径． 16．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． （1）若，，求的长； （2）连接，如图2，若，求的度数． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 6．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 二、填空题 7．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 8．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.2 圆的对称性 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心 1 【题型1】圆是中心对称图形 1 知识点（二）在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等 4 【题型2】利用弧、弦、圆心角的关系求解 5 【题型3】利用弧、弦、圆心角的关系证明 8 知识点（三）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 12 【题型4】圆心角度数与圆的度数 12 知识点（四）圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴 14 【题型5】圆的轴对称性 14 知识点（五）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 16 【题型6】利用垂径定理求值 16 【题型7】利用垂径定理证明 20 知识点（六）垂径定理推论 23 （1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 23 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 23 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 23 【题型8】利用垂径定理推论求值证明 23 二．同步练习 26 【基础巩固（16题）】 26 【能力提升（16题）】 39 【中考真题8题】 56 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心. 【题型1】圆是中心对称图形 【例题 1】 （2023九年级上·江苏·专题练习）下面是由半径相同的圆组成的花瓣，观察图形，回答下列问题： （1）是轴对称图形的有 　 　，是中心对称图形的有 　 　（分别用图形的代码填空）． （2）若“花瓣”在圆中是均匀分布的，试根据（1）小题的结果总结“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性（轴对称或中心对称）之间的规律． 【答案】（1）①②③④⑤，①③⑤；（2）见分析 【分析】（1）中心对称图形：图形绕某一点旋后与原来的图形重合；轴对称图形：沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合； （2）花瓣个数的奇偶性影响了图形的对称性． 解：（1）解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知： 是轴对称图形的有①②③④⑤，是中心对称图形的有①③⑤． 故答案为：①②③④⑤；①③⑤． （2）解：规律：当“花瓣”是偶数个，既是中心对称图形，也是轴对称图形； 若花瓣是奇数个，则是轴对称图形． 【点拨】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．掌握相关定义是解题关键． 【变式1】 （2023九年级上·江苏·专题练习）画一画： 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性． （1）请问图中三个图形中是轴对称图形的有 　　 ，是中心对称图形的有 　 　（分别用三个图的代号、、填空）． （2）请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】（1）、、；和；（2）见分析 【分析】（1）根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，逐个分析，判断即可求解； （2）根据题意，设计图形，使得d 是轴对称图形但不是中心对称图形； e 既是轴对称图形又是中心对称图形． 解：（1）三个图形中轴对称的为、、．是中心对称的为和； （2）解：如图所示    【点拨】本题考查了中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，作图设计，熟练掌握中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义是解题的关键．轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合的；中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合；是解题的关键． 【变式2】 （2021·河南洛阳·三模）如图，半圆O的直径AB＝4cm，，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为 cm2 【答案】2 【分析】连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．根据S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，当xy的值最大时，△DEF的面积最大；根据矩形的性质，通过判定四边形ODCE是矩形，得；根据勾股定理、完全平方公式的性质分析，可得结论． 解：连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y． ∵ ∴OG⊥AB， ∵S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy， ∴xy的值最大时，△DEF的面积最大， ∵CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E， ∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°， ∴四边形ODCE是矩形， ∴ ∴x2+y2＝22，即x2+y2＝4， ∵（x﹣y）2≥0， ∴x2+y2≥2xy， ∴2xy≤4， ∴xy≤2， ∴xy的最大值为2， ∴△DEF的面积的最大值为2 cm2 故答案为：2． 【点拨】本题考查了圆、勾股定理、中心对称、矩形、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理、完全平方公式的性质，从而完成求解． 知识点（二）在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等; 数学语言：如图1，在☉o中， ， . 拓展延伸：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 即：如图1，在☉o中， 【解题技巧点拨】在同圆或等圆中，要证明弧、弦、圆心角中一组量相等，通常将其转化到证明另外两组量中的任意一组量相等，一般方法有多种，而连接半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、相等圆心角是常用来作辅助线的方法. 【题型2】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例题 2】 （24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，交于点B，． （1）求的度数； （2）求弧的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答． （1）连接，由，则，于是，而，得，由，根据，即可得到的度数． （2）由（1）得，由平角的定义得的度数，从而可求出弧的度数． 解：（1）解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 而，得， ∴， 而， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， 又， ∴ ∴弧的度数为． 【变式1】（21-22九年级上·江苏·期中）如图，中，，截三条边所得弦长相等，则 ． 【答案】/110度 【分析】如图所示，根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理得，再根据角平分线的判定定理得，然后根据三角内角和定理求得答案． 解：过点分别作，垂足分别是，记：，如图所示， 截三条边所得弦长相等， 点到三角形三条边的距离相等即， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】此题考查了圆的相关定理、角平分线的判定定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理和三角形的内角和定理等定理是解答此题的关键． 【变式2】（2025·山东聊城·三模）如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了旋转的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键． 连接，依题意得：，由旋转的性质得，则，进而得，再由三角形内角和定理求出，继而得，由此即可得出x的值． 解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴x的值为37． 故选：D． 【题型3】利用弧、弦、圆心角的关系证明 【例题 3】 （24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，正方形内接于，为弧中点，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求点到的距离． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）先由正方形的性质得，再结合为弧的中点，得出，则，故，即可作答． （2）先证明是线段的垂直平分线，再结合勾股定理得，算出，，则，即可作答． 解：（1）解： 四边形是正方形， ， 为弧的中点， ， ∴， ， 是等腰三角形． （2）解：如图，连接，连接并延长交于点， ，， 是线段的垂直平分线， 四边形是正方形， ， ∵， ， ∴， 则， ∴， ， ， 即点到的距离为． 【点拨】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键． 直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答． 解：取的中点，连接， ， ， ∵， ， ， ∵， ∴，故C正确； 故选：C． 【变式2】（22-23九年级上·北京·期中）如图，是的直径，弦，分别过、作的垂线，垂足为、，以下结论 ①； ②； ③若四边形是正方形，则； ④若为弧的中点，则为中点． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，可得结论①②正确，证明，可得③错误；证明是等边三角形，可得④正确，从而可得答案． 解：连接、，如图， 、， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ，故②正确， ，， ，故①正确， 当四边形是正方形时，， ， ， 故③错误， 若是的中点，连接，而 ， ， 是等边三角形， ， ，故④正确． 故答案为：①②④． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键． 知识点（三）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 【题型4】圆心角度数与圆的度数 【例题 4】 （24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的直径，半径，点D在弧上，，，垂足分别为E、F，若点E为的中点，弧的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 连接，交于点，进而得出四边形是矩形，结合已知条件证明是等边三角形，即可求解． 解：如图，连接，交于点G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点E为的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弧的度数为， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·江西南昌·期中）在圆中，若圆心到一条弦的距离与该弦长的比为1：2，则这条弦所分成的两条弧的度数比为 （   ） A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理；根据已知条件得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 解：如图所示， 依题意， ∵，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴优弧 ∴弦所分成的两条弧的度数比为， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧所对的圆心角度数为 ． 【答案】90°/90度 【分析】本题考查了网络圆弧．熟练掌握垂径定理的推论：线段垂直平分线性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，是求解的关键．作弦和的垂直平分线交于点O，根据线段垂直平分线性质和勾股定理，得，，根据勾股定理的逆定理，得． 解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴弧所对的圆心角度数为． 故答案为：． 知识点（四）圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴; 【题型5】圆的轴对称性 【例题 5】 （23-24八年级上·山东聊城·期中）在“角、线段、直角梯形、锐角三角形、圆”中，一定是轴对称图形的是（   ） A．角、圆 B．角、直角梯形、圆 C．角、线段、圆 D．角、线段、锐角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念容易得出结果． 解：在“角、线段、直角梯形、锐角三角形、圆”中，一定是轴对称图形的是： 角、线段、圆； 直角梯形不是轴对称图形，若锐角三角形不是等腰三角形就不是轴对称图形． 故选：C． 【变式1】（21-22九年级上·浙江温州·期中）如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的轴对称图形，叫做两心尖拱．如图2，已知P，Q分别是和所在圆的圆心，且均在AB上，若PQ＝2m，AB＝6m，则拱高CD的长为 m． 【答案】 【分析】如图，连接CQ，然后求出PD、PC的长，最后利用勾股定理求解即可． 解：如图，连接CQ． 由题意CQ＝CP，CD⊥PQ， ∴DQ＝DP＝PQ＝1（m）， ∵PA＝QB， ∴AQ＝PB＝（AB﹣PQ）＝2（m）， ∴PC＝PA＝2+2＝4（m）， ∴CD＝＝＝（m）， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了勾股定理、垂径定理等知识点，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解答本题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）在线段、等边三角形、平行四边形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 【答案】线段、圆 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念作答． 解：线段、圆既是轴对称图形又是中心对称的图形； 等边三角形只是轴对称图形； 平行四边形只是中心对称的图形； 故答案为：线段、圆． 知识点（五）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 数学语言：如图2，在☉o中， ， . 【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定理求值或证明. 【题型6】利用垂径定理求值 【例题 6】．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． （1）若，，求的长； （2）连接，如图2，若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考出了圆的垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图1：连接，由垂径定理的推理可得，再结合已知条件可得，设，则．然后在运用勾股定理求解即可． （2）如图2，连接交于点H，由（1）知，则，易证可得，即，进而得到，最后由三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质可得即可解答． 解：（1）解：如图1：连接， 直径弦， ． ， ， ， ． 设，则． 在中，，即，解得， ∴． （2）解：如图2，连接交于点H， 由（1）知， ． ，， ， ， ， ， ． 【变式1】 （2025·湖北十堰·模拟预测）如图，弦垂直于的直径，垂足为H，且，则的长是（  ）． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用、勾股定理等知识点，掌握垂直于弦的直径平分这条弦且平分弦是解题的关键． 如图：连接，根据圆的性质、垂径定理求出，再根据勾股定理以及线段的和差求解即可． 解：如图：连接， ∵是的直径，， ∴，， 在中，， ∴． 故选：C． 【变式2】（2025·山西晋城·三模）在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，在上取一点作为圆心，连接，如图所示，根据题意表示出相关线段长度，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．熟记垂径定理构造直角三角形，勾股定理求线段长的组合是解决问题的关键． 解：在上取一点作为圆心，连接，如图所示： ， ， 设， ， ， 在中，，，，，则由勾股定理可得， 解得， 故答案为：． 【题型7】利用垂径定理证明 【例题 7】 （23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，． （1）求证：直线； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 解：（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．    ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点拨】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 【变式1】（2025·河南新乡·三模）如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可． 解：∵的平分线交于点，是半径， ∴，，，，故A、B、D正确； 选项C不能证明， 故选：C． 【变式2】（2025·山东日照·一模）如图，已知锐角，按下列要求作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不成立的是（   ）    A． B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题． 解：如图，    A、连接，， ∴，故A不符合题意； B、连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B不符合题意； C、连接， 由作图得， ∴， ∴， ∴， ∴不一定等于，故C符合题意． D、由， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 知识点（六）垂径定理推论 （1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 【题型8】利用垂径定理推论求值证明 【例题 8】 （22-23九年级上·湖北荆州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． （1）求证：． （2）若，的半径为1，求弦的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是求出． （1）根据垂径定理可得答案； （2）先求出，再求出，最后根据勾股定理可得答案． 解：（1）解：∵点B是劣弧的中点，是的直径， ∴，， ∴． （2）解：如图，连接， ∵，，， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 【变式1】（2025·河南新乡·三模）如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可． 解：∵的平分线交于点，是半径， ∴，，，，故A、B、D正确； 选项C不能证明， 故选：C． 【变式2】（2025·辽宁鞍山·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出． 解：∵， ∴， ∴， ∴，点M为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径是6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C在上，垂直平分于点．现测得，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理，关键是利用垂径定理解答． 连接，利用垂径定理解答即可． 解：连结，如图，设半径为， ∵垂直平分于点， ∴，， ∴， ∴点O，D，C三点共线， ， ， 在中， ，即 解得：， 则圆的半径为． 故答案为：A． 2．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 3．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了垂径定理的推论、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理推论是关键．先利用垂径定理的推论得到，再利用勾股定理进行解答即可． 解：是的直径，是的弦，且 ， ． 故选A. 4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答． 解：∵， ∴， ∵是直径， ∴． 故选：C 5．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径是小圆半径的2倍，点D，E，B均在圆上，若，连接，和，则下列说法不正确的是（   ） A．O到弦距离等于O到弦距离 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、三角形中位线定理、三角形的三边关系判断即可．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 解：A、在小圆O中，，O到弦距离等于O到弦距离，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵，，∴故本选项说法正确，不符合题意； C、∵大圆半径是小圆半径的2倍， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，故本选项说法正确，不符合题意； D、在中，， ∵， ∴，故本选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图1为某酒店的圆形旋转门，可看成如图2由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图2位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为（　　）    A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【分析】由题意得可得与的最大值的和为，结合和关于圆心中心对称即可求解． 解：∵ ∴与的最小值为 ∴与的最大值的和为 ∵和关于圆心中心对称 ∴ ∴，最大值为 故选：B 【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．得出与的最大值的和为是解题关键． 二、填空题 7．（24-25九年级下·福建厦门·期中）如图，在中，弦，O到的距离，则的半径为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，由垂径定理可得，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 解：∵，， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的半径为2， 故答案为：2． 8．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】2或14 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 9．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，由可知当最小时，最大；又，故当最小时，最大；所以当时满足题意，据此即可求解． 解：连接，如图所示： ∵， 为的半径，其值一定， ∴当最小时，最大， ∵ ∴当最小时，最大， ∵点C在上移动， ∴当时，最小 此时，点与点（或点）重合，点与点（或点）重合， ∴的最大值为 故答案为： 【点拨】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当时，最小，最大，也最大是解题关键． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理的推论，掌握垂径定理的推论，坐标与图形的关系是解题的关键． 根据垂径定理的推理“垂直平分弦的直线经过圆心”，分别连接，并作的垂直平分线，两线的交点即为圆心，再结合坐标与图形的特点即可求解． 解：如图所示，连接，分别作的垂直平分线交于点， ∴， 故答案为： ． 11．（2025·安徽合肥·二模）如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定， 连接，可得，可得是等边三角形，，进入得出，再根据含直角三角形得性质得，然后根据勾股定理求出，则答案可得． 解：连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 12．（2025·广西南宁·三模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为 寸． 【答案】26 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 解：∵为的直径，，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴， 解得， ∴寸， 故答案为：26． 三、解答题 13．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 【答案】见分析 【分析】此题考查了圆中的弧、弦之间的关系，根据 ，得出，进而可得，即可得出． 解：证明：∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． （1）求证：； （2）若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】（1）见分析；（2）大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 解：（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，交于点是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见分析；（2）的半径是 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答． （2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答． 解：（1）证明：∵ ∴是等腰三角形， ∵于点F， ∴ 又∵是的半径， ∴， ∴ ∴； （2）解：如图，连接， ∵为的弦， ∴ ∴ 设的半径是r， ∴， 解得， ∴的半径是 16．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． （1）求证：点为的中点； （2）若，求． 【答案】（1）详见分析；（2）2 【分析】（1）利用垂径定理的推论证明即可． （2）利用垂径定理，勾股定理解答即可． 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 解：（1）证明：是的直径，， ，即点为的中点． （2）解：是的直径，， ， ， ， ， ， ． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·全国·期中）已知为的直径，弦于点E，，，则的直径为（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 如图所示，连接，则，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理即可求解． 解：如图所示，连接，则， ∵弦于点，，， ∴， ∴在中，， ∴的直径为20． 故选：D． 2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，是的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过审题， 根据是的直径，弦，依据垂径定理即可解答问题． 解：∵是的直径，弦， 由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知， ∴，故A正确；， ∴，故D正确； ∵，， ∴，故C正确； 故选：B． 【点拨】题主要考查了垂径定理的简单应用,解题的关键是掌握垂径定理的内容，灵活应用． 3．（2025·湖南长沙·三模）如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】通过连接，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出与的关系来求解． 解：连接， ， ∴， ．， ， ． 又， ． ∴是等边三角形， ∴ ，是等边三角形， ． 故选： ． 【点拨】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，连接，由线段垂直平分线的性质和弧弦圆心角的关系可得，即得和是等边三角形，可得，再利用等边三角形的性质和勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：连接， ∵垂直平分半径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，即圆的半径为， 故选：． 5．（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，得，即得，即可得，进而由垂径定理得，再根据勾股定理得，最后根据解答即可求解． 解：把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：．    【点拨】本题考查了轴对称的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，含角直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键. 连接，作，连接，由可知，点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含角直角三角形及勾股定理求出，，即可得到答案. 解：如图，连接，过点作于点，连接． ， ． 在中， ，， ，， ，，． ， ． ， ， ，． ， ， 点在以为直径的上运动， ． 当点在的延长线上时，的长最小，最小值为． 故选：B． 二、填空题 7．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，是的直径，点、在上，且，垂足为．若，，则 ．    【答案】6 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，设，则，求得 ，根据垂径定理得，进而在中根据勾股定理进行求解即可． 解：连接，设，则，    ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：6． 8．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出． 解：∵， ∴， ∴， ∴，点M为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径是6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 9．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题． 解：∵， ， ∵为的中点， ， 在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ， ， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∴的周长， 故答案为：． 10．（2025·北京大兴·二模）如图，是的直径，弦于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理．连接，根据题意再结合垂径定理得到，，再利用勾股定理求解即可． 解：如图，连接， ∵是直径，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 11．（2025·青海·二模）如图，是的外接圆，，，，垂足分为，，，连接，，．若，的周长为20，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、垂径定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 由垂径定理可得，根据三角形的中位线定理得到，进而完成解答． 解：∵，是的外接圆， ， ∴是的中位线， ， ， ， 故答案为：4． 12．（22-23九年级上·四川绵阳·期末）如图，M为x轴正半轴上一点，与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接，将绕顶点B逆时针旋转得到，此时点C恰在上，若半径为4，则点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，熟练掌握旋转的性质，垂径定理，矩形的判断和性质，勾股定理解三角形，是解题的关键． 过点M作的垂线，垂足为N，连接，利用垂径定理证明四边形是矩形，令，则，利用勾股定理求出，进而求解即可． 解：过点M作的垂线，垂足为N，连接， 则， 由旋转知，，，， ∴轴， ∴轴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 令，则， 在中，， 解得（舍负）， ∴， 即． 又∵， ∴， 即． 所以点D的坐标为：， 故答案为： 三、解答题 13．（2025·安徽淮北·二模）如图，为直径，E为弦的中点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接，若，四边形的面积为40，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． （1）由垂径定理得，，然后由线段垂直平分线的性质可得答案； （2）连接，由四边形的面积为40求出，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解． 解：（1）证明：为弦的中点，为直径， ，， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， 四边形的面积为40， ， ， ， ，则， 在中，， ． 14．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． （1）求证：． （2）若，的半径为1，求弦的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是求出． （1）根据垂径定理可得答案； （2）先求出，再求出，最后根据勾股定理可得答案． 解：（1）解：∵点B是劣弧的中点，是的直径， ∴，， ∴． （2）解：如图，连接， ∵，，， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 15．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． （1）连接，求证：垂直平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见分析；（2）5 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）由是弧的中点可知，故，再由可得出结论； （）设与交于点，由（）知，垂直平分，得出，根据勾股定理求出的长，设的半径为r，则，，在中利用勾股定理求出的值即可； 解：（1）证明：∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：设与交于点，如图， 由（）知，垂直平分， ∴， ， ∵， ∴， 设的半径为，则，， 在中由勾股定理得，即， 解得：， ∴的半径为． 16．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． （1）若，，求的长； （2）连接，如图2，若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考出了圆的垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图1：连接，由垂径定理的推理可得，再结合已知条件可得，设，则．然后在运用勾股定理求解即可． （2）如图2，连接交于点H，由（1）知，则，易证可得，即，进而得到，最后由三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质可得即可解答． 解：（1）解：如图1：连接， 直径弦， ． ， ， ， ． 设，则． 在中，，即，解得， ∴． （2）解：如图2，连接交于点H， 由（1）知， ． ，， ， ， ， ， ． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．    中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 2．（2024·新疆·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据垂径定理求得，再对运用勾股定理即可求，最后即可求解． 解：∵，是的直径， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 3．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 5．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 6．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 二、填空题 7．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 解：∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 8．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 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