2.2 圆的对称性（题型专练）数学苏科版九年级上册

2.2 圆的对称性 题型一 圆的对称性有关的文字语言辨析 1．（2023·梁溪区·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，等弦对等弧 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 2．下列语句中，正确的有　　 ①相等的圆心角所对的弧相等； ②等弦对等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·天宁区·月考）下列说法正确的是（　　） A．弦是直径 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 D．半圆是圆中最长的弧 4．（2024·新北区·月考）下列说法中正确的说法有（　　）个． ①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 圆的对称性有关的符号语言辨析 1．（2024·云龙区·月考）如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD 2．（2024·宝应县·期中）如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧AB长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是（　　） A．AB＝2AC B．AB＞2AC C．AB＜2AC D．以上结论都不对 3．（2023·海门市·期中）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M，则下列结论中错误的是（　　） A．AM＝BM B． C．OM＝MD D． 4．（2024·海州区·期中）如图，已知点A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（　　） A． B．∠AOC＝∠BOD C．AC＝2CD D．OC⊥BD 题型三 圆心角、弧、弦的关系应用 1．（2024·高新区·月考）如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，若CD＝BD，∠AOC＝108°，则∠AOD＝（　　） A．140° B．144° C．146° D．150° 2．（2024·江都区·月考）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 3．（2024·盐城·期中）如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：． 4．（2023·通州区·期中）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AD＝BC． （1）比较与的长度，并证明你的结论； （2）求证：AE＝CE． 题型四 圆心角的度数与它所对的弧的度数的应用 1．（2024·铜山区·期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交于点E，则的度数为（　　） A．50° B．40° C．55° D．60° 2．（2024·新沂市·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝67.5°，以AB为直径的半圆与BC，AC分别相交于点D，E，则弧AE的度数（　　） A．40° B．50° C．90° D．100° 3．（2025·建邺区·二模）如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，且OD∥BC，若的度数为43°，则的度数为　　°． 4．（2024·丰县·期中）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧的度数为50°，求∠AOC的度数． 题型五 根据垂径定理及推论求线段长——单勾股定理 1．（2025·海安市·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，PA＝9，PB＝4，则CD的长为（　　） A．6 B．10 C．12 D．13 2．（2023·金坛区·月考）如图，在⊙O中，弦AB的长为2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　） A．4 B．2 C． D．1 3．（2024·响水县·期末）如图，P是⊙O内一点．若圆的半径为5，OP＝3，则经过点P的弦的长度不可能为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2025·无锡·二模）如图，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，AB＝6，则⊙O的半径为　　． 5．（2025·兴化市·二模）如图A，B，C，E四点在⊙O上，OC⊥AB，AB＝8，CD＝2，则⊙O的直径AE为　　． 6．（2025·涟水县·一模）已知，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为　　． 题型六 根据垂径定理及推论求线段长——双勾股定理 1．（2024·仪征市·期末）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（　　） A．6 B．9 C． D．25﹣3 2．（2024·玄武区·二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则⊙O的半径为（　　） A． B．2 C．2 D．4 3．（2024·建邺区·期中）如图，⊙O的直径为10，弦AD，BC在圆心的两侧，且AD∥BC，AD＝6，BC＝8，则图中阴影部分的面积为　　． 4．（2022·溧阳市·期中）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝2，以A为圆心AC长为半径作圆A，延长CB交圆A于点D，则BD长为　　． 题型七 根据垂径定理解决简单的实际问题 1．（2025·玄武区·二模）在直径为26cm的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（　　） A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm 2．（2024·新沂市·期中）工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个槽孔的宽口AB的长度为（　　） A．6mm B．8mm C．10mm D．5mm 3．（2024·仪征市·月考）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（　　） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 4．（2024·亭湖区·月考）HUAWEIMate60pro手机完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长60mm，弓形高CD长10mm，求半径OA的长． 题型一 垂径定理的证明与计算综合 1．（2024·阜宁县·期中）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C、D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若，EF＝3，求⊙O的半径． 2．（2024·泰兴市·月考）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AD交小圆于点B、C． （1）求证：AB＝CD； （2）当AB•BD＝6时，求大圆与小圆的面积之差． 3．（2024·沭阳县·月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，以AC为半径的⊙C与AB相交于点D． （1）若∠B＝40°，则的度数为　　． （2）若AC＝3，BC＝4，求DB的长． 4．（2023·鼓楼区·月考）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB＝6，，求⊙O的半径． 题型二 根据垂径定理解决复杂的实际问题 1．（2024·天宁区·月考）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 2．（2024·工业园区·期中）苏州是一座拥有4000多年历史的文化名城，苏州古城座落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽12m的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面3m，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 3．（2024·云龙区·期中）如图，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12m宽AB为3m，隧道的顶端E（圆弧AED的中点）高出道路（BC）7m． （1）求圆弧AED所在圆的半径： （2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高6m宽2.5m，那么这辆货运卡车能否通过该隧道？ 4．（2023·如皋市·期末）根据素材解决问题： 设计货船通过圆形拱桥的方案 素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m． 素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EH＝12m，EF＝2.1m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降0.01m．． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 1．（2023·如皋市·期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述中一定正确的是（　　） A．当x1＞x2时，d（x1）＞d（x2） B．当d（x1）＞d（x2）时，x1＞x2 C．当x1＝2x2时，d（x1）＝2d（x2） D．当x1+x2＝1时，d（x1）＝d（x2） 2．（2023·工业园区·月考）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形； （2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦． 3．（2024·镇江·期中）定义：关于x的方程，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： （1）请写出一个“经典方程”：　　； （2）求证：关于x的“经典方程”必有实数根； （3）如图，已知AB、CD是半径为1的⊙O的两条平行弦，AB＝a，CD＝b，且关于x的方程是“经典方程”，求∠BOC的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 圆的对称性 题型一 圆的对称性有关的文字语言辨析 1．（2023·梁溪区·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，等弦对等弧 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【详解】解：A、能够重合的弧是等弧，说法错误； B、在同圆或等圆中，等弦所对的劣弧和劣弧相等，优弧和优弧相等，说法错误； C、优弧一定比劣弧长，说法错误，前提是同圆或等圆中； D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，说法正确． 故选：D． 2．下列语句中，正确的有　　 ①相等的圆心角所对的弧相等； ②等弦对等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中； ②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等； ③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，正确． 故选：A． 3．（2024·天宁区·月考）下列说法正确的是（　　） A．弦是直径 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 D．半圆是圆中最长的弧 【详解】解：A、不经过圆心的弦不是直径，故错误； B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； C、平分弧的半径垂直于弧所对的弦，故正确； D、半圆不是圆中最长的弧，故错误． 故选：C． 4．（2024·新北区·月考）下列说法中正确的说法有（　　）个． ①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，故①正确； ②同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故②错误， ③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故③错误； ④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故④错误； 综上，正确的只有1个． 故选：A． 题型二 圆的对称性有关的符号语言辨析 1．（2024·云龙区·月考）如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD 【详解】解：∵AB＝CD， ∴， ∴，即， ∴AC＝BD， ∵和无法确定相等， ∴无法判断AD＝BD． 故选：D． 2．（2024·宝应县·期中）如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧AB长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是（　　） A．AB＝2AC B．AB＞2AC C．AB＜2AC D．以上结论都不对 【详解】解：如图，取的中点H，连接AH、BH， 则， ∵弧AB长等于弧AC长的2倍， ∴， ∴AH＝BH＝AC， 在△ABH中，AH+BH＞AB， ∴AB＜2AC， 故选：C． 3．（2023·海门市·期中）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M，则下列结论中错误的是（　　） A．AM＝BM B． C．OM＝MD D． 【详解】解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M， ∴AM＝BM，，， 无法判断OM＝MD． 故选：C． 4．（2024·海州区·期中）如图，已知点A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（　　） A． B．∠AOC＝∠BOD C．AC＝2CD D．OC⊥BD 【详解】解：∵OB⊥AC， ∴，故A正确； ∵BC＝CD， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD，故B正确； ∴AC＝BD， ∴AC＝BD＜BC+CD＝2CD，故C错误； ∵OB＝OD，BC＝CD， ∴OC⊥BD，故D正确． 故选：C． 题型三 圆心角、弧、弦的关系应用 1．（2024·高新区·月考）如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，若CD＝BD，∠AOC＝108°，则∠AOD＝（　　） A．140° B．144° C．146° D．150° 【详解】解：∵∠AOC＝108°， ∴∠BOC＝180°﹣108°＝72°， ∵CD＝BD， ∴∠BOD＝∠COD∠BOC＝36°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝108°+36°＝144°． 故选：B． 2．（2024·江都区·月考）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【详解】解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°． 故选：D． 3．（2024·盐城·期中）如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：． 【详解】证明：如图，连接OE， ∵CE∥AB， ∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E， ∵OC＝OE， ∴∠C＝∠E， ∴∠DOB＝∠BOE， ∴． 4．（2023·通州区·期中）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AD＝BC． （1）比较与的长度，并证明你的结论； （2）求证：AE＝CE． 【详解】（1）解：与的长度相等，理由如下： ∵AD＝BC， ∴， ∴， ∴． （2）证明：在△ADE和△CBE中， ， ∴△ADE≌△CBE（AAS）， ∴AE＝CE． 题型四 圆心角的度数与它所对的弧的度数的应用 1．（2024·铜山区·期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交于点E，则的度数为（　　） A．50° B．40° C．55° D．60° 【详解】解：如图，连接CD， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°， ∴∠B＝90°﹣25°＝65°， ∵BC＝CD， ∴∠CDB＝∠B＝65°， ∴∠BCD＝180°﹣∠CDB﹣∠B＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∴的度数为50°． 故选：A． 2．（2024·新沂市·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝67.5°，以AB为直径的半圆与BC，AC分别相交于点D，E，则弧AE的度数（　　） A．40° B．50° C．90° D．100° 【详解】解：如图，连接OE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝67.5°， ∴∠BAC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°， ∵OA＝OE， ∴∠AEO＝∠BAC＝45°， ∴∠AOE＝180°﹣2×45°＝90°， ∴弧AE的度数为90°． 故选：C． 3．（2025·建邺区·二模）如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，且OD∥BC，若的度数为43°，则的度数为　　°． 【详解】解：如图，连接OC， ∵的度数为43°， ∴∠AOD＝43°， ∵OD∥BC， ∴∠ABC＝∠AOD＝43°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠ABC＝43°， ∴∠BOC＝180°﹣43°﹣43°＝94°， ∴的度数为94°， 故答案为：94． 4．（2024·丰县·期中）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧的度数为50°，求∠AOC的度数． 【详解】解：如图，连接OE， ∵的度数为50°， ∴∠COE＝50°， ∵OC＝OE， ∴∠OCE＝∠OEC， ∴∠OCE＝（180°﹣50°）÷2＝65°， ∵CE∥AB， ∴∠AOC＝∠OCE＝65°． 题型五 根据垂径定理及推论求线段长——单勾股定理 1．（2025·海安市·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，PA＝9，PB＝4，则CD的长为（　　） A．6 B．10 C．12 D．13 【详解】解：如图，连接OC， ∵PA＝9，PB＝4， ∴OA＝OC， ∴OP＝PA﹣OA＝9， 在Rt△COP中，由勾股定理可得：CP6， ∴CD＝2CP＝2×6＝12． 故选：C． 2．（2023·金坛区·月考）如图，在⊙O中，弦AB的长为2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　） A．4 B．2 C． D．1 【详解】解：如图，连接OD， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO＝90°， ∴CD， 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合， ∴CD＝CBAB2＝1， ∴CD的最大值为1． 故选：D． 3．（2024·响水县·期末）如图，P是⊙O内一点．若圆的半径为5，OP＝3，则经过点P的弦的长度不可能为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【详解】解：如图，连接OP，过P作弦AB⊥OP，此时AB是过P的最短的弦， ∴AB＝2AP， ∵圆的半径为5，OP＝3， ∴AP4， ∴AB＝8， ∵过P的最长的弦是圆的直径是10， ∴8≤经过点P的弦的长≤10， ∴经过点P的弦的长度不可能是7． 故选：A． 4．（2025·无锡·二模）如图，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，AB＝6，则⊙O的半径为　　． 【详解】解：如图，OC交AB于点D， 由折叠的性质可得：AB垂直平分OC， ∴OD＝CDOCOA，AB⊥OC， ∴AD＝BDAB＝3， 在Rt△OAD中，OA2＝AD2+OD2， ∴OA2＝32， ∴OA＝2（负值已舍）． 故答案为：2． 5．（2025·兴化市·二模）如图A，B，C，E四点在⊙O上，OC⊥AB，AB＝8，CD＝2，则⊙O的直径AE为　　． 【详解】解：设圆的半径长是r， ∵OC⊥AB， ∴ADAB8＝4， ∵CD＝2， ∴OD＝r﹣2， ∵OA2＝OD2+AD2， ∴r2＝（r﹣2）2+42， ∴r＝5， ∴⊙O的直径AE＝2r＝10． 故答案为：10． 6．（2025·涟水县·一模）已知，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为　　． 【详解】解：①如图，连接OA， ∵⊙O的直径CD＝10， ∴OA＝5， ∵弦AB＝8，AB⊥CD， ∴AMAB8＝4， 在Rt△AOM中，由勾股定理可得：OM3， ∴DM＝OD+OM＝5+3＝8； ②如图，连接OA， 同①可得：OM＝3， ∴DM＝OD﹣OM＝5﹣3＝2； 综上，DM的长为8或2． 故答案为：8或2． 题型六 根据垂径定理及推论求线段长——双勾股定理 1．（2024·仪征市·期末）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（　　） A．6 B．9 C． D．25﹣3 【详解】解：如图：过O作OG⊥AB于G，连接OB， 由垂径定理可得：AG＝BG， 设AC＝2a，则CB＝4a，CG＝a，GB＝3a， 在Rt△OCG中，OC2＝OG2+CG2＝OG2+a2①， 在Rt△OBG中，OB2＝OG2+GB2＝OG2+9a2②， ②﹣①得：OB2﹣OC2＝8a2， ∵OC＝3，OB＝5， ∴8a2＝25﹣9＝16， ∴a2＝2，OG2＝7． ∴圆心到弦的距离是． 故选：C． 2．（2024·玄武区·二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则⊙O的半径为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【详解】解：如图，作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD， ∴∠NDP＝∠MCP＝∠APC＝45° 又∵OC＝OD， ∴∠ODP＝∠OCP， ∵∠COM＝45°+∠OCD，∠ODN＝45°+∠ODC， ∴∠NDO＝∠COM， 在Rt△ODN与Rt△COM中， ， ∴Rt△ODN≌Rt△COM（AAS）， ∴ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN， 又∵OC2＝CM2+OM2，OD2＝DN2+ON2， ∴OC2＝CM2+PN2，OD2＝DN2+PM2， ∴OC2+OD2＝CM2+PN2+DN2+PM2＝PC2+PD2＝8， ∴OC2＝4， ∴OC＝2． 故选：B． 3．（2024·建邺区·期中）如图，⊙O的直径为10，弦AD，BC在圆心的两侧，且AD∥BC，AD＝6，BC＝8，则图中阴影部分的面积为　　． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AD交AD于点E，延长EO交BC于点F，连接AO、BO， ∵OE⊥AD， ∴∠AEO＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠BFO＝90°， ∴OF⊥BC， ∵AD＝6，BC＝8，AO＝BO5， ∴AEAD＝3，BFBC＝4， 在Rt△AEO中，由勾股定理可得：OE4， 在Rt△BFO中，由勾股定理可得：OF3， ∴EF＝OE+OF＝7， ∴S梯形ABCD（AD+BC）•EF（6+8）×7＝49， ∵S⊙O＝π52＝25π， ∴S阴影＝S⊙O﹣S梯形ABCD＝25π﹣49． 故答案为：25π﹣49． 4．（2022·溧阳市·期中）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝2，以A为圆心AC长为半径作圆A，延长CB交圆A于点D，则BD长为　　． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥CD，垂足为E，则CE＝DECD， 设BE＝x，则CE＝x+2， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得：AE2＝AB2﹣BE2， ∴AE2＝42﹣x2， 在Rt△ACE中，由勾股定理可得：AE2＝AC2﹣CE2， ∴AE2＝52﹣（x+2）2， ∴42﹣x2＝52﹣（x+2）2，解得：x， ∴BE， ∴CE2， ∴CD＝2CE， ∴BD＝CD﹣BC． 故答案为：． 题型七 根据垂径定理解决简单的实际问题 1．（2025·玄武区·二模）在直径为26cm的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（　　） A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm 【详解】解：如图，连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， ∵AB＝24cm， ∴BDAB＝12cm， ∵⊙O的直径为26cm， ∴OB＝OC＝13cm， 在Rt△OBD中，OD5（cm）， ∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm）， ∴水的最大深度为8cm． 故选：C． 2．（2024·新沂市·期中）工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个槽孔的宽口AB的长度为（　　） A．6mm B．8mm C．10mm D．5mm 【详解】解：如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D， 则AB＝2AD， ∵钢珠的直径是10mm， ∴钢珠的半径是5mm， ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OD＝3mm， 在Rt△AOD中， ∵AD4(mm)， ∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)． 故选：B． 3．（2024·仪征市·月考）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（　　） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 【详解】解：如图，连接OA， ， ∵AB⊥CD，且AB＝10寸， ∴AE＝BE＝5寸， 设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x， ∵CE＝1， ∴OE＝x﹣1， 在直角三角形AOE中，由勾股定理可得：x2﹣（x﹣1）2＝52， 化简得：2x＝26， ∴CD＝26寸． 故选：D． 4．（2024·亭湖区·月考）HUAWEIMate60pro手机完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长60mm，弓形高CD长10mm，求半径OA的长． 【详解】解：设半径OA的长为r mm， ∴OA＝OC＝OB＝r mm， ∵弓形高CD＝10mm， ∴OC⊥AB，OD＝（r﹣10）mm， ∴AD＝BDAB， ∵AB＝60mm， ∴， 在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2， ∴r2＝（r﹣10）2+302，解得：r＝50mm， 答：半径OA的长为50mm． 题型一 垂径定理的证明与计算综合 1．（2024·阜宁县·期中）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C、D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若，EF＝3，求⊙O的半径． 【详解】（1）证明：∵OA＝OB，OE⊥AB于点F， ∴AF＝BF， 又∵OE是⊙O的半径，OE⊥AB， ∴CF＝DF， ∴AC＝BD． （2）解：如图，连接OC， 设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r， 由EF＝3得：OF＝OE﹣EF＝r﹣3， ∵OE是⊙O的半径，OE⊥AB，， ∴， 在Rt△COF中，由勾股定理可得：，解得：r＝6， ∴⊙O的半径为6． 2．（2024·泰兴市·月考）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AD交小圆于点B、C． （1）求证：AB＝CD； （2）当AB•BD＝6时，求大圆与小圆的面积之差． 【详解】（1）证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E， 则AE＝DE，BE＝CE， ∴AE﹣BE＝DE﹣CE， ∴AB＝CD； （2）解：连接OA、OB， 大圆与小圆的面积之差为：πOA2﹣πOB2 ＝π（OE2+AE2）﹣π（OE2+BE2） ＝π（OE2+AE2﹣OE2﹣BE2） ＝π（AE2﹣BE2） ＝π（AE+BE）（AE﹣BE） ＝π（DE+BE）（AE﹣BE） ＝π•AB•BD ＝6π． 3．（2024·沭阳县·月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，以AC为半径的⊙C与AB相交于点D． （1）若∠B＝40°，则的度数为　　． （2）若AC＝3，BC＝4，求DB的长． 【详解】解：（1）如图，连接OD， ∵∠C＝90°，∠B＝40°， ∴∠CAB＝50°， ∵CA＝CD， ∴∠A＝∠CDA＝50°， ∴∠ACD＝180°﹣2∠CAD＝180°﹣2×50°＝80°， ∴的度数为80°， 故答案为：80°； （2）如图，作CH⊥AD于H， 由垂径定理可得：， ∵∠ACB＝90°， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2023·鼓楼区·月考）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB＝6，，求⊙O的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接BD． ∵AB是⊙O的弦，半径 OD⊥AB， ∴D是的中点， ∴， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAD+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°， ∴∠C＝∠DBC， ∴BD＝CD， ∴AD＝CD， ∴D为AC的中点； （2）如图，连接OA， ∵半径 OD⊥AB，垂足为H，AB＝6， ∴AHAB＝3， ∵D是AC的中点，， ∴， ∴DH2， 设OD＝OA＝r，则 OH＝r﹣2， 在Rt△OAH中，OH2+AH2＝OA2， ∴（r﹣2）2+32＝r2， ∴， ∴⊙O的半径为． 题型二 根据垂径定理解决复杂的实际问题 1．（2024·天宁区·月考）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【详解】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O以点D， 由题意可知：CD＝1m，AB＝6m， ∴OC⊥AB，AB＝6m， ∴AC＝BCAB＝3m， 设圆的半径为r m，即OA＝OD＝r m，OC＝（r﹣1）m， 在Rt△AOC中，OC2+AC2＝OA2， ∴（r﹣1）2+32＝r2，解得：r＝5， ∴该圆的半径为5m； （2）设水面升到如图EF的位置，则EF∥AB，OD与EF相交于点G， ∵OD⊥EF， ∴EG＝FGEFm， 连接OE，在Rt△EOG中，OE＝5m，EG＝4m， ∴OG3m， ∴CG＝OC﹣OG＝4﹣3＝1（m）， ∴水面上涨的高度为1米． 2．（2024·工业园区·期中）苏州是一座拥有4000多年历史的文化名城，苏州古城座落在水网之中，街道依河而建，水陆并行；建筑临水而造，前巷后河，形成“小桥、流水、人家”的独特风貌．如图，某座苏州古桥的桥拱可看作一段圆弧，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m． （1）求此圆弧形拱桥的半径； （2）若有一艘宽12m的船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形并高出水面3m，请通过计算判断，该船能否安全穿过桥洞，并说明理由． 【详解】解：如图，连接OA，OC，则OC⊥AB，CD＝4m， 设OA＝OC＝r m． ∵OC⊥AB，AB＝16m， ∴ADAB＝8m， ∵CD＝4m， ∴OD＝OC﹣CD＝（r﹣4）m， 在Rt△ADO中，由勾股定理可得：AD2+OD2＝OA2， ∴82+（r﹣4）2＝r2， ∴r＝10， 答：此圆弧形拱桥的半径是10m． （2）该船不能否安全穿过桥洞，理由如下： 如上图，矩形EFGH，GH与OC交于点M，EF＝12m，连接OH， ∵EF＝12m， ∴MH＝DEEF＝6m， 在Rt△HMO中，由勾股定理可得：OM8m， ∵OD＝OC﹣CD＝6m， ∴HE＝DM＝OM﹣OD＝2m， ∵3＞2， ∴该船不能否安全穿过桥洞． 3．（2024·云龙区·期中）如图，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12m宽AB为3m，隧道的顶端E（圆弧AED的中点）高出道路（BC）7m． （1）求圆弧AED所在圆的半径： （2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高6m宽2.5m，那么这辆货运卡车能否通过该隧道？ 【详解】解：（1）设圆心为点O，半径为R，连接OA，OE，设OE与AD交于点F， ∵隧道的顶端E是圆弧AED的中点，高出道路（BC）7m， ∴， ∵矩形的长BC为12m，宽AB为3m， ∴AD∥BC且AD，BC之间的距离为3m，AD＝BC＝12m， ∴，EF＝7﹣3＝4（m），AF＝DF＝6m， ∴OF＝（R﹣4）（m）， ∴R2＝（R﹣4）2+62， ∴R＝6.5， ∴圆弧AED所在圆的半径为6.5m． （2）在圆弧AED上取一点H，过点H作HG⊥OE于点G，且使得HG＝2.5， ∴， ∴点O到BC的距离为7﹣6.5＝0.5（m）， ∴点G到到BC的距离为6+0.5＝6.5（m）＞6m， ∴这辆货运卡车能通过该隧道． 4．（2023·如皋市·期末）根据素材解决问题： 设计货船通过圆形拱桥的方案 素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m． 素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EH＝12m，EF＝2.1m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降0.01m．． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【详解】解：任务1： 如图，设圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO， 设桥拱的半径为r m，则OD＝（r﹣4）m， ∵OC⊥AB， ∴AD＝BDAB＝8m， ∵OD2+AD2＝OA2， ∴（r﹣4）2+82＝r2， ∴r＝10， ∴圆形拱桥的半径为10m； 任务2： 根据图3状态，货船通过圆形桥拱，至少要增加10吨的货物才能通过，理由如下： 如图，当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH， ∵四边形EFGH为矩形， ∴EH∥FG， ∵OC⊥AB， ∴OM⊥EH． ∴EMEH＝6m， ∴OM8， ∵OD＝OC﹣CD＝6m， ∴DM＝2m＜2.1m， ∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， ∵货船的载重量每增加1吨，则船身下降0.01m． ∴船在水面部分可以下降的高度（2.1﹣2）÷0.01＝10（吨）， ∴至少要增加10吨的货物才能通过． 1．（2023·如皋市·期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述中一定正确的是（　　） A．当x1＞x2时，d（x1）＞d（x2） B．当d（x1）＞d（x2）时，x1＞x2 C．当x1＝2x2时，d（x1）＝2d（x2） D．当x1+x2＝1时，d（x1）＝d（x2） 【详解】解：A、当x1＞x2时，d（x1）与d（x2）可能相等，可能不等，故不合题意； B、当d（x1）＞d（x2）时，x1＞x2或x1＜x2，故不合题意； A、当x1＝2x2时，d（x1）＜2 d（x2）故不合题意； D、当x1+x2＝1时，d（x1）＝d（x2），故符合题意． 故选：D． 2．（2023·工业园区·月考）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形； （2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦． 【详解】（1）证明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°， ∴四边形ADOE是矩形， ∵AB，AC是⊙O的等垂弦， ∴AB＝AC， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AEAC，ADAC， ∴AE＝AD， ∴矩形ADOE是正方形． （2）证明：如图，设AB交CD于点E，连接AC， ∵OD⊥OA，OC⊥OB， ∴∠AOD＝∠BOC＝90°， ∴∠AOB＝∠COD， ∴AB＝CD， ∵∠BAC∠BOC＝45°，∠ACD∠AOD＝45°， ∴∠BEC＝∠ACD+∠BAC＝90°， ∴AB⊥CD， ∵AB＝CD，AB⊥CD， ∴AB，CD是⊙O的等垂弦． 3．（2024·镇江·期中）定义：关于x的方程，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： （1）请写出一个“经典方程”：　　； （2）求证：关于x的“经典方程”必有实数根； （3）如图，已知AB、CD是半径为1的⊙O的两条平行弦，AB＝a，CD＝b，且关于x的方程是“经典方程”，求∠BOC的度数． 【详解】（1）解：写出一个“勾股方程”：6x2+10x+8＝0 （答案不唯一）， 故答案为：6x2+10x+8＝0（答案不唯一）； （2）证明：∵关于x的方程是“经典方程”， ∴a2+b2＝c2且c≠0， ①当a≠0时， ＝2（a2+b2）﹣4ab ＝2（a2+b2﹣2ab） ＝2（a﹣b）2≥0， ∴方程有两个实数根， ②当a＝0时， 方程为，c≠0， ∴该方程有实数根， ∴“经典方程”必有实数根； （3）解：如图，作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F， ∴EF⊥CD， ∴，， ∵BE2+OE2＝OB2， ∴， ∵是“经典方程”， ∴， ∴， ∵OB＝OC， ∴Rt△BOE≌Rt△OCF（HL）， ∴∠FOC＝∠OBE， ∵∠OBE+∠EOB＝90°， ∴∠FOC+EOB＝90°， ∴∠COB＝90°． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$