精品解析：福建省泉州市安溪县2024-2025学年七年级下学期期末数学试题

2025年春季七年级期末质量监测数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，通过步骤“移项、合并同类项、系数化为”即可求解．解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 【详解】解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ∴方程的解是． 故选：B． 2. 用代数式表示“比a的2倍小3”，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，先用表示出a的2倍，再减去3即是答案． 【详解】解：比a2倍小3表示为：， 故选：A． 3. 数学符号能使数学语言在表达上一目了然、简明准确．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意， C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， 故选：C． 4. 如图，人字梯中间设计拉杆来固定，这样做的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，可以构造一个三角形，根据三角形具有稳定性可以增加使用梯子时的安全性，因此这样做的几何原理是三角形的稳定性． 故选：D． 5. 若一个三角形的三边长分别为，，，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴选项符合题意， 故选：． 6. 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（　　） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°． 【详解】∵正三角形的内角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6个正三角形可以铺满地面一个点， ∴正三角形可以铺满地面； ∵正方形的内角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4个正方形可以铺满地面一个点， ∴正方形可以铺满地面； ∵正五边形的内角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3， ∴正五边形不能铺满地面； ∵正六边形的内角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3个正六边形可以铺满地面一个点， ∴正六边形可以铺满地面． 故选C． 【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 7. 用加减消元法解方程组时，下列做法正确的是（ ） A. 要消去x，可以将①② B. 要消去x，可以将①② C. 要消去y，可以将①② D. 要消去y，可以将①② 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】A．将①②得，，无法消去x，错误； B．将①②得，，可以消去x，正确； C．将①②得，，无法消去y，错误； D．将①②得，，无法消去y，错误． 故选：B． 8. 《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六.问：人数、鸡价各几何?”译文为：有若干人一起买鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱；买鸡的人数、鸡的价格各是多少?设有x人买鸡，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从实际问题抽象出一元一次方程，找出等量关系是解答本题 的关键． 根据“若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱”列方程即可． 【详解】解：设有x人买鸡，根据题意，可列方程为 故选：B． 9. 若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组， 首先解不等式组，得到解集为，根据恰好有2个整数解的条件，确定整数解的可能值，进而推导a的取值范围． 【详解】解：由，得解集为， 关于x的不等式组，恰有2个整数解， a的取值范围为， 故选：D． 10. 密码学是一门研究如何隐密地传递信息的学科，涉及加密和解密技术的科学，在密码学中，直接可以看到的内容称为明码，对明码进行某种处理后得到的内容称为密码．清溪中学数学兴趣小组开展综合与实践活动，将26个英文字母按顺序分别对应整数1到26．现有4个字母构成的密码单词，记4个字母对应的数字分别为，，，．已知整数，，，除以26的余数分别为1，19，6，15．则这个密码单词为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题目条件分别求解各字母对应的数字，再转换为字母即可确定密码单词． 【详解】解：由题意得 ，，，， ，当时，，，余数为，满足条件．故． 余数为，同理可求． 余数为，同理可求． 余数为，同理可求． ，，，，组合为“love”， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 已知，则______（填“>”、“<”或“=”号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．利用不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12. 不等式3x-1>5的解集是_________． 【答案】x>2 【解析】 【分析】根据不等式的性质解不等式即可． 【详解】解：3x-1>5， 3x>6 x>2， 故答案为：x>2 【点睛】此题考查了求不等式的解集，正确掌握不等式的性质是解题的关键． 13. 正多边形的一个外角等于，则其边数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数． 【详解】解：正多边形的一个外角等于，且外角和为， 则这个正多边形的边数为：， 故答案为：． 14. 已知是方程一个解，则a的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入，得出a的方程求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得． 故答案为2． 15. 如图，将周长为12的沿方向向右平移个单位长度得到，若四边形的周长为18，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，得到，结合周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∵的周长， ∴四边形的周长， ∴； 故答案为：3． 16. 如图，在中，，，绕点C逆时针旋转到位置，，的延长线相交于点F． （1）若，则________； （2）请用等式表示与之间的数量关系：________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质． （1）先根据平行线的性质得到，则，然后根据旋转的性质得到； （2）先计算出，则，再根据旋转的性质得到，，则，接着计算出，，据此计算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵绕点C逆时针旋转到位置， ∴； 故答案为：150； （2）∵，， ∴， ∴， ∵绕点C逆时针旋转到位置， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴与之间的数量关系为． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法计算即可． 【详解】解：①②，得：， ， 把代入①，得， ， ． 19. 解不等式组：，并将解集表示在数轴上． 【答案】；数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示出不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得到不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 不等式组解集在数轴上表示如下： 20. 如图，网格中小正方形的边长为1，三个顶点和点O都在格点上． （1）如图1，画出将先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后得到的； （2）如图2，画出关于点O成中心对称的图形，并标上对应的字母． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平移变换和中心对称变换的作图，熟练掌握平移的性质和中心对称的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质，将的三个顶点分别向右平移3个单位，再向上平移1个单位，然后依次连接平移后的三个顶点，得到； （2）根据中心对称的性质，将的三个顶点与点O分别连接并延长，使延长线的长度等于该顶点到点O的距离，得到对应点、、，即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 如图所示，即为所求． 21. 如图，在中，于点D，平分，，相交于点F，，，求和的度数． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据直角三角形两锐角互余，可求出；再根据三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义可得，即可求解 【详解】解：， ， ， ． ， ， 平分， ， ． 22. 已知有理数a，b，c满足． （1）若，求c的取值范围； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式和三元一次方程组，熟练掌握利用加减消元法解二元和三元一次方程组是解题的关键． （1）先把方程组的两个方程相加，然后根据已知条件列出关于c的不等式，解不等式即可； （2）先把方程组的两个方程相加，再把用、表示出来，然后代入，得到关于、的不等式，经过变形即可． 【小问1详解】 解： 由①②，得， ， ， ． 【小问2详解】 证明：由（1）知：， ． ， ， 即， ， 将不等式两边都除以，可得：． 23. 数学上有一个非常经典的游戏叫“抢30”，游戏规则是：两人轮流报数，每人每次至少报1个数，最多报2个数．从1到30按顺序连续报数，谁先报到30，谁就获胜．你知道取胜的方法吗？ 让我们先来看看小安和小溪玩这个游戏的过程： 小安：1 小溪：2，3 小安：4，5 小溪：6 小安：7，8 小溪：9 小安：10 小溪：11，12 小安：13 小溪：14，15 小安：16，17 小溪：18 … … “抢30”游戏的秘诀有两条：第一，让对方先报．第二，对方报1个数，你就报2个数；对方报2个数，你就报1个数． （1）若你想抢到30，在这之前，你必须抢到________；（填“27”或“28”或“29”） （2）在“抢30”游戏中，现游戏规则修改为：两名玩家A、B轮流报数，每次可报1至3个连续数，先报到30者获胜．若玩家A先报数，且采取的策略是之后若B报m个数，则A报个数，请利用方程和不等式的知识，求出玩家A第一次应报几个数才能确保获胜？ 【答案】（1）27 （2）2个 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究，求不等式组的解集，弄清题意是解题的关键． （1）根据“抢30”游戏的秘诀解答即可； （2）设玩家A第一次应报x个数，共进行n轮，先求出，然后根据求出n的取值范围． 【小问1详解】 解：∵“抢30”游戏的秘诀有两条：第一，让对方先报．第二，对方报1个数，你就报2个数；对方报2个数，你就报1个数， ∴若你想抢到30，在这之前，你必须抢到27． 故答案为：27； 【小问2详解】 解：设玩家A第一次应报x个数，共进行n轮， 则，且n自然数， 根据题意，得， ， ， 解得：， 为自然数， ， ． 答：玩家A第一次应报2个数才能确保获胜． 24. 清溪中学为艺术节获奖选手购买小笔记本、大笔记本、钢笔三种奖品，其中钢笔每支元，每本大笔记本比小笔记本多2元，且购买3本小笔记本和5本大笔记本共需元． （1）求小笔记本、大笔记本的单价分别是多少元？ （2）若学校准备购进小笔记本和大笔记本共本，费用不超过元，则最多可购进大笔记本多少本？ （3）若学校准备同时购进三种奖品（每种奖品都必须购买），且大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费元，若要使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？ 【答案】（1）5元，7元 （2）本 （3）小笔记本本，钢笔5支，大笔记本本 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式． （1）设小笔记本的单价为元，大笔记本的单价为元，根据“每本大笔记本比小笔记本多2元，且购买3本小笔记本和5本大笔记本共需元”可列出关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）设购进大笔记本m本，根据题意，则，解关于的一元一次不等式即可； （3）设购买小笔记本a本，钢笔支，则大笔记本本，根据题意得：，由，b均为正整数，得，因此只能取5，，，分别求出这三种情况下购买奖品的总数，比较大小后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设小笔记本的单价为元，大笔记本的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，符合题意， 答：小笔记本的单价为5元，大笔记本的单价为7元． 【小问2详解】 解：设购进大笔记本m本，则购进小笔记本本， 则， 解得：， 的最大值为， 答：最多可购进大笔记本本． 【小问3详解】 解：设购买小笔记本a本，钢笔支，则大笔记本本， 根据题意得：， ， ，b均正整数， ， 只能取5，，． 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则． ， 应购买小笔记本本，钢笔5支，大笔记本本． 25. 如图1，是的角平分线，E为射线上一点，过点E作，垂足为点F． （1）若，且点E在线段上． ①_______，理由是________； ②若平分交于点H，求证：； （2）如图2，若点E在线段的延长线上，平分交的延长线于点I，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）①90，直角三角形的两个锐角互余 ②证明见解析 （2）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）①根据直角三角形的两个锐角互余即可得到结论； ②先证明，再利用三角形外角的性质证明，进而可证； （2）设，，由三角形外角的性质得出，，消去x，y即可求解． 【小问1详解】 ①∵， ∴，理由是直角三角形的两个锐角互余． 故答案为：90，直角三角形的两个锐角互余； ②证明：平分， ， ，， ，， ， 又， ， ． 平分， ， ， ． 【小问2详解】 ，理由如下： ，分别平分，， 设，， ， 即，① ， 即，② 由①②，得， 即． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季七年级期末质量监测数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程解是（ ） A. B. C. D. 2. 用代数式表示“比a的2倍小3”，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 数学符号能使数学语言在表达上一目了然、简明准确．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，人字梯中间设计拉杆来固定，这样做的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形稳定性 5. 若一个三角形的三边长分别为，，，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 6. 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（　　） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 7. 用加减消元法解方程组时，下列做法正确的是（ ） A. 要消去x，可以将①② B. 要消去x，可以将①② C. 要消去y，可以将①② D. 要消去y，可以将①② 8. 《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六.问：人数、鸡价各几何?”译文为：有若干人一起买鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱；买鸡的人数、鸡的价格各是多少?设有x人买鸡，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 密码学是一门研究如何隐密地传递信息的学科，涉及加密和解密技术的科学，在密码学中，直接可以看到的内容称为明码，对明码进行某种处理后得到的内容称为密码．清溪中学数学兴趣小组开展综合与实践活动，将26个英文字母按顺序分别对应整数1到26．现有4个字母构成的密码单词，记4个字母对应的数字分别为，，，．已知整数，，，除以26的余数分别为1，19，6，15．则这个密码单词为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 已知，则______（填“>”、“<”或“=”号）． 12. 不等式3x-1>5的解集是_________． 13. 正多边形的一个外角等于，则其边数为________． 14. 已知是方程的一个解，则a的值为________． 15. 如图，将周长为12的沿方向向右平移个单位长度得到，若四边形的周长为18，则________． 16. 如图，在中，，，绕点C逆时针旋转到位置，，的延长线相交于点F． （1）若，则________； （2）请用等式表示与之间的数量关系：________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 解方程组： 19. 解不等式组：，并将解集表示在数轴上． 20. 如图，网格中小正方形的边长为1，三个顶点和点O都在格点上． （1）如图1，画出将先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后得到的； （2）如图2，画出关于点O成中心对称图形，并标上对应的字母． 21. 如图，在中，于点D，平分，，相交于点F，，，求和的度数． 22. 已知有理数a，b，c满足． （1）若，求c的取值范围； （2）若，求证：． 23. 数学上有一个非常经典的游戏叫“抢30”，游戏规则是：两人轮流报数，每人每次至少报1个数，最多报2个数．从1到30按顺序连续报数，谁先报到30，谁就获胜．你知道取胜的方法吗？ 让我们先来看看小安和小溪玩这个游戏的过程： 小安：1 小溪：2，3 小安：4，5 小溪：6 小安：7，8 小溪：9 小安：10 小溪：11，12 小安：13 小溪：14，15 小安：16，17 小溪：18 … … “抢30”游戏的秘诀有两条：第一，让对方先报．第二，对方报1个数，你就报2个数；对方报2个数，你就报1个数． （1）若你想抢到30，在这之前，你必须抢到________；（填“27”或“28”或“29”） （2）在“抢30”游戏中，现游戏规则修改为：两名玩家A、B轮流报数，每次可报1至3个连续数，先报到30者获胜．若玩家A先报数，且采取的策略是之后若B报m个数，则A报个数，请利用方程和不等式的知识，求出玩家A第一次应报几个数才能确保获胜？ 24. 清溪中学为艺术节获奖选手购买小笔记本、大笔记本、钢笔三种奖品，其中钢笔每支元，每本大笔记本比小笔记本多2元，且购买3本小笔记本和5本大笔记本共需元． （1）求小笔记本、大笔记本单价分别是多少元？ （2）若学校准备购进小笔记本和大笔记本共本，费用不超过元，则最多可购进大笔记本多少本？ （3）若学校准备同时购进三种奖品（每种奖品都必须购买），且大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费元，若要使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？ 25. 如图1，是的角平分线，E为射线上一点，过点E作，垂足为点F． （1）若，且点E在线段上． ①_______，理由是________； ②若平分交于点H，求证：； （2）如图2，若点E在线段的延长线上，平分交的延长线于点I，用等式表示与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$