精品解析：上海市杨浦区存志学校2024—2025学年下学期七年级第三次月考数学试卷

2024-2025学年上海市杨浦区存志学校七年级（下）第三次月考数学试卷 一、选择题：本题共15小题，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列条件中，能说明为等边三角形的是（ ） A. B. ， C. D. 2. 若一个三角形的底角比顶角大，则顶角为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（    ） A. 腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 B. 底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 C. 等边三角形的高、中线、角平分线长度都相同 D. 有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形 4. 如图，，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在等边三角形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是等边三角形，AD是角平分线，是等边三角形，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点D，交边于点E，，则的周长为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（    ） A. 6 B. 14 C. 14或6 D. 12或8 9. 下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，平分 10. 如图，已知钝角三角形，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤：以为圆心，为半径画弧①； 步骤：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤：连结，交的延长线于点． 下列叙述正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 11. 如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（    ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 12. 如图，在四边形中，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 13. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 3或4 D. 无法确定 14. 如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，．点关于直线的对称点为，连接，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，等边三角形边长为1，点D，E，F分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论中正确的是（    ） ①是等边三角形；②；③的面积为与面积之比为；④的外心与的外心重合． A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 16. 一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为________． 17. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为___________． 18. 如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则______． 19. 在中，，边与的中垂线交于点，则______． 20. 如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为______． 21. 如图，是等边中边上的点，，，则的度数为______． 22. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，则______． 23. 如图,已知△ABC是等边三角形,BC=BD,∠CBD=90°,则∠1的度数是_______. 24. 如图，在中，，垂直平分交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，若，，则的周长为______． 25. 在中，，边的垂直平分线与边交于点D，与边所在直线分别交于E、，若，则______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 26. 把以下过程补充完整． （1）如图1，在中，为的平分线，以点为顶点，为一边在外部作，边交边延长线于点，求证：点在线段的垂直平分线上． 证明：为的平分线， ， ， ， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上______． （2）如图2，已知是等边三角形内一点，是线段延长线上一点，且，，求的度数． 解：为等边三角形， （）， ， ， ， ， （）， ， ， 为等边三角形（）， ，， 即， ， ， ． 27. 如图，在中，，，求证：． 28. 如图，已知平分，点A、B分别是射线上的点，且于点A，点C是射线上的任意一点（点A、B、C都不与点O重合），连接交射线于点． （1）当时，在图1中，求作点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）当，且是等腰三角形时，请直接写出的度数． 29. 如图，中，，，点F是边上一点，且．点D是边上一点，连接，以为边作等边三角形，使点E在上侧，连接，． （1）直接写出与的数量关系______． （2）求的度数． （3）过点E作，交于点．求证：． 30. 如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： （1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 31. 如图，在等边中，D、E分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不运动到点）时，大小的变化情况是______（横线上填“变大”、“变小”、“不变”或先变大后变小），请说明理由． 32. 【问题背景】如图1，在探究手拉手全等模型时，小明发现了平分，他探究此问题的方法是“作”构造等边三角形解决问题． 【学以致用】 （1）如图2，等边三角形中，为边上一点，，交延长线于点． ①直接写出的度数； ②若，，求的长． （2）课后小明对手拉手模型进行了进一步的探究； ①和都是等边三角形，位置如图所示，此时平分的结论是否成立？______（填“成立”，“不成立”或“不能确定”）； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市杨浦区存志学校七年级（下）第三次月考数学试卷 一、选择题：本题共15小题，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列条件中，能说明为等边三角形的是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，能熟记等边三角形的判定定理是解此题的关键． 根据等边三角形的判定定理可得出答案． 【详解】解：A、， ， 不能说明为等边三角形， 故A不符合题意； B、，， 是等边三角形， 故B符合题意； C、， ， 不一定是等边三角形， 故C不符合题意； D、， 不一定是等边三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 2. 若一个三角形的底角比顶角大，则顶角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质． 设底角为，则顶角为，根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设底角为，则顶角为， 则， 解得， ， 即顶角为， 故选：C 3. 下列说法错误的是（    ） A. 腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 B. 底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 C. 等边三角形的高、中线、角平分线长度都相同 D. 有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，根据等边对等角和三角形内角和定理可得当两个等腰三角形的顶角相等时，那么它们的底角也相等，再结合全等三角形的判定定理可判断A、B；由三线合一定理可判断C、D． 【详解】解：A：腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等．等腰三角形腰相等，顶角对应相等，则底角也相等．根据可证明两三角形全等，原说法正确，不符合题意； B：底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等．底边相等，顶角相等，则底角也相等．由或可证明两三角形全等，原说法正确，不符合题意； C：等边三角形的高、中线、角平分线长度相同．等边三角形的三线合一（高、中线、角平分线重合），长度必然相等，原说法正确，不符合题意； D：若某边的高和中线重合，仅能判定该三角形为等腰三角形（底边对应的高和中线重合），但无法得出三边均相等的结论．例如，等腰非等边三角形也满足此条件，原说法错误，符合题意； 故选：D． 4. 如图，，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角．根据平行线的性质得，由等边对等角求得，由邻补角性质得，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 如图，在等边三角形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，是等边三角形，AD是角平分线，是等边三角形，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，即可一一判断． 【详解】∵△ABC是等边三角形，△AED是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，AE=AD=ED，∠EAD=60°， ∵AD是∠BAC角平分线， ∴∠DAB=∠DAC=30°， ∴AD⊥BC，故A正确， ∴∠EAB=∠BAD=30°， ∴AB⊥ED，EF=DF，故B正确， ∴BE=BD，故C正确， ∵AE=AD，D在BC上， ∴AC> AD=AE，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，属于中考基础题． 7. 如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点D，交边于点E，，则的周长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键．根据垂直平分线的性质得到，则，进一步证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：A． 8. 如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（    ） A. 6 B. 14 C. 14或6 D. 12或8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，设，，由是边上的中线，得到，分两种情况：当的周长比的周长大6时，当的周长比的周长大6时，建立二元一次方程组求解，再利用三角形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设，，是边上的中线， ， 分两种情况： 当的周长比的周长大6时， ， 解得：， 的三边长分别为12，12，6， ， 能组成三角形； 当的周长比的周长大6时， 即， 解得：， 的三边长分别为8，8，14； ， 能组成三角形； 综上所述：的长为6或14． 故选：C． 9. 下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线，根据垂直平分线的概念与判定逐个判断即可． 【详解】解：A、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； B、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； C、如图，    ，，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，符合题意； D、，平分，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意． 故选：C． 10. 如图，已知钝角三角形，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤：以为圆心，为半径画弧①； 步骤：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤：连结，交的延长线于点． 下列叙述正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质以及判定定理；连接，先证明，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出 【详解】解：连接， 由题意得， ∴是等腰三角形 在和中 ∴， ∴ ∴是的角平分线， 又∵ ∴ 故选：D． 11. 如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（    ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 12. 如图，在四边形中，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．连接交于点O，由题意可证垂直平分，,是等边三角形，是等腰三角形，作差计算即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵ ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴， , ∵， ∴， ∴是等边三角形，是等腰三角形, ∴，， ∴． 故选C． 13. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 3或4 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，构成三角形三边关系．根据题意分情况讨论即可． 【详解】解：∵当为等腰三角形时， ①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 故选：B． 14. 如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，．点关于直线的对称点为，连接，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先由点与点关于直线对称，得到 ，，再由等边三角形的性质和三角形内角和定理求得 ，然后由，即，即可求解，熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点关于直线的对称点， ∴为的中垂线， ∴，， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 15. 如图，等边三角形边长为1，点D，E，F分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论中正确的是（    ） ①是等边三角形；②；③的面积为与面积之比为；④的外心与的外心重合． A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形中线的性质，三角形重心的概念，全等三角形的判定和性质．利用证明，推出，证明是等边三角形；利用三角形中线的性质可判断的面积为与面积之比；利用等边三角形的外心和内心的性质据此即可得解． 【详解】解：是等边三角形且边长为1， ，， ， ，， ， ， 是等边三角形，故①正确； ，，， ，即，故②正确； 连接， ，， 点分别是的中点， 设， ， ， ， ∴的面积为与面积之比为，故③错误； 设的外心为O， 是等边三角形， 点O也是的内心，作于点G，于点H， ，， ， ， ， 同理，则， 的外心与的外心重合，故④正确． 综上，正确的有①②④， 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 16. 一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为________． 【答案】29 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 【详解】解：①当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长． 故答案为29． 17. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，注意等腰三角形的分类讨论．等腰三角形可能是锐角三角形或钝角三角形，需要分类讨论．当三角形为锐角三角形时，顶角为；当三角形为钝角三角形时，顶角为． 【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图1， 为高， ， ， 当在外部时，如图2， 为高， ， ， ∴， 综上所述，这个等腰三角形顶角的度数为或． 故答案为：或． 18. 如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由等边三角形三角形的性质推出垂直平分． 由等边三角形的性质推出垂直平分，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 19. 在中，，边与的中垂线交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，由线段垂直平分线的性质推出，得到，，因此，即可求出． 【详解】解：如图， 垂直平分， ， ， 同理：， ， 故答案为： 20. 如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，得到，是解题的关键．由，分别是的和的平分线和，可推出，，根据的周长即为的长度，即可求解． 【详解】解：，分别是，的平分线， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 的周长， 故答案为： 21. 如图，是等边中边上的点，，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由等边三角形的性质得，，而，，即可根据证明，得，，所以是等边三角形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：是等边三角形，点在上， ，， 在和中， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 22. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质与判定；根据题意，将绕点逆时针旋转后得到的，又根据旋转的性质，得出是等边三角形，可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：三角形中，，， ， 将绕点逆时针旋转后得到的， ，，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 23. 如图,已知△ABC是等边三角形,BC=BD,∠CBD=90°,则∠1的度数是_______. 【答案】75° 【解析】 【分析】利用等边三角形性质先得到∠ABC=60°，BD=BC可得到△ABD是等腰三角形，然后根据等腰三角形性质得到∠ADB，再通过三角形内角和计算出∠1的对顶角度数即可 【详解】因为△ABC是等边三角形, 所以AB=BC,∠ABC=60° 因为BD=BC，所以AB=BD 所以∠BAD=∠BDA 在△ABD中，因为∠CBD=90°，∠ABC=60° 所以∠ADB=（180°-90°-60°）÷2=15° 所以∠1=180°-∠CBD-∠ADB=180°-90°-15°=75° 故填75° 【点睛】本题结合了等边三角形性质、等腰三角形性质和三角形内角和定理，熟练运用内角和定理是解题关键 24. 如图，在中，，垂直平分交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，若，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质推出．由线段垂直平分线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形的外角性质推出，得到，因此的周长． 【详解】解：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 的周长 故答案为： 25. 在中，，边的垂直平分线与边交于点D，与边所在直线分别交于E、，若，则______． 【答案】50或140 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，分类思想的运用是解题的关键． 分两种情况，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图1， ，垂直平分， ， ， ， ， ； 如图2， ，垂直平分， ， ， ， ， ， 当垂直平分线与线段交于点， ，垂直平分， ， ， ， 中不符合三角形的内角和定理，不符合题意， ∴当垂直平分线与线段交于点，此种情况不存在， 综上，或。 故答案为：50或． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 26. 把以下过程补充完整． （1）如图1，在中，为的平分线，以点为顶点，为一边在外部作，边交边延长线于点，求证：点在线段的垂直平分线上． 证明：为的平分线， ， ， ， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上______． （2）如图2，已知是等边三角形内一点，是线段延长线上一点，且，，求的度数． 解：为等边三角形， （）， ， ， ， ， （）， ， ， 为等边三角形（）， ，， 即， ， ， ． 【答案】（1），；，等角对等边；线段垂直平分线的性质 （2）等边三角形的性质，，，等腰三角形的性质，等边三角形的判定定理 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）先由为的平分线，可得，再根据三角形外角的性质得到，而，，由等式的性质可知，根据等角对等边得到，由线段垂直平分线的判定可得点在线段的垂直平分线上； （2）由为等边三角形可得出、，由的度数利用邻补角互补可得出，结合可得出为等边三角形，根据等边三角形的性质可得出、，根据可得出，利用全等三角形的判定定理可证出，根据全等三角形的性质可得出的度数，再根据即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：为的平分线， ， ， ， ， ， 等角对等边， 点在线段的垂直平分线上线段垂直平分线的性质， 故答案为：，；，等角对等边；线段垂直平分线的性质； 【小问2详解】 解：为等边三角形， 等边三角形的性质，， ， ， ， 等腰三角形的性质， ， ， 为等边三角形等边三角形的判定定理， ，， 即， ， ， ， 故答案为：等边三角形的性质，，，等腰三角形的性质，等边三角形的判定定理． 27. 如图，在中，，，求证：． 【答案】 证明：延长至H交于H． ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰三角形的顶角平分线， ∴， ∴． 【解析】 【分析】延长至H交于H．根据“等边对等角”可得，进而可得，．根据证明，则可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】略 28. 如图，已知平分，点A、B分别是射线上的点，且于点A，点C是射线上的任意一点（点A、B、C都不与点O重合），连接交射线于点． （1）当时，在图1中，求作点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）当，且是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1） 图形如图所示； （2） 证明：， ， ， ， 平分， ， ， ， ； （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的作法、等腰三角形的性质与判定、等腰三角形的存在性问题、掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）如图，过点A作的垂线，交点即C点； （2）根据等角的余角相等证明出，再根据等角对等边即可得到； （3）根据是等腰三角形，分类讨论，分别计算出的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，，此时； 如图2中当时，， ； 当时，， ； 综上所述，或或 29. 如图，中，，，点F是边上一点，且．点D是边上一点，连接，以为边作等边三角形，使点E在上侧，连接，． （1）直接写出与的数量关系______． （2）求的度数． （3）过点E作，交于点．求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先求出，证明出是等边三角形，得到，然后得到，即可得到； （2）首先得到是等边三角形，得到，，证明出，得到，进而求解即可； （3）由全等得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：， 理由：，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 30. 如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： （1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【小问1详解】 如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； 【小问2详解】 如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下： 当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为： 31. 如图，在等边中，D、E分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不运动到点）时，大小的变化情况是______（横线上填“变大”、“变小”、“不变”或先变大后变小），请说明理由． 【答案】 大小不发生变化，始终等于，理由如下： 设，则， 在上截取，连接，如图所示： 是等边三角形， ，， ，， ， 在中，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是的外角， ， ， 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．设，则，在上截取，连接，根据等边三角形性质得，，则，根据是等边三角形得，，进而得，由此可依据判定和全等得，，则，继而根据三角形外角性质得，据此即可得出答案． 【详解】解：略． 32. 【问题背景】如图1，在探究手拉手全等模型时，小明发现了平分，他探究此问题的方法是“作”构造等边三角形解决问题． 【学以致用】 （1）如图2，等边三角形中，为边上一点，，交延长线于点． ①直接写出的度数； ②若，，求的长． （2）课后小明对手拉手模型进行了进一步的探究； ①和都是等边三角形，位置如图所示，此时平分的结论是否成立？______（填“成立”，“不成立”或“不能确定”）； ②求的值． 【答案】（1）①；② （2）①成立；② 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①由等边三角形的性质和外角的性质可求解； ②由可证，可得，，即可求解； （2）①由可证，可得，，由面积公式可求，即可求解； ②通过证明和是等边三角形，可得，，，由可证，，可得，，即可求解． 【小问1详解】 ①是等边三角形， ，， ， ， ， 故答案为：； ②如图，在上截取，连接， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ； 【小问2详解】 ①如图，过点A作于F，于G， ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 又，， 平分， 故答案为：成立； ②如图，在上截取，在上截取，连接，， ， ， ，， ， ， ， ，， 和是等边三角形， ，，， ，， ，， ，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $