第十三章 三角形（单元测试·提升卷）数学人教版2024八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十三章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图是跪姿射击的一种情形，由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中蕴含的数学知识是（    ） A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的三条中线交于一点 4．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的平分线，是的邻补角的平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．若a、b、c是三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 7．如图，的度数（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，的平分线交于点，连接，平分，交于点，若的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（　　） A． B． C． D． 10．设的面积为1．如图①，分别是的中点，相交于点与的面积差记为；如图②，分别是的3等分点，相交于点，与的面积差记为；如图③，分别是的4等分点，相交于点与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一个三角形的三条边的长都是整数，其中两条边的长是1和3，则第三条边的长是 ． 12．如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 13．如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，已知，则的度数是 ． 14．如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    15．定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 16．如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系，则 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知三角形的三条边长为和． (1)若6是最短边长．求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值． 18．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 19．如图，在中，是高，是的平分线． (1)若，求： ①的度数； ②的度数． (2)若，求的长． 20．如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、． (1)若，，则________． (2)猜想与的关系，并说明理由． (3)在线段上取一点，使得，连接，判断与的位置关系，并说明理由． 21．如图，在中，平分交于点． (1)若点为线段上的一个点，过点作交的延长线于点． ①若，，则___________； ②写出与、之间的数量关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，过点作交直线于点，请你直接写出与的数量关系__________． 22．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形”．如，三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以A为端点作射线，交线段于点（规定）． (1)的度数为_____°，_____．（填“是”或“不是”灵动三角形）． (2)若，是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由． (3)当为“灵动三角形”时，直接写出的度数． 23．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 24．【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 25．【问题探究】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______． （2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． 【拓展与应用】 （3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示） （4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十三章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图是跪姿射击的一种情形，由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中蕴含的数学知识是（    ） A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的三条中线交于一点 4．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的平分线，是的邻补角的平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．若a、b、c是三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 7．如图，的度数（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，的平分线交于点，连接，平分，交于点，若的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（　　） A． B． C． D． 10．设的面积为1．如图①，分别是的中点，相交于点与的面积差记为；如图②，分别是的3等分点，相交于点，与的面积差记为；如图③，分别是的4等分点，相交于点与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一个三角形的三条边的长都是整数，其中两条边的长是1和3，则第三条边的长是 ． 12．如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 13．如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，已知，则的度数是 ． 14．如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    15．定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 16．如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系，则 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知三角形的三条边长为和． (1)若6是最短边长．求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值． 18．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 19．如图，在中，是高，是的平分线． (1)若，求： ①的度数； ②的度数． (2)若，求的长． 20．如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、． (1)若，，则________． (2)猜想与的关系，并说明理由． (3)在线段上取一点，使得，连接，判断与的位置关系，并说明理由． 21．如图，在中，平分交于点． (1)若点为线段上的一个点，过点作交的延长线于点． ①若，，则___________； ②写出与、之间的数量关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，过点作交直线于点，请你直接写出与的数量关系__________． 22．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形”．如，三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以A为端点作射线，交线段于点（规定）． (1)的度数为_____°，_____．（填“是”或“不是”灵动三角形）． (2)若，是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由． (3)当为“灵动三角形”时，直接写出的度数． 23．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 24．【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 25．【问题探究】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______． （2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． 【拓展与应用】 （3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示） （4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十三章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为，另一个锐角的度数即为减去已知锐角的度数． 【详解】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为， ∴． 故选：D． 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，对各选项逐一验证，判断是否满足条件． 【详解】解：A、，，， 最大边为，另两边之和为， ， ∴ 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、，，， 最大边为，另两边之和为， ， ∴ 三线段共线，无法构成三角形； C、，，， 最大边为，另两边之和为， ， 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； D、，，， 最大边为，另两边之和为， ，且，均成立， 满足三边关系，能组成三角形， 故选：D ． 3．如图是跪姿射击的一种情形，由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中蕴含的数学知识是（    ） A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的三条中线交于一点 【答案】B 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，结合题意得跪姿射击由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定，进行作答即可． 【详解】解：依题意，跪姿射击由右脚尖、右膝和左脚构成的三角形支撑面，可以使射击者在射击过程中保持稳定， ∴蕴含的数学知识是三角形具有稳定性， 故选：B 4．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 5．如图，是的平分线，是的邻补角的平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．利用角平分线的定义，可求出，的度数，由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【详解】解：是的平分线，是的邻补角的平分线，，， ，， 是的外角， ． 故选：C． 6．若a、b、c是三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简. 根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值． 【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，，， ∴，，， ∴． 故选：A． 7．如图，的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，把所求的五个角转化在一个三角形中是解题的关键．根据三角形外角的性质可得：，再根据三角形内角和定理即即可求解． 【详解】解：如图， ∵， 又∵， ∴． 故选：A． 8．如图，在中，，的平分线交于点，连接，平分，交于点，若的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义得，在中，由三角形内角和定理可得，由角平分线定义得，，进而可求得．本题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， 在中，， ∵，的平分线交于点， ∴平分， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 9．如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算． 分别求出，，再找到可以去掉的式子即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵的平分线与的平分线的交于点， ∴ ， ∵， ∴， ∴ 即． 故选：A． 10．设的面积为1．如图①，分别是的中点，相交于点与的面积差记为；如图②，分别是的3等分点，相交于点，与的面积差记为；如图③，分别是的4等分点，相交于点与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律探索，找出点D，E角标的序号数与等分点的关系是解题关键，由题意得分别是的2025等分点，再根据，分别求出面积即可求出结论． 【详解】解：由题意得分别是的2025等分点，如下图： ， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一个三角形的三条边的长都是整数，其中两条边的长是1和3，则第三条边的长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，求出第三边的取值范围是解题的关键．首先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，然后从中取整数即可． 【详解】解：∵两条边长分别是和， ∴第三边的取值范围是第三边， ∵三边均为整数， ∴第三边的长为3， 故答案为：3． 12．如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出，，进而得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，已知，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形的外角定理，即可解答． 【详解】解：∵， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    【答案】/71度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，三角形的外角性质．先求出，根据折叠的性质得到，，由平行线的性质得到，，推出，然后根据平角的定义得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 16．如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的外角性质，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解，且当点在线段上，或当点在外时，过点作，然后进行分类讨论且作图，运用数形结合思路，结合平行线的性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题得：， 当点在线段上，过点作，如下图 ①当 ，， ∵； 又， ∴， ②当时， 则 ， ∴； 当点在外时，过点作，如下图： ①当 ， ，， ∵ 又， ∴ 即 ②当 由图可知，， 此情况不成立； 综上，或或， 故答案为：或或， 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知三角形的三条边长为和． (1)若6是最短边长．求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可得，再由是最短边长，可得； （2）根据（1）所求可得，则的最大值为14，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，即， 是最短边长， ， 的取值范围是； （2）解：由（1）可知，， 为整数， 的最大值为14， 三角形周长的最大值为． 18．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． 19．如图，在中，是高，是的平分线． (1)若，求： ①的度数； ②的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了三角形内角和性质、角平分线的定义，三角形的等面积法求线段的长度，即可作答 （1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，再结合是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数，即可作答． （2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答． 【详解】（1）（1）解：①∵是高， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是高， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 20．如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、． (1)若，，则________． (2)猜想与的关系，并说明理由． (3)在线段上取一点，使得，连接，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的判定， 对于（1），根据三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出答案； 对于（2），根据三角形内角和定理可得答案； 对于（3），根据三角形内角和定理可得，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：； （2）解：． 理由如下： ∵，， ∴， 即； （3）解：． 理由如下： ∵， ∴， ∴． 21．如图，在中，平分交于点． (1)若点为线段上的一个点，过点作交的延长线于点． ①若，，则___________； ②写出与、之间的数量关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，过点作交直线于点，请你直接写出与的数量关系__________． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角. （1）①三角形的内角和求出的度数，平分线求出的度数，外角求出的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余，求出的度数即可；②仿照①法，进行求解即可； （2）利用三角形的内角和定理，角平分线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； ②，证明如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∵， ∴； （2）如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∵， ∴． 故答案为：. 22．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形”．如，三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以A为端点作射线，交线段于点（规定）． (1)的度数为_____°，_____．（填“是”或“不是”灵动三角形）． (2)若，是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由． (3)当为“灵动三角形”时，直接写出的度数． 【答案】(1)30°，是 (2)是“灵动三角形” (3)或或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“灵动三角形”的概念判断； （2）根据“灵动三角形”的概念证明即可； （3）根据，点在线段上，根据“灵动三角形”的定义分六种情况进行计算即可． 【详解】（1）解: ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为“灵动三角形”， 故答案为；是； （2）解: 是“灵动三角形” 理由: ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是“灵动三角形”； （3）解: ∵为“灵动三角形”， ∵点在线段上，， ∵， ∴， Ⅰ、当时，， ∴， Ⅱ、当时， ∴ ∴此种情况不存在， Ⅲ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅳ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅴ、当时， ∴， ∴， ∵点与点不重合， ∴此种情况不成立， Ⅵ、当时， ∴°， ∴， ∴此种情况不存在， 综上所述，当为“灵动三角形”时，的度数为或或． 23．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 【答案】（1）见解析  （2）30°   （3） 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等，利用类比的思想解答是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，对顶角相等，即可求证； （2），得，再由角平分线的定义，得到 ，即可求解； （3）利用（1）的结论及（2）的思路得、；结合、，推出、；代入得到含、、的两个等式①②；对①式乘后与②式相加，消去、，整理得 。 【详解】解：（1）和， ，． ， （2）分别平分， ， 由（1）可知： 由①+②可得， ，即， ，， ． （3）直接写出结论：． 由（1）可知：， ， ，， ，， ①， ②， 由①②得： ， ． 24．【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵ ∴ ∴； （2）①如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，在直线上取一点，连接， 由①可知， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 25．【问题探究】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______． （2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． 【拓展与应用】 （3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示） （4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______． 【答案】（1）;（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）在中， ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （3）延长，交于点，同（2）可得，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； （4）求解，，可得，由（1）得：． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； 故答案为：． （3）延长，交于点， ∵，， 同（2）可得， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （4）∵，结合折叠， ∴，， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$画学科网·上好课 www,ZX×k,C0m 上好每一堂课 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十三章三角形能力提升（参考答案） 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 3 5 6 8 9 10 答案 D D B A B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.3 12.20° 13.28°/28度 14.71°171度 15.3 16.9°或27°或18 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题：每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：由题意得：9-6<r<9+6,即3<x<15, :6是最短边长， x26, x的取值范围是6≤x<15:3分 (2)解：由(1)可知，3<x<15, :1为整数， ∴x的最大值为14， :三角形周长的最大值为6+9+14=29.6分 18. 【详解】(1)解：如图，点P即为所求， 1/9 画学科网，上好课 www,ZX×k,C0m 上好每一堂课 3分 B (2)解：如图，点D或(D')即为所求， 6分 19. 【详解】(1)(1)解：①：AD是高， .∠ADC=90°， .∠DAC+∠C=90°， ∠C=60°， LDAC=30°；2分 ②：∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=32°，∠C=60°， ∠BAC=88°， “AE是∠BAC的平分线， ∠BaC=∠BAC=44 LDAE=LEAC-LDAC=I4°；4分 (2)解：：AB⊥AC,AD是高， 58C S.ABC =1BC.AD :AC=3,AB=4,BC=5, 7x4x3=x54D, 2 六0-号 46分 20. 【详解】(1)解：在△CEF中，∠FEC=120°，∠F=20°， 2/9 画学科网，上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C=180°-∠FEC-∠F=40°. :∠A=∠ABC,∠A+∠ABC+∠C=180°， ∠A=70°. 故答案为：70°；2分 (2)解：2∠A=∠FEC+∠F, 理由如下： :∠C+(∠FEC+∠F)=180°，LA+∠ABC+∠C=180°， :.∠C=180°-（∠FEC+∠F),∠C=180°-2∠A, 即2LA=LFEC+LF;4分 (3)解：MB∥AC. 理由如下： :∠MBC=∠F+∠FEC,∠C+∠F+∠FEC=180°， ∴.∠MBC+∠C=180°， .MB∥AC. E 6分 21. 【详解】(1)解：①：∠B=35°，∠ACB=85°， LBAC=180°-∠B-∠ACB=60°， :AD平分∠BAC, ∠B40-81C=30, .∠ADE=∠B+∠BAD=65°， PE⊥AD, .∠E=90°-∠ADE=25°： 故答案为：25：2分 ②∠E=∠4CB-∠B,证明如下： :AD平分∠BAC,∠BAC=180°-∠B-LACB, 3/9 画学科网·上好课 www,ZX×k,C0m 上好每一堂课 六∠BD-180-∠B-∠4CB=90°-∠B-∠4CB. 2 2 :∠ADE=∠B+∠BAD=90°+∠B-∠ACB, 2 2 PE⊥AD, :∠E=90°-∠ADE=)∠ACB-)∠B:n5分 2 2 (2)如图： AD平分∠BAC,∠BAC=I80°-∠ABC-∠ACB, ∠B1D-l0-∠48c-4c8-90-4Bc-4cB, LPDE-LABC+ZBADABC-ACB 2 PE⊥AD, :∠PED=90-∠PDE=}∠ACB-1∠ABC. 2 故答案为：∠PED= 5∠ACB-∠ABC8分 22. 【详解】(1)解：：AB1OM, ∠0AB=90°， ∴∠AB0=90°-∠M0N=30°， :∠0AB=3∠AB0, ·A0B为“灵动三角形”， 故答案为30；是；2分 (2)解：△A0C是“灵动三角形 理由：：LBAC=60,∠0AB=90°， .∠0AC=30°， 又∠M0N=60°， .LAC0=90°， 4/9 画学科网·上好课 www,ZX×k,C0m 上好每一堂课 .∠AC0=3∠0AC, “△AOC是“灵动三角形”；5分 (3)解：：ABC为灵动三角形”， :点C在线段OB上，0°<∠0AC<90°， ∠AB0=30°， ∠BAC+∠BCA=150°，LACB>60,∠BAC<90°， I、当∠ABC=3∠BAC时，∠BAC=10°， .∠0AC=80°， IⅡ、当∠ABC=3∠ACB时， ∠ACB=10° “此种情况不存在， 、当∠BCA=3∠BAC时， ∠BAC+3∠BAC=150°， .∠BAC=37.5°， ∠0AC=52.5°， IV、当∠BCA=3LABC时， ∠BCA=90°， ∠BAC=60°， ∠0AC=90°-60°=30°， V、当∠BAC=3LABC时， ∠BAC=90°， ∠0AC=0°， :点C与点0不重合， 此种情况不成立， VI、当∠BAC=3LACB时， .3∠ACB+∠ACB=150, LACB=37.5°， “此种情况不存在， 综上所述，当ABC为“灵动三角形"时，L0AC的度数为80°或52.5°或30°.8分 23. 5/9 画学科网·上好课 www,ZX×k,C0m 上好每一堂课 【详解】解：(1)：△A0B和△COD, ∠A+∠B+∠A0B=180°，∠C+=D+∠C0D=180°. ∠A0B=LCOD, LA+LB=∠C+∠D 2分 (2):AP.CP分别平分∠BAD、LBCD, .∠1=∠2，∠3=∠4， ∠P+∠3=∠2+∠B①， 由(1)可知： ∠P+∠1=∠4+∠D② 由①+②可得2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠B+∠D, 2P=∠B+∠D,即∠P-∠B+∠D, ∠B=44°，∠D=16°， ∠P=)44+16=30.5分 ③)直接写出结论：P:+B. 月 由(1)可知：∠P+∠BCP=∠B+∠BAP, LP+LPAD=∠D+∠PCD, :∠BAP==BAD,∠BCP='∠BCD, ·∠PAD=I-∠BAD,∠PCD=I-l∠BCD, ÷∠P+I∠BCD=a+'∠BADO, ∠P+n-∠BAD=B+"-l∠BCD②， 由①xn-1+②得： n∠P=n-la+B, ZP=-1 +B.8分 24. 【详解】解：(1)∠ABC=∠A+∠ADC+∠C. 证明：如图，连接DB,并延长至点E, 6/9 画学科网·上好课 www,ZX×k,C0m 上好每一堂课 B ∠A+∠ADB=∠ABE,∠C+LCDB=LCBE, :∠ABC=∠ABE+∠CBE ∠ABC=∠A+∠ADB+LCDB+∠C .LABC=LA+LADC+LC:4分 (2)①如图，连接CF, B D E 由(1)可知LB=LA+LAFC+∠BCF,LD=∠E+LEFC+LDCF, “LB+LD=150°，∠A+∠BCD+∠E=90°， :I50°=∠A+∠AFC+∠BCF+∠E+∠EFC+∠DCF, 150°=90°+∠AFC+∠EFC, LAFE=60°扌8分 ②如图，在直线EN上取一点P,连接AP, M B 3 N P 由①可知∠B+∠D=150°=∠1+∠3+∠C+∠E, :∠C+∠E=50 .∠1+∠3=100° AMEN .∠2=∠3 .∠1+∠2=1000 LMAB=100°.12分 7/9 画学科网，上好课 www,ZX×k,C0m 上好每一堂课 25. 【详解】解：(1)在ABC中，LA=60°， ∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°， :BP,CP分别平分∠ABC和∠ACB, ∠Pc-Ac,∠PcB-ACa, ∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠AC8)=60, ,:.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=120°： 故答案为：120°，3分 (2):∠DBC与∠ECB分别是ABC的两个外角，且∠DBC+∠ECB=210°， ,.∠ABC+∠ACB=180°+180°-∠DBC+∠ECB)=360°-210°=150°， :.∠A=180°-（∠ABC+∠ACB=180°-150°=30°： 故答案为：30°，6分 (3)延长BA,CD交于点Q, D '∠BAD=a,∠ADC=B, 同(2)可得∠Q=a+B-180°， :∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角， ∠PBE=08c,∠FcE=DcE, '∠DCE=∠OBC+∠Q,LFCE=LFBC+∠F, .∠Q=∠DCE-∠QBC,2LF=2∠FCE-2LFBC=∠DCE-∠QBC, ∠Q=2∠F, 2F=40-a+l-s0;l0分 (4)∠1+∠2=130°，结合折叠， ,:∠AD1+AE1=180°+180°-(A+∠2)=230°，∠A=∠D1E, 8/9 命学科网·上好课 www,ZX×k,C0m 上好每一堂课 ÷∠1=∠D1E=2360°-2309)=65°， :BI平分∠ABC,，CI平分∠ACB, 由(1）得：∠BC=90°+∠4=90°+32.5°=12.5°.…12分 2 9/9